Devoir surveillé : Pythagore, Thalès et cosinus

1. a)L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : $[RT]$. Le côté adjacent à $\widehat{SRT}$ (qui n'est pas l'hypoténuse) est $[RS]$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$\cos (\widehat{SRT})={\displaystyle \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}}={\displaystyle \frac{RS}{RT}}$. (1 pt) (1)
3. c)Faux : le côté adjacent est plus court que l'hypoténuse, donc le quotient ${\displaystyle \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}}$ est compris entre $0$ et $1$. (0,5 pt pour « faux », 0,5 pt pour la justification) (1)
4. d)D'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, donc $0,4={\displaystyle \frac{MN}{15}}$ et $MN=0,4\times 15=6$ cm. (0,5 pt pour l'égalité, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Méthode — avant tout calcul, repère l'angle droit : il désigne l'hypoténuse, et c'est à partir d'elle qu'on nomme les autres côtés.

1. a)$EFG$ est rectangle en $F$, donc d'après le théorème de Pythagore : $E{G}^2=E{F}^2+F{G}^2=81+144=225$, d'où $EG=\sqrt{225}=15$ cm. (0,5 pt pour l'égalité, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)L'hypoténuse est $[LM]$ : $L{M}^2=K{L}^2+K{M}^2$, donc $K{M}^2=8,5^2-7,5^2=72,25-56,25=16$ et $KM=4$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le plus long côté est $[UW]$ : $U{W}^2={61}^2=3721$ et $U{V}^2+V{W}^2=121+3600=3721$. L'égalité est vérifiée : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $UVW$ est rectangle en $V$, le sommet opposé à $[UW]$. (0,5 pt pour les calculs, 0,5 pt pour la conclusion avec le sommet) (1)
4. d)Le plus long côté est $[XZ]$ : $X{Z}^2=11,5^2=132,25$ et $X{Y}^2+Y{Z}^2=49+81=130$. Comme $132,25\ne 130$, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, $XYZ$ n'est pas rectangle. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — pour un côté de l'angle droit, on soustrait : le carré de l'hypoténuse moins le carré de l'autre côté. Un côté plus long que l'hypoténuse doit alerter.

1. a)Dans $ABC$ rectangle en $B$, $\cos (\widehat{BAC})={\displaystyle \frac{AB}{AC}}$, donc $AB=12\times \cos ({38}^{\circ })\approx 9,5$ cm. (0,5 pt pour la formule, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)Dans $DEF$ rectangle en $D$, $\cos (\widehat{DEF})={\displaystyle \frac{DE}{EF}}$, donc $EF={\displaystyle \frac{4,5}{\cos ({52}^{\circ })}}\approx 7,3$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Dans $GHI$ rectangle en $H$, $\cos (\widehat{HGI})={\displaystyle \frac{GH}{GI}}={\displaystyle \frac{5}{8}}=0,625$, donc $\widehat{HGI}={\cos }^{-1}(0,625)\approx {51}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)D'après le théorème de Pythagore dans $GHI$ rectangle en $H$ : $H{I}^2=G{I}^2-G{H}^2=64-25=39$, donc $HI=\sqrt{39}\approx 6,2$ cm. (0,5 pt pour la valeur exacte, 0,5 pt pour l'arrondi) (1)

Astuce — si l'inconnue est au numérateur, on multiplie par le cosinus ; si c'est l'hypoténuse, au dénominateur, on divise. Vérifie que la calculatrice est en degrés.

1. a)$ABC$ est rectangle en $B$ : $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=100+56,25=156,25$, donc $AC=12,5$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$ : d'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$. Donc ${\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{MN}{7,5}}$ et $MN=0,4\times 7,5=3$ cm. (0,5 pt pour l'égalité, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{AN}{12,5}}$, donc $AN=0,4\times 12,5=5$ cm. (1 pt) (1)
4. d)Le plus long côté de $AMN$ est $[AN]$ : $A{N}^2=25$ et $A{M}^2+M{N}^2=16+9=25$. L'égalité est vérifiée, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $AMN$ est rectangle en $M$. (0,5 pt pour les calculs, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Erreur fréquente — dans les rapports de Thalès, on compare toujours le petit triangle au grand : $AM$ avec $AB$, et non $AM$ avec $MB$.

