Théorème de Thalès : triangles emboîtés

Ce chapitre s’appuie sur deux acquis : la proportionnalité (5ᵉ, puis le produit en croix de 4ᵉ) et les droites parallèles (5ᵉ). Le théorème de Thalès relie les deux : dans des triangles emboîtés, les longueurs des côtés sont proportionnelles.

Réflexe — je repère le sommet commun, puis j’écris en haut les côtés du petit triangle et en bas les côtés correspondants du grand, chaque côté commençant par le sommet commun ; le côté parallèle va avec le côté parallèle.

Attention — les points doivent être alignés dans l’ordre $A$, $M$, $B$ d’une part et $A$, $N$, $C$ d’autre part, et les droites $(MN)$ et $(BC)$ doivent être parallèles : sans parallèles, pas de théorème de Thalès. Les longueurs $MB$ et $NC$ ne sont les côtés d’aucun des deux triangles : elles n’apparaissent jamais dans les rapports. On ne mélange pas non plus : petit triangle en haut, grand en bas, dans les trois rapports.

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Réflexe — une longueur du petit triangle est plus petite que la longueur correspondante du grand : je contrôle mon résultat (ici $3<7,5$, $3,6<9$ et $7,5>3$).

Attention — on écrit toujours l’égalité complète des trois rapports (c’est l’énoncé du théorème), même si l’on n’en utilise que deux. Dans le produit en croix, on multiplie les deux nombres placés en diagonale, puis on divise par le troisième : une erreur de sens donnerait un côté du petit triangle plus long que celui du grand.

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Le cas des milieux

Si $M$ est le milieu de $[AB]$ et si $(MN)\parallel (BC)$, alors $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $N$ est le milieu de $[AC]$ et $MN={\displaystyle \frac{BC}{2}}$. Par exemple, avec $BC=11$ cm, la longueur $MN$ vaut $5,5$ cm.

Réflexe — je calcule le rapport $k$ avec les deux longueurs connues portées par une même droite ; je multiplie par $k$ pour aller du grand triangle au petit, je divise par $k$ pour aller du petit au grand.

Attention — ${\displaystyle \frac{AM}{MB}}$ n’est pas le rapport de Thalès : avec $AM=4,5$ et $MB=1,5$, il vaut 3, alors que $k=0,75$. Et le petit triangle n’est pas toujours celui qui s’appelle $AMN$ : si c’est $B$ qui est sur le segment $[AM]$ (et $C$ sur $[AN]$), c’est $ABC$ qui est emboîté dans $AMN$, et le rapport ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ est plus grand que 1.

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Réflexe — pour savoir si deux droites sont parallèles, je n’utilise que les longueurs portées par les droites $(AB)$ et $(AC)$ : je compare ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}$ et ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, en valeurs exactes.

Attention — le rapport ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}$ ne sert pas : on ne sait pas encore que les droites sont parallèles. Des rapports proches ne sont pas égaux ($0,625\ne 0,6$ suffit à conclure), et l’on n’arrondit jamais avant de comparer.

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D’après des auteurs de l’Antiquité (Diogène Laërce, Pline l’Ancien), Thalès de Milet, savant grec du VIᵉ siècle avant J.-C., aurait mesuré la hauteur d’une pyramide d’Égypte grâce à son ombre. Le théorème qui porte son nom en France figure dans les Éléments d’Euclide, environ trois siècles plus tard.

Réflexe — je fais un schéma, j’y place les lettres, et je cherche les deux parallèles avant tout calcul : ce sont elles qui autorisent le théorème.

Attention — les longueurs doivent être dans la même unité (je convertis les centimètres en mètres), et le résultat doit être plausible : un arbre de 8 m, pas de 0,8 m.

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