Théorème de Thalès : triangles emboîtés

Configuration des triangles emboîtés et côtés correspondants, égalité des trois rapports (théorème de Thalès), calcul d’une longueur par produit en croix et rédaction, rapport de réduction, agrandissement et réduction (longueurs, périmètre, angles conservés), longueurs à déduire et cas des milieux, réciproque pour prouver un parallélisme, applications : ombre, hauteur inaccessible, verre conique.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés avec le théorème de Thalès : la hauteur d’un arbre grâce au piquet et aux ombres, le rayon de l’eau dans un verre conique, les poteaux sous une rampe, la bande de renfort d’une voile, l’allée d’un jardin triangulaire et la largeur d’un lac mesurée avec la réciproque.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais un schéma de la situation et j’y place les lettres de l’énoncé.
Je repère la configuration : le sommet commun, les deux droites qui en partent, et les deux droites parallèles (verticales, horizontales, ou parallèles par construction).
J’écris l’égalité des trois rapports, petit triangle en haut, grand en bas, et je remplace par les longueurs connues, dans la même unité.
Je calcule par un produit en croix ou avec le rapport de réduction, puis je contrôle que le résultat est plausible et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · L’arbre et le piquet★★★Facile

Pour mesurer un arbre

[B C]

(

B

au sol), on plante un piquet vertical

[M N]

1, 5

m de façon que le bout de son ombre coïncide avec le bout

S

de l’ombre de l’arbre. On mesure

S M = 2, 4

m et

S B = 12

1. Rapport $\frac{S M}{S B}$ :
$2, 4 \div 12 = 0, 2$ .
2. Hauteur de l’arbre $B C$ : m
Dans le triangle $S B C$ , $M \in [S B]$ , $N \in [S C]$ et $(M N) ∥ (B C)$ (deux verticales). D’après le théorème de Thalès, $\frac{S M}{S B} = \frac{M N}{B C}$ , soit $0, 2 = \frac{1, 5}{B C}$ : $B C = 1, 5 \div 0, 2 = 7, 5$ m.
3. Plus tard, l’ombre de l’arbre mesure $16$ m. À quelle distance $S M$ du bout de l’ombre faut-il placer le piquet pour que les bouts des ombres coïncident encore ? m
$\frac{S M}{16} = \frac{1, 5}{7, 5}$ , donc $S M = \frac{16 \times 1, 5}{7, 5} = 3, 2$ m.
4. Au premier moment ( $S B = 12$ m), on veut planter, à $3$ m de $S$ , un piquet dont l’ombre se termine aussi en $S$ . Quelle doit être sa hauteur ? m
$\frac{3}{12} = \frac{h}{7, 5}$ , donc $h = \frac{3 \times 7, 5}{12} = 1, 875$ m, soit environ $1, 88$ m.

Problème 2 · Le verre conique★★★Moyen

Un verre conique a une hauteur de

12

cm et son ouverture, en haut, a un rayon de

4

cm. On le remplit d’eau jusqu’à une hauteur de

9

cm. Sur une coupe verticale passant par l’axe, la pointe du verre est le sommet commun, et la surface de l’eau est parallèle à l’ouverture.

1. Rapport entre la hauteur d’eau et la hauteur du verre :
$9 \div 12 = 0, 75$ .
2. Rayon de la surface de l’eau : cm
Sur la coupe, le petit triangle (eau) est une réduction du grand (verre) de rapport $0, 75$ : $0, 75 \times 4 = 3$ cm.
3. Diamètre de la surface de l’eau : cm
$2 \times 3 = 6$ cm.
4. On boit jusqu’à ce que la hauteur d’eau soit de $6$ cm. Quel est alors le rayon de la surface de l’eau ? cm
Nouveau rapport : $6 \div 12 = 0, 5$ , donc le rayon vaut $0, 5 \times 4 = 2$ cm. La hauteur d’eau est la moitié de celle du verre, donc le rayon de la surface est la moitié de celui de l’ouverture.

Problème 3 · La rampe et ses poteaux★★★Moyen

Une rampe rectiligne

[A C]

part du sol en

A

et monte jusqu’à

C

, situé à

2

m au-dessus du point

B

du sol, avec

A B = 8

m. Des poteaux verticaux, fixés au sol, soutiennent la rampe.

