Cosinus : dans le triangle rectangle

Q: Qu’est-ce que le côté adjacent et le côté opposé à un angle ?

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu, le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui passe par le sommet de cet angle ; le côté opposé est le côté de l’angle droit qui est en face. L’hypoténuse, en face de l’angle droit, ne change jamais. Si UVW est rectangle en U, pour l’angle de sommet V : adjacent [UV], opposé [UW], hypoténuse [VW].

Q: Comment calculer le cosinus d’un angle ?

Dans un triangle rectangle, cosinus d’un angle aigu = côté adjacent ÷ hypoténuse (CAH). Avec un côté adjacent de 3,6 cm et une hypoténuse de 4,8 cm, le cosinus vaut 3,6 ÷ 4,8 = 0,75. C’est toujours un nombre entre 0 et 1, qui ne dépend que de l’angle.

Q: Comment calculer une longueur avec le cosinus ?

On écrit le cosinus de l’angle avec les lettres, on remplace, puis on isole : le côté adjacent = hypoténuse × cos(angle) ; l’hypoténuse = côté adjacent ÷ cos(angle). Si ABC est rectangle en A, avec un angle ABC de 36° et BC = 7,5 cm, AB = 7,5 × cos(36°) ≈ 6,07 cm.

Q: Comment trouver un angle avec le cosinus ?

On calcule le quotient côté adjacent ÷ hypoténuse, puis on utilise la touche cos⁻¹ de la calculatrice en mode degrés. Avec 5,4 cm et 8,1 cm, le quotient vaut 2/3 et l’angle mesure environ 48,2°. L’autre angle aigu mesure 90° moins le premier.

Q: Quand utiliser le cosinus plutôt que le théorème de Pythagore ?

Pythagore relie les trois longueurs d’un triangle rectangle, sans angle. Dès qu’un angle aigu est donné ou cherché, on utilise le cosinus (adjacent et hypoténuse). Si la longueur connue est le côté opposé à l’angle, on passe à l’autre angle aigu, qui mesure 90° moins le premier.

Rappels sur le triangle rectangle (hypoténuse, angles aigus de somme 90°), côté adjacent et côté opposé à un angle aigu, définition du cosinus (adjacent ÷ hypoténuse) et ses propriétés (il ne dépend que de l’angle, il est compris entre 0 et 1), calcul d’une longueur, calcul d’un angle avec la touche cos⁻¹ ou une table, choix entre cosinus et théorème de Pythagore.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 4e sur le cosinus reprend le triangle rectangle (hypoténuse, somme des angles aigus égale à 90°) et nomme le côté adjacent et le côté opposé à un angle. Il définit le cosinus d’un angle aigu (adjacent ÷ hypoténuse), explique pourquoi il ne dépend que de l’angle, puis montre comment calculer une longueur, calculer un angle avec la touche cos⁻¹ et choisir entre cosinus et théorème de Pythagore.

Rappels et vocabulaire : hypoténuse, côté adjacent, côté opposé

Le cosinus se définit dans un triangle rectangle. Avant de l’utiliser, on reprend ce que l’on sait déjà de ce triangle : l’hypoténuse (vue avec le théorème de Pythagore) et la somme des angles (vue en 5e).

Ce qu’il faut savoirUn triangle rectangle a un angle droit. Son hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit : c’est le plus long des trois côtés.
La somme des angles d’un triangle vaut 180° : dans un triangle rectangle, les deux autres angles sont aigus et leur somme vaut 90°.
Pour un angle aigu du triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit prennent un nom :
• le côté adjacent à l’angle est le côté de l’angle droit qui passe par le sommet de cet angle ;
• le côté opposé à l’angle est le côté de l’angle droit qui ne passe pas par ce sommet : il est en face de l’angle.

Exemples

Le triangle $U V W$ est rectangle en $U$ : l’hypoténuse est $[V W]$ .

Pour l’angle $U V W$ (sommet $V$ ) : le côté adjacent est $[U V]$ , le côté opposé est $[U W]$ .