1. a)$ABC$ est rectangle en $B$ : $B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=27,04-23,04=4$, donc $BC=2$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$\cos (\widehat{BAC})={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{4,8}{5,2}}$, donc $\widehat{BAC}={\cos }^{-1}\left({\displaystyle \frac{4,8}{5,2}}\right)\approx {23}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$(MN)$ et $(BC)$ sont toutes deux perpendiculaires au sol $(AB)$, donc parallèles. D'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ : ${\displaystyle \frac{1,8}{4,8}}={\displaystyle \frac{MN}{2}}$, donc $MN={\displaystyle \frac{1,8\times 2}{4,8}}=0,75$ m. (0,5 pt pour le parallélisme, 0,5 pt pour le calcul) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ : $AN={\displaystyle \frac{1,8\times 5,2}{4,8}}=0,375\times 5,2=1,95$ m. (1 pt) (1)

Méthode — deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles : c'est souvent la justification attendue avant d'appliquer Thalès à des hauteurs.

1. a)Faux : quelle que soit la taille du triangle, le côté adjacent reste plus court que l'hypoténuse, donc leur quotient est strictement inférieur à $1$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Vrai : $4^2=16$ et $2,4^2+3,2^2=5,76+10,24=16$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle. (0,5 pt pour les calculs, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)Vrai : $\cos (\widehat{ABC})={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{6}{12}}=0,5$ et ${\cos }^{-1}(0,5)={60}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Vrai : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{3}{8}}=0,375$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{4,5}{12}}=0,375$. Les rapports sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$. (0,5 pt pour les rapports, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Piège — pour la réciproque de Thalès, on compare deux rapports calculés séparément ; conclure à partir d'un seul rapport ne prouve rien.

1. a)$ABC$ est rectangle en $A$ : $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=81-51,84=29,16$, donc $AC=5,4$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$\cos (\widehat{ABC})={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{7,2}{9}}=0,8$, donc $\widehat{ABC}={\cos }^{-1}(0,8)\approx 36,9^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$ABH$ est rectangle en $H$, d'hypoténuse $[AB]$ : $\cos (\widehat{ABH})={\displaystyle \frac{BH}{AB}}$. Or $\widehat{ABH}=\widehat{ABC}$, donc $BH=7,2\times 0,8=5,76$ cm. (0,5 pt pour la formule, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)Dans $ABH$ rectangle en $H$ : $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=51,84-33,1776=18,6624$, donc $AH=4,32$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — un même angle peut appartenir à deux triangles rectangles : son cosinus s'écrit de deux façons, ce qui permet de passer d'un triangle à l'autre.

1. a)Le bâton et l'arbre sont verticaux, donc $(MN)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à la même droite $(AB)$ : elles sont parallèles. (1 pt) (1)
2. b)$M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$ : d'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{2,4}{14,4}}={\displaystyle \frac{1,5}{BC}}$, donc $BC={\displaystyle \frac{1,5\times 14,4}{2,4}}=9$ m. (0,5 pt pour l'égalité, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)$AMN$ est rectangle en $M$ : $A{N}^2=A{M}^2+M{N}^2=5,76+2,25=8,01$, donc $AN=\sqrt{8,01}\approx 2,83$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$\cos (\widehat{MAN})={\displaystyle \frac{AM}{AN}}={\displaystyle \frac{2,4}{\sqrt{8,01}}}\approx 0,848$, donc $\widehat{MAN}\approx {32}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt ; on accepte le calcul avec $2,83$) (1)

Méthode — pour calculer un angle, utilise de préférence la valeur exacte ($\sqrt{8,01}$) plutôt qu'un arrondi : les erreurs d'arrondi s'accumulent d'une étape à l'autre.

1. a)$[BC]$ est l'hypoténuse : il faut soustraire. $A{C}^2={13}^2-5^2=169-25=144$, donc $AC=12$ cm. (0,5 pt pour l'erreur, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$DE$ est le côté adjacent et $DF$ l'hypoténuse : $\cos ({40}^{\circ })={\displaystyle \frac{DE}{DF}}$, donc $DE=10\times \cos ({40}^{\circ })\approx 7,7$ cm. Un côté de l'angle droit ne peut pas dépasser l'hypoténuse. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le rapport doit comparer le petit triangle au grand : $AB=2+3=5$ cm et ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{BC}}$, donc $BC={\displaystyle \frac{4\times 5}{2}}=10$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Le quotient est inversé : $\cos (\widehat{HGI})={\displaystyle \frac{GH}{GI}}={\displaystyle \frac{3}{5}}=0,6$, et $\widehat{HGI}={\cos }^{-1}(0,6)\approx 53,1^{\circ }$. Un cosinus supérieur à $1$ devait alerter. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — les quatre erreurs viennent d'un côté mal identifié : l'hypoténuse traitée comme un côté de l'angle droit, ou un segment $MB$ pris pour $AB$.

