Cosinus : dans le triangle rectangle

Rappels sur le triangle rectangle (hypoténuse, angles aigus de somme 90°), côté adjacent et côté opposé à un angle aigu, définition du cosinus (adjacent ÷ hypoténuse) et ses propriétés (il ne dépend que de l’angle, il est compris entre 0 et 1), calcul d’une longueur, calcul d’un angle avec la touche cos⁻¹ ou une table, choix entre cosinus et théorème de Pythagore.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où le cosinus sert dans des situations réelles : la rampe d’un camion, la main courante d’un escalier, un parachute ascensionnel, un pont-levis, la tour de Pise et les angles d’un losange.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je fais un schéma et je repère le triangle rectangle : où est l’angle droit, quel angle est donné ou cherché ?
Je nomme les côtés par rapport à cet angle : hypoténuse (en face de l’angle droit), côté adjacent, côté opposé.
Je choisis l’outil : Pythagore pour trois longueurs ; cosinus si un angle intervient (multiplier, diviser ou $\cos^{- 1}$ ) ; avec le côté opposé, je change d’angle.
Je calcule en gardant les valeurs exactes jusqu’au bout (calculatrice en degrés), puis j’arrondis comme demandé.
Je vérifie que le résultat est possible (l’hypoténuse est le plus long côté, un cosinus est entre 0 et 1) et je réponds par une phrase avec l’unité.

Problème 1 · La rampe du camion★★★Facile

La rampe d’un camion de déménagement mesure

3, 2

m. Posée sur un sol horizontal, elle forme un angle de

22 °

avec le sol. La rampe, le sol et la verticale qui descend du bord du camion forment un triangle rectangle.

1. Dans ce triangle, la rampe est (écris hypoténuse, adjacent ou opposé) :
La rampe est en face de l’angle droit formé au sol par la verticale : c’est l’hypoténuse.
2. Distance horizontale entre le pied de la rampe et le camion, au centimètre : m
Le sol est le côté adjacent à l’angle de $22 °$ : $3, 2 \times \cos (22 °) \approx 2, 97$ m.
3. On veut une distance horizontale de $3$ m avec la même rampe. Le cosinus de l’angle doit valoir
$\cos = \frac{3}{3, 2} = 0, 9375$ .
4. L’angle de la rampe avec le sol vaut alors, au degré : °
$\cos^{- 1} (0, 9375) \approx 20, 4 °$ , soit environ $20 °$ : la rampe est moins inclinée.

Problème 2 · La main courante de l’escalier★★★Moyen

La main courante d’un escalier est droite et forme un angle de

35 °

avec l’horizontale. Vue de dessus, elle couvre au sol une longueur horizontale de

4, 2

1. Pour l’angle de $35 °$ , la longueur de $4, 2$ m est le côté (écris adjacent ou opposé) :
L’horizontale passe par le sommet de l’angle et forme l’angle droit avec la verticale : c’est le côté adjacent ; la main courante est l’hypoténuse.
2. Longueur de la main courante, au centimètre : m
$\cos (35 °) = \frac{4, 2}{L}$ , donc $L = \frac{4, 2}{\cos (35 °)} \approx 5, 13$ m.
3. La main courante coûte $38$ € le mètre. Son prix, arrondi à l’euro : €
$\frac{4, 2}{\cos (35 °)} \times 38 \approx 194, 84$ €, soit environ $195$ € (on garde la longueur exacte jusqu’au bout).
4. Avec la même longueur au sol, un escalier plus raide fait un angle de $42 °$ . Longueur de la main courante, au centimètre : m
$\frac{4, 2}{\cos (42 °)} \approx 5, 65$ m : plus l’angle est grand, plus son cosinus est petit, et plus la main courante est longue.

Problème 3 · Le parachute ascensionnel★★★Moyen

Un bateau tire un parachute ascensionnel. Le câble, tendu et rectiligne, forme un angle de

55 °

avec la surface de la mer. On cherche la distance horizontale entre le bateau et le point de la mer situé juste sous le parachute.

