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Théorème de Pythagore : calculer, réciproque

Reprendre les acquis de 5e (triangle rectangle, hypoténuse, carré d’un nombre, inégalité triangulaire) ; énoncer le théorème de Pythagore et le justifier par les aires ; calculer l’hypoténuse ou un côté de l’angle droit (valeur exacte, valeur approchée, unités) ; démontrer qu’un triangle est rectangle ou ne l’est pas avec la réciproque et la contraposée ; utiliser le théorème dans un rectangle, un losange, un triangle isocèle, un pavé droit et des situations concrètes, en rédigeant.

À propos de cette page
Un QCM sur le théorème de Pythagore en trois niveaux de douze questions : hypoténuse et égalité, calculs de longueurs, triplets pythagoriciens, réciproque et contraposée, conversions d’unités, losange, échelle, pavé droit et pièges de rédaction. Chaque réponse est expliquée, avec l’erreur cachée derrière les mauvais choix.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est…

    • A. le côté le plus court du triangle
    • B. le côté opposé à l’angle droit
    • C. un des deux côtés de l’angle droit
    • D. la hauteur issue de l’angle droit
    Réponse

    B. le côté opposé à l’angle droit — L’hypoténuse est en face de l’angle droit ; c’est aussi le plus long côté.

  2. RST est rectangle en T. L’égalité de Pythagore s’écrit…

    • A. RT² = RS² + ST²
    • B. ST² = RS² + RT²
    • C. RS = RT + ST
    • D. RS² = RT² + ST²
    Réponse

    D. RS² = RT² + ST² — L’hypoténuse est [RS], le côté sans la lettre T : son carré est seul à gauche.

  3. Les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent 2,8 cm et 9,6 cm. Son hypoténuse mesure…

    • A. 10 cm
    • B. 12,4 cm
    • C. 6,8 cm
    • D. 100 cm
    Réponse

    A. 10 cm — 2,8² + 9,6² = 7,84 + 92,16 = 100, et √100 = 10. 12,4 cm est la somme des côtés, 100 est le carré de l’hypoténuse.

  4. Le théorème de Pythagore permet de calculer…

    • A. un angle dans un triangle quelconque
    • B. l’aire de n’importe quel triangle
    • C. le périmètre d’un cercle de rayon donné
    • D. une longueur dans un triangle rectangle
    Réponse

    D. une longueur dans un triangle rectangle — Il relie les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle.

  5. Pour calculer l’hypoténuse, on…

    • A. additionne les deux carrés, puis prend la racine
    • B. additionne les deux côtés, puis multiplie par 2
    • C. soustrait les deux carrés, puis prend la racine
    • D. multiplie les deux côtés, puis divise par 2
    Réponse

    A. additionne les deux carrés, puis prend la racine — Si ABC est rectangle en A, BC² = AB² + AC², puis BC = √(AB² + AC²). On soustrait pour un côté de l’angle droit.

  6. Lequel de ces triplets est pythagoricien ?

    • A. 2 ; 3 ; 4
    • B. 4 ; 5 ; 6
    • C. 12 ; 35 ; 37
    • D. 10 ; 11 ; 12
    Réponse

    C. 12 ; 35 ; 37 — 12² + 35² = 144 + 1 225 = 1 369 = 37². Pour 2 ; 3 ; 4 : 4 + 9 = 13 ≠ 16.

  7. Si BC² = 1,44, alors BC est égal à…

    • A. 0,72
    • B. 1,2
    • C. 0,12
    • D. 2,073 6
    Réponse

    B. 1,2 — 1,2² = 1,44 et BC est positif, donc BC = √1,44 = 1,2. 0,72 est la moitié de 1,44.

  8. Dans le triangle EFG rectangle en G, le plus long côté est…

    • A. [EF]
    • B. [EG]
    • C. [FG]
    • D. impossible à savoir
    Réponse

    A. [EF] — Le plus long côté est l’hypoténuse, opposée à l’angle droit en G : c’est [EF].

  9. La réciproque du théorème de Pythagore sert à…

    • A. calculer une longueur dans un triangle rectangle
    • B. calculer l’aire d’un triangle rectangle
    • C. démontrer qu’un triangle est rectangle
    • D. tracer un cercle passant par trois points
    Réponse