1. a)Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal coupe la base en son milieu : $BH=4$ m et $ABH$ est rectangle en $H$. $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2=9+16=25$, donc $AB=5$ m. (0,5 pt pour $BH$, 0,5 pt pour le calcul) (1)
2. b)Dans $ABH$ rectangle en $H$ : $\cos (\widehat{ABC})={\displaystyle \frac{BH}{AB}}={\displaystyle \frac{4}{5}}=0,8$, donc $\widehat{ABC}\approx {37}^{\circ }$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$M\in [AB]$, $N\in [AC]$, $(MN)\parallel (BC)$ : d'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{MN}{8}}$, donc $MN={\displaystyle \frac{2\times 8}{5}}=3,2$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)On veut $MN=5$ m : ${\displaystyle \frac{AM}{5}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$, donc $AM={\displaystyle \frac{25}{8}}=3,125$ m, soit environ $3,13$ m. (0,5 pt pour l'égalité, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Astuce — la hauteur d'un triangle isocèle le découpe en deux triangles rectangles identiques : c'est la porte d'entrée pour Pythagore et le cosinus.

1. a)L'hypoténuse $c$ vérifie $c^2=25+36=61$, donc $c=\sqrt{61}$. Comme $49<61<64$, on a $7<\sqrt{61}<8$. (0,5 pt pour $\sqrt{61}$, 0,5 pt pour l'encadrement) (1)
2. b)$\cos (\widehat{ABC})={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$, donc $AB=15\times 0,6=9$ cm. Puis $A{C}^2={15}^2-9^2=225-81=144$, donc $AC=12$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$[AB]$ est un côté de l'angle droit : il est forcément plus court que l'hypoténuse $BC=4$ cm, donc $4,5$ cm est impossible. En fait $AB=4\times 0,9=3,6$ cm (l'élève a divisé au lieu de multiplier). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — sans calculatrice, on encadre une racine carrée entre deux carrés parfaits consécutifs ; c'est aussi un bon contrôle de vraisemblance.

1. a)$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=400+441=841$. Or ${29}^2=841$, donc $AC=29$ cm. (0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour reconnaître ${29}^2$) (1)
2. b)D'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{AF}{AC}}={\displaystyle \frac{EF}{BC}}$, avec ${\displaystyle \frac{AE}{AB}}={\displaystyle \frac{8}{20}}=0,4$. Donc $EF=0,4\times 21=8,4$ cm et $AF=0,4\times 29=11,6$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Le plus long côté est $[AF]$ : $A{F}^2=11,6^2=134,56$ ; $A{E}^2+E{F}^2=64+8,4^2=64+70,56=134,56$. L'égalité est vérifiée, donc $AEF$ est rectangle en $E$. (0,5 pt pour les carrés, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)$EB=20-8=12$ cm et $FC=29-11,6=17,4$ cm. Périmètre : $12+21+17,4+8,4=58,8$ cm. (0,5 pt pour les longueurs, 0,5 pt pour la somme) (1)

Astuce — un coefficient de réduction décimal simple (ici $0,4$) transforme les calculs de Thalès en multiplications faciles à poser.

