Théorème de Thalès : triangles emboîtés

Dans le triangle $DEF$, $P\in [DE]$, $Q\in [DF]$ et $(PQ)\parallel (EF)$. Complète (écris par exemple « DE »).

1. Le sommet commun aux deux triangles emboîtés :
   Les triangles $DPQ$ et $DEF$ ont le même sommet $D$ et le même angle en $D$.
2. Le côté du grand triangle qui correspond à $[DP]$ :
   $P$ est sur $[DE]$ : le côté $[DP]$ du petit triangle correspond au côté $[DE]$ du grand.
3. Le côté du grand triangle qui correspond à $[PQ]$ :
   $[PQ]$ et $[EF]$ sont portés par les deux droites parallèles : côté parallèle avec côté parallèle.
4. Le côté du petit triangle qui correspond à $[DF]$ :
   $Q$ est sur $[DF]$ : le côté $[DF]$ du grand triangle correspond au côté $[DQ]$ du petit.

Complète l’égalité donnée par le théorème de Thalès (écris les longueurs avec leurs lettres, par exemple « RT »).

1. Triangle $RST$, $U\in [RS]$, $V\in [RT]$ et $(UV)\parallel (ST)$ : ${\displaystyle \frac{RU}{RS}}={\displaystyle \frac{RV}{\dots }}={\displaystyle \frac{\dots }{ST}}$ : ;
   Sommet commun $R$ : ${\displaystyle \frac{RU}{RS}}={\displaystyle \frac{RV}{RT}}={\displaystyle \frac{UV}{ST}}$. Le côté $[UV]$ du petit triangle est parallèle à $[ST]$.
2. Triangle $GHK$, $E\in [GH]$, $F\in [GK]$ et $(EF)\parallel (HK)$ : ${\displaystyle \frac{GE}{GH}}={\displaystyle \frac{\dots }{GK}}={\displaystyle \frac{EF}{\dots }}$ : ;
   Sommet commun $G$ : ${\displaystyle \frac{GE}{GH}}={\displaystyle \frac{GF}{GK}}={\displaystyle \frac{EF}{HK}}$.
3. Triangle $XYZ$, $I\in [YX]$, $J\in [YZ]$ et $(IJ)\parallel (XZ)$ : le sommet commun est et ${\displaystyle \frac{YI}{YX}}={\displaystyle \frac{YJ}{YZ}}={\displaystyle \frac{IJ}{\dots }}$ :
   Les points $I$ et $J$ sont sur des côtés issus de $Y$ : le sommet commun est $Y$, et $[IJ]$ correspond à $[XZ]$, le côté parallèle.

Dans le triangle $DEF$, $P\in [DE]$, $Q\in [DF]$ et $(PQ)\parallel (EF)$. Raisonne sur les rapports.

1. On sait que ${\displaystyle \frac{DP}{DE}}=0,4$. Alors ${\displaystyle \frac{PQ}{EF}}=$
   Les trois rapports du théorème de Thalès sont égaux : ${\displaystyle \frac{PQ}{EF}}={\displaystyle \frac{DP}{DE}}=0,4$.
2. Un élève écrit ${\displaystyle \frac{DP}{DE}}={\displaystyle \frac{PQ}{DF}}$. Pour corriger, il faut remplacer $DF$ par
   $[PQ]$ est parallèle à $[EF]$ : ${\displaystyle \frac{DP}{DE}}={\displaystyle \frac{PQ}{EF}}$.
3. Un élève écrit ${\displaystyle \frac{DP}{PE}}={\displaystyle \frac{PQ}{EF}}$. Son premier rapport doit être ${\displaystyle \frac{DP}{\dots }}$ :
   $PE$ n’est un côté d’aucun des deux triangles : le côté du grand triangle qui correspond à $[DP]$ est $[DE]$, d’où ${\displaystyle \frac{DP}{DE}}={\displaystyle \frac{PQ}{EF}}$.
4. $DP=2,1$ cm et $DE=7$ cm. Le rapport ${\displaystyle \frac{DQ}{DF}}$ vaut
   ${\displaystyle \frac{DQ}{DF}}={\displaystyle \frac{DP}{DE}}=2,1÷7=0,3$, sans connaître $DQ$ ni $DF$.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. Calcule la longueur demandée, côté du petit triangle (longueurs en cm).

