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Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations
Rappels de 5ᵉ (signe, distance à zéro, opposé, comparer, additionner et soustraire des relatifs, sommes algébriques), multiplier et diviser deux relatifs avec la règle des signes (justifiée par la distributivité), multiplications et divisions à trou, produit de plusieurs facteurs (nombre de facteurs négatifs), carré et cube d’un nombre négatif, enchaînements d’opérations avec les priorités, nommer un calcul et traduire un programme de calcul ; problèmes.
À propos de cette page
Rappels de 5ᵉ : additionner et soustraire des relatifs
Ce chapitre prolonge la 5ᵉ : avant de multiplier et de diviser, on reprend tout ce qui a été vu sur les nombres relatifs.
Comparer : un nombre négatif est plus petit qu’un nombre positif ; entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro. Sur une droite graduée, le plus petit est le plus à gauche.
Additionner deux relatifs :
• de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun ;
• de signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : a − b = a + (−b).
Écriture simplifiée : deux signes qui se suivent se remplacent par un seul ; deux signes identiques donnent +, deux signes différents donnent − : + (−3) devient − 3 et − (−3) devient + 3.
−13,6 a pour signe − et pour distance à zéro 13,6 ; son opposé est 13,6. L’opposé de 2,1 est −2,1.
Dans l’ordre croissant : −9,2 < −9 < −0,6 < 0 < 0,3 (−9,2 est plus éloigné de zéro que −9, il est donc plus petit).
Même signe : (−11) + (−6) = −17.
Signes contraires : pour (+13) + (−20), on calcule 20 − 13 = 7 ; le plus éloigné de zéro est −20, donc (+13) + (−20) = −7. De même, (−4,2) + (+9) = 4,8.
6 − (+15) = 6 + (−15) = −9 · −8 − (−13) = −8 + 13 = 5
Sommes algébriques et variations
Pour calculer une somme de plusieurs relatifs, je simplifie l’écriture, je regroupe les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre, puis j’additionne les deux totaux. Une variation se calcule par « arrivée − départ » ; un écart par « le plus grand − le plus petit » ; une addition à trou se complète par une soustraction.
B = −9 + 14 − (−3) − 11
B = −9 + 14 + 3 − 11 (écriture simplifiée)
Positifs : 14 + 3 = 17 · négatifs : −9 − 11 = −20
B = 17 − 20 = −3
La température passe de −12 °C à −5 °C : variation = −5 − (−12) = −5 + 12 = 7 ; c’est une hausse de 7 °C.
−2 + … = 9 : on calcule 9 − (−2) = 9 + 2 = 11. Vérification : −2 + 11 = 9.
Réflexe — devant un calcul, je regarde d’abord l’opération : pour une addition ou une soustraction, ce sont les règles de la 5ᵉ, avec les distances à zéro ; la règle des signes de ce chapitre ne sert que pour multiplier et diviser.
Attention — soustraire ne fait pas toujours diminuer : −8 − (−13) = 5, qui est plus grand que −8. Et dans −9 − 11, il n’y a rien à fusionner : c’est la somme de −9 et de −11, qui vaut −20 (ni 20 ni 2).
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Multiplier et diviser deux relatifs : la règle des signes
1. on trouve le signe du produit grâce à la règle des signes : le produit de deux nombres de même signe est positif ; le produit de deux nombres de signes contraires est négatif ;
2. on multiplie les distances à zéro.
Pour diviser, la règle des signes est la même : on trouve le signe du quotient, puis on divise les distances à zéro. On ne divise jamais par 0.
Multiplier par −1 donne l’opposé du nombre ; multiplier par 0 donne 0 ; 0 divisé par un nombre non nul donne 0.
| Calcul | Signes | Signe du résultat | Résultat |
|---|---|---|---|
| (+7) × (+8) | même signe | + | +56 |
| (−7) × (−8) | même signe | + | +56 |
| (+7) × (−8) | signes contraires | − | −56 |
| (−7) × (+8) | signes contraires | − | −56 |
| (−56) ÷ (−8) | même signe | + | +7 |
| (+56) ÷ (−7) | signes contraires | − | −8 |
(−2,5) × (−6) : même signe, le produit est positif ; 2,5 × 6 = 15 ; donc (−2,5) × (−6) = 15.
0,4 × (−35) : signes contraires, le produit est négatif ; 0,4 × 35 = 14 ; donc 0,4 × (−35) = −14.
(−4,8) ÷ 2 : signes contraires, le quotient est négatif ; 4,8 ÷ 2 = 2,4 ; donc (−4,8) ÷ 2 = −2,4.
(−1) × 17,3 = −17,3 (l’opposé de 17,3) · (−5,6) × 0 = 0 · 0 ÷ (−12) = 0
Un quotient s’écrit aussi avec une barre de fraction : = 8 et = −6.
Pourquoi ça marche ? Avec un seul facteur négatif, multiplier revient à additionner plusieurs fois le même nombre : 4 × (−6) = (−6) + (−6) + (−6) + (−6) = −24 ; et le produit (−6) × 4 est égal à 4 × (−6), car on peut changer l’ordre des facteurs.
