Devoir surveillé : Fractions, relatifs, puissances et nombres premiers

1. a)Faux : la somme des chiffres $5+1=6$ est divisible par $3$, donc $51$ aussi ; en effet $51=3\times 17$, donc $51$ a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même. (1 pt : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour la justification) (1)
2. b)Vrai : on calcule de gauche à droite ; $(-6)\times (-5)=30$ (deux facteurs négatifs), puis $30÷(-3)=-10$. (1 pt : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour le calcul) (1)
3. c)Faux : ${10}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}={\displaystyle \frac{1}{1000}}=0,001$, qui est un nombre positif. (1 pt : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour l'écriture décimale) (1)
4. d)Vrai : $0,3$ est positif et $0,3^2=0,3\times 0,3=0,09$. À ne pas confondre avec $0,{03}^2=0,0009$. (1 pt : 0,5 pour la réponse, 0,5 pour la vérification par le carré) (1)

Piège — un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : ${10}^{-3}$ est un petit nombre positif, le « moins » de l'exposant signale une division par ${10}^3$.

1. a)La multiplication d'abord : $3\times (-4)=-12$ ; puis $-7+(-12)=-19$. (1 pt : 0,5 pour la priorité, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)Dénominateur commun $12$ : ${\displaystyle \frac{10}{12}}-{\displaystyle \frac{21}{12}}=-{\displaystyle \frac{11}{12}}$. (1 pt : 0,5 pour la mise au même dénominateur, 0,5 pour le résultat) (1)
3. c)Diviser, c'est multiplier par l'inverse : ${\displaystyle \frac{4}{9}}\times (-{\displaystyle \frac{3}{8}})=-{\displaystyle \frac{4\times 3}{9\times 8}}=-{\displaystyle \frac{12}{72}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$. (1 pt : 0,5 pour l'inverse et le signe, 0,5 pour le résultat simplifié) (1)
4. d)Le carré d'abord : ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$ ; puis le produit : ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{12}{36}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; enfin ${\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$. (1 pt : 0,5 pour le carré et le produit, 0,5 pour la somme) (1)

Méthode — dans un calcul mêlé, l'ordre est toujours le même : puissances, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions ; une ligne par étape évite de mélanger les priorités.

1. a)${10}^5\times {10}^{-8}={10}^{5+(-8)}={10}^{-3}$ ; ${\displaystyle \frac{{10}^4}{{10}^{-2}}}={10}^{4-(-2)}={10}^{4+2}={10}^6$. (1 pt : 0,5 par calcul) (1)
2. b)$0,00045=4,5\times {10}^{-4}$ (la virgule se déplace de $4$ rangs vers la droite) ; $38000000=3,8\times {10}^7$ (la virgule se déplace de $7$ rangs vers la gauche). (1 pt : 0,5 par écriture) (1)
3. c)On regroupe : $(2\times 4)\times ({10}^3\times {10}^{-5})=8\times {10}^{3+(-5)}=8\times {10}^{-2}$, soit $0,08$. (1 pt : 0,5 pour le regroupement, 0,5 pour les deux écritures) (1)
4. d)$(-1{)}^7=-1$ (exposant impair), $5^2=25$ et $2^3=8$ ; donc $-1\times 25-8=-25-8=-33$. (1 pt : 0,5 pour les trois puissances, 0,5 pour le résultat) (1)

Erreur fréquente — écrire « ${10}^4÷{10}^{-2}={10}^2$ » : on soustrait bien les exposants, mais soustraire $-2$ revient à ajouter $2$. Les règles des nombres relatifs s'appliquent aussi aux exposants.

