À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Fractions et calculs avec les relatifs » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : nombres relatifs et droite graduée, Additionner et soustraire des relatifs, Multiplier et diviser des relatifs : la règle des signes, Fractions : simplifier et comparer. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappels : nombres relatifs et droite graduée
2 · Additionner et soustraire des relatifs
3 · Multiplier et diviser des relatifs (règle des signes)
4 · Fractions : simplifier et comparer
5 · Additionner et soustraire des fractions
6 · Multiplier et diviser des fractions
7 · Calculs mêlés et priorités opératoires
1Rappels : nombres relatifs et droite graduée
Un nombre relatif est un nombre qui possède un signe : il peut être positif (précédé de $+$, ou sans signe) ou négatif (précédé de $-$). Par exemple $+7$, $-3$, $+2{,}5$, $-\frac{1}{2}$ sont des relatifs.
Définition. La distance à zéro d'un nombre relatif est le nombre sans son signe. La distance à zéro de $-5$ est $5$ ; celle de $+5$ est aussi $5$. On dit que $-5$ et $+5$ sont opposés.
On peut placer tous les relatifs sur une droite graduée : les positifs à droite de $0$, les négatifs à gauche. Plus on va vers la droite, plus le nombre est grand.
Exemple. Sur la droite graduée, $-4 < -1 < 0 < +3$. Attention : un nombre négatif est toujours plus petit que $0$, et $-8 < -2$ car $-8$ est plus loin à gauche.
2Additionner et soustraire des relatifs
Règle de l'addition. Pour additionner deux relatifs :
• de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun ;
• de signes contraires : on soustrait la plus petite distance de la plus grande et on garde le signe du nombre dont la distance à zéro est la plus grande.
Exemple. $(-6) + (-4) = -10$ (même signe). $(-9) + (+5) = -4$ (signes contraires : $9 - 5 = 4$, signe de $-9$). $(+8) + (-3) = +5$.
Règle de la soustraction. Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $a - b = a + (-b)$.
Exemple. $(-7) - (+4) = (-7) + (-4) = -11$. Et $(+3) - (-5) = (+3) + (+5) = +8$ : soustraire un négatif revient à ajouter un positif.
Attention ! Deux signes qui se suivent se transforment : $- (-5)$ devient $+5$, et $+ (-5)$ devient $-5$. C'est la cause d'erreur la plus fréquente.
3Multiplier et diviser des relatifs : la règle des signes
Pour les produits et les quotients, on calcule d'abord avec les distances à zéro, puis on détermine le signe grâce à la règle des signes.
Règle des signes. Deux nombres de même signe donnent un résultat positif ; deux nombres de signes contraires donnent un résultat négatif. Cela vaut pour la multiplication ET la division.
| $(+) \times (+)$ | $= +$ | $(+4)\times(+3)=+12$ |
| $(-) \times (-)$ | $= +$ | $(-4)\times(-3)=+12$ |
| $(+) \times (-)$ | $= -$ | $(+4)\times(-3)=-12$ |
| $(-) \times (+)$ | $= -$ | $(-4)\times(+3)=-12$ |
Astuce. Pour un produit de plusieurs facteurs : si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif ; s'il est impair, le résultat est négatif. Ex : $(-2)\times(-3)\times(-1) = -6$ (trois facteurs négatifs).
Exemple. $\frac{-20}{+4} = -5$ et $\frac{-20}{-5} = +4$.
4Fractions : simplifier et comparer
Une fraction $\frac{a}{b}$ représente le quotient de $a$ (numérateur) par $b$ (dénominateur, non nul).
Simplifier une fraction. On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un diviseur commun). Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Exemple. $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$. On a divisé en haut et en bas par $6$.
Pour comparer deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
Exemple. Comparons $\frac{2}{3}$ et $\frac{3}{5}$. Au dénominateur $15$ : $\frac{2}{3}=\frac{10}{15}$ et $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$. Comme $10 > 9$, on a $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$.
5Additionner et soustraire des fractions
Règle. Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les réduit d'abord au même dénominateur, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs en gardant le dénominateur commun.
Exemple 1 (même dénominateur). $\frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.
Exemple 2 (dénominateurs différents). $\frac{2}{3} + \frac{1}{4}$. On choisit $12$ comme dénominateur commun : $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ et $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$. Donc $\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$.
Astuce. Quand un dénominateur est un multiple de l'autre, on n'a qu'une seule fraction à transformer : $\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
Attention ! On n'additionne JAMAIS les dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$. Le bon résultat est $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
6Multiplier et diviser des fractions
Multiplication. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$. On simplifie si possible.
Exemple. $\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
Inverse et division. L'inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.
Exemple. $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
Astuce. Pour la multiplication, pas besoin de dénominateur commun : c'est plus simple que l'addition !
7Calculs mêlés et priorités opératoires
Quand un calcul mélange plusieurs opérations, on respecte l'ordre des priorités :
Règle des priorités.
1. Ce qui est entre parenthèses d'abord ;
2. les multiplications et divisions ensuite (de gauche à droite) ;
3. les additions et soustractions en dernier (de gauche à droite).
Exemple. $-3 + 4 \times (-2) = -3 + (-8) = -11$. La multiplication passe avant l'addition.
Exemple avec fractions. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}$. D'abord le produit : $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Puis $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Attention ! $-2^2 = -4$ (on calcule $2^2=4$ puis le signe), tandis que $(-2)^2 = +4$ (le carré d'un négatif est positif). Les parenthèses changent tout !
★À retenir
En bref :
• Addition de relatifs : même signe → on ajoute les distances ; signes contraires → on soustrait, signe du plus éloigné de $0$.
• Soustraire = ajouter l'opposé : $a - b = a + (-b)$.
• Règle des signes ($\times$ et $\div$) : mêmes signes → $+$ ; signes contraires → $-$.
• Fractions $+$/$-$ : même dénominateur, puis on additionne les numérateurs.
• Fractions $\times$ : haut × haut, bas × bas. $\div$ : multiplier par l'inverse.
• Priorités : parenthèses, puis $\times$ et $\div$, puis $+$ et $-$.