Avec deux facteurs négatifs, on utilise la distributivité vue en 5ᵉ : (−6) × (4 + (−4)) = (−6) × 0 = 0. En développant, (−6) × 4 + (−6) × (−4) = 0, c’est-à-dire −24 + (−6) × (−4) = 0. Le nombre (−6) × (−4) ajouté à −24 donne 0 : c’est l’opposé de −24, donc (−6) × (−4) = 24.
Enfin, diviser, c’est faire l’opération inverse de la multiplication : (−35) ÷ 7 = −5, car 7 × (−5) = −35. Le quotient suit donc la même règle des signes que le produit.
Multiplications et divisions à trou
Une multiplication à trou se complète par une division, et une division à trou par une multiplication, en appliquant la règle des signes.
(−8) × … = 72 : on calcule 72 ÷ (−8) = −9. Vérification : (−8) × (−9) = 72.
… ÷ (−3) = 12 : on calcule 12 × (−3) = −36. Vérification : (−36) ÷ (−3) = 12.
Dans un problème
Une même variation qui se répète donne un produit : variation totale = variation à chaque étape × nombre d’étapes. Une variation totale partagée en étapes égales donne un quotient : variation moyenne = variation totale ÷ nombre d’étapes. Le signe vient de l’énoncé : une baisse, une perte ou une descente sont négatives.
Le cours d’une action perd 1,5 € par jour pendant 8 jours : (−1,5) × 8 = −12 ; l’action a perdu 12 €.
Le niveau d’un lac a baissé de 42 cm en 12 jours : (−42) ÷ 12 = −3,5 ; il a baissé en moyenne de 3,5 cm par jour.
Réflexe — le signe d’abord (même signe → +, signes contraires → −), puis le calcul avec les distances à zéro ; une division se vérifie par une multiplication.
Attention — la règle des signes ne s’applique pas à l’addition : (−3) + (−5) = −8, alors que (−3) × (−5) = 15. « Moins par moins donne plus » ne concerne que les produits et les quotients.
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Plusieurs facteurs, carré et cube : trouver le signe
• un nombre pair de facteurs négatifs (0, 2, 4…) : le produit est positif ;
• un nombre impair de facteurs négatifs (1, 3, 5…) : le produit est négatif.
On multiplie ensuite toutes les distances à zéro. Si un facteur est nul, le produit est nul, quels que soient les signes.
Le carré d’un nombre négatif est positif (deux facteurs négatifs) ; le cube d’un nombre négatif est négatif (trois facteurs négatifs).
Pour un quotient de produits, on compte de la même façon tous les nombres négatifs du numérateur et du dénominateur.
Pourquoi ça marche ? On peut regrouper les facteurs négatifs deux par deux, et chaque paire donne un produit positif : (−3) × (−4) × (−1) × (−5) = [(−3) × (−4)] × [(−1) × (−5)] = 12 × 5 = 60. Avec un nombre impair de facteurs négatifs, il en reste un sans partenaire : il rend le produit négatif.
A = (−2) × 5 × (−1) × (−4) × 3 : trois facteurs négatifs (impair), A est négatif ; 2 × 5 × 1 × 4 × 3 = 120, donc A = −120.
B = (−25) × 7 × (−4) : deux facteurs négatifs (pair), B est positif ; on regroupe 25 × 4 = 100, puis 100 × 7 = 700, donc B = 700.
C = (−3,7) × 0 × (−8) = 0 : un facteur est nul, inutile de compter les signes.
(−6)² = (−6) × (−6) = 36 · (−3)³ = (−3) × (−3) × (−3) = −27
: deux nombres négatifs, le quotient est positif ; 9 × 8 = 72 et 72 ÷ 12 = 6, donc ce quotient vaut 6.
Trouver un signe sans calculer
Le signe se décide avant tout calcul : (−0,37) × 12,4 × (−5,1) × (−2) a trois facteurs négatifs, il est négatif. Avec une lettre : si x est un nombre négatif non nul, (−5) × x est positif (deux facteurs négatifs), x² est positif et x³ est négatif.
Réflexe — je compte les facteurs négatifs (pas les signes des additions), je décide « pair » ou « impair », puis je multiplie les distances à zéro.
Attention — (−6)² = 36, mais −6² = −36 : sans parenthèses, le carré ne porte que sur 6, et l’on prend ensuite l’opposé de 36. Et un produit qui contient le facteur 0 est nul, quel que soit le nombre de facteurs négatifs.
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Enchaîner les opérations avec des relatifs
1. on calcule ce qui est entre parenthèses (la plus intérieure d’abord) ;
2. puis les carrés et les cubes ;
3. puis les multiplications et divisions, de gauche à droite ;
4. enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Une barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule le numérateur et le dénominateur en entier, puis on divise.
Un calcul porte le nom de sa dernière opération : c’est une somme, une différence, un produit ou un quotient.