    C. démontrer qu’un triangle est rectangle — On part des trois longueurs pour conclure qu’il y a un angle droit.

  10. Un triangle rectangle a une hypoténuse de 15 cm et un côté de 12 cm. L’autre côté mesure…

    • A. 27 cm
    • B. 3 cm
    • C. 9 cm
    • D. 19,2 cm
    Réponse

    C. 9 cm — 15² − 12² = 225 − 144 = 81, et √81 = 9. 19,2 cm vient d’une addition des carrés, à tort.

  11. √2,25 est égal à…

    • A. 1,125
    • B. 1,5
    • C. 5,062 5
    • D. 0,15
    Réponse

    B. 1,5 — 1,5² = 2,25 et 1,5 est positif. 1,125 est la moitié de 2,25 et 5,062 5 son carré.

  12. Un triangle a pour côtés 7,5 cm, 10 cm et 12,5 cm ; il est rectangle. L’angle droit est opposé au côté de…

    • A. 7,5 cm
    • B. 10 cm
    • C. 17,5 cm
    • D. 12,5 cm
    Réponse

    D. 12,5 cm — 7,5² + 10² = 56,25 + 100 = 156,25 = 12,5² : l’angle droit est en face du plus grand côté, 12,5 cm.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. ABC est rectangle en A, AB = 3,3 cm et AC = 4,4 cm. BC mesure…

    • A. 7,7 cm
    • B. 5,5 cm
    • C. 1,1 cm
    • D. 30,25 cm
    Réponse

    B. 5,5 cm — 3,3² + 4,4² = 10,89 + 19,36 = 30,25 = 5,5². 7,7 cm est la somme des côtés et 30,25 le carré de BC.

  2. DEF est rectangle en E, DF = 18,5 cm et EF = 11,1 cm. DE mesure…

    • A. 21,6 cm
    • B. 29,6 cm
    • C. 14,8 cm
    • D. 219,04 cm
    Réponse

    C. 14,8 cm — [DF] est l’hypoténuse : 18,5² − 11,1² = 342,25 − 123,21 = 219,04 = 14,8². 21,6 cm vient d’une addition des carrés.

  3. Un triangle a pour côtés 16 cm, 30 cm et 34 cm. Il est…

    • A. rectangle, angle droit opposé au côté de 34 cm
    • B. rectangle, angle droit opposé au côté de 30 cm
    • C. non rectangle
    • D. isocèle
    Réponse

    A. rectangle, angle droit opposé au côté de 34 cm — 16² + 30² = 256 + 900 = 1 156 = 34² : d’après la réciproque, il est rectangle, et l’angle droit est opposé au plus grand côté.

  4. Un triangle a pour côtés 2 cm, 6 cm et 6,3 cm. Il est…

    • A. rectangle
    • B. rectangle isocèle
    • C. impossible à construire
    • D. non rectangle
    Réponse

    D. non rectangle — 6,3² = 39,69 et 2² + 6² = 4 + 36 = 40. 39,69 ≠ 40 : d’après la contraposée, il n’est pas rectangle.

  5. Un carré a un côté de 4 cm. Sa diagonale mesure environ…

    • A. 5,7 cm
    • B. 8 cm, le double du côté
    • C. 4 cm, comme le côté
    • D. 32 cm, la somme des carrés
    Réponse

    A. 5,7 cm — 4² + 4² = 32 ; √32 ≈ 5,66, soit environ 5,7 cm.

  6. Une échelle de 2,6 m a son pied à 1 m d’un mur vertical. Elle atteint une hauteur de…

    • A. 2,8 m
    • B. 1,6 m
    • C. 2,4 m
    • D. 5,76 m
    Réponse

    C. 2,4 m — L’échelle est l’hypoténuse : 2,6² − 1² = 6,76 − 1 = 5,76 = 2,4². 1,6 m est une différence de longueurs, 5,76 le carré de la hauteur.

