Devoir surveillé : Calcul littéral, équations et inéquations

1. a)$A=3x^2-12x+2x-8=3x^2-10x-8$. (1 pt) (1)
2. b)Identité $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=2x$, $b=5$ : $B=4x^2-20x+25$. (1 pt) (1)
3. c)$C=(3x{)}^2-7^2$, identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $C=(3x-7)(3x+7)$. (1 pt) (1)
4. d)$4x-2x=5+7⟺2x=12⟺x=6$ ; $\mathcal{S}=\{6\}$. (1 pt) (1)
5. e)$-3x\ge -6$ ; on divise par $-3<0$, le sens change : $x\le 2$. $\mathcal{S}=]-\infty ;2]$. (1 pt) (1)

Méthode — Avant de développer, repérer si l'expression est une identité remarquable : $(2x-5{)}^2$ se développe en une ligne, sans distributivité double.

1. a)Facteur commun $(x-3)$ : $E(x)=(x-3)[(2x+1)+(x+4)]=(x-3)(3x+5)$. (1,5 pt) (1,25)
2. b)Produit nul : $x-3=0$ ou $3x+5=0$, soit $x=3$ ou $x=-{\displaystyle \frac{5}{3}}$. $\mathcal{S}=\{-{\displaystyle \frac{5}{3}};3\}$. (1 pt) (1,25)
3. c)$E(x)=(x-3)(3x+5)=3x^2+5x-9x-15=3x^2-4x-15$. (1 pt) (1,25)
4. d)Forme développée : $3x^2-4x-15=-15⟺3x^2-4x=0⟺x(3x-4)=0$, donc $x=0$ ou $x={\displaystyle \frac{4}{3}}$. $\mathcal{S}=\left\{0;{\displaystyle \frac{4}{3}}\right\}$. (1,5 pt) (1,25)

Astuce — Chaque forme a son usage : la forme factorisée pour « $=0$ », la forme développée quand le second membre est égal au terme constant.

1. a)$-x+5=0⟺x=5$ : la valeur interdite est $5$. (0,5 pt) (1,25)
2. b)Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : $2x-6=0⟺x=3$, et $3\ne 5$. $\mathcal{S}=\{3\}$. (1 pt) (1,25)
3. c)$2x-6$ (coefficient $2>0$) : négatif avant $3$, nul en $3$, positif après. $-x+5$ (coefficient $-1<0$) : positif avant $5$, nul en $5$, négatif après. Donc $Q(x)<0$ sur $]-\infty ;3[$, $Q(3)=0$, $Q(x)>0$ sur $]3;5[$, double barre en $5$, $Q(x)<0$ sur $]5;+\infty [$. (2 pts) (1,25)
4. d)D'après le tableau : $\mathcal{S}=]-\infty ;3]\cup ]5;+\infty [$ ($3$ inclus car $Q(3)=0$, $5$ exclu car valeur interdite). (1,5 pt) (1,25)

Piège — Même avec une inégalité large, la valeur interdite est toujours exclue : le crochet est ouvert en $5$.

1. a)Aire de la bordure $=(x+4{)}^2-x^2=x^2+8x+16-x^2=8x+16$. (1,5 pt) (1,25)
2. b)$8x+16=96⟺8x=80⟺x=10$ : la photo mesure $10$ cm de côté. (1 pt) (1,25)
3. c)$8x+16\le 60⟺8x\le 44⟺x\le 5,5$ ; avec $x>0$ : $x\in ]0;5,5]$. (1 pt) (1,25)
4. d)$(x+4{)}^2=50⟺x+4=\sqrt{50}$ ou $x+4=-\sqrt{50}$. Comme $x+4>0$, on garde $x+4=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, d'où $x=5\sqrt{2}-4$ (positif car $\sqrt{50}>\sqrt{16}=4$). (1,5 pt) (1,25)

Erreur fréquente — $(x+4{)}^2$ n'est pas $x^2+16$ : le double produit $8x$ est justement l'aire utile de la bordure.

