Cosinus : dans le triangle rectangle

Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$. Nomme le côté demandé (par exemple « DE »).

1. L’hypoténuse :
   Le côté opposé à l’angle droit (en $E$) : $[DF]$, le seul dont le nom ne contient pas la lettre $E$.
2. Le côté adjacent à l’angle $EDF$ :
   Le côté de l’angle droit qui passe par le sommet $D$ : $[DE]$.
3. Le côté opposé à l’angle $EDF$ :
   Le côté de l’angle droit qui ne passe pas par $D$ : $[EF]$.
4. Le côté adjacent à l’angle $EFD$ :
   Vu depuis $F$, c’est $[EF]$ qui passe par le sommet de l’angle : les rôles s’échangent.

Sur la figure, le triangle $MNP$ a un angle droit codé et $PMN=31°$.

1. L’hypoténuse :
   L’angle droit est codé en $P$ : l’hypoténuse est le côté opposé, $[MN]$.
2. Le côté opposé à l’angle $PMN$ :
   Le côté de l’angle droit qui ne passe pas par $M$ : $[NP]$.
3. La mesure de l’angle $PNM$ : °
   Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $90-31=59°$.
4. $[MP]$ est le côté adjacent à l’angle aigu de sommet
   $[MP]$ est un côté de l’angle droit qui passe par $M$ : il est adjacent à l’angle de sommet $M$ (et opposé à l’angle de sommet $N$).

Raisonne sans figure (tu peux en tracer une à main levée).

1. $STU$ est rectangle en $T$. Le côté $[TU]$ est le côté adjacent à l’angle aigu de sommet
   $[TU]$ est un côté de l’angle droit ; il passe par $T$ (angle droit) et par $U$ : il est adjacent à l’angle de sommet $U$.
2. Dans ce triangle $STU$, le côté $[TU]$ est le côté opposé à l’angle aigu de sommet
   $[TU]$ ne passe pas par $S$ : il est en face de l’angle de sommet $S$.
3. $XYZ$ est rectangle en $Z$ et $ZXY=47,5°$ : $XYZ=$ °
   Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $90-47,5=42,5°$.
4. Le triangle $ABC$ est rectangle et son hypoténuse est $[AC]$. L’angle droit est au sommet
   L’hypoténuse est en face de l’angle droit : c’est le sommet qui n’est pas sur $[AC]$, $B$.

Complète avec les noms des côtés (par exemple « IJ »), dans l’ordre : côté adjacent, puis hypoténuse.

1. $IJK$ est rectangle en $J$ : $\cos (JIK)=$ ÷
   Adjacent à $JIK$ : $[IJ]$ ; hypoténuse : $[IK]$. $\cos (JIK)={\displaystyle \frac{IJ}{IK}}$.
2. $IJK$ est rectangle en $J$ : $\cos (JKI)=$ ÷
   Adjacent à $JKI$ : $[JK]$ ; l’hypoténuse ne change pas. $\cos (JKI)={\displaystyle \frac{JK}{IK}}$.
3. $RST$ est rectangle en $T$ : $\cos (TRS)=$ ÷
   L’angle droit est en $T$ : l’hypoténuse est $[RS]$ ; adjacent à $TRS$ : $[RT]$.
4. $RST$ est rectangle en $T$ : $\cos (RST)=$ ÷
   Adjacent à $RST$ : $[ST]$ ; hypoténuse : $[RS]$.

Calcule le cosinus de l’angle (nombre décimal exact).

1. Côté adjacent $5,6$ cm, hypoténuse $8$ cm : $\cos =$
   ${\displaystyle \frac{5,6}{8}}=0,7$.
2. Côté adjacent $2,7$ cm, hypoténuse $4,5$ cm : $\cos =$
   ${\displaystyle \frac{2,7}{4,5}}=0,6$.
3. Côté adjacent $10,2$ cm, hypoténuse $12$ cm : $\cos =$
   ${\displaystyle \frac{10,2}{12}}=0,85$.
4. Côté adjacent $36$ mm, hypoténuse $4$ cm : $\cos =$
   Même unité d’abord : $36$ mm $=3,6$ cm, et ${\displaystyle \frac{3,6}{4}}=0,9$.

Avec le théorème de Pythagore ou un agrandissement.