  7. Si AB² = 90 (en cm²), la valeur exacte de AB est…

    • A. 45 cm, la moitié de 90
    • B. 9,49 cm, valeur arrondie
    • C. √90 cm
    • D. 9,5 cm, valeur arrondie
    Réponse

    C. √90 cm — √90 cm est la valeur exacte ; 9,49 cm n’en est qu’une valeur approchée.

  8. Un rectangle mesure 4,9 m sur 16,8 m. Sa diagonale mesure…

    • A. 17,5 m
    • B. 21,7 m
    • C. 16,1 m
    • D. 306,25 m
    Réponse

    A. 17,5 m — 4,9² + 16,8² = 24,01 + 282,24 = 306,25 = 17,5². 21,7 m est la somme des côtés.

  9. Les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent 1 m et 75 cm. L’hypoténuse mesure…

    • A. 1,75 m
    • B. 76 cm
    • C. 5,6 m
    • D. 125 cm
    Réponse

    D. 125 cm — En cm : 100² + 75² = 10 000 + 5 625 = 15 625 = 125². Il faut d’abord la même unité.

  10. Pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle, on utilise…

    • A. le théorème de Pythagore (sens direct)
    • B. la contraposée du théorème de Pythagore
    • C. la réciproque du théorème de Pythagore
    • D. la somme des angles d’un triangle
    Réponse

    B. la contraposée du théorème de Pythagore — La contraposée conclut « pas rectangle » quand l’égalité est fausse.

  11. MNP est rectangle en N, MN = 3,6 cm et NP = 1,5 cm. MP mesure…

    • A. 5,1 cm
    • B. 3,9 cm
    • C. 3,3 cm
    • D. 15,21 cm
    Réponse

    B. 3,9 cm — 3,6² + 1,5² = 12,96 + 2,25 = 15,21 = 3,9². 3,3 cm vient d’une soustraction des carrés, à tort.

  12. Un losange a pour diagonales 15,2 cm et 11,4 cm. Son côté mesure…

    • A. 19 cm
    • B. 26,6 cm
    • C. 13,3 cm
    • D. 9,5 cm
    Réponse

    D. 9,5 cm — Demi-diagonales 7,6 cm et 5,7 cm : 57,76 + 32,49 = 90,25 = 9,5². 19 cm vient des diagonales entières.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. ABC est rectangle en C, AC = 7 cm et AB = 11 cm. Un élève calcule BC = √(49 + 121). Il a tort car…

    • A. il fallait soustraire : [AB] est l’hypoténuse
    • B. il fallait multiplier 49 par 121
    • C. la racine carrée est inutile ici
    • D. il a raison : [BC] est l’hypoténuse
    Réponse

    A. il fallait soustraire : [AB] est l’hypoténuse — L’angle droit est en C, donc l’hypoténuse est [AB] : BC² = 121 − 49 = 72 et BC = √72 cm.

  2. Un triangle a pour côtés 6 cm, 10 cm et 11,7 cm. On trouve 11,7² = 136,89 et 6² + 10² = 136. Le triangle est…

    • A. rectangle, car les valeurs sont proches
    • B. non rectangle, car 136,89 ≠ 136
    • C. rectangle, angle droit opposé au côté de 10 cm
    • D. impossible à classer sans rapporteur
    Réponse

    B. non rectangle, car 136,89 ≠ 136 — L’égalité doit être exacte : d’après la contraposée, il n’est pas rectangle.

  3. Un triangle isocèle a deux côtés de 6,5 cm et une base de 3,2 cm. Sa hauteur issue du sommet principal mesure…

    • A. 6,7 cm
    • B. 5,7 cm
    • C. 6,3 cm
    • D. 4,9 cm
    Réponse

    C. 6,3 cm — Demi-base 1,6 cm : 6,5² − 1,6² = 42,25 − 2,56 = 39,69 = 6,3². 5,7 cm vient de la base entière.

  4. Un pavé droit mesure 2 cm × 3 cm × 6 cm. Sa plus grande diagonale mesure…

    • A. 11 cm
    • B. 7 cm
    • C. 6,7 cm
    • D. 3,6 cm
    Réponse

    B. 7 cm — Diagonale du fond : 2² + 3² = 13. Puis 13 + 6² = 49 = 7². 3,6 cm n’est que la diagonale du fond.

  5. Dans un triangle rectangle, on double les deux côtés de l’angle droit. L’hypoténuse est alors…

    • A. multipliée par 4
    • B. inchangée
    • C. multipliée par 3
    • D. doublée
    Réponse

