Le théorème de Thalès (triangles emboîtés)

Dans le triangle $DEF$, $P$ est un point de $[DE]$, $Q$ un point de $[DF]$ et les droites $(PQ)$ et $(EF)$ sont parallèles.

1. Nomme les deux triangles emboîtés et leur sommet commun.
2. Écris l'égalité des trois rapports donnée par le théorème de Thalès dans cette figure.
3. On donne $DP=3$ cm et $DE=7,5$ cm. Calcule le rapport de réduction.
4. Un élève écrit ${\displaystyle \frac{DP}{DE}}={\displaystyle \frac{PQ}{DF}}$. Explique son erreur et corrige-la.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=4,8$ cm, $AB=8$ cm, $AC=6,5$ cm et $MN=4,2$ cm. Rédige complètement le premier calcul.

1. Calcule le rapport de réduction.
2. Calcule $AN$.
3. Calcule $BC$.
4. Calcule $NC$.

$RST$ est un triangle, $U\in [RS]$, $V\in [RT]$ et $(UV)\parallel (ST)$. On donne $RU=6$ cm, $US=4$ cm, $RV=4,8$ cm et $UV=3,6$ cm.

1. Calcule $RS$.
2. Calcule $RT$.
3. Calcule $ST$.
4. Calcule $VT$.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$. Justifie chaque réponse.

1. $AM=3$ cm, $AB=7,5$ cm, $AN=2$ cm, $AC=5$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
2. $AM=5$ cm, $AB=12$ cm, $AN=3$ cm, $AC=7$ cm. Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont-elles parallèles ?
3. Vrai ou faux : « Si $(MN)\parallel (BC)$ et $AM={\displaystyle \frac{AB}{3}}$, alors $MN={\displaystyle \frac{BC}{3}}$. »
4. Vrai ou faux : « Si $(MN)\parallel (BC)$, alors ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{MB}{AB}}$. »

Un toboggan rectiligne $[AC]$ descend d'une plateforme $C$, située à $2,7$ m au-dessus du point $B$ du sol, jusqu'au sol en $A$, avec $AB=4,5$ m. Les poteaux de soutien sont verticaux.

1. Un enfant est assis sur le toboggan à la verticale du point $M$ du sol tel que $AM=1,5$ m. À quelle hauteur se trouve-t-il ?
2. Calcule la longueur $AC$ du toboggan, arrondie au centimètre.
3. Un poteau de soutien mesure $1,8$ m. À quelle distance de $A$ est-il fixé au sol ?
4. Une norme impose que, sur les $2$ premiers mètres au sol à partir de $A$, la hauteur du toboggan ne dépasse pas $1$ m. Ce toboggan est-il conforme ? Justifie.