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Théorème de Thalès : triangles emboîtés

Configuration des triangles emboîtés et côtés correspondants, égalité des trois rapports (théorème de Thalès), calcul d’une longueur par produit en croix et rédaction, rapport de réduction, agrandissement et réduction (longueurs, périmètre, angles conservés), longueurs à déduire et cas des milieux, réciproque pour prouver un parallélisme, applications : ombre, hauteur inaccessible, verre conique.

À propos de cette page
Un QCM sur le théorème de Thalès en trois niveaux de douze questions : hypothèses, côtés correspondants, égalité des rapports, calculs de longueurs, MB donné à la place de AB, réciproque, rapport de réduction, périmètres, angles conservés et ombres. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Pour appliquer le théorème de Thalès dans le triangle ABC avec M sur [AB] et N sur [AC], il faut que…

    • A. le triangle ABC soit rectangle
    • B. M soit le milieu de [AB]
    • C. (MN) soit parallèle à (BC)
    • D. AM soit égal à AN
    Réponse

    C. (MN) soit parallèle à (BC) — Le parallélisme de (MN) et (BC) est l’hypothèse indispensable ; le triangle peut être quelconque et M peut être n’importe où sur [AB].

  2. Dans la configuration de Thalès (M sur [AB], N sur [AC], (MN) parallèle à (BC)), le côté [MN] du petit triangle correspond au côté…

    • A. [BC]
    • B. [AB]
    • C. [AC]
    • D. [AM]
    Réponse

    A. [BC] — [MN] et [BC] sont portés par les deux droites parallèles : le côté parallèle va avec le côté parallèle.

  3. M est sur [AB], N sur [AC] et (MN) est parallèle à (BC). Le théorème de Thalès donne…

    • A. AM/MB = AN/NC = MN/BC
    • B. AM/AB = AN/AC = MN/BC
    • C. AM/AB = AN/AC = MN/AC
    • D. AB/AM = AN/AC = MN/BC
    Réponse

    B. AM/AB = AN/AC = MN/BC — Petit triangle en haut, grand en bas, côtés correspondants : AM avec AB, AN avec AC, MN avec BC. MB et NC ne sont pas des côtés des triangles, et un rapport écrit à l’envers casse l’égalité.

  4. Avec (MN) parallèle à (BC), AM = 2 cm et AB = 8 cm, le rapport de réduction vaut…

    • A. 4
    • B. 6
    • C. 0,5
    • D. 0,25
    Réponse

    D. 0,25 — k = AM ÷ AB = 2 ÷ 8 = 0,25. 4 est le rapport écrit à l’envers et 6 la longueur MB.

  5. Le sommet commun des deux triangles emboîtés AMN et ABC est…

    • A. le point M
    • B. le point A
    • C. le point B
    • D. le point N
    Réponse

    B. le point A — Les deux triangles ont le même sommet A et le même angle en A : c’est le sommet commun.

  6. Dans la configuration de Thalès, le petit triangle AMN est…

    • A. un agrandissement de ABC
    • B. toujours un triangle rectangle
    • C. une réduction de ABC
    • D. toujours un triangle isocèle
    Réponse

    C. une réduction de ABC — Ses côtés sont ceux de ABC multipliés par le rapport de réduction, compris entre 0 et 1 : c’est une réduction de ABC, quelle que soit la forme du triangle.

  7. (MN) est parallèle à (BC), AM/AB = 0,5 et BC = 10 cm. Alors MN mesure…

    • A. 20 cm
    • B. 10,5 cm
    • C. 2 cm
    • D. 5 cm
    Réponse

    D. 5 cm — MN/BC = AM/AB = 0,5, donc MN = 0,5 × 10 = 5 cm.

  8. Dans les rapports du théorème de Thalès (triangles AMN et ABC), on ne trouve jamais la longueur…

    • A. AB
    • B. MB
    • C. MN
    • D. AC
    Réponse

    B. MB — MB n’est un côté d’aucun des deux triangles emboîtés : il n’apparaît jamais dans les rapports. Si l’énoncé le donne, on calcule AB = AM + MB.