1. $AM=3$, $AB=15$, $AC=11$ : $AN=$ cm
   D’après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, soit ${\displaystyle \frac{3}{15}}={\displaystyle \frac{AN}{11}}$ : $AN={\displaystyle \frac{3\times 11}{15}}=2,2$ cm.
2. $AM=7$, $AB=8$, $BC=12$ : $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{7}{8}}={\displaystyle \frac{MN}{12}}$ : $MN={\displaystyle \frac{7\times 12}{8}}=10,5$ cm.
3. $AN=9$, $AC=12$, $BC=7$ : $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{MN}{7}}$ : $MN={\displaystyle \frac{9\times 7}{12}}=5,25$ cm.
4. $AM=5$, $AB=6$, $AC=9$ : $AN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{AN}{9}}$ : $AN={\displaystyle \frac{5\times 9}{6}}=7,5$ cm.

Même configuration. Cette fois, la longueur cherchée est un côté du grand triangle (longueurs en cm).

1. $AM=4,5$, $AN=2,4$, $AC=4$ : $AB=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, soit ${\displaystyle \frac{4,5}{AB}}={\displaystyle \frac{2,4}{4}}$ : $AB={\displaystyle \frac{4,5\times 4}{2,4}}=7,5$ cm, plus long que $AM$.
2. $AM=2$, $AB=7$, $MN=1,8$ : $BC=$ cm
   ${\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{1,8}{BC}}$ : $BC={\displaystyle \frac{7\times 1,8}{2}}=6,3$ cm.
3. $AN=3,3$, $MN=2,2$, $BC=4$ : $AC=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{3,3}{AC}}={\displaystyle \frac{2,2}{4}}$ : $AC={\displaystyle \frac{3,3\times 4}{2,2}}=6$ cm.

$UVW$ est un triangle, $R\in [UV]$, $S\in [UW]$ et $(RS)\parallel (VW)$. On donne $UR=2,8$ cm, $UV=7$ cm, $US=2,4$ cm et $RS=2,2$ cm.

1. Le rapport ${\displaystyle \frac{UR}{UV}}$ :
   ${\displaystyle \frac{UR}{UV}}=2,8÷7=0,4$ : c’est aussi ${\displaystyle \frac{US}{UW}}$ et ${\displaystyle \frac{RS}{VW}}$.
2. $UW=$ cm
   ${\displaystyle \frac{US}{UW}}=0,4$, soit ${\displaystyle \frac{2,4}{UW}}={\displaystyle \frac{2,8}{7}}$ : $UW={\displaystyle \frac{7\times 2,4}{2,8}}=6$ cm.
3. $VW=$ cm
   ${\displaystyle \frac{RS}{VW}}={\displaystyle \frac{UR}{UV}}$ : $VW={\displaystyle \frac{7\times 2,2}{2,8}}=5,5$ cm.
4. Un autre triangle de la même forme a $UR=36$ mm, $UV=9$ cm et $VW=7,5$ cm. Alors $RS=$ cm
   Même unité d’abord : $UR=36$ mm $=3,6$ cm. ${\displaystyle \frac{3,6}{9}}={\displaystyle \frac{RS}{7,5}}$ : $RS={\displaystyle \frac{3,6\times 7,5}{9}}=3$ cm.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. Calcule le rapport de réduction $k$ (nombre décimal), puis utilise-le.

1. $AM=3$ cm et $AB=12$ cm : $k={\displaystyle \frac{AM}{AB}}=$
   $k=3÷12=0,25$ : chaque côté du petit triangle vaut le quart du côté correspondant du grand.
2. $AN=6,3$ cm et $AC=7$ cm : $k={\displaystyle \frac{AN}{AC}}=$
   $k=6,3÷7=0,9$.
3. $k=0,3$ et $AC=12$ cm : $AN=$ cm
   Du grand au petit, on multiplie par $k$ : $AN=0,3\times 12=3,6$ cm.
4. $k=0,6$ et $MN=6,6$ cm : $BC=$ cm
   Du petit au grand, on divise par $k$ : $BC=6,6÷0,6=11$ cm. Erreur à éviter : multiplier par $0,6$, alors que $BC$ est un côté du grand triangle.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. On donne $AM=6$ cm, $MB=4$ cm, $AN=4,5$ cm et $BC=8$ cm.