1. a)$49=7\times 7$ et $77=7\times 11$ ne sont pas premiers. $41$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, et $7^2=49>41$ : il est premier. $53$ n'est divisible ni par $2$, ni par $3$, ni par $5$, ni par $7$ ($7\times 7=49$ et $7\times 8=56$), et ${11}^2=121>53$ : il est premier. (1 pt : 0,5 pour $49$ et $77$, 0,5 pour $41$ et $53$ justifiés) (1)
2. b)$126=2\times 63=2\times 3\times 21=2\times 3\times 3\times 7$, soit $126=2\times 3^2\times 7$. (1 pt : 0,5 pour les divisions successives, 0,5 pour l'écriture avec une puissance) (1)
3. c)$150=2\times 75=2\times 3\times 25=2\times 3\times 5\times 5$, soit $150=2\times 3\times 5^2$. (1 pt : 0,5 pour les divisions successives, 0,5 pour l'écriture avec une puissance) (1)
4. d)$A=4\times 9\times 25=36\times 25=900$. En regroupant les facteurs, $A=(2\times 3\times 5)\times (2\times 3\times 5)={30}^2$ ; comme $30$ est positif, $\sqrt{A}=30$. (1 pt : 0,5 pour $A=900$, 0,5 pour la racine justifiée) (1)

Astuce — pour tester si un nombre est premier, on essaie les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$, $11$… dans l'ordre et l'on s'arrête dès que leur carré dépasse le nombre : pour $53$, inutile d'aller au-delà de $7$.

1. a)${\displaystyle \frac{3}{8}}\times 1200=3\times 150=450$ €. (1 pt : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour le résultat avec l'unité) (1)
2. b)Après les maillots, il reste $1-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$ du budget. Les ballons en prennent les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ : ${\displaystyle \frac{2}{5}}\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{10}{40}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ du budget, soit ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times 1200=300$ €. (1 pt : 0,5 pour la fraction ${\displaystyle \frac{1}{4}}$, 0,5 pour la somme) (1)
3. c)$1-{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{8}{8}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ du budget, soit $450$ €. (1 pt : 0,5 pour la mise au même dénominateur, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)$-180+1200-450-300=1020-750=270$. Le solde est de $270$ € : il est redevenu positif. (1 pt : 0,5 pour la somme algébrique, 0,5 pour le résultat) (1)

Piège — « les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ de ce qui reste » ne sont pas les ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ du budget : on prend une fraction d'une fraction, donc on multiplie ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ par ${\displaystyle \frac{5}{8}}$.

1. a)Parenthèse : ${\displaystyle \frac{4}{6}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ ; puissance : $(-3{)}^2=9$ ; produit : $-{\displaystyle \frac{1}{6}}\times 9=-{\displaystyle \frac{9}{6}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. (1 pt : 0,5 pour la parenthèse et le carré, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)Numérateur : $(-2{)}^3+4^2=-8+16=8$ ; dénominateur : $3-25=-22$ ; quotient : ${\displaystyle \frac{8}{-22}}=-{\displaystyle \frac{4}{11}}$. (1 pt : 0,5 pour le numérateur et le dénominateur, 0,5 pour le résultat) (1)
3. c)Parenthèse : ${\displaystyle \frac{4}{8}}-{\displaystyle \frac{7}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{8}}$ ; puis ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times (-{\displaystyle \frac{8}{3}})=-{\displaystyle \frac{24}{12}}=-2$. (1 pt : 0,5 pour la parenthèse, 0,5 pour la division) (1)
4. d)${(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^3=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$ (trois facteurs négatifs) ; ${\displaystyle \frac{5}{8}}÷{\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{5}{8}}\times {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ ; donc $-{\displaystyle \frac{1}{8}}-{\displaystyle \frac{2}{8}}=-{\displaystyle \frac{3}{8}}$. (1 pt : 0,5 pour la puissance et le quotient, 0,5 pour le résultat) (1)

Méthode — un trait de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule séparément le numérateur et le dénominateur avant de diviser, puis on place le signe devant la fraction.