1. Hauteur du poteau placé à $6, 4$ m de $A$ : m
Le poteau $[M N]$ et $[B C]$ sont verticaux, donc parallèles ; $M \in [A B]$ , $N \in [A C]$ . D’après le théorème de Thalès : $\frac{6, 4}{8} = \frac{h}{2}$ , donc $h = \frac{6, 4 \times 2}{8} = 1, 6$ m.
2. Un poteau mesure $1, 2$ m. À quelle distance de $A$ est-il fixé ? m
$\frac{d}{8} = \frac{1, 2}{2}$ , donc $d = \frac{8 \times 1, 2}{2} = 4, 8$ m.
3. Longueur de la rampe $A C$ , arrondie au centimètre (le triangle $A B C$ est rectangle en $B$ ) : m
D’après le théorème de Pythagore : $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 64 + 4 = 68$ , donc $A C = \sqrt{68} \approx 8, 246$ , soit $A C \approx 8, 25$ m.
4. On prolonge la rampe, avec la même pente, jusqu’à une hauteur de $2, 5$ m. Quelle est alors la distance horizontale depuis $A$ ? m
Le triangle $A B C$ est maintenant le petit triangle, emboîté dans le nouveau grand triangle : $\frac{8}{d} = \frac{2}{2, 5}$ , donc $d = \frac{8 \times 2, 5}{2} = 10$ m.

Problème 4 · La voile★★★Difficile

Une voile triangulaire

A B C

a pour mât le côté

[B C]

, vertical, de

6

m ;

A

est la pointe avant. On coud une bande de renfort

[M N]

parallèle au mât, avec

M \in [A B]

N \in [A C]

A M = 2, 5

m et

A B = 4

m. On donne aussi

A C = 7, 2

1. Rapport $\frac{A M}{A B}$ :
$2, 5 \div 4 = 0, 625$ .
2. Longueur de la bande $M N$ : m
$(M N) ∥ (B C)$ : d’après le théorème de Thalès, $\frac{M N}{B C} = 0, 625$ , donc $M N = 0, 625 \times 6 = 3, 75$ m.
3. $A N =$ m
$A N = 0, 625 \times 7, 2 = 4, 5$ m.
4. La bande coûte $14$ € le mètre. On la recoud plus loin de la pointe, à $A M = 3$ m. De combien d’euros la nouvelle bande coûte-t-elle de plus ? €
Nouveau rapport : $3 \div 4 = 0, 75$ , donc la bande mesure $0, 75 \times 6 = 4, 5$ m, soit $4, 5 - 3, 75 = 0, 75$ m de plus. Surcoût : $0, 75 \times 14 = 10, 5$ €, soit $10, 50$ €.

Problème 5 · Le jardin triangulaire★★★Difficile

Un jardin a la forme d’un triangle

A B C

avec

A B = 20

A C = 16

m et

B C = 12

m. Une allée rectiligne

[M N]

, parallèle à

[B C]

, coupe

[A B]

M

avec

A M = 15

m, et

[A C]

N

1. $A N =$ m
D’après le théorème de Thalès, $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , soit $\frac{15}{20} = \frac{A N}{16}$ : $A N = \frac{15 \times 16}{20} = 12$ m.
2. Longueur de l’allée $M N$ : m
$k = 15 \div 20 = 0, 75$ , donc $M N = 0, 75 \times 12 = 9$ m.
3. Périmètre du triangle $A M N$ : m
$15 + 12 + 9 = 36$ m.
4. Par quel nombre faut-il multiplier le périmètre de $A B C$ pour obtenir celui de $A M N$ ?
Le périmètre de $A B C$ est $20 + 16 + 12 = 48$ m, et $36 \div 48 = 0, 75$ : c’est le rapport de réduction, car chaque côté est multiplié par $0, 75$ .

Problème 6 · Le lac★★★Difficile

Deux arbres

B

C

sont de part et d’autre d’un lac : on ne peut pas mesurer

B C

directement. Depuis un point

A

de la rive, on mesure

A B = 100

m et

A C = 75

m. On place un piquet

M

sur

[A B]

40

m de

A

, puis un piquet

N

sur

[A C]

, choisi par le calcul pour que

(M N)

soit parallèle à

(B C)

. On mesure alors

M N = 22

1. Rapport $\frac{A M}{A B}$ :
$40 \div 100 = 0, 4$ .
2. À quelle distance de $A$ faut-il placer $N$ pour que $(M N) ∥ (B C)$ ? $A N =$ m
Il faut $\frac{A N}{A C} = \frac{A M}{A B} = 0, 4$ , donc $A N = 0, 4 \times 75 = 30$ m. D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(M N)$ et $(B C)$ sont alors parallèles : on n’a pas besoin de « viser » le parallélisme à l’œil.
3. Distance $B C$ entre les deux arbres : m
$(M N) ∥ (B C)$ : d’après le théorème de Thalès, $\frac{M N}{B C} = 0, 4$ , donc $B C = 22 \div 0, 4 = 55$ m.
4. Quelle distance sépare le piquet $N$ de l’arbre $C$ ? $N C =$ m
$N C = A C - A N = 75 - 30 = 45$ m.

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