Théorème de Thalès : triangles emboîtés

1. a)Le petit triangle $KRS$ est emboîté dans le grand triangle $KLM$ ; leur sommet commun est $K$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{KR}{KL}}={\displaystyle \frac{KS}{KM}}={\displaystyle \frac{RS}{LM}}$ (1)
3. c)$k={\displaystyle \frac{KR}{KL}}=1,8÷4,8=0,375$ (1)
4. d)$[RS]$ correspond au côté parallèle $[LM]$, pas à $[KM]$ : il faut écrire ${\displaystyle \frac{KR}{KL}}={\displaystyle \frac{RS}{LM}}$ (1)

Méthode — On part du sommet commun : petit triangle en haut, grand en bas, et le côté parallèle va avec le côté parallèle.

1. a)${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=4,8÷8=0,6$ (1)
2. b)Dans le triangle $ABC$, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. D’après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{4,8}{8}}={\displaystyle \frac{AN}{6,5}}={\displaystyle \frac{4,2}{BC}}$. Donc $AN={\displaystyle \frac{4,8\times 6,5}{8}}=3,9$ cm (1)
3. c)${\displaystyle \frac{4,2}{BC}}=0,6$, donc $BC=4,2÷0,6=7$ cm (1)
4. d)$4,8<8$, $3,9<6,5$ et $4,2<7$ : chaque côté du petit triangle est plus court, et vaut $0,6$ fois le côté correspondant du grand ($0,6\times 7=4,2$) (1)

Repère — La rédaction tient en quatre temps : la configuration, les parallèles, l’égalité des trois rapports, le calcul avec l’unité.

1. a)$RS=RU+US=5,6+2,4=8$ cm, puis $k=5,6÷8=0,7$ (1)
2. b)D’après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{RU}{RS}}={\displaystyle \frac{RV}{RT}}$ : $RT=4,9÷0,7=7$ cm (1)
3. c)${\displaystyle \frac{UV}{ST}}=0,7$ : $ST=4,2÷0,7=6$ cm (1)
4. d)$(UV)\parallel (ST)$ : les angles $RUV$ et $RST$ sont correspondants, donc égaux ; $RUV={48}^{\circ }$ (une réduction conserve les angles) (1)

Méthode — Si l’énoncé donne $US$, on calcule d’abord $RS=RU+US$ : $US$ n’entre jamais dans les rapports.

1. a)D’une part $3,6÷6=0,6$ ; d’autre part $4,2÷7=0,6$. Les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$ (1)
2. b)Produits en croix : $AM\times AC=5\times 7=35$ et $AB\times AN=9\times 4=36$. Ils sont différents, donc ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}\ne {\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ : d’après la contraposée, les droites ne sont pas parallèles (1)
3. c)Vrai : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ et, d’après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (1)
4. d)Faux : ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}$, et $MB$ n’est un côté d’aucun des deux triangles. Contre-exemple : $AM=3$ et $AB=4$ donnent ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=0,75$, alors que ${\displaystyle \frac{MB}{AB}}=0,25$ (1)

Le point clé — Pour un parallélisme, on compare seulement ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, en valeurs exactes : égaux, réciproque ; différents, contraposée.

1. a)La verticale $[MN]$ et $[BC]$ sont parallèles, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$. D’après le théorème de Thalès : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{1,5}{4,5}}={\displaystyle \frac{h}{2,7}}$ : $h={\displaystyle \frac{1,5\times 2,7}{4,5}}=0,9$ m (1)
2. b)Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ : d’après le théorème de Pythagore, $A{C}^2=4,5^2+2,7^2=20,25+7,29=27,54$, donc $AC=\sqrt{27,54}\approx 5,25$ m (1)
3. c)${\displaystyle \frac{d}{4,5}}={\displaystyle \frac{1,8}{2,7}}$, donc $d={\displaystyle \frac{4,5\times 1,8}{2,7}}=3$ m (1)
4. d)À $2$ m de $A$ : $h={\displaystyle \frac{2\times 2,7}{4,5}}=1,2$ m. Comme $1,2>1$, le toboggan n’est pas conforme (1)

Méthode — Dans une situation, les deux verticales donnent les parallèles et le point de départ de la pente est le sommet commun.