Que dit le théorème de Pythagore ?

Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Comment calculer l'hypoténuse avec Pythagore ?

On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée du résultat. Par exemple si les côtés mesurent $3$ et $4$ : $BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

À quoi sert la réciproque du théorème de Pythagore ?

Elle permet de démontrer qu'un triangle est rectangle : si dans un triangle l'égalité de Pythagore est vérifiée (le plus grand côté au carré égale la somme des carrés des deux autres), alors le triangle est rectangle.

Collège · 4ᵉ · Mathématiques

Le théorème de Pythagore

Calculer une longueur dans un triangle rectangle et démontrer qu'un triangle est rectangle (programme de 4e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Le théorème de Pythagore » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Triangle rectangle et hypoténuse, Le théorème de Pythagore, Calculer l'hypoténuse, Calculer un côté de l'angle droit. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

Triangle rectangle et hypoténuse

Définition. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est le plus long des trois côtés. Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.

Exemple.

K L M

rectangle en

L

: l'angle droit est au sommet

L

, l'hypoténuse est

[K M]

(le côté qui ne contient pas la lettre

L

), les côtés de l'angle droit sont

[L K]

[L M]

Astuce. L'hypoténuse est le seul côté dont le nom ne contient pas la lettre du sommet de l'angle droit.

Le théorème de Pythagore

Théorème. Si un triangle

A B C

est rectangle en

A

, alors

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

: le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Côtés de l'angle droit	Hypoténuse	Vérification
$3$ et $4$	$5$	$9 + 16 = 25$
$5$ et $12$	$13$	$25 + 144 = 169$
$8$ et $15$	$17$	$64 + 225 = 289$
$7$ et $24$	$25$	$49 + 576 = 625$

Astuce. Ces triplets pythagoriciens et leurs multiples (

6, 8, 10

;

1, 5

;

2

;

2, 5

;

9, 12, 15

) reviennent sans cesse : les reconnaître évite les calculs.

Attention ! Le théorème ne s'applique que si l'on sait que le triangle est rectangle (codage de l'angle droit, énoncé, ou démonstration préalable). Sans angle droit, l'égalité est fausse.

Calculer l'hypoténuse

Méthode. On connaît les deux côtés de l'angle droit : on additionne leurs carrés, puis on prend la racine carrée.

Exemple rédigé.

A B C

est rectangle en

A

A B = 5, 6

cm et

A C = 3, 3

cm.
Le triangle

A B C

est rectangle en

A

, donc d'après le théorème de Pythagore :

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

B C^{2} = 5, 6^{2} + 3, 3^{2} = 31, 36 + 10, 89 = 42, 25

B C = \sqrt{42, 25} = 6, 5

cm.

Valeur exacte, valeur approchée. Si

G I^{2} = 65

, la valeur exacte est

G I = \sqrt{65}

cm et une valeur approchée est

G I \approx 8, 06

cm. On n'arrondit qu'à la toute fin, et seulement si l'énoncé le demande.

Contrôle. L'hypoténuse doit être plus longue que chacun des deux autres côtés, et plus courte que leur somme :

6, 5 > 5, 6

6, 5 < 8, 9

Calculer un côté de l'angle droit

Méthode. On connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit : on soustrait le carré du côté connu au carré de l'hypoténuse, puis on prend la racine carrée. Si

A B C

est rectangle en

A

A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}

Exemple rédigé.

D E F

est rectangle en

E

D F = 9, 7

cm (hypoténuse) et

D E = 7, 2

cm.
D'après le théorème de Pythagore :

D F^{2} = D E^{2} + E F^{2}

, donc

E F^{2} = D F^{2} - D E^{2} = 94, 09 - 51, 84 = 42, 25

E F = \sqrt{42, 25} = 6, 5

cm.

Attention ! Un résultat négatif sous la racine ou un côté plus long que l'hypoténuse signale une erreur : on a additionné au lieu de soustraire, ou pris le mauvais côté pour hypoténuse.

Réciproque : démontrer qu'un triangle est rectangle

Réciproque du théorème de Pythagore. Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au plus grand côté.

Exemple rédigé.

