Théorème de Pythagore : calculer, réciproque

Reprendre les acquis de 5e (triangle rectangle, hypoténuse, carré d’un nombre, inégalité triangulaire) ; énoncer le théorème de Pythagore et le justifier par les aires ; calculer l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit (valeur exacte, valeur approchée, unités) ; démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas avec la réciproque et la contraposée ; utiliser le théorème dans un rectangle, un losange, un triangle isocèle, un pavé droit et des situations concrètes, en rédigeant.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où le théorème de Pythagore sert dans la vie courante : la taille d’un écran en pouces, une échelle contre un mur, un raccourci en diagonale dans un terrain, une corde à nœuds pour tracer un angle droit, la façade d’un chalet à peindre et une baguette à ranger dans une boîte.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais un schéma et je code les angles droits que donne l’énoncé (mur vertical et sol horizontal, rectangle, losange, hauteur).
Je repère le triangle rectangle utile et son hypoténuse ; je convertis toutes les longueurs dans la même unité.
Je choisis l’outil : le théorème pour une longueur (additionner ou soustraire les carrés), la réciproque ou la contraposée pour savoir si un angle est droit.
Je rédige (triangle, théorème, égalité, calcul), je n’arrondis qu’à la fin, puis je réponds par une phrase avec l’unité.

Problème 1 · La taille d’un écran★★★Facile

Un téléviseur a un écran de

110, 7

cm de large et

62, 3

cm de haut. La « taille » d’un écran est la longueur de sa diagonale, donnée en pouces (

1

pouce

= 2, 54

cm).

1. Longueur de la diagonale, arrondie au cm : cm
Largeur, hauteur et diagonale forment un triangle rectangle : $110, 7^{2} + 62, 3^{2} = 12 254, 49 + 3 881, 29 = 16 135, 78$ ; $\sqrt{16 135, 78} \approx 127, 03$ , soit $127$ cm.
2. Taille de l’écran en pouces :
$127 \div 2, 54 = 50$ : c’est un écran de $50$ pouces.
3. Un écran de $40$ pouces a une largeur de $88, 6$ cm. Sa hauteur, arrondie au dixième de cm : cm
Diagonale : $40 \times 2, 54 = 101, 6$ cm. C’est l’hypoténuse : $101, 6^{2} - 88, 6^{2} = 10 322, 56 - 7 849, 96 = 2 472, 6$ ; $\sqrt{2 472, 6} \approx 49, 73$ , soit $49, 7$ cm.
4. Un écran de $43$ pouces a la même forme que celui de $50$ pouces (toutes ses longueurs sont proportionnelles). Sa largeur, au dixième de cm : cm
Les longueurs sont multipliées par $\frac{43}{50}$ : $110, 7 \times 43 \div 50 = 95, 202$ , soit $95, 2$ cm.

Problème 2 · L’échelle contre le mur★★★Facile

Une échelle de

3, 2

m est appuyée contre un mur vertical ; son pied est posé sur le sol horizontal. Le mur et le sol forment un angle droit, l’échelle est l’hypoténuse.

1. Le pied est à $1, 2$ m du mur. Hauteur atteinte sur le mur, au centième de m : m
$3, 2^{2} - 1, 2^{2} = 10, 24 - 1, 44 = 8, 8$ ; $\sqrt{8, 8} \approx 2, 966$ , soit $2, 97$ m.
2. On rapproche le pied à $0, 8$ m du mur. Nouvelle hauteur, au centième de m : m
$10, 24 - 0, 64 = 9, 6$ ; $\sqrt{9, 6} \approx 3, 098$ , soit $3, 10$ m.
3. Pour que le haut de l’échelle soit à $2, 4$ m exactement, à quelle distance du mur faut-il poser le pied (au centième de m) ? m
Le côté cherché est un côté de l’angle droit : $10, 24 - 2, 4^{2} = 10, 24 - 5, 76 = 4, 48$ ; $\sqrt{4, 48} \approx 2, 117$ , soit $2, 12$ m.
4. Le pied, d’abord à $1, 2$ m du mur, glisse jusqu’à $1, 6$ m. De combien de centimètres le haut de l’échelle descend-il (au cm près) ? cm
Nouvelle hauteur : $10, 24 - 1, 6^{2} = 10, 24 - 2, 56 = 7, 68$ ; $\sqrt{7, 68} \approx 2, 771$ m. Avant : $\sqrt{8, 8} \approx 2, 966$ m. Le haut descend de $2, 966 - 2, 771 \approx 0, 195$ m, soit environ $20$ cm.

Problème 3 · Le raccourci en diagonale★★★Moyen

Un terrain rectangulaire

A B C D

mesure

A B = 84

m et

B C = 35

m. Un promeneur va de

A

C

1. Longueur du trajet en diagonale $A C$ : m
$A B C$ est rectangle en $B$ : $A C^{2} = 84^{2} + 35^{2} = 7 056 + 1 225 = 8 281$ ; $\sqrt{8 281} = 91$ m.
2. Distance économisée par rapport au trajet $A \to B \to C$ : m
$84 + 35 = 119$ m ; $119 - 91 = 28$ m de moins.
3. À $5$ km/h, durée du trajet en diagonale, arrondie à la seconde : s
$5$ km/h, c’est $5 000$ m en $3 600$ s. Durée : $91 \times 3 600 \div 5 000 = 65, 52$ s, soit environ $66$ s.
4. Un second terrain rectangulaire a une diagonale de $65$ m et une largeur de $25$ m. Sa longueur : m
La diagonale est l’hypoténuse : $65^{2} - 25^{2} = 4 225 - 625 = 3 600$ ; $\sqrt{3 600} = 60$ m.
5. Aire de ce second terrain : m²
$60 \times 25 = 1 500$ m².