Pour l’angle $U W V$ (sommet $W$ ), les rôles s’échangent : le côté adjacent est $[U W]$ , le côté opposé est $[U V]$ . L’hypoténuse reste $[V W]$ .

Si $U V W = 38 °$ , alors $U W V = 90 ° - 38 ° = 52 °$ .

Repérer les côtés par leurs lettres

Le nom de l’hypoténuse ne contient pas la lettre de l’angle droit ( $U$ ). Le nom du côté adjacent contient la lettre de l’angle droit et celle du sommet de l’angle ( $U$ et $V$ : $[U V]$ ). Le côté opposé est le seul dont le nom ne contient pas la lettre du sommet de l’angle ( $[U W]$ pour l’angle de sommet $V$ ).

Réflexe — je repère d’abord l’angle droit (l’hypoténuse est en face), puis le sommet de l’angle aigu dont on parle : le côté adjacent touche ce sommet, le côté opposé est en face.

Attention — « adjacent » et « opposé » changent avec l’angle choisi ; « hypoténuse » jamais. L’hypoténuse touche aussi le sommet de l’angle aigu, mais ce n’est pas le côté adjacent : le côté adjacent est toujours un côté de l’angle droit.

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Le cosinus d’un angle aigu

Ce qu’il faut savoirDans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l’hypoténuse :

\cos (angle) = \frac{côté adjacent}{hypoténuse}

A B C

est rectangle en

A

\cos (A B C) = \frac{A B}{B C}

\cos (A C B) = \frac{A C}{B C}

.
Le cosinus ne dépend que de la mesure de l’angle, pas de la taille du triangle. C’est un nombre sans unité, compris entre 0 et 1 (jamais égal à 0 ni à 1 pour un angle aigu) : plus l’angle est grand, plus son cosinus est petit.
La calculatrice, réglée en degrés, donne le cosinus d’un angle :

\cos (37 °) \approx 0, 799

Exemples

$E F G$ est rectangle en $F$ . Pour l’angle $F E G$ , le côté adjacent est $[E F]$ et l’hypoténuse $[E G]$ : $\cos (F E G) = \frac{E F}{E G}$ . Pour l’angle $F G E$ : $\cos (F G E) = \frac{F G}{E G}$ .

Si $E F = 3, 6$ cm et $E G = 4, 8$ cm : $\cos (F E G) = \frac{3, 6}{4, 8} = 0, 75$ .

Le quotient ne tombe pas toujours juste : si $E F = 5$ cm et $E G = 7$ cm, la valeur exacte est $\cos (F E G) = \frac{5}{7}$ , et $\frac{5}{7} \approx 0, 71$ .

Les deux longueurs doivent être dans la même unité : si $E F = 42$ mm et $E G = 5$ cm, on écrit $E F = 4, 2$ cm, puis $\cos (F E G) = \frac{4, 2}{5} = 0, 84$ .

Pourquoi le cosinus ne dépend que de l’angle

Les triangles $A B C$ (rectangle en $B$ ) et $A D E$ (rectangle en $D$ ) ont le même angle en $A$ . Les droites $(B C)$ et $(D E)$ sont perpendiculaires à la même droite $(A D)$ , donc parallèles : d’après le théorème de Thalès, $A D E$ est un agrandissement de $A B C$ , et toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre (ici $1, 5$ ).

$\frac{A B}{A C} = \frac{3}{5} = 0, 6$ et $\frac{A D}{A E} = \frac{4, 5}{7, 5} = 0, 6$ : le cosinus de l’angle en $A$ est le même dans les deux triangles.

Des valeurs à connaître

Angle	10°	30°	45°	60°	80°
Cosinus	≈ 0,985	≈ 0,866	≈ 0,707	0,5	≈ 0,174

Pourquoi $\cos (60 °) = 0, 5$ exactement ? Dans un triangle équilatéral $A B C$ de côté 2, les trois angles mesurent 60°, et la hauteur $[A H]$ coupe $[B C]$ en son milieu $H$ (vu en 5e). Le triangle $A B H$ est rectangle en $H$ :

$\cos (A B H) = \frac{B H}{A B} = \frac{1}{2} = 0, 5$ , donc $\cos (60 °) = 0, 5$ .