A B C

avec

A B = 5, 1

cm,

B C = 6, 8

cm,

A C = 8, 5

cm. Le plus grand côté est

[A C]

.
D'une part :

A C^{2} = 8, 5^{2} = 72, 25

.
D'autre part :

A B^{2} + B C^{2} = 26, 01 + 46, 24 = 72, 25

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}

: d'après la réciproque du théorème de Pythagore,

A B C

est rectangle en

B

Attention ! On calcule les deux membres séparément (« d'une part / d'autre part ») : on ne doit pas écrire l'égalité avant de l'avoir vérifiée. Et l'on conclut en nommant le sommet de l'angle droit, celui qui n'appartient pas au plus grand côté.

Contraposée : démontrer qu'il n'est pas rectangle

Contraposée du théorème de Pythagore. Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.

Exemple. Côtés

7

cm,

9

cm,

11, 4

cm. D'une part

11, 4^{2} = 129, 96

; d'autre part

7^{2} + 9^{2} = 130

. Comme

129, 96 \neq 130

, le triangle n'est pas rectangle — même si les deux nombres sont proches : en mathématiques, « presque égal » n'est pas « égal ».

Situation	Outil	Conclusion
Triangle rectangle, une longueur inconnue	Théorème direct	Une longueur
Trois longueurs, égalité vérifiée	Réciproque	Le triangle est rectangle
Trois longueurs, égalité fausse	Contraposée	Le triangle n'est pas rectangle

Figures composées et rédaction

Le théorème sert dès qu'on peut repérer un triangle rectangle dans une figure : diagonale d'un rectangle ou d'un carré, hauteur d'un triangle isocèle (elle coupe la base en son milieu), côté d'un losange (ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu), échelle contre un mur, diagonale d'une boîte.

Exemple : losange. Diagonales

9, 6

cm et

4

cm. Les demi-diagonales

4, 8

cm et

2

cm forment un angle droit : côté

= \sqrt{4, 8^{2} + 2^{2}} = \sqrt{27, 04} = 5, 2

cm.

Rédaction en 5 lignes.
1. Nommer le triangle et dire qu'il est rectangle (et en quel sommet).
2. Citer le théorème (ou sa réciproque / contraposée).
3. Écrire l'égalité avec les lettres, l'hypoténuse seule à gauche.
4. Remplacer par les valeurs, dans la même unité, et calculer.
5. Racine carrée, arrondi demandé, unité, conclusion.

Attention aux unités ! Avant de calculer, tout doit être dans la même unité :

0, 3

m et

40

cm se combinent en

30

cm et

40

cm (hypoténuse

50

cm), pas en

0, 3

40

En bref

Hypoténuse = côté opposé à l'angle droit, le plus long.
$A B C$ rectangle en $A$ $\Rightarrow$ $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
Hypoténuse cherchée : on additionne ; côté de l'angle droit cherché : on soustrait ; racine carrée à la fin.
Valeur exacte $\sqrt{65}$ , valeur approchée $8, 06$ : on n'arrondit qu'à la fin.
Réciproque : $(plus grand côté)^{2} =$ somme des deux autres carrés $\Rightarrow$ rectangle, angle droit opposé au plus grand côté.
Contraposée : égalité fausse $\Rightarrow$ pas rectangle ; « presque égal » ne suffit pas.
Même unité partout ; triplets $3, 4, 5$ · $5, 12, 13$ · $8, 15, 17$ · $7, 24, 25$ et leurs multiples.

Ce chapitre au brevet : 50 exercices d'annales (2018-2025)

Voici comment cette notion est tombée dans les sujets officiels. Fais-les après le devoir surveillé, dans les conditions de l'examen.

Brevet 2025 · Métropole — exercice 3 : Thalès, triangles semblables et Pythagore
Brevet 2025 · Métropole — exercice 2 : Pythagore, Thalès et trigonométrie sur un aquathlon
Brevet 2025 · Métropole — exercice 4 : Panneaux solaires : Pythagore, trigonométrie et aires
Brevet 2025 · Métropole — exercice 4 : Pythagore : diagonale du fond d'une valise
Brevet 2025 · Nouvelle-Calédonie — exercice 2 : Cerf-volant : trigonométrie, Pythagore et vitesse du vent
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Brevet 2025 · Polynésie française — exercice 2 : Jardin botanique : Pythagore, trigonométrie et Thalès
Brevet 2025 · Polynésie française — exercice 4 : Aires, Thalès et Pythagore pour un terrain

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