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Théorème de Pythagore : calculer, réciproque
Reprendre les acquis de 5e (triangle rectangle, hypoténuse, carré d’un nombre, inégalité triangulaire) ; énoncer le théorème de Pythagore et le justifier par les aires ; calculer l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit (valeur exacte, valeur approchée, unités) ; démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas avec la réciproque et la contraposée ; utiliser le théorème dans un rectangle, un losange, un triangle isocèle, un pavé droit et des situations concrètes, en rédigeant.
À propos de cette page
Rappels et énoncé : triangle rectangle, hypoténuse, théorème de Pythagore
En 5e, on a vu le triangle rectangle et son hypoténuse, le carré d’un nombre et l’inégalité triangulaire. On reprend tout ici : ce sont les outils du théorème de Pythagore.
Le carré d’un nombre a est a² = a × a. La racine carrée d’un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a : 1,3² = 1,69, donc √1,69 = 1,3.
Inégalité triangulaire : dans un triangle, chaque côté est plus court que la somme des deux autres.
Théorème de Pythagore : si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Autrement dit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit.
KLM est rectangle en L : l’hypoténuse est [KM], le seul côté dont le nom ne contient pas la lettre L. Les côtés de l’angle droit sont [LK] et [LM], et l’égalité de Pythagore s’écrit KM² = LK² + LM².
PQR est rectangle en R : l’hypoténuse est [PQ], et PQ² = PR² + QR².
| Côtés de l’angle droit | Hypoténuse | Vérification |
|---|---|---|
| 3 et 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 et 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 et 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 et 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
Ces triplets pythagoriciens et leurs multiples (on multiplie les trois nombres par un même nombre) reviennent souvent : les reconnaître évite des calculs.
Pourquoi c’est vrai ? Une preuve par les aires
On place quatre triangles rectangles identiques, dont les côtés de l’angle droit mesurent 2 et 5, dans un carré de côté 2 + 5 = 7. Au centre reste un quadrilatère dont les côtés sont les hypoténuses : on admet ici que c’est un carré. Le grand carré a pour aire 7² = 49 et chaque triangle 2 × 5 ÷ 2 = 5, soit 20 pour les quatre : l’aire du carré du centre vaut donc 49 − 20 = 29. Or 2² + 5² = 4 + 25 = 29 : l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est bien la somme des carrés des deux autres côtés. Le même découpage marche pour n’importe quel triangle rectangle.
Réflexe — je repère l’angle droit ; l’hypoténuse est le côté d’en face, et je l’écris seule à gauche du signe =.
Attention — sans angle droit (codé sur la figure, annoncé dans l’énoncé ou démontré), pas de théorème de Pythagore. Et un carré n’est pas un double : 1,3² = 1,69, pas 2,6. De même, AB² + AC² n’est pas (AB + AC)².
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Calculer l’hypoténuse
Si la somme n’est pas un carré parfait, la valeur exacte s’écrit avec √ ; la calculatrice en donne une valeur approchée, notée ≈, que l’on arrondit à la toute fin, seulement si l’énoncé le demande.
Avant de calculer, toutes les longueurs doivent être dans la même unité.
Rédiger en cinq lignes
1. Je nomme le triangle et je dis en quel sommet il est rectangle. 2. Je cite le théorème de Pythagore. 3. J’écris l’égalité avec les lettres, l’hypoténuse seule à gauche. 4. Je remplace par les valeurs, dans la même unité, et je calcule. 5. Je prends la racine carrée, j’arrondis si on le demande et je conclus avec l’unité.
ABC est rectangle en A, AB = 5,6 cm et AC = 3,3 cm.
Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC².
BC² = 5,6² + 3,3² = 31,36 + 10,89 = 42,25.
BC = √42,25 = 6,5 cm.
Contrôle : l’hypoténuse est plus longue que chaque côté de l’angle droit (6,5 > 5,6) et plus courte que leur somme (6,5 < 5,6 + 3,3 = 8,9).
EFG est rectangle en F, EF = 4 cm et FG = 7 cm. EG² = EF² + FG² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65. La valeur exacte est EG = √65 cm ; la calculatrice affiche 8,062…, donc EG ≈ 8,1 cm au dixième.
