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Ces exercices corrigés sur « Le cosinus dans le triangle rectangle » en quatrième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Le triangle rectangle : le vocabulaire, Adjacent ou opposé ? Le bon réflexe, La définition du cosinus, La calculatrice : cos, et les degrés. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en quatrième.
Entraîne-toi par niveau. Chaque exercice teste une partie du cours. Cherche d'abord seul, puis clique sur « Voir le corrigé ». Garde ta calculatrice en mode degré (DEG).
Facile
Ex. 1ABC est un triangle rectangle en B. Nomme :
a) l'hypoténuse
b) le côté adjacent à l'angle A
c) le côté opposé à l'angle A
a) hypoténuse : [AC] (face à l'angle droit B).
b) adjacent à A : [AB] (il touche A et l'angle droit).
c) opposé à A : [BC] (en face de A).
Ex. 2Même triangle ABC rectangle en B. Pour l'angle C cette fois, donne :
a) l'hypoténuse
b) le côté adjacent
c) le côté opposé
a) hypoténuse : [AC] (elle ne change jamais).
b) adjacent à C : [BC].
c) opposé à C : [AB]. « Adjacent » et « opposé » s'échangent quand on change d'angle.
Ex. 3Vrai ou faux :
a) L'hypoténuse est le plus long côté.
b) Le côté adjacent à un angle est celui qui est en face de cet angle.
c) Le cosinus d'un angle aigu est compris entre 0 et 1.
a) VRAI (c'est le côté face à l'angle droit).
b) FAUX : l'adjacent touche l'angle ; c'est l'opposé qui est en face.
c) VRAI.
Ex. 4Complète : dans un triangle rectangle, cos(angle) = ……. (Donne la formule et le moyen mnémotechnique.)
cos(angle) = côté adjacenthypoténuse. Moyen : CAH = Cosinus, Adjacent, Hypoténuse.
Ex. 5Dans un triangle rectangle en B, écris le cosinus de l'angle A en fonction des longueurs des côtés.
cos(A) = ABAC (adjacent à A = AB, hypoténuse = AC).
Ex. 6Donne, à l'aide de la calculatrice (au millième) :
a) cos(0°)
b) cos(60°)
c) cos(45°)
d) cos(90°)
a) cos(0°) = 1.
b) cos(60°) = 0,5.
c) cos(45°) ≈ 0,707.
d) cos(90°) = 0. Plus l'angle grandit de 0° à 90°, plus le cosinus diminue de 1 à 0.
Ex. 7Calcule l'arrondi au degré de :
a) cos⁻¹(0,5)
b) cos⁻¹(1)
c) cos⁻¹(0,866)
a) cos⁻¹(0,5) = 60°.
b) cos⁻¹(1) = 0°.
c) cos⁻¹(0,866) ≈ 30°. La touche cos⁻¹ retrouve l'angle à partir du cosinus.
Ex. 8Dans chaque cas, dis quelle touche utiliser (cos ou cos⁻¹) :
a) on connaît l'angle et l'hypoténuse, on cherche l'adjacent
b) on connaît l'adjacent et l'hypoténuse, on cherche l'angle
a) on cherche une longueur → touche cos.
b) on cherche un angle → touche cos⁻¹.
Ex. 9On a cos(A) = 35. Calcule cos(A) en écriture décimale, puis l'angle A au degré près.
35 = 0,6. A = cos⁻¹(0,6) ≈ 53°.
Ex. 10Triangle rectangle en B, angle A = 50°, hypoténuse AC = 10 cm. Écris la formule donnant AB (sans calculer).
cos(50°) = AB10, donc AB = 10 × cos(50°).
Moyen
Ex. 11Triangle rectangle en B, angle A = 40°, hypoténuse AC = 8 cm. Calcule AB (au mm, soit au dixième de cm).
cos(40°) = AB8 → AB = 8 × cos(40°) ≈ 8 × 0,766 ≈ 6,1 cm.
Ex. 12Triangle rectangle en B, angle A = 35°, côté adjacent AB = 5 cm. Calcule l'hypoténuse AC (au dixième de cm).
cos(35°) = 5AC → l'inconnue est en bas : AC = 5cos(35°) ≈ 50,819 ≈ 6,1 cm.
Ex. 13Triangle rectangle en B avec AB = 4 cm (adjacent à A) et AC = 9 cm (hypoténuse). Calcule l'angle A au degré près.
cos(A) = 49 ≈ 0,444 → A = cos⁻¹(0,444) ≈ 64°.
Ex. 14Triangle DEF rectangle en E. On donne l'angle D = 28° et l'hypoténuse DF = 12 cm. Calcule DE (adjacent à D), au dixième de cm.
cos(28°) = DEDF = DE12 → DE = 12 × cos(28°) ≈ 12 × 0,883 ≈ 10,6 cm.
Ex. 15Triangle rectangle en E, adjacent à D : DE = 6 cm, hypoténuse DF = 6 cm. Que vaut l'angle D ? Explique.
cos(D) = 66 = 1 → D = cos⁻¹(1) = 0°. Cas limite : impossible pour un vrai triangle (les deux côtés seraient confondus) ; cela confirme juste que cos = 1 correspond à 0°.