Problème 4 · La corde à nœuds★★★Moyen

Un jardinier trace des angles droits avec une corde fermée sur laquelle des nœuds marquent

12

intervalles égaux de

0, 5

m. Il tend la corde pour former un triangle

A B C

dont les sommets sont des nœuds :

[A B]

compte

3

intervalles,

[B C]

en compte

4

[A C]

en compte

5

1. Longueur $A B$ : m
$3 \times 0, 5 = 1, 5$ m (de même $B C = 2$ m et $A C = 2, 5$ m).
2. Le triangle $A B C$ est-il rectangle ? Écris le sommet de l’angle droit, ou « non » :
Plus grand côté $[A C]$ : d’une part $A C^{2} = 2, 5^{2} = 6, 25$ ; d’autre part $A B^{2} + B C^{2} = 2, 25 + 4 = 6, 25$ . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, $A B C$ est rectangle en $B$ .
3. Avec la même corde, il forme un triangle $D E F$ : $[D E]$ compte $2$ intervalles, $[E F]$ et $[D F]$ en comptent $5$ chacun. Sommet de l’angle droit, ou « non » :
En m : $D E = 1$ , $E F = D F = 2, 5$ . Plus grand côté : $2, 5$ m, donc $2, 5^{2} = 6, 25$ ; somme des deux autres carrés : $1^{2} + 2, 5^{2} = 1 + 6, 25 = 7, 25$ . $6, 25 \neq 7, 25$ : d’après la contraposée, $D E F$ n’est pas rectangle.
4. Avec une autre corde, de $70$ intervalles, il forme un triangle $G H I$ : $[G H]$ compte $20$ intervalles, $[H I]$ en compte $21$ et $[G I]$ en compte $29$ . Sommet de l’angle droit, ou « non » :
On peut calculer en intervalles (une même unité) : $29^{2} = 841$ et $20^{2} + 21^{2} = 400 + 441 = 841$ . Égalité : $G H I$ est rectangle en $H$ , le sommet opposé à $[G I]$ .

Problème 5 · La façade du chalet★★★Moyen

La façade d’un chalet est formée d’un rectangle de

12

m de large et

3

m de haut, surmonté d’un triangle

A B C

isocèle en

A

B C = 12

m et les deux pentes du toit mesurent

A B = A C = 6, 8

H

est le pied de la hauteur issue de

A

1. Longueur $B H$ : m
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal coupe la base en son milieu : $B H = 12 \div 2 = 6$ m.
2. Hauteur $A H$ du toit : m
$A B H$ est rectangle en $H$ : $A H^{2} = 6, 8^{2} - 6^{2} = 46, 24 - 36 = 10, 24$ ; $A H = \sqrt{10, 24} = 3, 2$ m.
3. Aire totale de la façade : m²
Rectangle : $12 \times 3 = 36$ m². Triangle : $12 \times 3, 2 \div 2 = 19, 2$ m². Total : $36 + 19, 2 = 55, 2$ m².
4. Un litre de peinture couvre $6$ m². Combien de litres entiers faut-il acheter au minimum pour une couche ?
$55, 2 \div 6 = 9, 2$ : $9$ litres ne suffisent pas, il en faut $10$ .

Problème 6 · La baguette dans la boîte★★★Difficile

Une boîte a la forme d’un pavé droit : son fond mesure

30

cm sur

40

cm et sa hauteur

120

cm. On veut y ranger une baguette rigide sans la plier.

1. Longueur de la diagonale du fond : cm
$30^{2} + 40^{2} = 900 + 1 600 = 2 500$ ; $\sqrt{2 500} = 50$ cm.
2. Longueur de la plus grande diagonale de la boîte : cm
La diagonale du fond ( $50$ cm) et une arête verticale ( $120$ cm) forment un angle droit : $50^{2} + 120^{2} = 2 500 + 14 400 = 16 900$ ; $\sqrt{16 900} = 130$ cm.
3. On essaie des baguettes de $1, 20$ m, $1, 28$ m, $1, 32$ m et $1, 40$ m. Combien d’entre elles entrent dans la boîte ?
La plus grande longueur disponible est la grande diagonale, $130$ cm $= 1, 30$ m. Seules $1, 20$ m et $1, 28$ m entrent : $2$ baguettes. Erreur à éviter : comparer à la hauteur ( $120$ cm).
4. Avec le même fond, quelle hauteur minimale faudrait-il pour ranger une baguette de $1, 35$ m ? Réponds au dixième de cm : cm
Il faut une grande diagonale d’au moins $135$ cm. Avec une hauteur $h$ : $50^{2} + h^{2} = 135^{2}$ , donc $h^{2} = 18 225 - 2 500 = 15 725$ et $h = \sqrt{15 725} \approx 125, 4$ cm.

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