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Ces problèmes corrigés sur « Le cosinus dans le triangle rectangle » en quatrième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de quatrième et se résolvent étape par étape. Au programme : Le triangle rectangle : le vocabulaire, Adjacent ou opposé ? Le bon réflexe, La définition du cosinus, La calculatrice : cos, et les degrés. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en quatrième.
Des situations concrètes (rampes, échelles, pentes…), classées par niveau. Fais d'abord un schéma et repère le triangle rectangle, puis regarde la correction. Calculatrice en degré (DEG).
Facile
Pb 1Une rampe d'accès part du sol et monte vers une porte. Elle forme un angle de 10° avec le sol. La rampe (le plan incliné) mesure 4 m. Quelle est la distance horizontale au sol entre le pied de la rampe et le mur ?
La rampe est l'hypoténuse (4 m), la distance au sol est l'adjacent à l'angle de 10°. cos(10°) = sol4 → sol = 4 × cos(10°) ≈ 4 × 0,985 ≈ 3,9 m.
Pb 2Une échelle de 5 m est posée contre un mur. Son pied est à 1,5 m du mur (au sol). Quel angle l'échelle fait-elle avec le sol ?
L'échelle est l'hypoténuse (5 m), la distance au sol (1,5 m) est l'adjacent à l'angle au sol α. cos(α) = 1,55 = 0,3 → α = cos⁻¹(0,3) ≈ 73°.
Pb 3Un câble tendu d'un piquet au sommet d'un poteau fait un angle de 35° avec le sol. Le pied du câble est à 6 m du poteau. Quelle est la longueur du câble ?
Le câble est l'hypoténuse, la distance au sol (6 m) est l'adjacent à l'angle de 35°. cos(35°) = 6câble → câble = 6cos(35°) ≈ 60,819 ≈ 7,3 m.
Pb 4Une route monte régulièrement. Sur une portion droite de 200 m de longueur (la route), on a avancé de 199 m à l'horizontale. Quel est l'angle de la pente avec l'horizontale ?
La route est l'hypoténuse (200 m), l'avancée horizontale (199 m) est l'adjacent à l'angle de pente α. cos(α) = 199200 = 0,995 → α = cos⁻¹(0,995) ≈ 6°.
Moyen
Pb 5Une rampe pour fauteuil roulant doit faire un angle de 5° avec le sol pour franchir une marche. La rampe doit couvrir une distance horizontale de 3,5 m. Quelle longueur de rampe faut-il prévoir ?
La distance horizontale (3,5 m) est l'adjacent à l'angle de 5° ; la rampe est l'hypoténuse. cos(5°) = 3,5rampe → rampe = 3,5cos(5°) ≈ 3,50,996 ≈ 3,5 m (3,51 m).
Pb 6Une échelle de pompier de 12 m est appuyée contre un immeuble. Pour être sûre, elle doit faire un angle de 75° avec le sol. À quelle distance du mur faut-il placer son pied ?
L'échelle est l'hypoténuse (12 m), la distance au sol est l'adjacent à l'angle de 75°. cos(75°) = sol12 → sol = 12 × cos(75°) ≈ 12 × 0,259 ≈ 3,1 m.
Pb 7Un toboggan rectiligne mesure 4,5 m. Sa base (la distance horizontale du pied de l'échelle au bas du toboggan) mesure 3,6 m. Quel angle le toboggan fait-il avec le sol ? Arrondis au degré.
Le toboggan est l'hypoténuse (4,5 m), la base (3,6 m) est l'adjacent à l'angle au sol α. cos(α) = 3,64,5 = 0,8 → α = cos⁻¹(0,8) ≈ 37°.
Pb 8Un bateau remonte une rivière en visant un point sur la rive opposée. Sa trajectoire (en ligne droite) fait un angle de 20° avec la berge. Il doit parcourir 50 m le long de la berge (distance horizontale). Quelle distance le bateau parcourt-il réellement ?
La distance le long de la berge (50 m) est l'adjacent à l'angle de 20° ; la trajectoire réelle est l'hypoténuse. cos(20°) = 50trajet → trajet = 50cos(20°) ≈ 500,940 ≈ 53,2 m.
Difficile
Pb 9Un panneau solaire incliné mesure 1,6 m de long. On veut qu'il fasse un angle de 30° avec le sol horizontal.
a) Quelle place horizontale (au sol) occupe-t-il ?
b) On apprend que la place disponible au sol est seulement de 1,3 m. Quel angle le panneau ferait-il alors ?
a) Le panneau est l'hypoténuse (1,6 m), la place au sol est l'adjacent. cos(30°) = sol1,6 → sol = 1,6 × cos(30°) ≈ 1,6 × 0,866 ≈ 1,4 m.
b) cos(α) = 1,31,6 = 0,8125 → α = cos⁻¹(0,8125) ≈ 36°.
Pb 10Une route de montagne est annoncée à « 12 % de pente » : cela signifie qu'elle monte de 12 m à la verticale pour 100 m parcourus à l'horizontale. Un panneau indique aussi l'angle de la pente.
a) Pour 100 m horizontaux, quelle est la longueur réelle de route parcourue (l'hypoténuse) ? (On utilisera la verticale de 12 m et Pythagore.)
b) Calcule l'angle de la pente avec l'horizontale.
a) horizontale = 100 m (adjacent), verticale = 12 m (opposé). Route = √(100² + 12²) = √(10000 + 144) = √10144 ≈ 100,7 m.
b) cos(α) = 100100,7 ≈ 0,9931 → α = cos⁻¹(0,9931) ≈ 7°.
Pb 11Une échelle de 6 m est posée contre un mur, son pied à 2 m du mur.
a) Quel angle fait-elle avec le sol ?
b) Par sécurité, on veut un angle d'au moins 70°. Faut-il rapprocher ou éloigner le pied du mur, et de quelle distance au sol ce pied devrait-il être au maximum ?
a) cos(α) = 26 ≈ 0,333 → α = cos⁻¹(0,333) ≈ 71°.
b) On est déjà à 71° (> 70°), donc c'est correct. La limite à 70° : cos(70°) = d6 → d = 6 × cos(70°) ≈ 6 × 0,342 ≈ 2,05 m. Le pied doit donc être à 2,05 m maximum du mur ; à 2 m on respecte bien la consigne.
Pb 12Un cerf-volant est retenu par un fil tendu de 40 m. Le fil fait un angle de 58° avec le sol horizontal.
a) Quelle est la distance horizontale entre la personne et le point situé juste sous le cerf-volant (l'ombre au sol) ?
b) Le vent faiblit : le fil ne fait plus que 45° avec le sol, sa longueur tendue reste 40 m. De combien la distance horizontale a-t-elle augmenté ?
a) Le fil est l'hypoténuse (40 m), la distance horizontale est l'adjacent. cos(58°) = d40 → d = 40 × cos(58°) ≈ 40 × 0,530 ≈ 21,2 m.
b) À 45° : d' = 40 × cos(45°) ≈ 40 × 0,707 ≈ 28,3 m. Augmentation : 28,3 − 21,2 ≈ 7,1 m.