Ex. 16Triangle rectangle en B, angle A = 60°, adjacent AB = 7 cm. Calcule l'hypoténuse AC.
cos(60°) = 7AC → AC = 7cos(60°) = 70,5 = 14 cm.
Ex. 17Triangle rectangle en B avec AB = 5,2 cm (adjacent à A) et AC = 6,5 cm (hypoténuse). Calcule l'angle A au degré près, puis l'angle C.
cos(A) = 5,26,5 = 0,8 → A = cos⁻¹(0,8) ≈ 37°.
Angle C : les angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires → C = 90° − 37° = 53°.
Ex. 18Lis les données sur ce triangle rectangle en B, puis calcule AB (au dixième de cm).
AB est l'adjacent à A, AC l'hypoténuse : cos(25°) = AB9 → AB = 9 × cos(25°) ≈ 9 × 0,906 ≈ 8,2 cm.
Ex. 19Range ces cosinus du plus petit au plus grand, sans calculatrice : cos(20°), cos(70°), cos(45°).
Entre 0° et 90°, plus l'angle est grand, plus le cosinus est petit. Donc : cos(70°) < cos(45°) < cos(20°).
Ex. 20Un élève écrit : « cos(A) = 108 ». Pourquoi est-ce forcément une erreur ?
108 = 1,25 > 1. Or le cosinus d'un angle aigu est toujours entre 0 et 1. Il a probablement mis l'hypoténuse au numérateur : l'hypoténuse (le plus long côté) doit être au dénominateur.
Difficile
Ex. 21Triangle rectangle en B, angle A = 32°, hypoténuse AC = 15 cm. Calcule AB au mm, puis l'angle C.
AB = 15 × cos(32°) ≈ 15 × 0,848 ≈ 12,7 cm.
C = 90° − 32° = 58°.
Ex. 22Triangle rectangle en B. On donne l'angle A = 48° et l'adjacent AB = 9 cm. Calcule l'hypoténuse AC, puis vérifie en recalculant cos(A) avec tes deux longueurs.
AC = 9cos(48°) ≈ 90,669 ≈ 13,5 cm.
Vérif : 913,5 ≈ 0,667 ≈ cos(48°). ✓
Ex. 23Dans un triangle rectangle en B, on sait que AB = 7 cm et BC = 4 cm (les deux côtés de l'angle droit). On veut l'angle A. Peut-on l'obtenir directement avec le cosinus ? Que manque-t-il ?
Pour cos(A) il faut l'adjacent (AB = 7) et l'hypoténuse (AC). Or AC n'est pas donnée. On ne peut donc pas l'avoir directement par le cosinus tant qu'on n'a pas calculé AC (par exemple avec le théorème de Pythagore : AC = √(7² + 4²) = √65 ≈ 8,06 cm). Ensuite cos(A) = 78,06 ≈ 0,868 → A ≈ 30°.
Ex. 24Triangle rectangle en B. On donne cos(A) = 0,28. Sans trouver l'angle, dis si A est plus proche de 0° ou de 90°. Puis donne A au degré près.
cos(A) = 0,28 est proche de 0 → l'angle est proche de 90°. Précisément A = cos⁻¹(0,28) ≈ 74°.
Ex. 25Triangle rectangle en B, angle A = 41°, AC = 20 cm. Calcule AB, puis calcule BC sachant que BC = √(AC² − AB²). (Arrondis au dixième de cm.)
AB = 20 × cos(41°) ≈ 20 × 0,755 ≈ 15,1 cm.
BC = √(20² − 15,1²) = √(400 − 228,01) = √171,99 ≈ 13,1 cm.
Ex. 26Deux triangles rectangles ont le même angle aigu de 38°. Le premier a une hypoténuse de 10 cm, le second de 25 cm. Compare les rapports adjacenthypoténuse des deux triangles. Que remarques-tu ?
Dans les deux, adjacenthypoténuse = cos(38°) ≈ 0,788. Les rapports sont égaux : le cosinus ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle.
Ex. 27Triangle rectangle en B. On mesure l'angle A = 55° et le côté opposé BC = 6 cm. On cherche l'adjacent AB. Le cosinus suffit-il ? Sinon, propose une autre piste.
Le cosinus relie adjacent et hypoténuse ; ici on a l'opposé, pas l'hypoténuse. Le cosinus seul ne suffit pas. On peut d'abord trouver l'hypoténuse autrement (le sinus, vu plus tard, donne AC = 6sin(55°) ≈ 7,3 cm) puis AB = AC × cos(55°) ≈ 4,2 cm. En 4e on retient surtout que le cosinus a besoin de l'adjacent et de l'hypoténuse.
Ex. 28Un triangle rectangle en B vérifie cos(A) = ABAC avec AB = AC × 0,6 et AC = 15 cm. Trouve AB, puis l'angle A et l'angle C.
AB = 15 × 0,6 = 9 cm. cos(A) = 0,6 → A = cos⁻¹(0,6) ≈ 53°. C = 90° − 53° = 37°.