Les côtés de l’angle droit mesurent 0,3 m et 40 cm. On convertit : 0,3 m = 30 cm. 30² + 40² = 900 + 1 600 = 2 500, et √2 500 = 50 : l’hypoténuse mesure 50 cm.
Réflexe — pour l’hypoténuse, j’additionne les carrés puis je prends la racine carrée ; je vérifie qu’elle est plus longue que chacun des deux autres côtés.
Attention — l’hypoténuse n’est pas la somme des deux côtés : 5,6 + 3,3 = 8,9, alors que BC = 6,5 cm. On n’arrondit ni les carrés ni la somme : seulement le résultat final.
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Calculer un côté de l’angle droit
Le côté trouvé est toujours plus court que l’hypoténuse.
DEF est rectangle en E, DF = 8,9 cm et DE = 3,9 cm. L’hypoténuse est [DF].
D’après le théorème de Pythagore : DF² = DE² + EF², donc EF² = DF² − DE².
EF² = 8,9² − 3,9² = 79,21 − 15,21 = 64.
EF = √64 = 8 cm.
RST est rectangle en S, l’hypoténuse RT mesure 8 cm et RS = 5 cm. ST² = RT² − RS² = 64 − 25 = 39. Valeur exacte : ST = √39 cm ; valeur approchée : ST ≈ 6,24 cm au centième.
Erreur classique : en additionnant, on trouverait 64 + 25 = 89 et √89 ≈ 9,43 cm, plus long que l’hypoténuse (8 cm) : c’est impossible, il fallait soustraire.
Réflexe — pour un côté de l’angle droit, je soustrais (carré de l’hypoténuse moins carré du côté connu), puis je prends la racine carrée.
Attention — je repère l’hypoténuse avant de calculer : si ABC est rectangle en B et que l’on connaît AB et AC, c’est [AC] l’hypoténuse, et l’on soustrait. Un résultat plus long que l’hypoténuse, ou une différence négative, signale une erreur.
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Réciproque et contraposée : le triangle est-il rectangle ?
Réciproque du théorème de Pythagore : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle ; l’angle droit est au sommet opposé au plus grand côté.
Contraposée du théorème de Pythagore : si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle.
On calcule les deux nombres séparément (« d’une part… d’autre part… ») avant de les comparer.
ABC a pour côtés AB = 5,1 cm, BC = 6,8 cm et AC = 8,5 cm. Le plus grand côté est [AC].
D’une part : AC² = 8,5² = 72,25.
D’autre part : AB² + BC² = 5,1² + 6,8² = 26,01 + 46,24 = 72,25.
AC² = AB² + BC², donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
GHI a pour côtés GH = 7 cm, HI = 9 cm et GI = 11,4 cm. Le plus grand côté est [GI].
D’une part : GI² = 11,4² = 129,96.
D’autre part : GH² + HI² = 7² + 9² = 49 + 81 = 130.
GI² ≠ GH² + HI², donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle GHI n’est pas rectangle.
| Situation | Outil | Conclusion |
|---|---|---|
| triangle rectangle, une longueur inconnue | théorème de Pythagore | une longueur |
| trois longueurs, égalité vérifiée | réciproque | le triangle est rectangle |
| trois longueurs, égalité fausse | contraposée | le triangle n’est pas rectangle |
Réflexe — je repère le plus grand côté ; je calcule son carré d’une part, la somme des carrés des deux autres d’autre part ; égalité : réciproque, le triangle est rectangle ; sinon : contraposée, il ne l’est pas.
Attention — « presque égal » n’est pas « égal » : 129,96 ≠ 130 suffit à prouver que GHI n’est pas rectangle. On n’écrit pas l’égalité AC² = AB² + BC² avant de l’avoir vérifiée, on convertit d’abord les longueurs dans la même unité, et l’on nomme le sommet de l’angle droit : celui qui n’est pas sur le plus grand côté.