1. Avec $25$ m de câble, distance horizontale au dixième de m : m
Le câble est l’hypoténuse : $25 \times \cos (55 °) \approx 14, 3$ m.
2. On déroule $10$ m de câble en plus, l’angle ne change pas. Nouvelle distance horizontale, au dixième : m
$35 \times \cos (55 °) \approx 20, 1$ m.
3. Par quel nombre la distance horizontale a-t-elle été multipliée ?
Le cosinus ne dépend que de l’angle : la distance est proportionnelle à la longueur du câble. Le câble est multiplié par $\frac{35}{25} = 1, 4$ , la distance aussi.
4. Le vent forcit : avec $35$ m de câble, l’angle passe à $64 °$ . Distance horizontale, au dixième : m
$35 \times \cos (64 °) \approx 15, 3$ m : l’angle augmente, la distance diminue.

Problème 4 · Le pont-levis★★★Difficile

Le tablier d’un pont-levis mesure

6, 5

m. Quand on le lève, il tourne autour de son extrémité fixée au sol ; on mesure la distance horizontale entre ce pivot et le bout du tablier.

1. Le bout du tablier est à $5, 72$ m du pivot, horizontalement. Cosinus de l’angle entre le tablier et le sol :
$\frac{5, 72}{6, 5} = 0, 88$ (côté adjacent ÷ hypoténuse).
2. Cet angle, arrondi au degré : °
$\cos^{- 1} (0, 88) \approx 28, 4 °$ .
3. On continue à lever : la distance horizontale n’est plus que $2, 6$ m. Angle avec le sol, au degré : °
$\cos^{- 1} (2, 6 \div 6, 5) = \cos^{- 1} (0, 4) \approx 66, 4 °$ .
4. À quelle distance horizontale du pivot se trouve le bout du tablier quand l’angle vaut $45 °$ ? (au centimètre) m
$6, 5 \times \cos (45 °) \approx 4, 60$ m.

Problème 5 · La tour de Pise★★★Difficile

On modélise la tour de Pise par un segment de

56

m (son axe), qui fait avec la verticale un angle de

3, 97 °

depuis les travaux de stabilisation terminés en 2001. La hauteur du sommet est le côté adjacent à cet angle.

1. Hauteur du sommet au-dessus du sol, au dixième de m : m
L’axe est l’hypoténuse : $56 \times \cos (3, 97 °) \approx 55, 9$ m.
2. Avant les travaux, en 1990, l’angle avec la verticale atteignait $5, 5 °$ . Hauteur du sommet à l’époque, au dixième : m
$56 \times \cos (5, 5 °) \approx 55, 7$ m.
3. Aujourd’hui, de combien de centimètres le sommet est-il plus bas que s’il était droit, à 56 m ? (au cm) cm
$56 - 56 \times \cos (3, 97 °) \approx 0, 134$ m, soit environ $13$ cm : les angles sont petits, leurs cosinus sont très proches de 1.
4. De combien de degrés la tour devrait-elle pencher pour que son sommet soit à $55$ m de haut ? (au degré) °
$\cos (angle) = \frac{55}{56}$ , donc angle $= \cos^{- 1} (55 \div 56) \approx 10, 8 °$ .

Problème 6 · Les angles du losange★★★Difficile

Un losange a des diagonales de

12

cm et

16

cm. Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires ; chacune est un axe de symétrie du losange.

1. Un côté du losange est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $6$ cm et $8$ cm. Longueur d’un côté : cm
D’après le théorème de Pythagore : $c^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$ , donc $c = 10$ cm.
2. Cosinus de l’angle entre un côté et la grande diagonale :
Côté adjacent : la demi-grande diagonale, $8$ cm ; hypoténuse : $10$ cm. $\frac{8}{10} = 0, 8$ .
3. Cet angle, arrondi au dixième de degré : °
$\cos^{- 1} (0, 8) \approx 36, 9 °$ .
4. Les angles du losange, arrondis au degré : ° et ° (le plus petit d’abord)
La grande diagonale est un axe de symétrie : elle partage l’angle en deux angles égaux. Angle du losange : $2 \times \cos^{- 1} (0, 8) \approx 73, 74 °$ , soit environ $74 °$ . Deux angles consécutifs d’un losange ont pour somme $180 °$ : l’autre angle vaut environ $180 ° - 73, 74 ° = 106, 26 °$ , soit $106 °$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs