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Cosinus : dans le triangle rectangle

Rappels sur le triangle rectangle (hypoténuse, angles aigus de somme 90°), côté adjacent et côté opposé à un angle aigu, définition du cosinus (adjacent ÷ hypoténuse) et ses propriétés (il ne dépend que de l’angle, il est compris entre 0 et 1), calcul d’une longueur, calcul d’un angle avec la touche cos⁻¹ ou une table, choix entre cosinus et théorème de Pythagore.

À propos de cette page
Un QCM sur le cosinus dans le triangle rectangle en trois niveaux de douze questions : vocabulaire, définition adjacent ÷ hypoténuse, valeurs à connaître, réglage de la calculatrice, calcul de longueurs et d’angles, changement d’angle et erreurs classiques. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Le cosinus d’un angle aigu se définit dans un triangle…

    • A. isocèle
    • B. quelconque
    • C. rectangle
    • D. équilatéral
    Réponse

    C. rectangle — Il faut un angle droit pour parler d’hypoténuse et de côté adjacent : le triangle est rectangle.

  2. Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal à…

    • A. côté opposé ÷ hypoténuse
    • B. côté adjacent ÷ hypoténuse
    • C. côté adjacent ÷ côté opposé
    • D. hypoténuse ÷ côté adjacent
    Réponse

    B. côté adjacent ÷ hypoténuse — CAH : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse.

  3. L’hypoténuse d’un triangle rectangle est…

    • A. le côté qui touche l’angle étudié
    • B. le côté opposé à l’angle étudié
    • C. le côté opposé à l’angle droit
    • D. le plus court des trois côtés
    Réponse

    C. le côté opposé à l’angle droit — L’hypoténuse est en face de l’angle droit ; c’est aussi le plus long côté, quel que soit l’angle étudié.

  4. Le cosinus d’un angle aigu est un nombre…

    • A. toujours plus grand que 1
    • B. compris entre 0 et 1
    • C. toujours égal à 0,5
    • D. compris entre 0 et 90
    Réponse

    B. compris entre 0 et 1 — Le côté adjacent est plus court que l’hypoténuse : leur quotient est compris entre 0 et 1. Le cosinus n’est pas un angle, il n’est pas en degrés.

  5. cos(60°) vaut…

    • A. 0,6
    • B. 0,866
    • C. 1
    • D. 0,5
    Réponse

    D. 0,5 — Valeur exacte à connaître : cos(60°) = 0,5 (moitié d’un triangle équilatéral). 0,866 est une valeur approchée de cos(30°).

  6. Dans le triangle MNP rectangle en N, le côté adjacent à l’angle NMP est…

    • A. [MN]
    • B. [NP]
    • C. [MP]
    • D. cela dépend des longueurs
    Réponse

    A. [MN] — C’est le côté de l’angle droit qui passe par le sommet M : [MN]. [MP] est l’hypoténuse et [NP] le côté opposé.

  7. Dans le triangle RST rectangle en S, l’hypoténuse est…

    • A. [RS]
    • B. [ST]
    • C. cela dépend de l’angle étudié
    • D. [RT]
    Réponse

    D. [RT] — L’hypoténuse est opposée à l’angle droit en S : c’est [RT], quel que soit l’angle aigu étudié.

  8. Plus un angle aigu est petit, plus son cosinus est…

    • A. proche de 0
    • B. proche de 1
    • C. proche de 0,5
    • D. négatif
    Réponse

    B. proche de 1 — Quand l’angle diminue, le côté adjacent se rapproche de l’hypoténuse : cos(10°) ≈ 0,985.

  9. Pour retrouver un angle à partir de son cosinus, on utilise…

    • A. la touche cos
    • B. la touche x² puis √
    • C. la touche cos⁻¹
    • D. la touche ÷ seulement
    Réponse

    C. la touche cos⁻¹ — La touche cos⁻¹ fait le chemin inverse de la touche cos : elle donne l’angle dont on connaît le cosinus.

  10. Pour calculer un cosinus, la calculatrice doit être réglée en mode…

    • A. radians (RAD)
    • B. degrés (DEG)
    • C. grades (GRA)
    • D. fraction
    Réponse

    B. degrés (DEG) — Les angles sont mesurés en degrés : en mode radians, cos(60) affiche environ −0,952 au lieu de 0,5.

  11. Côté adjacent 3,6 cm et hypoténuse 9 cm : le cosinus vaut…

    • A. 2,5
    • B. 0,4
    • C. 0,36
    • D. 0,25
    Réponse

    B. 0,4 — 3,6 ÷ 9 = 0,4. Le quotient 9 ÷ 3,6 = 2,5 est plus grand que 1 : impossible pour un cosinus.

  12. Le cosinus d’un angle aigu dépend…

    • A. de la seule mesure de l’angle
    • B. de la taille du triangle
    • C. de la longueur de l’hypoténuse
    • D. de l’unité de longueur choisie
    Réponse

