Que dit le théorème de Thalès en 4e ?

Dans un triangle $ABC$, si $M$ est un point de $[AB]$, $N$ un point de $[AC]$ et si $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, alors $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$. Les longueurs du petit triangle $AMN$ sont proportionnelles à celles du grand triangle $ABC$.

Qu'appelle-t-on triangles emboîtés ?

Ce sont deux triangles qui ont un sommet commun et deux côtés portés par les mêmes droites, le troisième côté du petit étant parallèle au troisième côté du grand : le petit triangle $AMN$ est « emboîté » dans le grand triangle $ABC$. La configuration « papillon » sera vue en 3e.

Comment calculer une longueur avec le théorème de Thalès ?

On écrit l'égalité des rapports, on remplace les longueurs connues, puis on isole la longueur cherchée avec un produit en croix : si $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ avec $AM = 5$, $AB = 8$ et $AC = 6{,}4$, alors $AN = \dfrac{5 \times 6{,}4}{8} = 4$.

Quelle est l'erreur la plus fréquente avec Thalès ?

Utiliser $MB$ ou $NC$ dans les rapports. Les rapports comparent un côté du petit triangle au côté correspondant du grand triangle : $AM$ avec $AB$, jamais $AM$ avec $MB$. Si l'énoncé donne $MB$, on calcule d'abord $AB = AM + MB$.

Collège · 4ᵉ · Mathématiques

Le théorème de Thalès (triangles emboîtés)

Configuration des triangles emboîtés, énoncé du théorème, calcul d'une longueur par égalité de rapports, rédaction, réciproque et applications (ombre, hauteur inaccessible) (programme de 4e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Le théorème de Thalès (triangles emboîtés) » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : La configuration des triangles emboîtés, L'énoncé du théorème de Thalès, Calculer une longueur, La rédaction attendue. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.

La configuration des triangles emboîtés

Le théorème de Thalès s'applique à une figure bien précise, qu'il faut savoir reconnaître avant tout calcul.

Configuration. Dans un triangle

A B C

:
•

M

est un point du côté

[A B]

;
•

N

est un point du côté

[A C]

;
• les droites

(M N)

(B C)

sont parallèles.
Le petit triangle

A M N

est alors emboîté dans le grand triangle

A B C

: ils ont le même sommet

A

et le même angle en

A

Petit triangle $A M N$	$[A M]$	$[A N]$	$[M N]$
Grand triangle $A B C$	$[A B]$	$[A C]$	$[B C]$
Position	sur la droite $(A B)$	sur la droite $(A C)$	côtés parallèles

Attention ! Les points doivent être alignés dans le bon ordre :

A

M

B

d'une part,

A

N

C

d'autre part, avec

A

à l'extrémité. Et sans parallélisme, il n'y a pas de théorème de Thalès.

Astuce. Le petit triangle est une réduction du grand :

A M N

est

A B C

« vu de plus loin ». Chaque côté du petit correspond au côté du grand qui lui est superposé ou parallèle.

L'énoncé du théorème de Thalès

Théorème de Thalès. Soit

A B C

un triangle,

M

un point de

[A B]

N

un point de

[A C]

. Si

(M N)

est parallèle à

(B C)

, alors

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

Ce que signifie l'égalité. Les trois rapports valent le même nombre

k

, appelé rapport de réduction : chaque côté du petit triangle est égal au côté correspondant du grand triangle multiplié par

k

. Si

A M = 5

cm et

A B = 8

cm, alors

k = \frac{5}{8} = 0, 625

A N = 0, 625 \times A C

M N = 0, 625 \times B C

Côté du petit	$A M = 5$	$A N = 4$	$M N = 4, 375$
Côté du grand	$A B = 8$	$A C = 6, 4$	$B C = 7$
Rapport	$0, 625$	$0, 625$	$0, 625$

Astuce. Écris toujours les longueurs du petit triangle en haut et celles du grand en bas (ou l'inverse), mais jamais un mélange : le tableau ci-dessus est un tableau de proportionnalité.

Calculer une longueur

Méthode. ① Vérifier la configuration (points alignés, parallèles). ② Écrire l'égalité des trois rapports. ③ Remplacer par les valeurs connues. ④ Garder les deux rapports utiles et isoler la longueur cherchée par un produit en croix.

Exemple.

A B C

avec

M \in [A B]

N \in [A C]

(M N) ∥ (B C)

A M = 4

cm,

A B = 10

cm,

A C = 7, 5

cm,

B C = 9

cm.

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

donc

\frac{4}{10} = \frac{A N}{7, 5} = \frac{M N}{9}

A N = \frac{4 \times 7, 5}{10} = 3

cm et

M N = \frac{4 \times 9}{10} = 3, 6

cm.