1. a)Léa a raison : $(-1{)}^{25}=-1$ (exposant impair) et $(-2{)}^4=16$ (exposant pair), donc le produit vaut $-1\times 16=-16$. (1 pt : 0,5 pour le signe de chaque puissance, 0,5 pour la conclusion) (1)
2. b)Hugo a tort : $2^7=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=128$ et $5^3=5\times 5\times 5=125$, donc $2^7>5^3$, de peu. (1 pt : 0,5 pour les deux calculs, 0,5 pour la conclusion) (1)
3. c)Inès a tort : $143=11\times 13$. Il faut tester tous les nombres premiers dont le carré ne dépasse pas $143$, c'est-à-dire $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$ (car ${11}^2=121\le 143<169={13}^2$) ; le test par $11$ réussit. (1 pt : 0,5 pour la décomposition, 0,5 pour l'explication de la méthode) (1)
4. d)Malik a raison : ${\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$, donc ${\displaystyle \frac{1}{4}}\times {10}^{-2}=0,25\times 0,01=0,0025=2,5\times {10}^{-3}$. (1 pt : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour l'écriture scientifique) (1)

Erreur fréquente — s'arrêter à $2$, $3$ et $5$ ne prouve pas qu'un nombre est premier : $143$, $221$ ou $323$ résistent à ces trois tests sans être premiers ($221=13\times 17$ et $323=17\times 19$).

1. a)$1188÷2=594$ ; $594÷2=297$ ; $297÷3=99$ ; $99÷3=33$ ; $33÷3=11$, qui est premier. Donc $1188=2^2\times 3^3\times 11$. (1 pt : 0,5 pour les divisions successives, 0,5 pour l'écriture finale) (1)
2. b)$3528÷2=1764$ ; $1764÷2=882$ ; $882÷2=441$ ; $441÷3=147$ ; $147÷3=49=7\times 7$. Donc $3528=2^3\times 3^2\times 7^2$. (1 pt : 0,5 pour les divisions successives, 0,5 pour l'écriture finale) (1)
3. c)On regroupe les facteurs identiques en ajoutant les exposants : $2^2\times 2^3=2^5$ et $3^3\times 3^2=3^5$, d'où $1188\times 3528=2^5\times 3^5\times 7^2\times 11$. (1 pt : 0,5 pour les exposants de $2$ et de $3$, 0,5 pour l'écriture complète) (1)
4. d)Dans le carré d'un entier, chaque facteur premier apparaît un nombre pair de fois (autant dans chacun des deux facteurs égaux). $3528=2^3\times 3^2\times 7^2$ n'est pas un carré (exposant $3$ impair), donc $k=1$ ne convient pas. Avec $k=2$ : $3528\times 2=2^4\times 3^2\times 7^2=(2^2\times 3\times 7{)}^2={84}^2$. Donc $k=2$ et $\sqrt{7056}=84$. (1 pt : 0,5 pour $k=2$ justifié, 0,5 pour la racine) (1)

Astuce — pour multiplier deux nombres déjà décomposés, on n'effectue pas le produit : on ajoute les exposants des mêmes facteurs premiers. Un nombre est un carré parfait quand tous ses exposants sont pairs.

1. a)$A={\displaystyle \frac{6\times 4}{8}}\times {\displaystyle \frac{{10}^5\times {10}^{-3}}{{10}^{-2}}}=3\times {\displaystyle \frac{{10}^2}{{10}^{-2}}}=3\times {10}^{2-(-2)}=3\times {10}^4$. (1 pt : 0,5 pour les nombres, 0,5 pour les puissances de $10$) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{3}{4}}=0,75=7,5\times {10}^{-1}$, donc $B=7,5\times {10}^{-1}\times {10}^{-5}=7,5\times {10}^{-6}$. (1 pt : 0,5 pour $0,75$, 0,5 pour l'exposant) (1)
3. c)On écrit les deux termes avec la même puissance de $10$ : $5\times {10}^{-3}=50\times {10}^{-4}$, donc $C=50\times {10}^{-4}-4\times {10}^{-4}=46\times {10}^{-4}=4,6\times {10}^{-3}$. (1 pt : 0,5 pour la même puissance, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)$A\times B=(3\times 7,5)\times ({10}^4\times {10}^{-6})=22,5\times {10}^{-2}=2,25\times {10}^{-1}$, soit $0,225$. (1 pt : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour les deux écritures) (1)

Piège — pour additionner ou soustraire deux nombres écrits avec des puissances de $10$, il faut d'abord la même puissance de $10$ : écrire « $5-4=1$ » devant l'une des deux puissances est une erreur classique.