    A. de la seule mesure de l’angle — Agrandir le triangle multiplie le côté adjacent et l’hypoténuse par le même nombre : le quotient ne change pas.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Angle de 25° et hypoténuse de 10 cm (cos(25°) ≈ 0,906). Le côté adjacent mesure environ…

    • A. 11,0 cm
    • B. 9,1 cm
    • C. 2,5 cm
    • D. 0,9 cm
    Réponse

    B. 9,1 cm — Adjacent = hypoténuse × cosinus : 10 × 0,906 = 9,06, soit environ 9,1 cm.

  2. Angle de 70° et côté adjacent de 6 cm (cos(70°) ≈ 0,342). L’hypoténuse mesure environ…

    • A. 2,1 cm
    • B. 6,3 cm
    • C. 17,5 cm
    • D. 20,5 cm
    Réponse

    C. 17,5 cm — Hypoténuse = adjacent ÷ cosinus : 6 ÷ 0,342 ≈ 17,5 cm, plus long que le côté adjacent.

  3. Un angle aigu x a pour cosinus 0,6. Il mesure environ…

    • A. 60°
    • B. 37°
    • C. 31°
    • D. 53°
    Réponse

    D. 53° — cos⁻¹(0,6) ≈ 53,1°. Le cosinus n’est pas proportionnel à l’angle : 60° ne convient pas (cos(60°) = 0,5).

  4. On a écrit cos(41°) = x ÷ 9. Alors…

    • A. x = 9 ÷ cos(41°)
    • B. x = cos(41°) ÷ 9
    • C. x = 9 × cos(49°)
    • D. x = 9 × cos(41°)
    Réponse

    D. x = 9 × cos(41°) — La longueur cherchée est en haut du quotient : on multiplie, x = 9 × cos(41°).

  5. On a écrit cos(29°) = 7 ÷ y. Alors…

    • A. y = 7 ÷ cos(29°)
    • B. y = 7 × cos(29°)
    • C. y = cos(29°) ÷ 7
    • D. y = 7 + cos(29°)
    Réponse

    A. y = 7 ÷ cos(29°) — La longueur cherchée est en bas du quotient : on divise, y = 7 ÷ cos(29°).

  6. Un angle aigu a un cosinus de 0,9. Cet angle est…

    • A. plus petit que 45°
    • B. plus grand que 45°
    • C. égal à 9°
    • D. égal à 81°
    Réponse

    A. plus petit que 45° — cos(45°) ≈ 0,707 et 0,9 est plus grand : l’angle est plus petit que 45° (cos⁻¹(0,9) ≈ 25,8°). Plus le cosinus est proche de 1, plus l’angle est petit.

  7. Dans un triangle rectangle, le cosinus de l’angle ABC vaut 5/8. L’angle ABC mesure environ…

    • A. 51°
    • B. 39°
    • C. 63°
    • D. 58°
    Réponse

    A. 51° — cos⁻¹(5 ÷ 8) ≈ 51,3°, soit environ 51°. 39° est l’autre angle aigu (90° − 51°).

  8. Dans un triangle rectangle isocèle, le cosinus de chaque angle aigu vaut environ…

    • A. 0,5
    • B. 0,866
    • C. 0,707
    • D. 1
    Réponse

    C. 0,707 — Les angles aigus mesurent 45° : cos(45°) ≈ 0,707.

  9. Côté adjacent 4,6 cm et hypoténuse 5 cm. L’angle mesure environ…

    • A. 23°
    • B. 67°
    • C. 92°
    • D. 46°
    Réponse

    A. 23° — 4,6 ÷ 5 = 0,92 et cos⁻¹(0,92) ≈ 23,1°. 67° est l’autre angle aigu ; 92° n’est pas un angle aigu.

  10. Hypoténuse de 15 cm, angle de 60°. Le côté adjacent mesure…

    • A. 30 cm
    • B. 13 cm
    • C. 0,5 cm
    • D. 7,5 cm
    Réponse

    D. 7,5 cm — 15 × cos(60°) = 15 × 0,5 = 7,5 cm.

  11. PQR est rectangle en P, PQ = 4,8 cm et QR = 7,5 cm. Le cosinus de l’angle PQR vaut…

    • A. 0,36
    • B. 0,64
    • C. 1,56
    • D. 0,48
    Réponse

    B. 0,64 — Adjacent [PQ], hypoténuse [QR] : 4,8 ÷ 7,5 = 0,64.

  12. ABC est rectangle en A et le cosinus de l’angle ABC vaut 0,25. Le côté [AB] est…

    • A. quatre fois plus long que [BC]
    • B. quatre fois plus court que [BC]
    • C. exactement égal à [BC]
    • D. vingt-cinq fois plus court que [BC]
    Réponse

    B. quatre fois plus court que [BC] — AB = 0,25 × BC : le côté adjacent vaut un quart de l’hypoténuse.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. ABC est rectangle en A, AC = 5 cm et l’angle ABC mesure 40°. Pour calculer BC avec un cosinus, on écrit…

    • A. cos(40°) = AC ÷ BC
    • B. cos(40°) = BC ÷ AC
    • C. cos(50°) = AC ÷ BC
    • D. cos(50°) = BC ÷ AC
    Réponse

    C. cos(50°) = AC ÷ BC — [AC] est opposé à l’angle ABC, mais adjacent à l’angle ACB, qui mesure 90° − 40° = 50° : cos(50°) = AC ÷ BC.