A = −6 + 4 × (−5)
A = −6 + (−20) (produit)
A = −26
B = 3 − 7 × (−2)
B = 3 − (−14) (produit)
B = 3 + 14 = 17
C = (−2) × (5 − 9) + (−18) ÷ 3
C = (−2) × (−4) + (−18) ÷ 3 (parenthèse)
C = 8 + (−6) (produit et quotient)
C = 2
D = 1 − 2 × (−4)²
D = 1 − 2 × 16 (carré)
D = 1 − 32 = −31
E = : numérateur (−5) × 6 = −30 ; dénominateur −3 − 7 = −10 ; E = (−30) ÷ (−10) = 3.
Nommer un calcul, traduire un programme de calcul
B se termine par une soustraction : c’est une différence. C se termine par une addition : c’est une somme. (−2) × (5 − 9) est un produit, qui se lit « le produit de −2 par la différence de 5 et 9 ». E est un quotient.
Programme : choisir −4 ; le multiplier par 3 ; ajouter 5 ; multiplier le résultat par −2.
En une seule expression : ((−4) × 3 + 5) × (−2) = (−12 + 5) × (−2) = (−7) × (−2) = 14.
Les parenthèses sont indispensables : l’addition doit passer avant la dernière multiplication. Ce calcul est un produit.
Dans l’autre sens, (−3 + 8) ÷ (−5) se lit « choisir −3 ; ajouter 8 ; diviser par −5 » : 5 ÷ (−5) = −1. C’est un quotient.
Réflexe — je repère les produits et les quotients, je calcule chacun avec son signe, une étape par ligne, et je termine par les additions et les soustractions.
Attention — on ne calcule pas de gauche à droite sans regarder les priorités : (3 − 7) × (−2) = 8, ce n’est pas la valeur de B. Et un produit négatif précédé d’un signe − se change en addition de son opposé : 3 − (−14) = 3 + 14.
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Pour aller plus loin
Pour la suite — les mêmes règles des signes servent avec les fractions : le signe d’une fraction, la comparaison, l’addition et la soustraction sont dans Fractions : comparer, additionner, soustraire avec des relatifs ; le produit de fractions, l’inverse et la division, dans Fractions : multiplier, inverse et diviser.
Les puissances d’exposant quelconque et les puissances de 10 sont traitées dans Puissances : exposant positif et puissances de 10 ; développer et réduire des expressions avec des relatifs, dans Calcul littéral : développer, factoriser, réduire.
- Addition (rappel de 5ᵉ) : même signe, on additionne les distances à zéro ; signes contraires, on les soustrait et on garde le signe du plus éloigné de zéro. Soustraire, c’est ajouter l’opposé.
- Produit ou quotient de deux relatifs : même signe → positif ; signes contraires → négatif ; puis on calcule avec les distances à zéro.
- Multiplier par −1 donne l’opposé ; on ne divise jamais par 0 ; une multiplication à trou se complète par une division.
- Plusieurs facteurs non nuls : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif. (−6)² est positif, (−3)³ est négatif, et −6² est l’opposé de 6².
- Priorités : parenthèses, carrés et cubes, × et ÷, puis + et − ; un calcul porte le nom de sa dernière opération.
Questions fréquentes
Comment additionner et soustraire des nombres relatifs ?
Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe, (−12) + (−9) = −21. Signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du plus éloigné de zéro, (−12) + 9 = −3. Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : 4 − (−9) = 4 + 9 = 13.
Quelle est la règle des signes pour multiplier ou diviser des relatifs ?
Deux nombres de même signe ont un produit (ou un quotient) positif ; deux nombres de signes contraires, un produit (ou un quotient) négatif. On calcule ensuite avec les distances à zéro : (−11) × (−4) = 44 et 65 ÷ (−5) = −13. Cette règle ne vaut pas pour l’addition.
Pourquoi « moins par moins » donne-t-il plus ?
Grâce à la distributivité. On sait que (−2) × 3 = −6, car c’est (−2) + (−2) + (−2). Or (−2) × (3 + (−3)) = (−2) × 0 = 0. En développant, la somme de −6 et de (−2) × (−3) vaut 0 : le nombre (−2) × (−3) est donc l’opposé de −6, il vaut 6.
Comment trouver le signe d’un produit de plusieurs facteurs ?
On compte les facteurs négatifs : un nombre pair donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif. Ainsi (−1) × 3 × (−2) × (−5) = −30 (trois facteurs négatifs). Le carré d’un négatif est positif, (−9)² = 81, et un produit qui contient 0 est nul.
Dans quel ordre calculer une expression avec des relatifs ?
Les priorités de la 5ᵉ : parenthèses, carrés et cubes, multiplications et divisions de gauche à droite, puis additions et soustractions. Ainsi 5 − 3 × (−6) = 5 − (−18) = 23 ; en calculant de gauche à droite, on obtiendrait (5 − 3) × (−6) = −12, ce qui est faux.
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