Réflexe — CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse. J’écris d’abord le quotient avec les lettres, puis je remplace par les longueurs, dans la même unité.

Attention — le cosinus n’est pas proportionnel à l’angle : $\cos (60 °) = 0, 5$ , mais $\cos (30 °) \approx 0, 866$ et non 0,25. Un cosinus supérieur ou égal à 1 signale une erreur (les deux côtés inversés). Et en mode radians, la calculatrice affiche $\cos (60) \approx - 0, 952$ : il faut le mode degrés.

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Calculer une longueur avec le cosinus

Ce qu’il faut savoirOn connaît un angle aigu et une longueur : le côté adjacent ou l’hypoténuse. On écrit le cosinus de l’angle, on remplace par les valeurs, puis on isole la longueur cherchée :
• le côté adjacent est cherché : on multiplie,

adjacent = hypoténuse \times \cos (angle)

;
• l’hypoténuse est cherchée : on divise,

hypoténuse = \frac{adjacent}{\cos (angle)}

.
On tape le cosinus à la calculatrice (en mode degrés) seulement au dernier calcul, et on arrondit le résultat à la fin.

Rédiger en cinq lignes

1. Je nomme le triangle et je dis en quel sommet il est rectangle (le mot « rectangle » est obligatoire). 2. J’écris le cosinus de l’angle avec les lettres. 3. Je remplace par les valeurs. 4. J’isole la longueur cherchée. 5. Je conclus avec la valeur arrondie et l’unité.

Exemples

Côté adjacent cherché. $A B C$ est rectangle en $A$ , $A B C = 36 °$ et $B C = 7, 5$ cm.
Dans le triangle $A B C$ rectangle en $A$ : $\cos (A B C) = \frac{A B}{B C}$ .
$\cos (36 °) = \frac{A B}{7, 5}$
$A B = 7, 5 \times \cos (36 °)$
$A B \approx 6, 07$ cm (au centième).

Exemples

Hypoténuse cherchée. $M N P$ est rectangle en $M$ , $M N P = 52 °$ et $M N = 4, 2$ cm.
Dans le triangle $M N P$ rectangle en $M$ : $\cos (M N P) = \frac{M N}{N P}$ .
$\cos (52 °) = \frac{4, 2}{N P}$
$N P = \frac{4, 2}{\cos (52 °)}$
$N P \approx 6, 82$ cm (au centième).

Contrôle : l’hypoténuse trouvée est plus longue que le côté adjacent ( $6, 82 > 4, 2$ ) ; le côté adjacent trouvé est plus court que l’hypoténuse ( $6, 07 < 7, 5$ ).

Pour isoler $N P$ , on peut aussi lire $\frac{\cos (52 °)}{1} = \frac{4, 2}{N P}$ comme une égalité de deux quotients et faire un produit en croix : $N P = \frac{4, 2 \times 1}{\cos (52 °)}$ .

Réflexe — la longueur cherchée est en haut du quotient : je multiplie par le cosinus ; elle est en bas : je divise par le cosinus.

Attention — multiplier au lieu de diviser pour l’hypoténuse donne un résultat plus petit que le côté adjacent : c’est impossible. Et on n’arrondit pas le cosinus avant de calculer : avec $\cos (52 °) \approx 0, 6$ , on trouverait 7 cm au lieu de 6{,}82 cm.

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Calculer un angle avec la touche cos⁻¹

Ce qu’il faut savoirOn connaît le côté adjacent et l’hypoténuse : on calcule d’abord le cosinus de l’angle (le quotient), puis on retrouve la mesure de l’angle avec la touche

\cos^{- 1}

de la calculatrice, qui fait le chemin inverse de la touche cos :

\cos^{- 1} (0, 5) = 60 °

, car

\cos (60 °) = 0, 5

.
Sur beaucoup de calculatrices,

\cos^{- 1}

est écrit au-dessus de la touche cos : on l’obtient avec la touche « seconde » ou « shift ». La calculatrice doit être en mode degrés.
Une fois un angle aigu trouvé, l’autre angle aigu mesure 90° moins le premier.