1. $ABC$ est rectangle en $A$, $AB=1,6$ cm et $AC=6,3$ cm. $BC=$ cm
   D’après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=1,6^2+6,3^2=2,56+39,69=42,25$, donc $BC=6,5$ cm.
2. Dans ce triangle $ABC$, $\cos (ABC)\approx$ (au centième)
   Adjacent à $ABC$ : $[AB]$. $\cos (ABC)={\displaystyle \frac{1,6}{6,5}}\approx 0,25$.
3. Un triangle rectangle a un angle aigu dont le côté adjacent mesure $2,6$ cm et l’hypoténuse $4$ cm. Le cosinus de cet angle vaut
   ${\displaystyle \frac{2,6}{4}}=0,65$.
4. On agrandit ce triangle : la nouvelle hypoténuse mesure $6$ cm. Le côté adjacent au même angle mesure alors cm
   Le cosinus ne dépend que de l’angle : il vaut encore $0,65$. Adjacent $=6\times 0,65=3,9$ cm (les longueurs sont multipliées par $1,5$ : $2,6\times 1,5=3,9$).

Calcule le côté adjacent, arrondi au dixième de cm. On donne $\cos (18°)\approx 0,951$, $\cos (36°)\approx 0,809$, $\cos (48°)\approx 0,669$ et $\cos (63°)\approx 0,454$.

1. Angle $36°$, hypoténuse $12$ cm : côté adjacent $\approx$ cm
   $12\times 0,809=9,708$, donc environ $9,7$ cm.
2. Angle $63°$, hypoténuse $8,5$ cm : côté adjacent $\approx$ cm
   $8,5\times 0,454=3,859$, donc environ $3,9$ cm.
3. Angle $18°$, hypoténuse $6$ cm : côté adjacent $\approx$ cm
   $6\times 0,951=5,706$, donc environ $5,7$ cm.
4. Angle $48°$, hypoténuse $20$ cm : côté adjacent $\approx$ cm
   $20\times 0,669=13,38$, donc environ $13,4$ cm.

Calcule l’hypoténuse, arrondie au dixième de cm (mêmes valeurs des cosinus que l’exercice précédent).

1. Angle $36°$, côté adjacent $8$ cm : hypoténuse $\approx$ cm
   ${\displaystyle \frac{8}{0,809}}\approx 9,9$ cm : on divise, le résultat est plus long que $8$ cm.
2. Angle $63°$, côté adjacent $3$ cm : hypoténuse $\approx$ cm
   ${\displaystyle \frac{3}{0,454}}\approx 6,6$ cm.
3. Angle $18°$, côté adjacent $7,6$ cm : hypoténuse $\approx$ cm
   ${\displaystyle \frac{7,6}{0,951}}\approx 8,0$ cm.
4. Angle $48°$, côté adjacent $5$ cm : hypoténuse $\approx$ cm
   ${\displaystyle \frac{5}{0,669}}\approx 7,5$ cm.

À la calculatrice, en mode degrés. Repère d’abord si la longueur cherchée est le côté adjacent ou l’hypoténuse.

1. $KLM$ est rectangle en $L$, $LKM=23°$ et $KM=9,6$ cm : $KL\approx$ cm (au centième)
   $[KL]$ est adjacent à $LKM$ et $[KM]$ est l’hypoténuse : $KL=9,6\times \cos (23°)\approx 8,84$ cm.
2. $RST$ est rectangle en $S$, $SRT=64°$ et $RS=3,5$ cm : $RT\approx$ cm (au centième)
   $[RS]$ est adjacent à $SRT$, $[RT]$ est l’hypoténuse : $RT={\displaystyle \frac{3,5}{\cos (64°)}}\approx 7,98$ cm.
3. Un triangle rectangle a une hypoténuse de $1,8$ m et un angle aigu de $15°$. Le côté adjacent à cet angle mesure environ cm (au millimètre)
   $1,8$ m $=180$ cm. Adjacent $=180\times \cos (15°)\approx 173,9$ cm.

Calcule la mesure de l’angle avec la touche ${\cos }^{-1}$, arrondie au degré.

1. Côté adjacent $2,2$ cm, hypoténuse $4$ cm : angle $\approx$ °
   ${\displaystyle \frac{2,2}{4}}=0,55$ et ${\cos }^{-1}(0,55)\approx 56,6°$, donc environ $57°$.
2. Côté adjacent $2,1$ cm, hypoténuse $8,4$ cm : angle $\approx$ °
   ${\displaystyle \frac{2,1}{8,4}}=0,25$ et ${\cos }^{-1}(0,25)\approx 75,5°$.
3. Côté adjacent $4,9$ cm, hypoténuse $5,6$ cm : angle $\approx$ °
   ${\displaystyle \frac{4,9}{5,6}}=0,875$ et ${\cos }^{-1}(0,875)\approx 29,0°$.
4. Côté adjacent $1,5$ cm, hypoténuse $12$ cm : angle $\approx$ °
   ${\displaystyle \frac{1,5}{12}}=0,125$ et ${\cos }^{-1}(0,125)\approx 82,8°$ : un petit cosinus, un angle proche de $90°$.