1. a)$12=2^2\times 3$ et $45=3^2\times 5$. (1 pt : 0,5 par décomposition) (1)
2. b)Il faut le plus petit multiple commun de $12$ et de $45$. Il doit contenir $2^2$ (pour $12$) et $3^2\times 5$ (pour $45$) : c'est $2^2\times 3^2\times 5=180$ secondes, soit $3$ minutes ($180=12\times 15=45\times 4$). Les guirlandes se rallument ensemble à 20 h 03 min. (1 pt : 0,5 pour $180$ justifié, 0,5 pour l'heure) (1)
3. c)$180$ s $={\displaystyle \frac{180}{3600}}$ h $={\displaystyle \frac{1}{20}}$ h. En une heure, il y a donc $20$ intervalles de $3$ minutes, ce qui donne $20+1=21$ allumages communs (20 h, 20 h 03, …, 21 h). (1 pt : 0,5 pour la fraction, 0,5 pour le compte de $21$) (1)
4. d)$20=2^2\times 5$ : ses facteurs figurent déjà dans $180=2^2\times 3^2\times 5$, donc $180=20\times 9$ est aussi un multiple de $20$. Les trois ne peuvent pas se retrouver avant la rouge et la bleue seules : elles se rallument ensemble pour la première fois à 20 h 03 min. (1 pt : 0,5 pour l'argument, 0,5 pour l'heure) (1)

Méthode — le plus petit multiple commun se lit sur les décompositions : chaque facteur premier présent, avec son plus grand exposant. Pour compter des événements sur une durée, on n'oublie pas celui du départ.

1. a)Numérateur : $-8\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=-6$, puis $-6-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{18}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{19}{3}}$. Dénominateur : ${\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{3}{12}}-{\displaystyle \frac{10}{12}}=-{\displaystyle \frac{7}{12}}$. Donc $A=-{\displaystyle \frac{19}{3}}\times (-{\displaystyle \frac{12}{7}})={\displaystyle \frac{19\times 12}{3\times 7}}={\displaystyle \frac{19\times 4}{7}}={\displaystyle \frac{76}{7}}$. (1 pt : 0,5 pour le numérateur et le dénominateur, 0,5 pour le quotient) (1)
2. b)On regroupe : ${\displaystyle \frac{5\times 12}{15\times 4}}={\displaystyle \frac{60}{60}}=1$ et ${\displaystyle \frac{{10}^{-4}\times {10}^7}{{10}^{-3}\times {10}^2}}={\displaystyle \frac{{10}^3}{{10}^{-1}}}={10}^{3-(-1)}={10}^4$. Donc $B={10}^4$. (1 pt : 0,5 pour les nombres, 0,5 pour les puissances de $10$) (1)
3. c)On part de l'intérieur : $1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; $1÷{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ ; $1-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ ; $1÷(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-2$ ; enfin $C=1-(-2)=3$. (1 pt : 0,5 pour les étapes intermédiaires, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)${(-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^3=-{\displaystyle \frac{8}{27}}$ (exposant impair) et ${(-{\displaystyle \frac{4}{9}})}^2={\displaystyle \frac{16}{81}}$ (exposant pair). Donc $D=-{\displaystyle \frac{8}{27}}\times {\displaystyle \frac{81}{16}}=-{\displaystyle \frac{8\times 81}{27\times 16}}=-{\displaystyle \frac{8\times 3\times 27}{27\times 2\times 8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. (1 pt : 0,5 pour les deux puissances, 0,5 pour le quotient simplifié) (1)

Méthode — dans une fraction étagée, on calcule de l'intérieur vers l'extérieur et l'on remplace « diviser par une fraction » par « multiplier par son inverse » ; simplifier avant de multiplier garde des nombres petits.