  9. (MN) est parallèle à (BC), AM = 3, AB = 9 et AC = 12. Alors AN = …

    • A. 36
    • B. 4
    • C. 6
    • D. 3
    Réponse

    B. 4 — AM/AB = AN/AC, soit 3/9 = AN/12 : AN = 3 × 12 ÷ 9 = 4.

  10. Un piquet et un arbre verticaux permettent d’utiliser le théorème de Thalès parce que…

    • A. le sol est plat et bien horizontal
    • B. le soleil est toujours très loin
    • C. l’ombre de l’arbre est plus longue
    • D. ce sont deux droites parallèles
    Réponse

    D. ce sont deux droites parallèles — Deux verticales sont parallèles : c’est l’hypothèse du théorème. Le sommet commun est le bout des ombres.

  11. Pour prouver que (MN) et (BC) sont parallèles (M sur [AB], N sur [AC]), on compare…

    • A. AM/AB et AN/AC
    • B. AM/AB et MN/BC
    • C. AM/MB et MN/BC
    • D. les longueurs MN et BC
    Réponse

    A. AM/AB et AN/AC — Réciproque : on compare les rapports sur les côtés [AB] et [AC]. MN/BC ne sert pas, car on ne sait pas encore que les droites sont parallèles.

  12. Dans la rédaction, avant d’écrire « d’après le théorème de Thalès », on écrit…

    • A. le résultat final
    • B. le produit en croix
    • C. les points et les parallèles
    • D. la valeur du rapport
    Réponse

    C. les points et les parallèles — On justifie d’abord qu’on a le droit d’utiliser le théorème : les points sur les côtés et les droites parallèles.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. (MN) est parallèle à (BC), AM = 6, AB = 15 et BC = 10. Alors MN = …

    • A. 25
    • B. 4
    • C. 9
    • D. 2,5
    Réponse

    B. 4 — AM/AB = MN/BC, soit 6/15 = MN/10 : MN = 6 × 10 ÷ 15 = 4.

  2. (MN) est parallèle à (BC), AM = 4, MB = 6 et AN = 3. Alors AC = …

    • A. 4,5
    • B. 2
    • C. 8
    • D. 7,5
    Réponse

    D. 7,5 — AB = 4 + 6 = 10, puis 4/10 = 3/AC : AC = 3 × 10 ÷ 4 = 7,5. On trouve 4,5 si l’on utilise MB au lieu de AB.

  3. (MN) est parallèle à (BC), MN = 2, BC = 10 et AC = 7. Alors AN = …

    • A. 1,4
    • B. 35
    • C. 3,5
    • D. 0,2
    Réponse

    A. 1,4 — Rapport : 2 ÷ 10 = 0,2, donc AN = 0,2 × 7 = 1,4. 0,2 est le rapport, pas la longueur ; 35 vient d’un produit en croix à l’envers (7 × 10 ÷ 2).

  4. (MN) est parallèle à (BC), AM = 7, AB = 10 et AC = 5. Alors NC = …

    • A. 3,5
    • B. 3
    • C. 1,5
    • D. 2
    Réponse

    C. 1,5 — AN = 0,7 × 5 = 3,5, donc NC = 5 − 3,5 = 1,5. 3,5 est AN et 3 est MB.

  5. (MN) est parallèle à (BC), le rapport de réduction vaut 2/3 et AB = 12 cm. Alors MB = …

    • A. 8 cm
    • B. 18 cm
    • C. 6 cm
    • D. 4 cm
    Réponse

    D. 4 cm — AM = 2/3 × 12 = 8 cm, donc MB = 12 − 8 = 4 cm. 8 cm est AM.

  6. M est sur [AB], N sur [AC], AM = 1,7, AB = 2, AN = 5,1 et AC = 6. Les droites (MN) et (BC)…

    • A. sont parallèles (rapports égaux)
    • B. ne sont pas parallèles
    • C. sont perpendiculaires
    • D. ne se comparent pas sans MN
    Réponse

    A. sont parallèles (rapports égaux) — 1,7 ÷ 2 = 0,85 et 5,1 ÷ 6 = 0,85 : les rapports sont égaux, donc (MN) et (BC) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.