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Pythagore dans les figures et les situations
• la diagonale d’un rectangle ou d’un carré forme un triangle rectangle avec deux côtés consécutifs ;
• les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : les demi-diagonales sont les côtés de l’angle droit, le côté du losange est l’hypoténuse ;
• dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est la médiatrice de la base : elle la coupe en son milieu, à angle droit ;
• dans la vie courante : une échelle contre un mur vertical (le mur et le sol horizontal forment un angle droit), la diagonale d’un pavé droit (deux triangles rectangles l’un après l’autre : la diagonale du fond, puis la grande diagonale).
EFGH est un losange de centre O, avec EG = 9,6 cm et FH = 4 cm. Les diagonales se coupent en leur milieu : OE = 4,8 cm et OF = 2 cm. Elles sont perpendiculaires : EOF est rectangle en O.
EF² = OE² + OF² = 4,8² + 2² = 23,04 + 4 = 27,04, donc EF = √27,04 = 5,2 cm.
ABC est isocèle en A, AB = AC = 5,8 cm et BC = 8 cm. La hauteur [AH] coupe la base en son milieu : BH = 4 cm, et ABH est rectangle en H.
AH² = AB² − BH² = 5,8² − 4² = 33,64 − 16 = 17,64, donc AH = √17,64 = 4,2 cm.
Aire de ABC : 8 × 4,2 ÷ 2 = 16,8 cm².
Réflexe — je repère (ou je trace) le triangle rectangle, je nomme son angle droit, puis j’applique la méthode du cas 2 (hypoténuse) ou du cas 3 (côté de l’angle droit).
Attention — dans un losange, on prend les demi-diagonales, pas les diagonales entières ; dans un triangle isocèle, la demi-base. Et l’angle droit doit être justifié par une propriété : une figure qui « a l’air » rectangle ne suffit pas.
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Pour aller plus loin
Liens — valeurs exactes avec √, encadrements et valeurs approchées : voir Racine carrée : définition et carrés parfaits. Dans un triangle rectangle, le cosinus relie un angle aigu à deux côtés : voir Cosinus : dans le triangle rectangle.
Se verra en 3e — le sinus et la tangente d’un angle aigu, qui complètent le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle.
- Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le plus long des trois côtés.
- Théorème de Pythagore : si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
- Hypoténuse : j’additionne les carrés, puis je prends la racine carrée. Côté de l’angle droit : je soustrais, puis je prends la racine carrée. Les longueurs sont dans la même unité, et l’on n’arrondit qu’à la fin.
- Réciproque : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle (angle droit opposé au plus grand côté). Sinon, d’après la contraposée, il n’est pas rectangle.
- Dans une figure, je cherche un triangle rectangle : diagonale d’un rectangle, demi-diagonales d’un losange, hauteur d’un triangle isocèle, échelle contre un mur.
Questions fréquentes
Comment reconnaître l’hypoténuse d’un triangle rectangle ?
C’est le côté opposé à l’angle droit, le plus long des trois. Dans un triangle HAT rectangle en A, c’est [HT] : le seul côté dont le nom ne contient pas la lettre A de l’angle droit.
Comment calculer l’hypoténuse avec le théorème de Pythagore ?
On additionne les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis on prend la racine carrée. Avec 6 cm et 11 cm : 36 + 121 = 157, donc l’hypoténuse vaut √157 cm, soit environ 12,5 cm.
Comment calculer un côté de l’angle droit ?
On soustrait le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée. Avec une hypoténuse de 11 cm et un côté de 4 cm : 121 − 16 = 105, donc le côté vaut √105 cm, soit environ 10,2 cm.
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?
Avec la réciproque du théorème de Pythagore : on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. Pour 3 ; 7,2 ; 7,8 : 7,8² = 60,84 et 9 + 51,84 = 60,84, le triangle est rectangle. Si l’égalité est fausse, la contraposée prouve qu’il ne l’est pas.
Où trouve-t-on des triangles rectangles dans une figure ?
La diagonale d’un rectangle ou d’un carré forme un triangle rectangle avec deux côtés ; les demi-diagonales d’un losange sont perpendiculaires ; la hauteur d’un triangle isocèle coupe la base en son milieu à angle droit ; une échelle contre un mur vertical aussi.
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