1. a)$(-3{)}^{15}$ est négatif (exposant impair), $(-7{)}^8$ est positif (exposant pair) et ${(-{\displaystyle \frac{2}{5}})}^{21}$ est négatif (exposant impair). Le produit compte deux facteurs négatifs : $P$ est positif. (1 pt : 0,5 pour le signe des trois facteurs, 0,5 pour la conclusion) (1)
2. b)Les facteurs négatifs sont $-1$, $-3$, $-5$, …, $-99$ : il y en a autant que d'entiers impairs entre $1$ et $100$, soit $50$. Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif : $Q$ est positif. (1 pt : 0,5 pour le compte des $50$ facteurs négatifs, 0,5 pour la conclusion) (1)
3. c)$2^{10}=32\times 32=1024>1000={10}^3$. Or $2^{30}=2^{10}\times 2^{10}\times 2^{10}$ et ${10}^9={10}^3\times {10}^3\times {10}^3$ : chacun des trois facteurs positifs de gauche dépasse celui de droite, donc $2^{30}>{10}^9$. (1 pt : 0,5 pour la comparaison de $2^{10}$ et ${10}^3$, 0,5 pour le passage à $2^{30}$ et ${10}^9$) (1)
4. d)La somme des chiffres de $3969$ vaut $27$, donc $3969$ est divisible par $9$ : $3969=9\times 441$, et $441=9\times 49$. Ainsi $3969=3^4\times 7^2=(3^2\times 7)\times (3^2\times 7)={63}^2$, donc $\sqrt{3969}=63$. (1 pt : 0,5 pour la décomposition, 0,5 pour la racine justifiée) (1)

Astuce — pour le signe d'un produit, seul compte le nombre de facteurs négatifs : pair, le produit est positif ; impair, il est négatif. Une puissance d'exposant pair est toujours positive.

1. a)$72=2\times 36=2\times 2\times 18=2\times 2\times 2\times 9=2^3\times 3^2$. Un diviseur positif de $72$ s'obtient en choisissant un nombre parmi $1$, $2$, $4$, $8$ (zéro à trois facteurs $2$) et en le multipliant par un nombre parmi $1$, $3$, $9$ (zéro à deux facteurs $3$) : $4\times 3=12$ choix, donc $12$ diviseurs et pas un de plus. Liste : $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $9$, $12$, $18$, $24$, $36$, $72$. (1,5 pt : 0,5 pour la décomposition, 0,5 pour la liste complète, 0,5 pour l'argument d'exhaustivité) (1,25)
2. b)Le produit est négatif, donc $a$ et $b$ sont de signes contraires, et leurs distances à zéro forment un couple de diviseurs associés de $72$ : $1$ et $72$, $2$ et $36$, $3$ et $24$, $4$ et $18$, $6$ et $12$, $8$ et $9$. Comme $a+b=-1$, ces deux distances diffèrent de $1$, et la plus grande porte le signe « moins » : seul le couple $8$ et $9$ convient, avec $8+(-9)=-1$. Solutions : $(8;-9)$ et $(-9;8)$. (1,5 pt : 0,5 pour les signes contraires, 0,5 pour l'examen de tous les couples, 0,5 pour les deux solutions) (1,25)
3. c)${\displaystyle \frac{72}{n}}$ est un entier exactement quand $n$ est un diviseur de $72$ (avec $n\ne 0$). Les $12$ diviseurs positifs conviennent, ainsi que leurs opposés (par exemple ${\displaystyle \frac{72}{-8}}=-9$) : il y a $12+12=24$ entiers $n$. (1 pt : 0,5 pour les diviseurs positifs, 0,5 pour les opposés) (1,25)
4. d)Les carrés d'entiers compris entre $1$ et $72$ sont $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $49$ et $64$. Parmi eux, seuls $1$, $4$, $9$ et $36$ figurent dans la liste des diviseurs ($16$, $25$, $49$ et $64$ n'y sont pas). Racines : $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{4}=2$, $\sqrt{9}=3$ et $\sqrt{36}=6$. (1 pt : 0,5 pour les quatre carrés justifiés, 0,5 pour les racines) (1,25)

Méthode — pour être sûr d'avoir tous les diviseurs, on peut aussi les associer par paires dont le produit vaut le nombre, en testant les entiers dans l'ordre jusqu'à ce que les paires se rejoignent : pour $72$, on s'arrête à $8\times 9$.

