À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Le cosinus dans le triangle rectangle » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé, La définition du cosinus d'un angle aigu, Le cosinus est un nombre entre 0 et 1, Calculer une longueur grâce au cosinus. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappel : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé
2 · La définition du cosinus d'un angle aigu
3 · Le cosinus est un nombre entre 0 et 1
4 · Calculer une longueur grâce au cosinus
5 · Calculer la mesure d'un angle avec cos⁻¹
6 · Méthode, rédaction et erreurs fréquentes
1Rappel : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé
Le cosinus se calcule toujours dans un triangle rectangle, par rapport à l'un de ses angles aigus (un angle plus petit que $90°$). Avant de définir le cosinus, il faut savoir nommer les côtés par rapport à un angle choisi.
Les trois côtés (vus depuis un angle aigu).- L'hypoténuse : le côté en face de l'angle droit (le plus long), toujours le même.
- Le côté adjacent à l'angle : le côté de l'angle droit qui touche l'angle aigu choisi.
- Le côté opposé à l'angle : le côté de l'angle droit en face de l'angle aigu choisi.
Exemple. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on s'intéresse à l'angle $\widehat{ABC}$ (au sommet $B$). L'hypoténuse est $[BC]$. Le côté adjacent à $\widehat{ABC}$ est $[AB]$ (il touche $B$). Le côté opposé est $[AC]$ (en face de $B$).
Attention ! Le côté adjacent dépend de l'angle choisi. Si on change d'angle aigu, le côté adjacent et le côté opposé s'échangent. L'hypoténuse, elle, ne change jamais.
2La définition du cosinus d'un angle aigu
Le cosinus est un nombre qui ne dépend que de la mesure de l'angle, pas de la taille du triangle. Il relie le côté adjacent et l'hypoténuse.
Définition du cosinus. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse :
$$\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$
Exemple. Dans $ABC$ rectangle en $A$, pour l'angle $\widehat{ABC}$ : le côté adjacent est $[AB]$ et l'hypoténuse est $[BC]$. Donc :
$$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC}$$ Si $AB = 4$ cm et $BC = 5$ cm, alors $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$.
Astuce pour mémoriser. On retient souvent CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse. (C'est le début du moyen mnémotechnique « SOH-CAH-TOA ».)
3Le cosinus est un nombre entre 0 et 1
Comme le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$.
Propriété. Pour tout angle aigu, $0 < \cos(\text{angle}) < 1$. Plus l'angle est petit, plus son cosinus est proche de $1$ ; plus l'angle est grand (proche de $90°$), plus son cosinus est proche de $0$.
| Angle | Cosinus (arrondi) |
|---|
| $10°$ | $\approx 0{,}98$ |
| $30°$ | $\approx 0{,}87$ |
| $45°$ | $\approx 0{,}71$ |
| $60°$ | $0{,}5$ |
| $80°$ | $\approx 0{,}17$ |
Attention ! Si tu trouves un cosinus plus grand que $1$ ou négatif, c'est qu'il y a une erreur : tu as sans doute confondu le côté adjacent et l'hypoténuse, ou divisé dans le mauvais sens.
4Calculer une longueur grâce au cosinus
Quand on connaît un angle aigu et une longueur, le cosinus permet de calculer une autre longueur (le côté adjacent ou l'hypoténuse).
Méthode. 1) On écrit la formule $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. 2) On remplace par les valeurs connues. 3) On isole la longueur cherchée avec un produit en croix.
Exemple (chercher le côté adjacent). Dans $ABC$ rectangle en $A$, $\widehat{ABC} = 40°$ et l'hypoténuse $BC = 10$ cm. On cherche $AB$ (adjacent à $B$).
$\cos(40°) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{AB}{10}$, donc $AB = 10 \times \cos(40°)$.
À la calculatrice : $AB \approx 10 \times 0{,}766 \approx 7{,}7$ cm.
Exemple (chercher l'hypoténuse). Dans $DEF$ rectangle en $D$, $\widehat{DEF} = 35°$ et le côté adjacent $DE = 6$ cm. On cherche l'hypoténuse $EF$.
$\cos(35°) = \dfrac{DE}{EF} = \dfrac{6}{EF}$, donc $EF = \dfrac{6}{\cos(35°)} \approx \dfrac{6}{0{,}819} \approx 7{,}3$ cm.
Astuce. Si la longueur cherchée est en haut de la fraction (le côté adjacent), on multiplie. Si elle est en bas (l'hypoténuse), on divise. Pense à régler la calculatrice en mode degré (DEG).
5Calculer la mesure d'un angle avec cos⁻¹
Quand on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on peut retrouver la mesure de l'angle. On utilise alors la touche $\cos^{-1}$ (ou « Arccos », ou « acos ») de la calculatrice, qui fait l'opération inverse du cosinus.
Méthode. 1) On calcule la valeur du cosinus : $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. 2) On applique $\cos^{-1}$ à ce nombre pour obtenir l'angle en degrés.
Exemple. Dans $ABC$ rectangle en $A$, $AB = 3$ cm et $BC = 6$ cm. On cherche la mesure de $\widehat{ABC}$.
$\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{6} = 0{,}5$.
Donc $\widehat{ABC} = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$.
Exemple (valeur arrondie). Si $\cos(\widehat{ABC}) = \dfrac{4}{7} \approx 0{,}571$, alors $\widehat{ABC} = \cos^{-1}(0{,}571) \approx 55°$ (arrondi au degré).
Attention ! La touche $\cos^{-1}$ s'obtient souvent avec Shift (ou 2nde) puis cos. Ne confonds pas $\cos^{-1}(0{,}5)$, qui donne un angle ($60°$), avec $\dfrac{1}{\cos(0{,}5)}$, qui n'a rien à voir.
6Méthode, rédaction et erreurs fréquentes
Pour bien rédiger, on suit toujours les mêmes étapes.
| Étape | Ce que tu écris |
|---|
| 1. Repérer | Identifier l'angle aigu, son côté adjacent et l'hypoténuse. |
| 2. Écrire la formule | $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. |
| 3. Remplacer | Mettre les valeurs connues à leur place. |
| 4. Isoler / calculer | Produit en croix pour une longueur, ou $\cos^{-1}$ pour un angle. |
| 5. Conclure | Donner le résultat arrondi avec son unité (cm ou degré). |
Erreur 1. Confondre côté adjacent et côté opposé : le cosinus utilise l'adjacent (celui qui touche l'angle).
Erreur 2. Oublier de mettre la calculatrice en mode degré (DEG) : en mode radian, les résultats sont faux.
Erreur 3. Diviser dans le mauvais sens : c'est toujours adjacent ÷ hypoténuse, jamais l'inverse.
Erreur 4. Pour trouver un angle, oublier la touche $\cos^{-1}$ et écrire directement le cosinus comme s'il s'agissait de l'angle.
Bilan. On connaît un angle + une longueur → on cherche une longueur (formule + produit en croix). On connaît deux longueurs (adjacent et hypoténuse) → on cherche l'angle ($\cos^{-1}$).
★À retenir
En bref :
• Le cosinus se calcule dans un triangle rectangle, pour un angle aigu.
• Définition (CAH) : $\cos(\text{angle}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$.
• Le côté adjacent est celui qui touche l'angle ; l'hypoténuse est en face de l'angle droit.
• Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre $0$ et $1$.
• Chercher une longueur : formule + produit en croix (multiplier si on cherche l'adjacent, diviser si on cherche l'hypoténuse).
• Chercher un angle : calculer le cosinus, puis appliquer $\cos^{-1}$.
• Toujours la calculatrice en mode degré (DEG).