Cosinus : dans le triangle rectangle

1. a)$\cos ({35}^{\circ })\approx 0,819$ ; l’angle dont le cosinus vaut $0,643$ mesure ${50}^{\circ }$ (au degré près, d’après la table) (1)
2. b)$0,766>0,75>0,707$ : le cosinus diminue quand l’angle augmente, donc l’angle est compris entre ${40}^{\circ }$ et ${45}^{\circ }$ (1)
3. c)$[AB]$ est adjacent à $ABC$ : $AB=9,4\times \cos ({25}^{\circ })\approx 9,4\times 0,906\approx 8,52$ cm (1)
4. d)${80}^{\circ }>{70}^{\circ }$ et le cosinus diminue quand l’angle augmente : $\cos ({80}^{\circ })<\cos ({70}^{\circ })\approx 0,342$ (1)

Méthode — Dans une table, le cosinus diminue quand l’angle augmente : on lit dans les deux sens, de l’angle au cosinus ou du cosinus à l’angle.

1. a)Dans $ABC$ rectangle en $A$ : $\cos (ABC)={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$, donc $AB=8,4\times \cos ({41}^{\circ })\approx 6,34$ cm (1)
2. b)Dans $DEF$ rectangle en $E$ : $\cos (EDF)={\displaystyle \frac{DE}{DF}}$, donc $\cos ({58}^{\circ })={\displaystyle \frac{6,3}{DF}}$ et $DF={\displaystyle \frac{6,3}{\cos ({58}^{\circ })}}\approx 11,89$ cm (1)
3. c)$1,25$ m $=125$ cm ; adjacent $=125\times \cos ({24}^{\circ })\approx 114,19$ cm (1)
4. d)$[GH]$ est opposé à $GIH$ : on change d’angle. $GHI={90}^{\circ }-{33}^{\circ }={57}^{\circ }$ et $[GH]$ est adjacent à $GHI$ : $\cos ({57}^{\circ })={\displaystyle \frac{GH}{HI}}$, donc $HI={\displaystyle \frac{5,8}{\cos ({57}^{\circ })}}\approx 10,65$ cm (1)

Repère — Longueur cherchée en haut du quotient : on multiplie ; en bas : on divise. Avec le côté opposé, on passe d’abord à l’autre angle aigu.

1. a)${\displaystyle \frac{2,4}{7,5}}=0,32$ et ${\cos }^{-1}(0,32)\approx 71,3^{\circ }$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{9,1}{13}}=0,7$ et ${\cos }^{-1}(0,7)\approx 45,6^{\circ }$ (1)
3. c)Pythagore : $B{C}^2=3,9^2+8^2=15,21+64=79,21$, donc $BC=8,9$ cm. $\cos (ABC)={\displaystyle \frac{AB}{BC}}={\displaystyle \frac{3,9}{8,9}}$, donc $ABC\approx 64,0^{\circ }$ (1)
4. d)Avec le cosinus : $\cos (ACB)={\displaystyle \frac{AC}{BC}}={\displaystyle \frac{8}{8,9}}$, donc $ACB\approx 26,0^{\circ }$. Avec les angles : ${90}^{\circ }-64,0^{\circ }=26,0^{\circ }$. Les deux résultats concordent (1)

Méthode — Pour un angle : le quotient adjacent ÷ hypoténuse, puis cos⁻¹ ; l’autre angle aigu se vérifie avec 90° − angle.

1. a)Faux : $\cos ({30}^{\circ })\approx 0,866$ ; le cosinus n’est pas proportionnel à l’angle (quand l’angle diminue, le cosinus augmente) (1)
2. b)Vrai : ${\cos }^{-1}(0,3)\approx 72,5^{\circ }$, plus proche de ${90}^{\circ }$ que de $0^{\circ }$ (1)
3. c)Faux : $[AC]$ est le côté opposé à $ABC$ ; le côté adjacent est $[AB]$, donc $\cos (ABC)={\displaystyle \frac{AB}{BC}}$ (1)
4. d)Vrai : le côté adjacent est un côté de l’angle droit, strictement plus court que l’hypoténuse, donc leur quotient est strictement inférieur à $1$ (1)

Le point clé — Le cosinus relie un angle aigu au côté adjacent et à l’hypoténuse : il est entre 0 et 1 et diminue quand l’angle augmente.

1. a)La flèche est l’hypoténuse, la portée le côté adjacent à $\alpha$ : portée $=18\times \cos ({62}^{\circ })\approx 8,45$ m (1)
2. b)Nouvelle portée : $18\times \cos ({40}^{\circ })\approx 13,79$ m. Augmentation : $18\times \cos ({40}^{\circ })-18\times \cos ({62}^{\circ })\approx 5,34$ m (1)
3. c)$\cos (\alpha )={\displaystyle \frac{15}{18}}$, donc $\alpha ={\cos }^{-1}(15÷18)\approx 33,6^{\circ }$ (1)
4. d)Plus l’angle est petit, plus son cosinus est grand, donc plus la portée est grande : la portée maximale est obtenue pour ${30}^{\circ }$. $18\times \cos ({30}^{\circ })\approx 15,588$ m, soit environ $1559$ cm (1)

Méthode — Dans une situation, on dessine le triangle rectangle, on nomme les côtés par rapport à l’angle, puis on choisit : multiplier, diviser ou cos⁻¹.