1. $AB=$ cm
   $AB=AM+MB=6+4=10$ cm : c’est $AB$ qui entre dans les rapports, pas $MB$.
2. $AC=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$, soit ${\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{4,5}{AC}}$ : $AC={\displaystyle \frac{4,5\times 10}{6}}=7,5$ cm.
3. $NC=$ cm
   $NC=AC-AN=7,5-4,5=3$ cm.
4. $MN=$ cm
   $k=6÷10=0,6$, donc $MN=0,6\times 8=4,8$ cm.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$, $N\in [AC]$ et $(MN)\parallel (BC)$. Agrandissement, réduction, milieux, périmètres et angles.

1. $AMN$ est une réduction de $ABC$ de rapport $0,4$. Alors $ABC$ est un agrandissement de $AMN$ de rapport
   Pour revenir du petit au grand, on divise par $0,4$, c’est-à-dire qu’on multiplie par $1÷0,4=2,5$.
2. $M$ est le milieu de $[AB]$ et $BC=9,4$ cm : $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $MN={\displaystyle \frac{BC}{2}}=9,4÷2=4,7$ cm (et $N$ est le milieu de $[AC]$).
3. Le périmètre de $ABC$ est $32$ cm et $k=0,75$ : périmètre de $AMN$ = cm
   Chaque côté est multiplié par $0,75$, donc le périmètre aussi : $0,75\times 32=24$ cm.
4. $ABC={64}^{\circ }$ : $AMN=$ °
   $(MN)\parallel (BC)$ et $AMN$, $ABC$ sont des angles correspondants : ils sont égaux, $AMN={64}^{\circ }$. Une réduction conserve les angles.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$ (longueurs en cm). Calcule les deux rapports, puis conclus en écrivant « parallèles » ou « non parallèles ».

1. $AM=3$, $AB=7,5$, $AN=3,4$, $AC=8,5$ : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=$ ; ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   D’une part $3÷7,5=0,4$ ; d’autre part $3,4÷8,5=0,4$. Les rapports sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Thalès, $(MN)\parallel (BC)$.
2. $AM=4$, $AB=5$, $AN=6$, $AC=7,5$ : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=$ ; ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   D’une part $4÷5=0,8$ ; d’autre part $6÷7,5=0,8$. Rapports égaux : $(MN)\parallel (BC)$ d’après la réciproque.
3. $AM=4,2$, $AB=5,6$, $AN=2,1$, $AC=3$ : ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=$ ; ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   D’une part $4,2÷5,6=0,75$ ; d’autre part $2,1÷3=0,7$. Les rapports sont différents : d’après la contraposée du théorème de Thalès, $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.

Les quotients ne tombent pas juste : compare les produits en croix $AM\times AC$ et $AB\times AN$, puis conclus (« parallèles » ou « non parallèles »).

1. $AM=4$, $AB=11$, $AN=3$, $AC=8$ : $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   $4\times 8=32$ et $11\times 3=33$ : les produits en croix sont différents, donc ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}\ne {\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ et les droites ne sont pas parallèles (contraposée).
2. $AM=4$, $AB=9$, $AN=6$, $AC=13,5$ : $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   $4\times 13,5=54$ et $9\times 6=54$ : les produits en croix sont égaux, donc ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}$ et $(MN)\parallel (BC)$ d’après la réciproque.
3. $AM=2,5$, $AB=7$, $AN=3$, $AC=8,4$ : $AM\times AC=$ ; $AB\times AN=$ ; $(MN)$ et $(BC)$ sont
   $2,5\times 8,4=21$ et $7\times 3=21$ : égaux, donc $(MN)\parallel (BC)$ d’après la réciproque du théorème de Thalès.

$ABC$ est un triangle, $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$. Raisonne avec la réciproque (longueurs en cm).