    D. doublée — Exemple : avec 5 et 12, l’hypoténuse vaut 13 ; avec 10 et 24, elle vaut √(100 + 576) = √676 = 26 = 2 × 13. Les carrés sont multipliés par 4, les longueurs par 2.

  6. Un triangle a pour côtés 1,5 dm, 200 mm et 0,25 m. Il est…

    • A. non rectangle
    • B. rectangle, angle droit opposé au côté de 1,5 dm
    • C. impossible à construire
    • D. rectangle, angle droit opposé au côté de 0,25 m
    Réponse

    D. rectangle, angle droit opposé au côté de 0,25 m — En cm : 15, 20 et 25. 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25² : rectangle, angle droit opposé au plus grand côté, 0,25 m.

  7. Un triangle rectangle aurait une hypoténuse de 10 cm et un côté de l’angle droit de 10 cm. Alors…

    • A. l’autre côté mesure 14,1 cm (au dixième)
    • B. l’autre côté mesure exactement √200 cm
    • C. c’est impossible : l’hypoténuse est le plus long côté
    • D. l’autre côté mesure 20 cm, le double
    Réponse

    C. c’est impossible : l’hypoténuse est le plus long côté — 10² − 10² = 0 : un côté de l’angle droit est toujours strictement plus court que l’hypoténuse.

  8. ABC est rectangle en A et BC² = 2 × AB². Alors…

    • A. ABC est rectangle isocèle en A
    • B. BC = 2 × AB
    • C. AC = 2 × AB
    • D. ABC est équilatéral
    Réponse

    A. ABC est rectangle isocèle en A — BC² = AB² + AC² et BC² = 2 × AB², donc AC² = AB² et AC = AB : le triangle est rectangle isocèle en A.

  9. Un rectangle a une diagonale de 13 cm et une largeur de 6,6 cm. Sa longueur mesure…

    • A. 14,6 cm
    • B. 6,4 cm
    • C. 11,2 cm
    • D. 19,6 cm
    Réponse

    C. 11,2 cm — La diagonale est l’hypoténuse : 13² − 6,6² = 169 − 43,56 = 125,44 = 11,2². 14,6 cm vient d’une addition des carrés.

  10. Un cerf-volant est retenu par un fil tendu de 52 m ; on se tient à 4 800 cm de sa verticale. Sa hauteur est…

    • A. 20 m
    • B. 70,8 m
    • C. 4 m
    • D. 2 704 m
    Réponse

    A. 20 m — 4 800 cm = 48 m ; 52² − 48² = 2 704 − 2 304 = 400 = 20². 4 m est la différence des longueurs.

  11. Pour rédiger la réciproque, l’étape indispensable est de…

    • A. citer le théorème direct avant de conclure
    • B. arrondir les carrés au dixième avant tout
    • C. calculer les deux nombres séparément, puis comparer
    • D. mesurer l’angle au rapporteur pour vérifier
    Réponse

    C. calculer les deux nombres séparément, puis comparer — On n’écrit pas l’égalité avant de l’avoir vérifiée : « d’une part… d’autre part… ».

  12. Un triangle a pour côtés √7 cm, 3 cm et 4 cm. Il est…

    • A. rectangle, angle droit opposé au côté de 4 cm
    • B. non rectangle
    • C. rectangle, angle droit opposé au côté de 3 cm
    • D. impossible à construire
    Réponse

    A. rectangle, angle droit opposé au côté de 4 cm — (√7)² + 3² = 7 + 9 = 16 = 4² : d’après la réciproque, il est rectangle, l’angle droit est opposé au plus grand côté.

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