  7. Un escalier mécanique monte régulièrement : à 8 m du départ (à l’horizontale), il est à 2 m de hauteur. À 3 m du départ, il est à…

    • A. 1,25 m
    • B. 0,5 m
    • C. 0,75 m
    • D. 2,25 m
    Réponse

    C. 0,75 m — Les deux hauteurs sont verticales, donc parallèles, et le départ est le sommet commun : h = 3 × 2 ÷ 8 = 0,75 m. 1,25 m serait la hauteur à 5 m du départ.

  8. (MN) est parallèle à (BC), AM = 5, AB = 12 et MN = 4,5. Alors BC = …

    • A. 1,875
    • B. 10,8
    • C. 11,5
    • D. 54
    Réponse

    B. 10,8 — 5/12 = 4,5/BC : BC = 4,5 × 12 ÷ 5 = 10,8. 1,875 vient d’un produit en croix à l’envers (4,5 × 5 ÷ 12) : un côté du grand triangle ne peut pas être plus court que MN.

  9. M est au tiers de [AB] en partant de A, (MN) est parallèle à (BC) et BC = 9. Alors MN = …

    • A. 3
    • B. 6
    • C. 27
    • D. 4,5
    Réponse

    A. 3 — AM/AB = 1/3, donc MN = 9 ÷ 3 = 3. 6 serait la longueur aux deux tiers.

  10. Dans un verre conique de 15 cm de haut et de 5 cm de rayon, l’eau monte à 6 cm. Le rayon de la surface de l’eau est…

    • A. 3 cm
    • B. 12,5 cm
    • C. 2 cm
    • D. 4 cm
    Réponse

    C. 2 cm — Rapport 6 ÷ 15 = 0,4, donc le rayon vaut 0,4 × 5 = 2 cm. 12,5 cm vient d’un produit en croix à l’envers.

  11. (MN) est parallèle à (BC), AN = 1,8, AC = 3 et AB = 9. Alors AM = …

    • A. 15
    • B. 5,4
    • C. 0,6
    • D. 1,8
    Réponse

    B. 5,4 — Rapport 1,8 ÷ 3 = 0,6, donc AM = 0,6 × 9 = 5,4. 0,6 est le rapport, pas la longueur, et 15 vient d’un rapport écrit à l’envers (9 × 3 ÷ 1,8).

  12. Le périmètre de ABC vaut 30 cm et le rapport de réduction de AMN est 0,4. Le périmètre de AMN vaut…

    • A. 75 cm
    • B. 29,6 cm
    • C. 4,8 cm
    • D. 12 cm
    Réponse

    D. 12 cm — Chaque côté est multiplié par 0,4, donc le périmètre aussi : 0,4 × 30 = 12 cm.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Un élève écrit AM/AB = MN/AC. Son erreur est…

    • A. d’avoir mis le petit triangle en haut
    • B. d’avoir oublié le troisième rapport
    • C. d’avoir utilisé AB au lieu de MB
    • D. d’avoir associé MN à AC au lieu de BC
    Réponse

    D. d’avoir associé MN à AC au lieu de BC — [MN] correspond au côté parallèle [BC] : AM/AB = MN/BC. Mettre le petit triangle en haut est juste, et c’est AB, pas MB, qui entre dans les rapports.

  2. (MN) est parallèle à (BC), AM = 4, MB = 2 et NC = 1,5. Alors AN = …

    • A. 3
    • B. 1
    • C. 4,5
    • D. 0,75
    Réponse

    A. 3 — AB = 6 et le rapport vaut 4/6 = 2/3 : AN est les 2/3 de AC, donc NC en est le tiers. AC = 3 × 1,5 = 4,5 et AN = 4,5 − 1,5 = 3.

  3. (MN) est parallèle à (BC), AM = 3 et AB = 5. Le quotient MB/AB vaut…

    • A. 0,6
    • B. 1,5
    • C. 0,4
    • D. 2
    Réponse

    C. 0,4 — MB = 5 − 3 = 2 et 2 ÷ 5 = 0,4. Ce n’est pas un rapport de Thalès (qui vaut 0,6), mais 1 − 0,6.

  4. M est sur [AB], N sur [AC], AM = 6, AB = 13, AN = 5 et AC = 11. On peut conclure que…

    • A. (MN) // (BC), d’après le théorème de Thalès
    • B. (MN) et (BC) ne sont pas parallèles
    • C. (MN) // (BC), d’après la réciproque
    • D. on ne peut rien dire sans MN et BC
    Réponse

    B. (MN) et (BC) ne sont pas parallèles — Produits en croix : 6 × 11 = 66 et 13 × 5 = 65. Ils sont différents, donc AM/AB ≠ AN/AC et, d’après la contraposée, les droites ne sont pas parallèles.