Chercher un côté du grand triangle. Si

A M = 3

M N = 2, 4

B C = 6

\frac{3}{A B} = \frac{2, 4}{6}

donc

A B = \frac{3 \times 6}{2, 4} = 7, 5

cm.

Le piège des données. Si l'énoncé donne

M B

au lieu de

A B

, il faut d'abord calculer

A B = A M + M B

. Les rapports ne contiennent jamais

M B

N C

La rédaction attendue

Rédaction type (à recopier).
« Dans le triangle

A B C

M \in [A B]

N \in [A C]

.
Les droites

(M N)

(B C)

sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}

,
soit

\frac{4}{10} = \frac{A N}{7, 5} = \frac{M N}{9}

.
Donc

A N = \frac{4 \times 7, 5}{10} = 3

cm. »

Attention ! On ne calcule que le rapport utile, mais on écrit l'égalité complète des trois rapports : c'est l'énoncé du théorème. Et une longueur se termine toujours par son unité.

Applications : ombre, hauteur inaccessible, réduction

Le théorème de Thalès sert à mesurer ce qu'on ne peut pas atteindre : la hauteur d'un arbre, d'un immeuble, la largeur d'un plan d'eau.

La méthode de l'ombre. Le soleil envoie des rayons parallèles. On plante un piquet vertical

[M N]

1, 2

m de façon que le bout de son ombre coïncide avec le bout

S

de l'ombre de l'arbre

[B C]

. On mesure

S M = 1, 5

m et

S B = 10

m.
Dans le triangle

S B C

M \in [S B]

N \in [S C]

(le rayon de soleil) et

(M N) ∥ (B C)

(deux verticales). D'après le théorème de Thalès :

\frac{S M}{S B} = \frac{M N}{B C}

, soit

\frac{1, 5}{10} = \frac{1, 2}{B C}

, donc

B C = \frac{10 \times 1, 2}{1, 5} = 8

Le poteau sous une rampe. Une rampe rectiligne

[A C]

monte de

A

(sol) à

C

, situé à

2, 4

m au-dessus du point

B

, avec

A B = 6

m. Un poteau vertical

[M N]

placé à

2, 5

m de

A

soutient la rampe :

\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}

, donc

M N = \frac{2, 5 \times 2, 4}{6} = 1

Astuce. Dans ces situations, les parallèles sont souvent deux verticales (piquet et arbre, poteau et mur) : c'est ce qui autorise le théorème.

La réciproque dans les triangles emboîtés

Réciproque du théorème de Thalès. Soit

A B C

un triangle,

M \in [A B]

N \in [A C]

. Si

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

, alors les droites

(M N)

(B C)

sont parallèles.

Exemple.

A M = 2, 4

;

A B = 6

;

A N = 1, 8

;

A C = 4, 5

. On calcule séparément

\frac{A M}{A B} = 0, 4

\frac{A N}{A C} = 0, 4

. Les rapports sont égaux, et les points sont dans le même ordre : d'après la réciproque du théorème de Thalès,

(M N) ∥ (B C)

Rapports différents.

A M = 5

;

A B = 8

;

A N = 3

;

A C = 5

\frac{5}{8} = 0, 625

\frac{3}{5} = 0, 6

. Les rapports sont différents : si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait des rapports égaux. Donc

(M N)

(B C)

ne sont pas parallèles.

Attention ! Pour la réciproque, on compare seulement les deux rapports sur les côtés

[A B]

[A C]

; le rapport

\frac{M N}{B C}

ne sert pas (on ne sait pas encore que les droites sont parallèles).

Méthodes et erreurs fréquentes

Les quatre erreurs classiques.
① Écrire

\frac{A M}{M B}

M B

n'est pas un côté du grand triangle.
② Associer

M N

A C

au lieu de

B C

: le côté parallèle va avec le côté parallèle.
③ Oublier d'écrire que les droites sont parallèles : le théorème n'est pas justifié.
④ Se tromper de sens dans le produit en croix : une longueur du petit triangle doit être plus petite que celle du grand.

Contrôle du résultat. Calcule le rapport de réduction

k

(inférieur à

1

) et vérifie que chaque longueur trouvée vaut

k \times

la longueur correspondante du grand triangle.

En bref

Configuration : $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ , $(M N) ∥ (B C)$ ; le petit triangle $A M N$ est emboîté dans $A B C$ .
Théorème de Thalès : $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ (petit sur grand, côtés correspondants).
Calcul d'une longueur : égalité en lettres, valeurs, produit en croix, unité.
Jamais $M B$ ou $N C$ dans les rapports : $A B = A M + M B$ .
Réciproque : si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ (points dans le même ordre), alors $(M N) ∥ (B C)$ .
Applications : ombre et piquet, poteau sous une rampe, hauteurs inaccessibles (parallèles = verticales).

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