Théorème de Pythagore : calculer, réciproque

Réponds par un segment (par exemple « [BC] ») ou par une lettre.

1. Le triangle $BDF$ est rectangle en $D$ : son hypoténuse est
   L’angle droit est en $D$ : l’hypoténuse est le côté opposé, $[BF]$, le seul dont le nom ne contient pas la lettre $D$.
2. Dans le triangle $UVW$, l’hypoténuse est $[UV]$ : l’angle droit est au sommet
   L’angle droit est opposé à l’hypoténuse : c’est le sommet qui n’est pas sur $[UV]$, donc $W$.
3. Le triangle $JKN$ est rectangle en $K$ : un côté de l’angle droit est $[KJ]$, l’autre est
   Les deux côtés de l’angle droit passent par le sommet $K$ : ce sont $[KJ]$ et $[KN]$.
4. Dans le triangle $STU$ rectangle en $S$, le plus long côté est
   Le plus long côté est l’hypoténuse, opposée à l’angle droit en $S$ : $[TU]$.

Complète (longueurs en cm, carrés en cm²).

1. $XYZ$ est rectangle en $Y$, $XY=0,8$ et $YZ=1,5$ : $X{Z}^2=$
   L’hypoténuse est $[XZ]$ : $X{Z}^2=X{Y}^2+Y{Z}^2=0,64+2,25=2,89$.
2. $MNP$ est rectangle en $M$, $N{P}^2=30$ et $M{N}^2=12$ : $M{P}^2=$
   L’hypoténuse est $[NP]$ : $N{P}^2=M{N}^2+M{P}^2$, donc $M{P}^2=30-12=18$.
3. $EFG$ est rectangle en $F$, $E{F}^2=7$ et $F{G}^2=9$ : $E{G}^2=$
   L’hypoténuse est $[EG]$ : $E{G}^2=7+9=16$ (et donc $EG=4$).
4. $3,1^2=$
   $3,1^2=3,1\times 3,1=9,61$ (et non $3,1\times 2=6,2$).

Raisonne avec le cours, sans calculer de racine carrée.

1. Les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent $6$ cm et $9$ cm. L’hypoténuse mesure plus de cm et moins de cm (deux nombres entiers de l’énoncé ou leur somme)
   L’hypoténuse est le plus long côté : plus de $9$ cm. D’après l’inégalité triangulaire, elle est plus courte que la somme des deux autres : moins de $6+9=15$ cm.
2. Les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle mesurent $1$ cm et $3$ cm. Aire du carré construit sur l’hypoténuse : cm²
   L’aire du carré construit sur l’hypoténuse est le carré de l’hypoténuse : $1^2+3^2=1+9=10$ cm².
3. L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure $7$ cm. Parmi $3$ cm, $6,9$ cm, $7$ cm et $9$ cm, combien de longueurs peuvent être celle d’un côté de l’angle droit ?
   Un côté de l’angle droit est strictement plus court que l’hypoténuse : seuls $3$ cm et $6,9$ cm conviennent, soit $2$ longueurs.

On donne les côtés de l’angle droit. Calcule l’hypoténuse (résultat exact, en cm).

1. $1,8$ cm et $2,4$ cm → hypoténuse :
   $1,8^2+2,4^2=3,24+5,76=9$ ; $\sqrt{9}=3$ cm.
2. $1,1$ cm et $6$ cm → hypoténuse :
   $1,1^2+6^2=1,21+36=37,21$ ; $\sqrt{37,21}=6,1$ cm.
3. $2,4$ cm et $7$ cm → hypoténuse :
   $2,4^2+7^2=5,76+49=54,76$ ; $\sqrt{54,76}=7,4$ cm.
4. $6,5$ cm et $7,2$ cm → hypoténuse :
   $6,5^2+7,2^2=42,25+51,84=94,09$ ; $\sqrt{94,09}=9,7$ cm.

Calcule l’hypoténuse, arrondie au dixième de cm.

1. $3,5$ cm et $6$ cm →
   $3,5^2+6^2=12,25+36=48,25$ ; $\sqrt{48,25}\approx 6,946$, soit $6,9$ cm.
2. $8$ cm et $2,5$ cm →
   $8^2+2,5^2=64+6,25=70,25$ ; $\sqrt{70,25}\approx 8,382$, soit $8,4$ cm.
3. $5$ cm et $9$ cm →
   $5^2+9^2=25+81=106$ ; $\sqrt{106}\approx 10,296$, soit $10,3$ cm.
4. $12$ cm et $4,8$ cm →
   ${12}^2+4,8^2=144+23,04=167,04$ ; $\sqrt{167,04}\approx 12,924$, soit $12,9$ cm.

Attention aux unités et aux valeurs approchées.

