À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Fractions et calculs avec les relatifs » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : fraction, signe et nombres relatifs, Simplifier une fraction (avec des signes), Mettre au même dénominateur, Additionner et soustraire des fractions. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Fraction, signe et nombres relatifs
2 · Simplifier une fraction (avec des signes)
3 · Mettre au même dénominateur
4 · Additionner et soustraire des fractions
5 · Multiplier des fractions
6 · L'inverse d'un nombre
7 · Diviser des fractions (et fractions empilées)
8 · Priorités opératoires avec les fractions
9 · Calculs mêlant signes et fractions
1Rappels : fraction, signe et nombres relatifs
Une fraction est un quotient : ab signifie « a divisé par b », avec b ≠ 0. En 4e, le numérateur a et le dénominateur b peuvent être négatifs.
Définition. Pour une fraction, le signe se lit avec la règle des signes de la division : deux nombres de même signe donnent un résultat positif, deux nombres de signes contraires donnent un résultat négatif.
On peut donc placer le signe « − » en haut, en bas, ou devant la fraction : ces trois écritures désignent le même nombre.
−35 = −35 = 3−5
- −7−4 est positif (deux signes « − ») : c'est 74.
- −74 est négatif (signes contraires).
💡 Règle d'or : on écrit toujours le dénominateur positif. S'il est négatif, on remonte le « − » devant la fraction : 2−9 = −29.
⚠️ Le dénominateur ne peut jamais être 0 : on ne divise jamais par zéro. En revanche 0b = 0 si b ≠ 0.
2Simplifier une fraction (avec des signes)
Règle. On ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie ou si on divise le numérateur ET le dénominateur par un même nombre non nul.
Simplifier, c'est diviser le haut et le bas par un même nombre pour obtenir une fraction avec des nombres plus petits.
Méthode pas à pas
- 1. Je regarde le signe du résultat (règle des signes) et je le place devant.
- 2. Je cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (2, 3, 5, ou le PGCD).
- 3. Je divise les deux par ce nombre, je recommence tant que c'est possible.
Exemple. −1824 : signe « − ». On divise haut et bas par 6 : −1824 = −1824 = −34.
Exemple. −15−35 : deux « − » → positif. On divise par 5 : 1535 = 37.
💡 Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier (numérateur et dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que 1).
3Mettre au même dénominateur
Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut d'abord qu'elles aient le même dénominateur.
Méthode. 1) Je cherche un dénominateur commun (souvent le plus petit multiple commun) ; 2) je multiplie haut et bas de chaque fraction pour l'atteindre.
Cas facile : un dénominateur est multiple de l'autre
Exemple. −23 et 512 : comme 12 = 3 × 4, je transforme la 1ère : −23 = −2 × 43 × 4 = −812.
Cas général : on multiplie les dénominateurs entre eux
Exemple. 34 et −16 : un dénominateur commun est 12 (le plus petit multiple commun de 4 et 6).
34 = 912 et −16 = −212.
💡 Prendre le plus petit dénominateur commun évite de manipuler de trop grands nombres. Mais multiplier les deux dénominateurs marche toujours.
4Additionner et soustraire des fractions
Règle. Quand les dénominateurs sont
égaux, on
ajoute (ou soustrait) les numérateurs et on
garde le dénominateur :
ad + bd = a + bd
Méthode complète
- 1. Même dénominateur (étape précédente).
- 2. J'additionne / je soustrais les numérateurs en respectant les signes (règle des relatifs).
- 3. Je simplifie le résultat.
Addition. −23 + 512 = −812 + 512 = −8 + 512 = −312 = −14.
Soustraction. 14 − −16 = 312 − −212 = 3 − (−2)12 = 512.
⚠️ Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé : « − (−2) » devient « + 2 ». C'est l'erreur la plus fréquente !
Un entier devient une fraction
Pour calculer −35 + 2, on écrit 2 = 105 : alors −35 + 105 = 75.
5Multiplier des fractions
Règle. On multiplie les
numérateurs entre eux et les
dénominateurs entre eux. Pas besoin de dénominateur commun !
ab × cd = a × cb × d
Le signe du résultat suit la règle des signes (compter les « − »).