  2. Un élève trouve cos(x) = 1,2. On peut affirmer que…

    • A. l’angle x est obtus
    • B. l’angle x vaut 0°
    • C. l’angle x mesure environ 50°
    • D. il a inversé les deux côtés
    Réponse

    D. il a inversé les deux côtés — Un cosinus plus grand que 1 est impossible : il a divisé l’hypoténuse par le côté adjacent.

  3. Sur une calculatrice réglée en radians, cos(60) affiche environ…

    • A. 0,5
    • B. 0,866
    • C. −0,952
    • D. un message d’erreur
    Réponse

    C. −0,952 — En radians, 60 n’est pas 60° : la calculatrice affiche environ −0,952. Il faut le mode degrés.

  4. Deux angles aigus x et y ont le même cosinus. Alors…

    • A. x et y sont égaux
    • B. x + y = 90°
    • C. x est le double de y
    • D. on ne peut rien dire
    Réponse

    A. x et y sont égaux — Plus l’angle est grand, plus son cosinus est petit : deux angles aigus différents n’ont pas le même cosinus.

  5. Un angle passe de 30° à 60° : il double. Son cosinus…

    • A. double, comme l’angle
    • B. reste le même, car le triangle ne change pas
    • C. est divisé par 2 : environ 0,43
    • D. passe d’environ 0,87 à 0,5
    Réponse

    D. passe d’environ 0,87 à 0,5 — cos(30°) ≈ 0,866 et cos(60°) = 0,5 : le cosinus n’est pas proportionnel à l’angle, il diminue.

  6. ABC est rectangle en A, AB = 7 cm et BC = 25 cm. Le cosinus de l’angle ACB vaut…

    • A. 0,96
    • B. 0,28
    • C. 0,29
    • D. 3,57
    Réponse

    A. 0,96 — Pythagore : AC² = 625 − 49 = 576, donc AC = 24 cm. Adjacent à l’angle ACB : [AC]. 24 ÷ 25 = 0,96.

  7. Un angle aigu a un cosinus de 0,05. Il mesure environ…

    • A. 5°
    • B. 45°
    • C. 95°
    • D. 87°
    Réponse

    D. 87° — cos⁻¹(0,05) ≈ 87,1° : un cosinus proche de 0 donne un angle proche de 90°. 95° n’est pas un angle aigu.

  8. ABC est rectangle en A, le cosinus de l’angle ABC vaut 0,5 et BC = 9 cm. Le côté adjacent à l’angle ACB mesure…

    • A. 4,5 cm
    • B. 18 cm
    • C. environ 7,8 cm
    • D. environ 5,2 cm
    Réponse

    C. environ 7,8 cm — cos(60°) = 0,5 donc l’angle ABC mesure 60° et l’angle ACB 30°. Adjacent à l’angle ACB : 9 × cos(30°) ≈ 7,8 cm. 4,5 cm est le côté adjacent à l’angle ABC.

  9. Le câble d’une tyrolienne, rectiligne, mesure 80 m et descend en faisant un angle de 6° avec l’horizontale. La distance horizontale parcourue est…

    • A. environ 79,6 m
    • B. environ 80,4 m
    • C. exactement 80 m
    • D. environ 74 m
    Réponse

    A. environ 79,6 m — Le câble est l’hypoténuse : 80 × cos(6°) ≈ 79,6 m. 80,4 m est le résultat d’une division, plus long que le câble : impossible.

  10. Pour trouver un angle, un élève tape cos(3 ÷ 8) au lieu de cos⁻¹(3 ÷ 8). Il obtient…

    • A. le bon angle par un autre chemin
    • B. un nombre proche de 1, pas un angle
    • C. 68°, la mesure de l’angle cherché
    • D. 0,375, le cosinus de l’angle cherché
    Réponse

    B. un nombre proche de 1, pas un angle — Il calcule le cosinus d’un angle de 0,375° : environ 0,99998. L’angle cherché est cos⁻¹(3 ÷ 8) ≈ 68°.

  11. Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle mesure x et l’hypoténuse 2x. Cet angle mesure…

    • A. 30°
    • B. 60°
    • C. 45°
    • D. cela dépend de x
    Réponse

    B. 60° — cos = x ÷ 2x = 0,5 quel que soit x : l’angle mesure 60°.

  12. DEF est rectangle en D ; le cosinus de l’angle DEF vaut environ 0,69, celui de l’angle DFE environ 0,72. Le plus grand des deux angles aigus est…

    • A. l’angle DEF
    • B. l’angle DFE
    • C. aucun : ils sont égaux
    • D. impossible à savoir
    Réponse

    A. l’angle DEF — Plus le cosinus est petit, plus l’angle est grand : l’angle DEF (environ 46°) est plus grand que l’angle DFE (environ 44°).

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