1. Les côtés de l’angle droit mesurent $50$ cm et $1,2$ m. Hypoténuse en m :
   On convertit : $50$ cm $=0,5$ m. $0,5^2+1,2^2=0,25+1,44=1,69$ ; $\sqrt{1,69}=1,3$ m.
2. On a trouvé $A{B}^2=45$ (en cm²). Valeur approchée de $AB$ au centième :
   Valeur exacte : $AB=\sqrt{45}$ cm. $\sqrt{45}\approx 6,708$, soit $6,71$ cm au centième.
3. Un triangle rectangle isocèle a des côtés de l’angle droit de $5$ cm. Hypoténuse au centième :
   $5^2+5^2=25+25=50$ ; $\sqrt{50}\approx 7,071$, soit $7,07$ cm.

On donne l’hypoténuse et un côté de l’angle droit. Calcule l’autre côté (résultat exact, en cm).

1. Hypoténuse $20$ cm, côté $12$ cm →
   ${20}^2-{12}^2=400-144=256$ ; $\sqrt{256}=16$ cm.
2. Hypoténuse $3,7$ cm, côté $1,2$ cm →
   $3,7^2-1,2^2=13,69-1,44=12,25$ ; $\sqrt{12,25}=3,5$ cm.
3. Hypoténuse $10,1$ cm, côté $2$ cm →
   $10,1^2-2^2=102,01-4=98,01$ ; $\sqrt{98,01}=9,9$ cm.
4. Hypoténuse $5$ cm, côté $1,4$ cm →
   $5^2-1,4^2=25-1,96=23,04$ ; $\sqrt{23,04}=4,8$ cm.

Même question, résultat arrondi au dixième de cm.

1. Hypoténuse $7$ cm, côté $3$ cm →
   $7^2-3^2=49-9=40$ ; $\sqrt{40}\approx 6,325$, soit $6,3$ cm.
2. Hypoténuse $10$ cm, côté $6,5$ cm →
   ${10}^2-6,5^2=100-42,25=57,75$ ; $\sqrt{57,75}\approx 7,599$, soit $7,6$ cm.
3. Hypoténuse $12,5$ cm, côté $8$ cm →
   $12,5^2-8^2=156,25-64=92,25$ ; $\sqrt{92,25}\approx 9,605$, soit $9,6$ cm.
4. Hypoténuse $6,7$ cm, côté $5,9$ cm →
   $6,7^2-5,9^2=44,89-34,81=10,08$ ; $\sqrt{10,08}\approx 3,175$, soit $3,2$ cm.

Repère d’abord l’hypoténuse.

1. $ABC$ est rectangle en $B$, $AB=5$ cm et $AC=9$ cm. $BC$ au dixième de cm :
   L’angle droit est en $B$ : l’hypoténuse est $[AC]$. $B{C}^2=A{C}^2-A{B}^2=81-25=56$ ; $\sqrt{56}\approx 7,483$, soit $7,5$ cm.
2. L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure $1$ m et un côté $60$ cm. L’autre côté, en m :
   En cm : ${100}^2-{60}^2=10000-3600=6400$ ; $\sqrt{6400}=80$ cm, soit $0,8$ m.
3. $KLM$ est rectangle en $L$, $KL=10$ cm et $KM=26$ cm : $LM=$ cm
   L’hypoténuse est $[KM]$ : $L{M}^2=K{M}^2-K{L}^2=676-100=576$ ; $\sqrt{576}=24$ cm.

Calcule le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres côtés (longueurs en cm).

1. Côtés $2,1$ ; $2,8$ ; $3,5$ : et
   D’une part $3,5^2=12,25$ ; d’autre part $2,1^2+2,8^2=4,41+7,84=12,25$. Égalité : le triangle est rectangle.
2. Côtés $5$ ; $6$ ; $8$ : et
   D’une part $8^2=64$ ; d’autre part $5^2+6^2=25+36=61$. $64\ne 61$ : le triangle n’est pas rectangle.
3. Côtés $1,2$ ; $2,6$ ; $2,9$ : et
   D’une part $2,9^2=8,41$ ; d’autre part $1,2^2+2,6^2=1,44+6,76=8,2$. $8,41\ne 8,2$ : le triangle n’est pas rectangle.

Le triangle est-il rectangle ? Écris le sommet de l’angle droit, ou « non » s’il n’est pas rectangle (longueurs en cm).