Exemples

$D E F$ est rectangle en $D$ , $D E = 5, 4$ cm et $E F = 8, 1$ cm.
Dans le triangle $D E F$ rectangle en $D$ : $\cos (D E F) = \frac{D E}{E F} = \frac{5, 4}{8, 1} = \frac{2}{3}$ .
$D E F = \cos^{- 1} (\frac{2}{3}) \approx 48, 2 °$ (au dixième).

L’autre angle aigu : $D F E \approx 90 ° - 48, 2 ° = 41, 8 °$ .

Astuce — on tape directement $\cos^{- 1} (5, 4 \div 8, 1)$ , avec les parenthèses. Arrondir d’abord le quotient à 0,67 donnerait $\cos^{- 1} (0, 67) \approx 47, 9 °$ : un résultat faux au dixième.

Sans calculatrice : lire une table de cosinus

Angle	72°	73°	74°	75°
Cosinus	0,309	0,292	0,276	0,259

Un angle aigu dont le cosinus vaut 0,292 mesure environ 73°. Si le cosinus vaut 0,28, il est compris entre 0,292 et 0,276 : l’angle est entre 73° et 74° (le cosinus diminue quand l’angle augmente). Les valeurs de la table sont arrondies au millième.

Réflexe — pour un angle, je calcule le quotient adjacent ÷ hypoténuse, j’applique $\cos^{- 1}$ au quotient exact et j’arrondis seulement l’angle.

Attention — $\cos (5, 4 \div 8, 1)$ n’est pas l’angle : c’est la touche $\cos^{- 1}$ qu’il faut. Un cosinus proche de 1 donne un petit angle ; un cosinus proche de 0 donne un angle proche de 90°.

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Choisir le bon outil : cosinus, Pythagore ou angles

Ce qu’il faut savoirDans un triangle rectangle, on choisit l’outil selon les données :

Je connais…	Je cherche…	Outil
deux longueurs	la troisième longueur	théorème de Pythagore
un angle aigu et une longueur	le côté adjacent ou l’hypoténuse	cosinus
le côté adjacent et l’hypoténuse	l’angle	cosinus, puis $\cos^{- 1}$
un angle aigu	l’autre angle aigu	90° − angle

Si la longueur connue (ou cherchée) est le côté opposé à l’angle donné, on change d’angle : le côté opposé à un angle aigu est le côté adjacent à l’autre angle aigu, qui mesure 90° moins le premier.

Exemples

$G H I$ est rectangle en $G$ , $G H = 8$ cm et $H I = 17$ cm. Deux longueurs pour la troisième : d’après le théorème de Pythagore, $G I^{2} = 17^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225$ , donc $G I = 15$ cm.

Pour l’angle : $\cos (G H I) = \frac{G H}{H I} = \frac{8}{17}$ , donc $G H I = \cos^{- 1} (\frac{8}{17}) \approx 61, 9 °$ ; puis $G I H \approx 90 ° - 61, 9 ° = 28, 1 °$ .

Exemples

$J K L$ est rectangle en $J$ , $J K L = 27 °$ et $J L = 4$ cm ; on cherche $K L$ . $[J L]$ est le côté opposé à $J K L$ : on change d’angle. $J L K = 90 ° - 27 ° = 63 °$ , et $[J L]$ est le côté adjacent à $J L K$ .
Dans le triangle $J K L$ rectangle en $J$ : $\cos (J L K) = \frac{J L}{K L}$ , donc $\cos (63 °) = \frac{4}{K L}$ et $K L = \frac{4}{\cos (63 °)} \approx 8, 81$ cm.

Les trois erreurs classiques

① Prendre le côté opposé à la place du côté adjacent. ② Multiplier au lieu de diviser pour l’hypoténuse (le résultat est plus petit que le côté adjacent : impossible). ③ Calculer en mode radians au lieu du mode degrés.