L'astuce : simplifier AVANT de multiplier
On simplifie « en croix » (un numérateur avec n'importe quel dénominateur) avant de calculer, pour éviter les grands nombres.
Exemple. −38 × 49. Je simplifie 4 et 8 par 4 (→ 1 et 2), et 3 et 9 par 3 (→ 1 et 3) :
−38 × 49 = −12 × 13 = −16.
Avec un entier. 5 × −215 = 51 × −215 = −1015 = −23.
💡 « Prendre les 23 de 12 » = 23 × 12 = 243 = 8. Le mot « de » cache une multiplication.
6L'inverse d'un nombre
Définition. L'inverse de ab (avec a ≠ 0) est ba : on échange numérateur et dénominateur. Le produit d'un nombre par son inverse vaut toujours 1.
- L'inverse de 37 est 73 (car 37 × 73 = 2121 = 1).
- L'inverse de 4 = 41 est 14.
- L'inverse de −25 est −52 : l'inverse garde le signe.
⚠️ Ne confonds pas inverse et opposé ! L'opposé de 25 est −25 (on change le signe). L'inverse est 52 (on retourne la fraction).
💡 0 n'a pas d'inverse (on ne peut pas diviser par 0).
7Diviser des fractions
Règle. Diviser par une fraction, c'est
multiplier par son inverse.
ab ÷ cd = ab × dc
Méthode
- 1. Je remplace « ÷ » par « × » et je retourne la 2e fraction.
- 2. Je détermine le signe, je simplifie, puis je multiplie.
Exemple. −34 ÷ 98 = −34 × 89 = −3 × 84 × 9 = −2436 = −23.
La fraction « empilée » (fraction de fractions)
Une grande barre de fraction est aussi une division. Le trait le plus long sépare le « tout du haut » du « tout du bas ».
23−56 = 23 ÷ −56 = 23 × 6−5 = 12−15 = −45
⚠️ Repère bien le trait principal (le plus long). abc ≠ abc : la position de la grande barre change tout le résultat.
8Priorités opératoires avec les fractions
Règle des priorités. 1) on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses ; 2) puis les multiplications et divisions (de gauche à droite) ; 3) enfin les additions et soustractions.
Avec les fractions, c'est exactement la même chose : la multiplication passe avant l'addition.
| Priorité | Opérations |
|---|
| 1 (d'abord) | Parenthèses ( ) |
| 2 (ensuite) | × et ÷ |
| 3 (en dernier) | + et − |
Exemple. 12 + −34 × 23. On fait d'abord la multiplication :
−34 × 23 = −612 = −12, puis 12 + −12 = 02 = 0.
Avec parenthèses. 23 × ( 14 − 32 ) = 23 × ( 14 − 64 ) = 23 × −54 = −1012 = −56.
💡 Astuce d'écriture : une grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses invisibles. Dans 3 + 12, on calcule 3 + 1 = 4 avant de diviser : le résultat est 2.
9Calculs mêlant tout : la méthode
Face à un calcul long avec signes, fractions et plusieurs opérations, on suit toujours le même fil :
- 1. Je repère les parenthèses et les grandes barres (parenthèses cachées).
- 2. Je traite les × et ÷ : division → multiplication par l'inverse, je simplifie avant.
- 3. Pour + et − : je mets au même dénominateur, j'additionne les numérateurs (signes !).
- 4. Je simplifie le résultat final, dénominateur positif.
Exemple complet. A = −56 + 23 ÷ −49.
÷ d'abord : 23 ÷ −49 = 23 × 9−4 = 18−12 = −32.
Puis : A = −56 + −32 = −56 + −96 = −146 = −73.
🎓 Récap express : dénominateur toujours positif · pour + et − : même dénominateur puis numérateurs (attention aux signes, − (−) = +) · pour × : haut × haut, bas × bas, simplifier avant · diviser = multiplier par l'inverse (on retourne) · inverse ≠ opposé · grande barre = division ET parenthèses · priorités : ( ) puis × ÷ puis + −.