1. a)$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$ et $(2x-1)(x+5)=2x^2+9x-5$, donc l'expression vaut $x^2+6x+9-2x^2-9x+5=-x^2-3x+14$. (1 pt) (1)
2. b)$(2x+1{)}^2-4^2=(2x+1-4)(2x+1+4)=(2x-3)(2x+5)$. (1 pt) (1)
3. c)On multiplie par $6$ : $3(3x-1)-2(x+2)=6⟺9x-3-2x-4=6⟺7x=13⟺x={\displaystyle \frac{13}{7}}$. $\mathcal{S}=\left\{{\displaystyle \frac{13}{7}}\right\}$. (1 pt) (1)
4. d)$5-2x<3x-15⟺20<5x⟺x>4$. $\mathcal{S}=]4;+\infty [$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Un signe « $-$ » devant un produit porte sur tout le développement : on développe d'abord entre parenthèses, puis on change tous les signes.

1. a)Faux : on divise par $-4<0$, donc le sens de l'inégalité change : $x\ge -3$, $\mathcal{S}=[-3;+\infty [$. (1 pt) (1)
2. b)Faux (incomplet) : $(x+1{)}^2=9⟺x+1=3$ ou $x+1=-3$, donc $x=2$ ou $x=-4$ ; $\mathcal{S}=\{-4;2\}$. (1 pt) (1)
3. c)Faux : pour $x=2$ le quotient n'est pas défini. Pour $x\ne 2$, ${\displaystyle \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}=x+2$ : l'égalité est vraie seulement pour tout $x\ne 2$. (1 pt) (1)
4. d)Faux : contre-exemple $a=-3$, $b=1$ : $a<b$ mais $a^2=9>1=b^2$. La propriété n'est vraie que pour des nombres positifs. (1 pt) (1)

Piège — L'équation $X^2=9$ a deux solutions, $3$ et $-3$ : oublier la racine négative fait perdre la moitié des solutions.

1. a)Valeur interdite : $1$. Pour $x\ne 1$ : ${\displaystyle \frac{2x+3}{x-1}}=3⟺2x+3=3x-3⟺x=6$, et $6\ne 1$. $\mathcal{S}=\{6\}$. (1 pt) (1)
2. b)$R(x)-3={\displaystyle \frac{2x+3-3(x-1)}{x-1}}={\displaystyle \frac{2x+3-3x+3}{x-1}}={\displaystyle \frac{-x+6}{x-1}}$. (1 pt) (1)
3. c)$-x+6$ : positif avant $6$, négatif après ; $x-1$ : négatif avant $1$, positif après. Quotient : négatif sur $]-\infty ;1[$, double barre en $1$, positif sur $]1;6[$, nul en $6$, négatif sur $]6;+\infty [$. (1 pt) (1)
4. d)$R(x)\ge 3⟺R(x)-3\ge 0$, donc $\mathcal{S}=]1;6]$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour comparer un quotient à un nombre, on passe tout du même côté et on réduit au même dénominateur : on se ramène au signe d'un quotient.

1. a)$(x-2)(10-x)=10x-x^2-20+2x=-x^2+12x-20=B(x)$. (1 pt) (1)
2. b)$16-(x^2-12x+36)=-x^2+12x-20=B(x)$. Comme $(x-6{)}^2\ge 0$, $B(x)\le 16$, avec égalité pour $x=6$ : bénéfice maximal $16000$ euros pour $600$ objets. (1 pt) (1)
3. c)$x-2$ s'annule en $2$ (négatif avant, positif après), $10-x$ s'annule en $10$ (positif avant, négatif après). Sur $[0;12]$ : $B(x)<0$ sur $[0;2[$, $B(x)>0$ sur $]2;10[$, $B(x)<0$ sur $]10;12]$. Bénéfice positif pour une production strictement comprise entre $200$ et $1000$ objets. (1 pt) (1)
4. d)$B(x)=12⟺16-(x-6{)}^2=12⟺(x-6{)}^2=4⟺x-6=2$ ou $x-6=-2$, soit $x=8$ ou $x=4$ (tous deux dans $[0;12]$) : $400$ ou $800$ objets. (1 pt) (1)

Astuce — La forme $16-(x-6{)}^2$ donne à la fois le maximum et la résolution de $B(x)=12$ en se ramenant à une équation du type $X^2=a$.