1. a)Comme $a\le b$, $a^2\le b^2$, donc $2a^2\le a^2+b^2=625$ et $a^2\le 312,5$. Or ${17}^2=289$ et ${18}^2=324>312,5$, donc $a\le 17$. (1 pt) (1)
2. b)On teste $a=1,2,\dots ,17$ et l'on regarde si $625-a^2$ est un carré : $624,621,616,609,600,589,576,561,544,525,504,481,456,429,400,369,336$. Seuls $576={24}^2$ ($a=7$) et $400={20}^2$ ($a=15$) conviennent. Les deux solutions sont $(7;24)$ et $(15;20)$ ; aucune n'est oubliée puisque toutes les valeurs possibles de $a$ ont été testées. (0,5 pt pour la méthode exhaustive, 0,5 pt pour les deux solutions) (1)
3. c)Le plus petit angle est opposé au plus petit côté $a$ ; il est donc adjacent au côté $b$ : $\cos ={\displaystyle \frac{b}{25}}$. Triangle $(7;24;25)$ : ${\displaystyle \frac{24}{25}}$. Triangle $(15;20;25)$ : ${\displaystyle \frac{20}{25}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{4}{20}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{5}{25}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$ ; les points $A,M,B$ et $A,N,C$ sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$. Puis $MN={\displaystyle \frac{1}{5}}\times 15=3$ cm : le triangle $AMN$ a pour côtés $3$, $4$ et $5$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour prouver qu'on a toutes les solutions, on borne d'abord l'inconnue, puis on teste chaque valeur restante : la liste complète vaut justification.

1. a)$ABC$ est rectangle en $B$ : $B{C}^2=6,5^2-2,5^2=42,25-6,25=36$, donc $BC=6$ m. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,25)
2. b)$\cos (\widehat{BAC})={\displaystyle \frac{AB}{AC}}={\displaystyle \frac{2,5}{6,5}}={\displaystyle \frac{5}{13}}\approx 0,385$ (division posée). Comme $0,259<0,385<0,423$ et que le cosinus diminue quand l'angle augmente, ${65}^{\circ }<\widehat{BAC}<{75}^{\circ }$ : l'échelle est conforme. (0,5 pt pour le cosinus, 0,5 pt pour la comparaison, 0,5 pt pour la conclusion) (1,25)
3. c)Soit $Q$ le point de $[AB]$ à la verticale de $P$. $(PQ)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires au sol, donc parallèles ; d'après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AP}{AC}}={\displaystyle \frac{PQ}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{2,6}{6,5}}=0,4={\displaystyle \frac{PQ}{6}}$, donc $PQ=2,4$ m. (0,5 pt pour le parallélisme, 0,5 pt pour l'égalité, 0,5 pt pour le résultat) (1,25)
4. d)La distance $AB=6,5\times \cos (\widehat{BAC})$ est la plus petite quand l'angle est le plus grand, soit ${75}^{\circ }$ : $AB\approx 6,5\times 0,259=1,6835$, donc environ $1,68$ m. (0,5 pt pour le choix de ${75}^{\circ }$, 0,5 pt pour le calcul) (1,25)

Piège — le cosinus varie en sens inverse de l'angle : l'angle maximal donne la distance au mur minimale, et non l'inverse.

1. a)Dans $ABC$ rectangle en $A$ : $\cos (\widehat{ABC})={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$. Dans $ABH$ rectangle en $H$ : $\cos (\widehat{ABH})={\displaystyle \frac{BH}{AB}}$, et $\widehat{ABH}=\widehat{ABC}$. Donc ${\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{BH}{AB}}$ et, par produit en croix, $A{B}^2=BH\times BC$. (0,5 pt pour les deux cosinus, 0,5 pt pour l'égalité) (1)
2. b)De même, avec l'angle $\widehat{ACB}$ : $\cos (\widehat{ACB})={\displaystyle \frac{AC}{BC}}$ dans $ABC$ et ${\displaystyle \frac{CH}{AC}}$ dans $ACH$ rectangle en $H$. Donc ${\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{CH}{AC}}$ et $A{C}^2=CH\times CB$. (1 pt) (1)
3. c)En additionnant : $A{B}^2+A{C}^2=BH\times BC+CH\times BC=(BH+HC)\times BC$. Comme $H\in [BC]$, $BH+HC=BC$, donc $A{B}^2+A{C}^2=BC\times BC=B{C}^2$. (0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour $BH+HC=BC$) (1)
4. d)$A{B}^2=9\times 25=225$, donc $AB=15$ cm. $CH=25-9=16$ cm, donc $A{C}^2=16\times 25=400$ et $AC=20$ cm. Vérification : ${15}^2+{20}^2=225+400=625={25}^2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — on ne peut pas utiliser Pythagore pour démontrer Pythagore : ici, seules la définition du cosinus et l'égalité $BH+HC=BC$ servent.