1. $ABC$ : $AB=6,5$ ; $BC=4,2$ ; $AC=5,6$ →
   Plus grand côté $[AB]$ : $A{B}^2=42,25$ ; $B{C}^2+A{C}^2=17,64+31,36=49$. $42,25\ne 49$ : d’après la contraposée, $ABC$ n’est pas rectangle.
2. $DEF$ : $DE=2,8$ ; $EF=4,5$ ; $DF=5,3$ →
   Plus grand côté $[DF]$ : $D{F}^2=28,09$ ; $D{E}^2+E{F}^2=7,84+20,25=28,09$. Égalité : d’après la réciproque, $DEF$ est rectangle en $E$, le sommet opposé à $[DF]$.
3. $GHI$ : $GH=9$ ; $HI=40$ ; $GI=41$ →
   Plus grand côté $[GI]$ : $G{I}^2=1681$ ; $G{H}^2+H{I}^2=81+1600=1681$. Égalité : $GHI$ est rectangle en $H$.
4. $JKL$ : $JK=13$ ; $KL=85$ ; $JL=84$ →
   Plus grand côté $[KL]$ : $K{L}^2=7225$ ; $J{K}^2+J{L}^2=169+7056=7225$. Égalité : $JKL$ est rectangle en $J$, le sommet qui n’est pas sur $[KL]$.
5. $MNO$ : $MN=6$ ; $NO=7$ ; $MO=9$ →
   Plus grand côté $[MO]$ : $M{O}^2=81$ ; $M{N}^2+N{O}^2=36+49=85$. $81\ne 85$ : $MNO$ n’est pas rectangle.

Convertis d’abord dans la même unité. Écris le sommet de l’angle droit, ou « non ».

1. $PQR$ : $PQ=0,6$ dm ; $QR=8$ cm ; $PR=100$ mm →
   En cm : $PQ=6$, $QR=8$, $PR=10$. $P{R}^2=100$ et $P{Q}^2+Q{R}^2=36+64=100$ : $PQR$ est rectangle en $Q$, le sommet opposé à $[PR]$.
2. $STU$ : $ST=2,4$ m ; $TU=70$ cm ; $SU=2,5$ m →
   En m : $TU=0,7$. $S{U}^2=6,25$ et $S{T}^2+T{U}^2=5,76+0,49=6,25$ : $STU$ est rectangle en $T$.
3. $VWX$ : $VW=4,8$ cm ; $WX=64$ mm ; $VX=0,81$ dm →
   En cm : $4,8$ ; $6,4$ ; $8,1$. $V{X}^2=65,61$ et $V{W}^2+W{X}^2=23,04+40,96=64$. $65,61\ne 64$ : $VWX$ n’est pas rectangle, même si les nombres sont proches.

Repère le triangle rectangle, puis calcule (en cm).

1. Diagonale d’un rectangle de $4,8$ cm sur $5,5$ cm :
   Deux côtés consécutifs et la diagonale forment un triangle rectangle : $4,8^2+5,5^2=23,04+30,25=53,29$ ; $\sqrt{53,29}=7,3$ cm.
2. Diagonale d’un carré de $6$ cm de côté, au dixième :
   $6^2+6^2=36+36=72$ ; $\sqrt{72}\approx 8,485$, soit $8,5$ cm.
3. Côté d’un losange dont les diagonales mesurent $18,6$ cm et $24,8$ cm :
   Les demi-diagonales, $9,3$ cm et $12,4$ cm, sont perpendiculaires : $9,3^2+12,4^2=86,49+153,76=240,25$ ; le côté mesure $\sqrt{240,25}=15,5$ cm.

Une étape de Pythagore, puis on conclut.

1. $ABC$ est isocèle en $A$, $AB=AC=6,5$ cm et $BC=5$ cm. La hauteur $AH$ mesure cm
   La hauteur issue de $A$ coupe la base en son milieu : $BH=2,5$ cm, et $ABH$ est rectangle en $H$. $A{H}^2=6,5^2-2,5^2=42,25-6,25=36$ ; $AH=6$ cm.
2. Aire de ce triangle $ABC$ : cm²
   ${\displaystyle \frac{BC\times AH}{2}}={\displaystyle \frac{5\times 6}{2}}=15$ cm².
3. Une échelle de $4,5$ m est appuyée contre un mur vertical, son pied à $2,7$ m du mur sur un sol horizontal. Hauteur atteinte : m
   Le mur et le sol forment un angle droit ; l’échelle est l’hypoténuse. $4,5^2-2,7^2=20,25-7,29=12,96$ ; $\sqrt{12,96}=3,6$ m.

Deux étapes.

1. Pavé droit de $2$ cm × $4$ cm × $4$ cm (fond de $2$ cm sur $4$ cm). Carré de la diagonale du fond : ; plus grande diagonale du pavé : cm
   Fond : $d^2=2^2+4^2=4+16=20$ (inutile de prendre la racine). La diagonale du fond et l’arête verticale de $4$ cm forment un angle droit : $D^2=20+4^2=36$, donc $D=6$ cm.
2. Un carré a une diagonale de $10$ cm. Son aire : cm²
   Si le côté mesure $c$, Pythagore donne $c^2+c^2={10}^2=100$, donc $c^2=50$. Or l’aire du carré est $c^2$ : $50$ cm².