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Mathématiques 4ᵉ

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Relatifs : multiplier, diviser, enchaîner les opérations

Rappels de 5ᵉ (signe, distance à zéro, opposé, comparer, additionner et soustraire des relatifs, sommes algébriques), multiplier et diviser deux relatifs avec la règle des signes (justifiée par la distributivité), multiplications et divisions à trou, produit de plusieurs facteurs (nombre de facteurs négatifs), carré et cube d’un nombre négatif, enchaînements d’opérations avec les priorités, nommer un calcul et traduire un programme de calcul ; problèmes.

À propos de cette page
Six problèmes corrigés où les relatifs décrivent des situations réelles : des températures en montagne, la descente d’un plongeur, les points d’un jeu télévisé, l’ascenseur d’une mine, un congélateur industriel et le budget d’une association, avec variations répétées, moyennes et expressions à écrire.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

  1. Je lis l’énoncé et je donne un signe à chaque donnée : une baisse, une perte, une descente sont négatives ; une hausse, un gain, une montée sont positives.
  2. Je choisis l’opération : une variation qui se répète → un produit ; une variation totale partagée en étapes égales, ou un nombre d’étapes → un quotient ; une arrivée → départ + variation.
  3. J’écris une seule expression quand c’est possible, en respectant les priorités, puis je calcule avec la règle des signes.
  4. Je contrôle le signe (une durée ou un nombre d’objets est positif) et je réponds par une phrase, avec l’unité.
Problème 1 · La station météo de montagne★★★Facile
Une station météo d’altitude relève la température plusieurs fois par jour. Les températures sont en degrés Celsius (°C).
  1. 1. À minuit, il fait −32 °C. À midi, la température a gagné 19 °C. Température à midi : °C
    −32+19=−13 : signes contraires, 32−19=13, signe du −32. Il fait −13 °C à midi.
  2. 2. Le lendemain, elle chute de 27 °C par rapport à midi. Nouvelle température : °C
    Une chute de 27 °C se traduit par +(−27) : −13+(−27)=−40 °C.
  3. 3. Écart entre cette température et le relevé le plus chaud de la saison, +6 °C : °C
    Écart = le plus grand − le plus petit : 6−(−40)=6+40=46 °C.
  4. 4. Moyenne des quatre relevés −13 ; −40 ; +6 ; −25 : °C
    Positif : 6 ; négatifs : −13−40−25=−78 ; somme : 6−78=−72.
    Moyenne : (−72)÷4=−18 °C (signes contraires : négatif).
Méthodes utiles : Cas 1 Cas 2
Problème 2 · La descente du plongeur★★★Facile
Un plongeur part de la surface (altitude 0) et descend régulièrement : il perd 3 m d’altitude chaque minute.
  1. 1. Variation de son altitude au bout de 9 minutes, avec son signe : m
    La même variation se répète 9 fois : (−3)×9=−27 m. Il a perdu 27 m d’altitude.
  2. 2. Son altitude au bout de 15 minutes : m
    0+(−3)×15=−45 : il est à l’altitude −45 m.
  3. 3. Combien de minutes lui faut-il pour atteindre l’altitude −51 m ? min
    Variation totale −51 m, −3 m par minute : (−51)÷(−3)=17 minutes. Le quotient de deux négatifs est positif, comme une durée doit l’être.
  4. 4. Il remonte ensuite à 9 m par minute, une vitesse de remontée conseillée aux plongeurs. Son altitude 4 minutes après le début de la remontée, depuis −51 m : m
    Variation de la remontée : 9×4=36 m.
    −51+36=−15 m.
Méthodes utiles : Cas 2
Problème 3 · Le jeu télévisé★★★Moyen
Dans un jeu télévisé, une mauvaise réponse retire 25 points et une bonne réponse en rapporte 40. Chaque équipe part de 0 point.
  1. 1. Une équipe donne 4 mauvaises réponses. Points perdus, avec le signe :
    (−25)×4=−100 points.
  2. 2. Elle donne aussi 3 bonnes réponses. Son score final :
    Une seule expression : 3×40+4×(−25)=120+(−100)=20 points.
  3. 3. Une autre équipe a −150 points et n’a donné que des mauvaises réponses. Combien en a-t-elle donné ?
    (−150)÷(−25)=6 mauvaises réponses (même signe : positif).
  4. 4. Une équipe donne 5 bonnes réponses. Combien de mauvaises réponses peut-elle donner, au plus, pour garder un score positif ou nul ?
    Les bonnes réponses rapportent 5×40=200 points, et chaque mauvaise en retire 25 : 200÷25=8.
    Avec 8 mauvaises réponses : 200+8×(−25)=0 ; avec 9 : 200+9×(−25)=−25. Au plus 8.
Méthodes utiles : Cas 2 Cas 4
Problème 4 · L’ascenseur de la mine★★★Moyen
La cage d’un ascenseur de mine est à l’altitude −180 m (à 180 m sous la surface, d’altitude 0).
  1. 1. Elle monte de 45 m. Nouvelle altitude : m
    −180+45=−135 m.
  2. 2. Elle descend ensuite 3 fois de 60 m. Altitude finale : m
    Une seule expression : −135+3×(−60)=−135+(−180)=−315 m.
  3. 3. Distance à parcourir pour remonter à la surface : m
    Variation = arrivée − départ : 0−(−315)=315 m.
  4. 4. À 2,5 m par seconde, combien de secondes dure cette remontée ? s
    315÷2,5=3150÷25=126 secondes.
Problème 5 · Le congélateur industriel★★★Difficile
Un congélateur industriel est à −6 °C. On lance un cycle de refroidissement : la température baisse de 2,5 °C toutes les 10 minutes.
  1. 1. Variation de température au bout de 40 minutes, avec son signe : °C
    40 min font 4 périodes de 10 min : (−2,5)×4=−10 °C.
  2. 2. Température affichée au bout de 30 minutes (une seule expression, puis calcule) : °C
    −6+3×(−2,5)=−6+(−7,5)=−13,5 °C.
  3. 3. Le cycle s’arrête à −23,5 °C. Combien de minutes dure-t-il en tout ? min
    Variation totale : −23,5−(−6)=−17,5 °C.
    Nombre de périodes : (−17,5)÷(−2,5)=7, soit 7×10=70 minutes.
  4. 4. Variation moyenne de température par minute pendant le cycle : °C
    (−17,5)÷70=−0,25 °C par minute (on retrouve (−2,5)÷10).
Méthodes utiles : Cas 2 Cas 4
Problème 6 · Le budget de l’association★★★Difficile
Un relevé donne les écarts mensuels de budget d’une association, en euros, de janvier à avril : −120 ; +45 ; −75 ; −30 (un écart négatif signifie que l’association a dépensé plus que prévu).
  1. 1. Somme de ces quatre écarts : €
    Positifs : 45 ; négatifs : −120−75−30=−225.
    Total : 45−225=−180 €.
  2. 2. Écart moyen par mois : €
    (−180)÷4=−45 € par mois en moyenne.
  3. 3. Si cet écart moyen se maintenait, écart cumulé sur une année de 12 mois : €
    (−45)×12=−540 € sur 12 mois.
  4. 4. L’association a une réserve de 400 €. À ce rythme moyen, combien de mois entiers la réserve couvre-t-elle complètement ?
    400÷45 : 8, il reste 40. Après 8 mois : 400+8×(−45)=40 € ; le 9e mois, il manquerait 5 €.
    La réserve couvre 8 mois entiers.
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