Ce cours de mathématiques en quatrième sur « Le cosinus dans le triangle rectangle » suit le programme officiel de mathématiques de quatrième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Le triangle rectangle : le vocabulaire, Adjacent ou opposé ? Le bon réflexe, La définition du cosinus, La calculatrice : cos, et les degrés. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de quatrième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Le triangle rectangle : hypoténuse, adjacent, opposé
2 · Adjacent ou opposé ? Le bon réflexe
3 · La définition du cosinus (CAH)
4 · La calculatrice : cos, cos⁻¹ et les degrés
5 · Calculer une longueur avec le cosinus
6 · Calculer un angle avec le cosinus inverse
7 · Longueur ou angle ? Bien choisir
8 · Soigner la rédaction et les arrondis
1Le triangle rectangle : le vocabulaire
Tout commence par un triangle rectangle : un triangle qui possède un angle droit (90°), repéré par un petit carré. Pour parler du cosinus, il faut savoir nommer les trois côtés par rapport à un angle aigu choisi.
Définitions.
L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : c'est toujours le plus long côté. Elle ne change jamais.
Le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui touche cet angle et qui forme l'angle droit (ce n'est PAS l'hypoténuse).
Le côté opposé à un angle aigu est le côté « en face » de cet angle (il ne le touche pas).
Sur le triangle ci-dessous, l'angle droit est en B. On s'intéresse à l'angle aigu en A :
Hypoténuse : [AC] (face à l'angle droit B).
Côté adjacent à l'angle A : [AB] (il touche A et l'angle droit).
Côté opposé à l'angle A : [BC] (en face de A).
⚠️ L'hypoténuse ne dépend pas de l'angle choisi : c'est toujours le côté de l'angle droit. En revanche « adjacent » et « opposé » changent de place selon que l'on regarde l'angle A ou l'angle C.
2Adjacent ou opposé ? Le bon réflexe
C'est l'étape qui fait le plus d'erreurs. Pour un angle aigu donné, pose-toi deux questions dans l'ordre :
Méthode pour repérer les côtés (pour un angle aigu donné).
Je repère l'hypoténuse : c'est le côté face à l'angle droit (le plus long).
Parmi les deux côtés restants, l'adjacent est celui qui touche mon angle ; l'autre est l'opposé.
Reprenons le même triangle, mais regardons cette fois l'angle C (toujours angle droit en B) :
Pour l'angle…
Hypoténuse
Côté adjacent
Côté opposé
angle A
[AC]
[AB]
[BC]
angle C
[AC]
[BC]
[AB]
💡 L'hypoténuse est la même pour les deux angles aigus. Seuls « adjacent » et « opposé » s'échangent quand on change d'angle.
3La définition du cosinus
Définition. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient :
cos(angle) = côté adjacent à l'anglehypoténuse
Pour l'angle A du triangle de la partie 1 :
cos(A) = adjacenthypoténuse = ABAC
💡 Moyen mnémotechnique : « CAH » → Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse. (En entier : SOH-CAH-TOA, mais en 4e on n'utilise que CAH.)
⚠️ Le cosinus est un quotient de deux longueurs : c'est un nombre sans unité. Comme l'adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, on a toujours 0 < cos(angle) < 1 pour un angle aigu.
Le cosinus ne dépend que de l'angle, pas de la taille du triangle : si on agrandit un triangle, les longueurs doublent toutes les deux et le quotient ne change pas. C'est pour cela qu'on peut le lire dans une calculatrice.
4La calculatrice : cos, et les degrés
La calculatrice connaît la valeur du cosinus de chaque angle. Avant tout calcul, vérifie qu'elle est en mode degré (l'écran affiche D ou DEG, et pas R / RAD ni G / GRAD).
Deux touches à connaître.
cos : donne le cosinus d'un angle. Ex. cos(60°) = 0,5.
cos⁻¹ (souvent 2nde + cos, parfois écrit acos ou Arccos) : fait l'inverse, il retrouve l'angle quand on connaît le cosinus.
Je tape…
J'obtiens…
Sens
cos(50°)
≈ 0,643
angle → cosinus
cos⁻¹(0,643)
≈ 50°
cosinus → angle
⚠️ Erreur classique : la calculatrice en radians donne des résultats faux (par ex. cos(60) ≈ −0,95 au lieu de 0,5). Repasse-la en DEG.