1. a)Quand A fait un tour, $40$ dents passent au point de contact, soit $40$ des $56$ dents de B : B fait ${\displaystyle \frac{40}{56}}={\displaystyle \frac{5\times 8}{7\times 8}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$ de tour. Vitesse de B : $1400\times {\displaystyle \frac{5}{7}}=200\times 5=1000$ tours par minute. (1 pt : 0,5 pour ${\displaystyle \frac{5}{7}}$, 0,5 pour les $1000$ tours) (1,33333)
2. b)Les dents marquées se retrouvent quand le nombre de dents passées au contact est à la fois un multiple de $40$ (A a fait un nombre entier de tours) et de $56$ (B aussi), le plus petit possible. $40=2^3\times 5$ et $56=2^3\times 7$ ; le plus petit multiple commun contient $2^3$, $5$ et $7$ : $2^3\times 5\times 7=280$. Donc $280÷40=7$ tours de A (pendant que B fait $280÷56=5$ tours). Le produit $40\times 56=2240$ est aussi un multiple commun, mais pas le plus petit. (1,5 pt : 0,5 pour la traduction en multiple commun, 0,5 pour les décompositions, 0,5 pour les $7$ tours) (1,33333)
3. c)Un contact tous les $7$ tours de A, soit $1400÷7=200$ contacts par minute (vérification avec B : $1000÷5=200$). Une année compte $60\times 24\times 365=1440\times 365=525600$ minutes. Nombre de contacts : $200\times 525600=105120000=1,0512\times {10}^8$ ; ordre de grandeur : ${10}^8$, soit une centaine de millions. (1,5 pt : 0,5 pour les $200$ contacts par minute, 0,5 pour le nombre de minutes, 0,5 pour l'écriture scientifique et l'ordre de grandeur) (1,33333)

Piège — les dents marquées se retrouvent quand chaque roue a fait un nombre entier de tours : on cherche un multiple commun des nombres de dents, pas un diviseur commun, et le produit des deux nombres n'est pas forcément le plus petit.

1. a)$2^{12}=2^2\times 2^{10}=4\times 2^{10}$ et $2^{11}=2\times 2^{10}$, donc $N=4\times 2^{10}+2\times 2^{10}+1\times 2^{10}=(4+2+1)\times 2^{10}=7\times 2^{10}$. Décomposition : $N=2^{10}\times 7$. Ses diviseurs positifs sont $1$, $2$, $2^2$, …, $2^{10}$ (onze nombres) et ces mêmes nombres multipliés par $7$ (onze autres) : $22$ diviseurs. (1 pt : 0,5 pour la factorisation, 0,5 pour la décomposition et les $22$ diviseurs) (1)
2. b)$2^{n+2}=2^n\times 2\times 2=4\times 2^n$ et $2^{n+1}=2\times 2^n$, donc $2^{n+2}+2^{n+1}+2^n=(4+2+1)\times 2^n=7\times 2^n$ : c'est un multiple de $7$, puisque $2^n$ est un entier. (1 pt : 0,5 pour l'écriture des puissances à l'aide de $2^n$, 0,5 pour la factorisation et la conclusion) (1)
3. c)$(-2{)}^{10}=(-2)\times (-2{)}^9$ et $(-2{)}^{11}=(-2{)}^2\times (-2{)}^9=4\times (-2{)}^9$, donc la somme vaut $(1-2+4)\times (-2{)}^9=3\times (-2{)}^9$ : c'est un multiple de $3$. L'exposant $9$ est impair, donc $(-2{)}^9=-512$ : la somme est négative et vaut $3\times (-512)=-1536$. (1 pt : 0,5 pour la factorisation par $(-2{)}^9$, 0,5 pour le signe et la valeur) (1)

Erreur fréquente — « $2^{12}+2^{11}=2^{23}$ » est faux : on ajoute les exposants pour un produit, jamais pour une somme. Face à une somme de puissances d'un même nombre, on met en facteur la plus petite.