Réflexe — je trie les données : deux longueurs pour une longueur → Pythagore ; un angle et une longueur → cosinus ; deux longueurs pour un angle → $\cos^{- 1}$ ; un angle pour l’autre → 90° − angle.

Attention — le cosinus relie seulement le côté adjacent et l’hypoténuse. Avec le côté opposé, je change d’angle ; je n’écris jamais « cosinus = opposé ÷ hypoténuse ».

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Pour aller plus loin

Liens — l’hypoténuse, le théorème de Pythagore et sa réciproque : voir Théorème de Pythagore : calculer, réciproque. Les triangles emboîtés et l’agrandissement, qui expliquent pourquoi le cosinus ne dépend que de l’angle : voir Théorème de Thalès : triangles emboîtés.

Se verra en 3e — le sinus (côté opposé ÷ hypoténuse) et la tangente (côté opposé ÷ côté adjacent) d’un angle aigu, qui complètent le cosinus pour calculer des longueurs et des angles avec le côté opposé.

À retenir

Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est opposée à l’angle droit ; pour un angle aigu, le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui passe par son sommet, le côté opposé celui qui est en face. Les deux angles aigus ont pour somme 90°.
Cosinus d’un angle aigu = côté adjacent ÷ hypoténuse (CAH). C’est un nombre entre 0 et 1, qui ne dépend que de l’angle et diminue quand l’angle augmente ; cos(60°) = 0,5.
Longueur : adjacent = hypoténuse × cos(angle) ; hypoténuse = adjacent ÷ cos(angle). Calculatrice en degrés, arrondi à la fin.
Angle : on calcule le quotient adjacent ÷ hypoténuse, puis on applique la touche cos⁻¹ ; l’autre angle aigu vaut 90° moins le premier.
Choisir l’outil : Pythagore pour trois longueurs, cosinus dès qu’un angle intervient ; avec le côté opposé, on change d’angle.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le côté adjacent et le côté opposé à un angle ?

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu, le côté adjacent est le côté de l’angle droit qui passe par le sommet de cet angle ; le côté opposé est le côté de l’angle droit qui est en face. L’hypoténuse, en face de l’angle droit, ne change jamais. Si UVW est rectangle en U, pour l’angle de sommet V : adjacent [UV], opposé [UW], hypoténuse [VW].

Comment calculer le cosinus d’un angle ?

Dans un triangle rectangle, cosinus d’un angle aigu = côté adjacent ÷ hypoténuse (CAH). Avec un côté adjacent de 3,6 cm et une hypoténuse de 4,8 cm, le cosinus vaut 3,6 ÷ 4,8 = 0,75. C’est toujours un nombre entre 0 et 1, qui ne dépend que de l’angle.

Comment calculer une longueur avec le cosinus ?

On écrit le cosinus de l’angle avec les lettres, on remplace, puis on isole : le côté adjacent = hypoténuse × cos(angle) ; l’hypoténuse = côté adjacent ÷ cos(angle). Si ABC est rectangle en A, avec un angle ABC de 36° et BC = 7,5 cm, AB = 7,5 × cos(36°) ≈ 6,07 cm.

Comment trouver un angle avec le cosinus ?

On calcule le quotient côté adjacent ÷ hypoténuse, puis on utilise la touche cos⁻¹ de la calculatrice en mode degrés. Avec 5,4 cm et 8,1 cm, le quotient vaut 2/3 et l’angle mesure environ 48,2°. L’autre angle aigu mesure 90° moins le premier.

Quand utiliser le cosinus plutôt que le théorème de Pythagore ?

Pythagore relie les trois longueurs d’un triangle rectangle, sans angle. Dès qu’un angle aigu est donné ou cherché, on utilise le cosinus (adjacent et hypoténuse). Si la longueur connue est le côté opposé à l’angle, on passe à l’autre angle aigu, qui mesure 90° moins le premier.

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