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Mathématiques 4ᵉ

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Fractions : comparer, additionner, soustraire avec des relatifs

Rappels de 5e (fractions égales, simplification, dénominateur commun, comparer, additionner et soustraire des fractions positives), puis nombre rationnel et signe d’une fraction, écritures fractionnaires égales, comparer, ranger et encadrer des nombres rationnels positifs ou négatifs, additionner et soustraire des fractions relatives ; problèmes.

À propos de cette page
Six problèmes corrigés avec des fractions positives et négatives : la lecture d’un roman, le niveau d’un lac à comparer, la durée d’un relais, un sondage sportif, un carré magique à compléter et le réservoir d’un scooter.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

  1. Je lis l’énoncé et je repère le tout (le roman, les élèves interrogés, le réservoir) et les fractions de ce tout.
  2. Je traduis : une part restante = 1 moins les parts connues ; un écart ou une variation = arrivée − départ ; « le plus petit » = je compare.
  3. Je calcule au même dénominateur positif, avec les règles des relatifs sur les numérateurs, puis je simplifie.
  4. Je vérifie (ordre de grandeur, signe du résultat) et je réponds par une phrase, avec l’unité.
Problème 1 · Le roman de Jade★★★Facile
Jade lit un roman de 216 pages. Elle en lit 29 le lundi et 13 le mardi.
  1. 1. Quelle fraction du roman a-t-elle lue en deux jours ? (forme a/b)
    13=39, donc 29+39=59 du roman.
  2. 2. Quelle fraction du roman lui reste-t-il à lire ?
    Le roman entier vaut 1=99 : il reste 99−59=49 du roman.
  3. 3. Combien de pages lui reste-t-il à lire ?
    Un neuvième du roman : 216÷9=24 pages ; quatre neuvièmes : 24×4=96 pages.
  4. 4. Le mercredi, elle lit encore 16 du roman. Quelle fraction du roman lui reste-t-il alors ?
    Table de 9 : 9, 18, et 18=6×3. 49−16=818−318=518 du roman.
Méthodes utiles : Cas 1 Cas 4
Problème 2 · Le niveau du lac★★★Facile
On relève l’écart entre le niveau d’un lac et son niveau habituel, en mètres (un nombre négatif : le lac est plus bas que d’habitude).
Lundi : −34 ; mardi : −58 ; mercredi : 15 ; jeudi : −710.
  1. 1. Quel jour le lac était-il le plus haut ?
    Seul l’écart de mercredi, 15, est positif : c’est le plus grand des quatre nombres.
  2. 2. Quel jour le lac était-il le plus bas ?
    Avec le dénominateur 40 : −34=−3040, −58=−2540, −710=−2840. Le plus petit numérateur est −30 : c’est lundi.
  3. 3. Range les trois écarts négatifs dans l’ordre croissant : < <
    −30<−28<−25, donc −34<−710<−58.
  4. 4. De combien de mètres le niveau a-t-il monté entre lundi et mercredi ? (forme a/b)
    Variation = arrivée − départ : 15−(−34)=15+34=420+1520=1920 m.
Méthodes utiles : Cas 3 Cas 4
Problème 3 · Le relais★★★Moyen
Trois coureurs se relaient : Amel court pendant 14 h, Bastien pendant 13 h et Chloé pendant 310 h. L’équipe s’était fixé comme objectif de courir en 910 h.
  1. 1. Quelle est la durée totale du relais, en heures ? (forme a/b)
    Table de 10 : 10, 20, 30, 40, 50, 60, et 60 est un multiple de 4 et de 3. 1560+2060+1860=5360 h.
  2. 2. Quelle est cette durée, en minutes ?
    Une heure compte 60 minutes : 160 h =1 min, donc 5360 h =53 min.
  3. 3. Quel coureur a couru le plus longtemps ?
    Au dénominateur 60 : Amel 1560, Bastien 2060, Chloé 1860. Le plus grand numérateur est 20 : c’est Bastien.
  4. 4. Calcule l’écart « durée réalisée − objectif », en heures :
    910=5460, donc 5360−5460=−160, soit −160 h : l’écart est négatif, l’équipe a battu son objectif d’une minute.
Problème 4 · Le sondage sportif★★★Moyen
Dans un sondage, 38 des élèves interrogés préfèrent le football, 15 le basket et 14 le handball. Les 35 autres élèves préfèrent un autre sport.
  1. 1. Quelle fraction des élèves préfère le football, le basket ou le handball ?
    Table de 8 : 8, 16, 24, 32, 40, et 40 est un multiple de 5 et de 4. 1540+840+1040=3340.
  2. 2. Quelle fraction des élèves préfère un autre sport ?
    Le tout vaut 1=4040 : 4040−3340=740.
  3. 3. Combien d’élèves ont été interrogés ?
    Les 740 des élèves, ce sont 35 élèves : 140, c’est 35÷7=5 élèves, et il y a 5×40=200 élèves.
  4. 4. Combien d’élèves de plus préfèrent le football au handball ?
    1540−1040=540 des élèves, c’est-à-dire 5×5=25 élèves (les 18 des 200 élèves).
Méthodes utiles : Cas 1 Cas 4
Problème 5 · Le carré magique★★★Difficile
Dans un carré magique, les trois lignes, les trois colonnes et les deux diagonales ont la même somme. Complète celui-ci.
−512a−34
b−14112
14cd
  1. 1. Quelle est la somme de la diagonale 14 ; −14 ; −34 ? (forme -a/b)
    14 et −14 sont opposés : leur somme vaut 0. Il reste −34 : la somme magique est −34.
  2. 2. Quel nombre faut-il écrire dans la case a ?
    Ligne 1 : −512+a+(−34)=−34, donc −512+a=0 : a est l’opposé de −512, soit 512.
  3. 3. Quel nombre faut-il écrire dans la case b ? (forme -a/b)
    Ligne 2 : b=−34−(−14)−112=−912+312−112=−712, soit −712.
  4. 4. Une fois le carré complété, quel est son plus petit nombre ?
    Colonne 2 : c=−34−512−(−14)=−912−512+312=−1112. Ligne 3 : d=−34−14−(−1112)=−912−312+1112=−112.
    Au dénominateur 12, les numérateurs sont −5 ; 5 ; −9 ; −7 ; −3 ; 1 ; 3 ; −11 ; −1 : le plus petit nombre est −1112.
Problème 6 · Le réservoir du scooter★★★Difficile
Le réservoir du scooter d’Inès est plein aux 78 au départ. Le premier trajet consomme 13 du réservoir ; elle ajoute ensuite 14 de réservoir à la station, puis le deuxième trajet consomme 512 du réservoir.
  1. 1. Quelle fraction du réservoir reste-t-il à l’arrivée ? (irréductible)
    Dénominateur commun 24 : 2124−824+624−1024=21−8+6−1024=924=38 (on divise par 3).
  2. 2. Variation du niveau entre le départ et l’arrivée (arrivée − départ) :
    38−78=−48, soit −12 : le niveau a baissé d’un demi-réservoir.
  3. 3. Le trajet du lendemain consomme 25 du réservoir. Quelle fraction du réservoir lui manque-t-il pour le faire sans s’arrêter ?
    On compare 38=1540 et 25=1640 : 15<16, il ne reste pas assez d’essence.
    Il manque 1640−1540=140 du réservoir.
  4. 4. Le réservoir contient 16 L quand il est plein. Combien de litres manque-t-il ?
    140 de 16 L : 16÷40=0,4 L.
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