  5. Dans la configuration de Thalès, AMN a un périmètre de 18 cm et le rapport de réduction vaut 0,6. Le périmètre de ABC est…

    • A. 10,8 cm
    • B. 24 cm
    • C. 30 cm
    • D. 48 cm
    Réponse

    C. 30 cm — Du petit au grand, on divise par 0,6 : 18 ÷ 0,6 = 30 cm. 10,8 cm vient d’une multiplication par 0,6.

  6. L’ombre d’un bâton vertical de 1 m mesure 1,5 m ; l’ombre d’un immeuble mesure 27 m et les bouts des deux ombres coïncident. L’immeuble mesure…

    • A. 40,5 m
    • B. 27 m
    • C. 13,5 m
    • D. 18 m
    Réponse

    D. 18 m — 1,5/27 = 1/h, donc h = 27 × 1 ÷ 1,5 = 18 m. 40,5 m vient d’une multiplication par 1,5.

  7. M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC]. Alors…

    • A. MN = BC
    • B. (MN) // (BC) et MN = BC/2
    • C. (MN) est perpendiculaire à (BC)
    • D. on ne peut rien dire
    Réponse

    B. (MN) // (BC) et MN = BC/2 — AM/AB = AN/AC = 1/2 : d’après la réciproque, (MN) // (BC) ; puis le théorème de Thalès donne MN/BC = 1/2.

  8. (MN) est parallèle à (BC), AB = 10, AC = 7, BC = 6 et AM = 8. L’affirmation fausse est…

    • A. MB = 2
    • B. MN = 4,8
    • C. AN = 5,6
    • D. NC = 2
    Réponse

    D. NC = 2 — Rapport 8 ÷ 10 = 0,8 : AN = 0,8 × 7 = 5,6, donc NC = 7 − 5,6 = 1,4 et non 2 ; MB = 10 − 8 = 2 et MN = 0,8 × 6 = 4,8 sont exacts.

  9. (MN) est parallèle à (BC) et AM = 0,7 × AB. Alors NC = …

    • A. 0,7 × AC
    • B. 0,3 × AC
    • C. 0,3 × BC
    • D. AC − 0,7
    Réponse

    B. 0,3 × AC — AN = 0,7 × AC, donc NC = AC − 0,7 × AC = 0,3 × AC. 0,7 × AC est AN.

  10. A, B, M sont alignés dans cet ordre, N est sur la demi-droite [AC) au-delà de C, et (MN) est parallèle à (BC). Le triangle AMN est…

    • A. impossible à construire
    • B. une réduction de ABC
    • C. égal au triangle ABC
    • D. un agrandissement de ABC
    Réponse

    D. un agrandissement de ABC — Cette fois, c’est ABC qui est emboîté dans AMN : AM/AB est plus grand que 1, et AMN est un agrandissement de ABC.

  11. (MN) est parallèle à (BC), M sur [AB], N sur [AC], et l’angle ACB mesure 52°. L’angle ANM mesure…

    • A. 128°
    • B. 52°
    • C. 38°
    • D. on ne peut pas le savoir
    Réponse

    B. 52° — Les angles ANM et ACB sont correspondants, formés par les parallèles (MN) et (BC) et la sécante (AC) : ils sont égaux. Une réduction conserve les angles.

  12. (MN) est parallèle à (BC), AM = 2,5, AB = 10, BC = 8 et AC = 9. La longueur MN vaut…

    • A. 2,25
    • B. 3,2
    • C. 2
    • D. 32
    Réponse

    C. 2 — Rapport 2,5 ÷ 10 = 0,25 et MN = 0,25 × 8 = 2. 2,25 = 0,25 × 9 est la longueur AN.

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