Calcule les angles, arrondis au dixième de degré.

1. $UVW$ est rectangle en $U$, $UV=6,5$ cm et $VW=8,4$ cm : $UVW\approx$ °
   $\cos (UVW)={\displaystyle \frac{UV}{VW}}={\displaystyle \frac{6,5}{8,4}}$, donc $UVW={\cos }^{-1}(6,5÷8,4)\approx 39,3°$.
2. Dans ce triangle $UVW$ : $UWV\approx$ °
   Les deux angles aigus ont pour somme $90°$ : $90°-39,3°=50,7°$.
3. $XYZ$ est rectangle en $Z$, $XZ=4,4$ cm et $XY=9$ cm : $ZXY\approx$ °
   Adjacent à $ZXY$ : $[XZ]$ ; hypoténuse : $[XY]$. $ZXY={\cos }^{-1}(4,4÷9)\approx 60,7°$.

Attention aux arrondis : réponds au dixième de degré.

1. Un angle aigu $BAC$ a pour cosinus ${\displaystyle \frac{7}{9}}$ : $BAC\approx$ °
   On tape ${\cos }^{-1}(7÷9)$ : $BAC\approx 38,9°$.
2. Un élève arrondit d’abord ${\displaystyle \frac{7}{9}}$ à $0,78$, puis tape ${\cos }^{-1}(0,78)$. Il obtient °
   ${\cos }^{-1}(0,78)\approx 38,7°$ : l’arrondi trop tôt change le dixième ($38,7°$ au lieu de $38,9°$).
3. Dans le triangle rectangle où se trouve $BAC$, l’autre angle aigu mesure environ °
   $90°-38,9°=51,1°$ (on part de la bonne valeur de l’angle).

$PQR$ est rectangle en $P$ et $PQR=35°$.

1. $[PR]$ est le côté adjacent à l’angle aigu de sommet
   $[PR]$ est opposé à l’angle de sommet $Q$, mais il passe par $R$ : il est adjacent à l’angle de sommet $R$.
2. $PRQ=$ °
   $90-35=55°$.
3. Connaissant $QR$, le cosinus de $PQR$ permet de calculer la longueur
   $\cos (PQR)={\displaystyle \frac{PQ}{QR}}$ : avec l’hypoténuse $QR$, on calcule le côté adjacent $PQ$.
4. Connaissant $PQ$ et $PR$, pour calculer $QR$, on utilise le théorème de
   Deux longueurs pour la troisième : le théorème de Pythagore ($Q{R}^2=P{Q}^2+P{R}^2$).

$EFG$ est rectangle en $E$, $EF=2,8$ cm et $FG=5,3$ cm.

1. $EG=$ cm
   D’après le théorème de Pythagore : $E{G}^2=5,3^2-2,8^2=28,09-7,84=20,25$, donc $EG=4,5$ cm.
2. $EFG\approx$ ° (au dixième)
   $\cos (EFG)={\displaystyle \frac{EF}{FG}}={\displaystyle \frac{2,8}{5,3}}$, donc $EFG\approx 58,1°$.
3. $EGF\approx$ ° (au dixième)
   $90°-58,1°=31,9°$ ; on peut aussi calculer ${\cos }^{-1}(4,5÷5,3)\approx 31,9°$.

$MNP$ est rectangle en $M$, $MNP=58°$ et $MP=5$ cm.

1. $MPN=$ °
   $90-58=32°$.
2. $NP\approx$ cm (au centième)
   $[MP]$ est opposé à $MNP$ mais adjacent à $MPN$ : $\cos (32°)={\displaystyle \frac{5}{NP}}$, donc $NP={\displaystyle \frac{5}{\cos (32°)}}\approx 5,90$ cm.
3. $MN\approx$ cm (au centième)
   $[MN]$ est adjacent à $MNP$ : $MN=NP\times \cos (58°)$. Avec la valeur exacte de $NP$, $MN\approx 3,12$ cm.