Théorème de Pythagore : calculer, réciproque

1. a)$ABC$ est rectangle en $A$, donc d’après le théorème de Pythagore : $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9,2^2+6,9^2=84,64+47,61=132,25$. $BC=\sqrt{132,25}=11,5$ cm (1)
2. b)L’hypoténuse est $[DF]$ : $D{F}^2=D{E}^2+E{F}^2$, donc $E{F}^2={15}^2-4,2^2=225-17,64=207,36$ et $EF=\sqrt{207,36}=14,4$ cm (1)
3. c)$G{I}^2=G{H}^2+H{I}^2=9+49=58$. Valeur exacte : $GI=\sqrt{58}$ cm ; $\sqrt{58}\approx 7,616$, soit $GI\approx 7,62$ cm (1)
4. d)L’angle droit est en $N$ : l’hypoténuse est $[MP]$, pas $[NP]$, et il faut soustraire. $N{P}^2=M{P}^2-M{N}^2=187,69-77,44=110,25$, donc $NP=10,5$ cm (1)

Méthode — On repère d’abord l’hypoténuse (en face de l’angle droit) : on additionne les carrés pour la trouver, on soustrait pour trouver un côté de l’angle droit.

1. a)Plus grand côté $[QR]$. D’une part $Q{R}^2=10,2^2=104,04$ ; d’autre part $P{Q}^2+P{R}^2=23,04+81=104,04$. $Q{R}^2=P{Q}^2+P{R}^2$ : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $PQR$ est rectangle (1)
2. b)En $P$, le sommet opposé au plus grand côté $[QR]$ (le seul sommet qui n’est pas sur $[QR]$) (1)
3. c)Plus grand côté $[SU]$. D’une part $S{U}^2=10,6^2=112,36$ ; d’autre part $S{T}^2+T{U}^2=49+64=113$. $112,36\ne 113$ : d’après la contraposée du théorème de Pythagore, $STU$ n’est pas rectangle (1)
4. d)L’égalité doit être exacte. Comme $112,36\ne 113$, la contraposée prouve que $STU$ n’est pas rectangle, même si son plus grand angle est proche d’un angle droit (1)

Repère — Égalité exacte → réciproque, le triangle est rectangle (angle droit en face du plus grand côté) ; égalité fausse, même de peu → contraposée, il ne l’est pas.

1. a)$150$ cm $=1,5$ m. Le poteau et le sol forment un angle droit, le hauban est l’hypoténuse : $3,2^2+1,5^2=10,24+2,25=12,49$ ; longueur $\sqrt{12,49}\approx 3,53$ m (1)
2. b)Diagonale $d$ : $d^2=2,{04}^2+0,8^2=4,1616+0,64=4,8016$ ; $d=\sqrt{4,8016}\approx 2,19$ m. Comme $2,19>2,15$, le panneau passe (1)
3. c)L’altitude et la distance au sol forment un angle droit : ${120}^2+{35}^2=14400+1225=15625$ ; distance $\sqrt{15625}=125$ m (1)
4. d)La rampe est l’hypoténuse : $5^2-0,5^2=25-0,25=24,75$ ; distance $\sqrt{24,75}\approx 4,97$ m (1)

Méthode — Dans une situation, l’angle droit vient de l’énoncé (vertical et horizontal) ; on convertit dans une même unité et l’on n’arrondit qu’à la fin.

1. a)Les diagonales d’un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu : demi-diagonales $8$ cm et $8,4$ cm, côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse est un côté $c$ du losange. $c^2=8^2+8,4^2=64+70,56=134,56$ ; $c=\sqrt{134,56}=11,6$ cm (1)
2. b)$4\times 11,6=46,4$ cm (1)
3. c)La hauteur issue de $A$ coupe la base en son milieu : $BH=3,6$ cm et $ABH$ est rectangle en $H$. $A{H}^2=8,5^2-3,6^2=72,25-12,96=59,29$ ; $AH=7,7$ cm (1)
4. d)${\displaystyle \frac{7,2\times 7,7}{2}}=27,72$ cm² (1)

Le point clé — Un losange cache quatre triangles rectangles (demi-diagonales), un triangle isocèle en cache deux (demi-base et hauteur).

1. a)$ADM$ est rectangle en $D$ (angle d’un rectangle), avec $AD=BC=80$ m : $A{M}^2={80}^2+{60}^2=6400+3600=10000$ ; $AM=100$ m (1)
2. b)$MC=150-60=90$ m. Trajet par $M$ : $100+90=190$ m ; par $D$ : $80+150=230$ m. Le trajet par $M$ est plus court de $40$ m (1)
3. c)$190÷1,5\approx 126,7$ s, soit environ $127$ s $=2$ min $7$ s (1)
4. d)$D{M}^2=A{M}^2-A{D}^2={170}^2-{80}^2=28900-6400=22500$ ; $DM=150$ m $=DC$ : $M$ est confondu avec $C$ (et $AC=170$ m est la diagonale du parc) (1)

Méthode — Les angles d’un rectangle fournissent les triangles rectangles ; la même égalité sert à calculer l’hypoténuse ou, à l’envers, un côté de l’angle droit.