1. $AM=3,2$, $AB=8$, $AN=2,6$ : quelle longueur $AC$ rend $(MN)$ et $(BC)$ parallèles ? $AC=$ cm
   Il faut ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{AM}{AB}}=3,2÷8=0,4$, donc $AC=2,6÷0,4=6,5$ cm. Alors, d’après la réciproque, $(MN)\parallel (BC)$.
2. $AM=3$, $AB=8$, $AN=2$, $AC=6$ : les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles. Quelle longueur $AN$ les rendrait parallèles ? $AN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}=3÷8=0,375$, alors que ${\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Il faudrait $AN=0,375\times 6=2,25$ cm.
3. $M$ est le milieu de $[AB]$, $N$ est le milieu de $[AC]$ et $BC=12,6$ cm : $MN=$ cm
   ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{AN}{AC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : d’après la réciproque, $(MN)\parallel (BC)$. Le théorème de Thalès donne alors ${\displaystyle \frac{MN}{BC}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, soit $MN=12,6÷2=6,3$ cm.

Mesurer ce qu’on ne peut pas atteindre (longueurs en m).

1. Un bâton vertical de $1$ m est planté de façon que le bout de son ombre coïncide avec le bout $S$ de l’ombre d’un mât vertical. Le bâton est à $1,6$ m de $S$ et le pied du mât à $11,2$ m de $S$. Hauteur du mât : m
   Le bâton et le mât sont verticaux, donc parallèles ; le sommet commun est $S$. ${\displaystyle \frac{1,6}{11,2}}={\displaystyle \frac{1}{h}}$, donc $h={\displaystyle \frac{11,2\times 1}{1,6}}=7$ m.
2. Le toit d’un abri de jardin part du sol en $A$ et monte en ligne droite jusqu’en haut d’un mur vertical de $2,5$ m, dont le pied est à $4$ m de $A$. Hauteur sous le toit à $1,6$ m de $A$ : m
   La hauteur cherchée et le mur sont deux verticales, donc parallèles ; le sommet commun est $A$. ${\displaystyle \frac{1,6}{4}}={\displaystyle \frac{h}{2,5}}$, donc $h={\displaystyle \frac{1,6\times 2,5}{4}}=1$ m.
3. La façade d’une tente est un triangle $ABC$ avec $AB=AC=2$ m et $BC=2,4$ m au sol. Une barre $[MN]$ parallèle au sol relie $M\in [AB]$ et $N\in [AC]$, avec $AM=0,5$ m. Longueur de la barre : m
   $(MN)\parallel (BC)$ : d’après le théorème de Thalès, ${\displaystyle \frac{AM}{AB}}={\displaystyle \frac{MN}{BC}}$, soit ${\displaystyle \frac{0,5}{2}}={\displaystyle \frac{MN}{2,4}}$ : $MN={\displaystyle \frac{0,5\times 2,4}{2}}=0,6$ m.

Retrouver une position (longueurs en m ou en cm).

1. Même tente ($AB=2$ m, $BC=2,4$ m) : une autre barre parallèle au sol mesure $0,9$ m. À quelle distance de $A$ est son extrémité $M$, sur $[AB]$ ? $AM=$ m
   ${\displaystyle \frac{AM}{2}}={\displaystyle \frac{0,9}{2,4}}$, donc $AM={\displaystyle \frac{2\times 0,9}{2,4}}=0,75$ m.
2. Un arbre de $9$ m de haut a une ombre de $15$ m. À quelle distance du bout de cette ombre faut-il planter un piquet vertical de $1,5$ m pour que les bouts des deux ombres coïncident ? m
   Piquet et arbre verticaux, sommet commun au bout $S$ des ombres : ${\displaystyle \frac{SM}{15}}={\displaystyle \frac{1,5}{9}}$, donc $SM={\displaystyle \frac{15\times 1,5}{9}}=2,5$ m.
3. Un verre conique a $10$ cm de haut et son ouverture a $3,5$ cm de rayon. À quelle hauteur d’eau le rayon de la surface de l’eau vaut-il $2,1$ cm ? cm
   Sur une coupe, la pointe du verre est le sommet commun et la surface de l’eau est parallèle à l’ouverture : ${\displaystyle \frac{h}{10}}={\displaystyle \frac{2,1}{3,5}}$, donc $h={\displaystyle \frac{10\times 2,1}{3,5}}=6$ cm.