5Calculer une LONGUEUR avec le cosinus
On connaît un angle aigu et une longueur, et on cherche une autre longueur. On écrit la formule du cosinus, puis on résout.
Méthode pas à pas.
Repérer l'angle utilisé, son adjacent et l'hypoténuse.
Écrire cos(angle) = adjacent ÷ hypoténuse.
Remplacer par les nombres connus.
Isoler la longueur cherchée (produit en croix), puis calculer.
Cas 1 — on cherche le côté adjacent
Triangle rectangle en B, angle A = 40°, hypoténuse AC = 8 cm. On cherche le côté adjacent AB.
cos(A) = ABAC donc cos(40°) = AB8
D'où AB = 8 × cos(40°) ≈ 8 × 0,766 ≈ 6,1 cm.
Cas 2 — on cherche l'hypoténuse
Triangle rectangle en B, angle A = 35°, côté adjacent AB = 5 cm. On cherche l'hypoténuse AC.
cos(35°) = ABAC = 5AC
L'inconnue est au dénominateur : AC = 5cos(35°) ≈ 50,819 ≈ 6,1 cm.
💡 Astuce de placement. Si l'inconnue est en haut de la fraction → on multiplie par l'hypoténuse. Si l'inconnue est en bas → on divise la longueur connue par le cosinus.
6Calculer un ANGLE avec le cosinus inverse
On connaît cette fois deux longueurs (l'adjacent et l'hypoténuse) et on cherche la mesure de l'angle. On calcule d'abord le cosinus, puis on utilise la touche cos⁻¹.
Méthode pas à pas.
Vérifier qu'on a bien l'adjacent et l'hypoténuse de l'angle cherché.
Calculer cos(angle) = adjacent ÷ hypoténuse (un nombre entre 0 et 1).
Taper cos⁻¹ de ce nombre pour obtenir l'angle.
Arrondir (souvent au degré près).
Exemple. Triangle rectangle en B avec AB = 4 cm (adjacent) et AC = 9 cm (hypoténuse). On cherche l'angle A.
cos(A) = ABAC = 49 ≈ 0,444
Donc A = cos⁻¹(0,444) ≈ 64° (arrondi au degré).
⚠️ N'utilise cos⁻¹ que sur un nombre entre 0 et 1. Si tu obtiens un quotient supérieur à 1, c'est que tu as inversé adjacent et hypoténuse : recommence.
7Longueur ou angle ? Bien choisir
Avant de te lancer, regarde ce qui est connu et ce qui est cherché. Tout le chapitre tient dans ce tableau :
Ce que je connais
Ce que je cherche
J'utilise…
un angle + l'hypoténuse
l'adjacent
adjacent = hyp × cos(angle)
un angle + l'adjacent
l'hypoténuse
hyp = adjacent ÷ cos(angle)
l'adjacent + l'hypoténuse
l'angle
angle = cos⁻¹(adjacent ÷ hyp)
💡 Repère-toi à la question : si on demande une longueur en cm → touche cos. Si on demande un angle en degrés → touche cos⁻¹.
⚠️ Le cosinus relie l'adjacent et l'hypoténuse. Si le problème ne fait intervenir que l'opposé, le cosinus n'est pas l'outil prévu en 4e : reformule pour faire apparaître l'adjacent et l'hypoténuse.
8Soigner la rédaction et les arrondis
Bien rédiger
Une réponse complète comporte toujours trois temps :
une phrase de justification : « Dans le triangle ABC rectangle en B, … » ;
la formule du cosinus avec les bons côtés ;
le calcul puis la réponse avec son unité (cm) ou son symbole (°).
Arrondir correctement
Règle d'arrondi. On regarde le chiffre juste après le rang demandé : s'il est 0 à 4 on garde, s'il est 5 à 9 on augmente de 1.
Longueur 6,078 cm arrondie au mm (dixième de cm) → 6,1 cm.
Angle 63,61° arrondi au degré → 64°.
💡 Garde toutes les décimales dans la calculatrice jusqu'au bout, et n'arrondis qu'à la dernière ligne. Arrondir trop tôt fausse le résultat final.
🎓 Récap express : hypoténuse = face à l'angle droit (le plus long) · adjacent = touche l'angle · CAH → cos = adjacenthypoténuse · calculatrice en DEG · cherche une longueur → touche cos · cherche un angle → touche cos⁻¹ · inconnue en bas de la fraction → on divise · on n'arrondit qu'à la fin.