À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Le théorème de Pythagore » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le triangle rectangle et l'hypoténuse, L'énoncé du théorème de Pythagore, Calculer la longueur de l'hypoténuse, Calculer la longueur d'un autre côté. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le triangle rectangle et l'hypoténuse
2 · L'énoncé du théorème de Pythagore
3 · Calculer la longueur de l'hypoténuse
4 · Calculer la longueur d'un autre côté
5 · La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
6 · La contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
7 · Méthode, rédaction et erreurs fréquentes
1Le triangle rectangle et l'hypoténuse
Le théorème de Pythagore concerne uniquement les triangles rectangles, c'est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (un angle de $90°$).
Définition. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté situé en face de l'angle droit. C'est toujours le plus long des trois côtés.
Exemple. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, l'angle droit est en $A$. L'hypoténuse est donc le côté $[BC]$, en face de $A$. Les deux côtés $[AB]$ et $[AC]$ sont appelés les côtés de l'angle droit.
Attention ! Bien repérer l'hypoténuse est la première étape. Elle est toujours opposée à l'angle droit, jamais l'un des côtés qui forment cet angle.
2L'énoncé du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore relie les longueurs des trois côtés d'un triangle rectangle.
Théorème de Pythagore. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
Exemple (vérification). Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $3$ cm et $4$ cm, et pour hypoténuse $5$ cm. On vérifie : $5^2 = 25$ et $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. L'égalité est bien vérifiée : $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
| Côtés de l'angle droit | Hypoténuse | Vérification |
|---|
| $3$ et $4$ | $5$ | $9 + 16 = 25 = 5^2$ |
| $6$ et $8$ | $10$ | $36 + 64 = 100 = 10^2$ |
| $5$ et $12$ | $13$ | $25 + 144 = 169 = 13^2$ |
Astuce. Ces triplets de nombres entiers ($3,4,5$ ; $6,8,10$ ; $5,12,13$) reviennent souvent : les reconnaître fait gagner du temps. On les appelle des triplets pythagoriciens.
3Calculer la longueur de l'hypoténuse
Quand on connaît les deux côtés de l'angle droit, on peut calculer l'hypoténuse.
Méthode. On additionne les carrés des deux côtés de l'angle droit, puis on prend la racine carrée du résultat pour obtenir l'hypoténuse.
Exemple. Dans $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 6$ cm et $AC = 8$ cm. On cherche l'hypoténuse $BC$.
D'après le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$.
Donc $BC = \sqrt{100} = 10$ cm.
Exemple (valeur non entière). $AB = 5$ cm et $AC = 7$ cm. Alors $BC^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$, donc $BC = \sqrt{74} \approx 8{,}6$ cm (arrondi au dixième).
Astuce. L'hypoténuse étant le plus long côté, le résultat trouvé doit toujours être plus grand que chacun des deux autres côtés. Ici $10 > 8$ : c'est cohérent.
4Calculer la longueur d'un autre côté
Quand on connaît l'hypoténuse et un côté de l'angle droit, on peut calculer le troisième côté. Cette fois, on soustrait.
Méthode. On part de $BC^2 = AB^2 + AC^2$, puis on isole le côté cherché. Si on cherche $AB$ : $AB^2 = BC^2 - AC^2$, puis $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$.
Exemple. Dans $ABC$ rectangle en $A$, l'hypoténuse $BC = 13$ cm et $AC = 5$ cm. On cherche $AB$.
$BC^2 = AB^2 + AC^2$, donc $AB^2 = BC^2 - AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Donc $AB = \sqrt{144} = 12$ cm.
Attention ! Pour un côté de l'angle droit, on calcule (hypoténuse)$^2$ moins (côté connu)$^2$. Inverser et additionner donnerait un résultat trop grand : le côté de l'angle droit est toujours plus petit que l'hypoténuse.
5La réciproque : prouver qu'un triangle est rectangle
Jusqu'ici, on partait d'un triangle déjà rectangle. La réciproque fait l'inverse : à partir des trois longueurs, elle permet de démontrer qu'un triangle est rectangle.
Réciproque du théorème de Pythagore. Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (et l'angle droit est opposé au plus grand côté).
Méthode (calcul séparé). On calcule séparément deux nombres :
- $d_1 = (\text{plus grand côté})^2$ ;
- $d_2 = (\text{somme des carrés des deux autres côtés})$.
Si $d_1 = d_2$, le triangle est rectangle. Sinon, il ne l'est pas.
Exemple. Un triangle $DEF$ a pour côtés $DE = 9$ cm, $EF = 12$ cm et $DF = 15$ cm. Le plus grand côté est $[DF]$.
D'un côté : $DF^2 = 15^2 = 225$.
De l'autre : $DE^2 + EF^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$.
Comme $DF^2 = DE^2 + EF^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $DEF$ est rectangle en $E$ (l'angle droit est opposé à $[DF]$).
Astuce. L'angle droit est toujours situé en face du plus grand côté. Une fois la réciproque appliquée, n'oublie pas de préciser en quel sommet le triangle est rectangle.
6La contraposée : prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
Le calcul séparé sert aussi à montrer qu'un triangle n'est pas rectangle : c'est la contraposée du théorème.
Contraposée. Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle n'est pas rectangle.
Exemple. Un triangle $GHI$ a pour côtés $6$ cm, $7$ cm et $9$ cm. Le plus grand côté mesure $9$ cm.
$9^2 = 81$ ; $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$.
Comme $81 \neq 85$, d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $GHI$ n'est pas rectangle.
Attention ! Pour conclure, il faut toujours comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Se tromper de plus grand côté fausse toute la conclusion.
7Méthode, rédaction et erreurs fréquentes
Une bonne rédaction suit toujours les mêmes étapes.
| Étape | Ce que tu écris |
|---|
| 1. Citer | « Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore... » |
| 2. Écrire l'égalité | $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (avec l'hypoténuse à gauche). |
| 3. Remplacer | Remplacer par les valeurs connues et calculer. |
| 4. Racine | Prendre la racine carrée pour obtenir la longueur. |
| 5. Conclure | Donner la longueur arrondie avec son unité. |
Erreur 1. Confondre le calcul de l'hypoténuse (on additionne) et celui d'un côté de l'angle droit (on soustrait).
Erreur 2. Oublier de prendre la racine carrée : on trouve $BC^2$, mais on cherche $BC$.
Erreur 3. Appliquer le théorème dans un triangle qui n'est pas rectangle. Sans angle droit, le théorème direct ne s'applique pas (il faut alors la réciproque pour tester).
Erreur 4. Pour la réciproque, ne pas prendre le plus grand côté comme hypoténuse présumée.
Bilan. Triangle déjà rectangle → théorème direct (calcul de longueur). Trois longueurs connues, angle droit incertain → réciproque ou contraposée (test).
★À retenir
En bref :
• L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est le plus long.
• Théorème : si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
• Hypoténuse cherchée : on additionne les carrés, puis racine carrée.
• Côté de l'angle droit cherché : on soustrait, puis racine carrée.
• Réciproque : si $(\text{grand côté})^2 = $ somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle (angle droit face au grand côté).
• Contraposée : si l'égalité est fausse, le triangle n'est pas rectangle.
• Triplets utiles : $(3,4,5)$, $(6,8,10)$, $(5,12,13)$.