1. a)$f(x)-g(x)=x^2-2x+1-x-5=x^2-3x-4$ et $(x+1)(x-4)=x^2-4x+x-4=x^2-3x-4$ : égalité vérifiée. (1 pt) (1)
2. b)$f(x)=g(x)⟺(x+1)(x-4)=0⟺x=-1$ ou $x=4$. $g(-1)=4$ et $g(4)=9$ : points $(-1;4)$ et $(4;9)$. (1 pt) (1)
3. c)$(x+1)(x-4)<0$ : le produit est négatif entre ses racines, donc $\mathcal{S}=]-1;4[$. Sur cet intervalle, la parabole est strictement au-dessous de la droite. (1 pt) (1)
4. d)$(x-1{)}^2-9\ge 0⟺(x-1-3)(x-1+3)\ge 0⟺(x-4)(x+2)\ge 0$. Tableau de signes : positif hors des racines $-2$ et $4$. $\mathcal{S}=]-\infty ;-2]\cup [4;+\infty [$. (1 pt) (1)

Méthode — La position relative de deux courbes se lit sur le signe de la différence $f(x)-g(x)$, qu'on factorise pour dresser un tableau de signes.

1. a)$(x^2+x-1)(x^2+x-1)=x^4+x^3-x^2+x^3+x^2-x-x^2-x+1=x^4+2x^3-x^2-2x+1$. (1 pt) (1)
2. b)$x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$ ; $x^2+4>0$ ne se factorise pas davantage. (1 pt) (1)
3. c)$x^2+6x+9=(x+3{)}^2$ s'annule pour $x=-3$ : valeur interdite $-3$. $x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$, donc pour $x\ne -3$ le quotient vaut ${\displaystyle \frac{x(x-3)}{x+3}}$. (1 pt) (1)
4. d)$(x^2-4{)}^2=(x-2{)}^2(x+2{)}^2$, donc l'équation équivaut à $(x+2{)}^2[(x-2{)}^2-1]=0⟺(x+2{)}^2(x-3)(x-1)=0$. $\mathcal{S}=\{-2;1;3\}$. (1 pt) (1)

Astuce — Dans une équation, mettre en facteur ce qui est commun aux deux membres évite un développement de degré $4$ impossible à exploiter.

1. a)$a^2+b^2-2ab=(a-b{)}^2\ge 0$, donc $a^2+b^2\ge 2ab$. (1 pt) (1)
2. b)Avec $a=x$ et $b=1$ : $x^2+1\ge 2x$. On divise par $x>0$ (sens conservé) : $x+{\displaystyle \frac{1}{x}}\ge 2$. Égalité si et seulement si $(x-1{)}^2=0$, c'est-à-dire $x=1$. (1 pt) (1)
3. c)$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ avec $a-b\le 0$ et $a+b\ge 0$ : le produit est négatif ou nul, donc $a^2\le b^2$. (1 pt) (1)
4. d)$(\sqrt{3}+\sqrt{5}{)}^2=8+2\sqrt{15}$ et $(\sqrt{15}{)}^2=15$. Or $2\sqrt{15}=\sqrt{60}>\sqrt{49}=7$, donc $8+2\sqrt{15}>15$. Par contraposée de c) (nombres positifs), $\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{15}$. (1 pt) (1)

Méthode — Écrire une différence sous la forme d'un carré est la façon la plus courte de prouver qu'elle est positive.

1. a)Les dénominateurs s'annulent en $2$ et en $-1$ : valeurs interdites $-1$ et $2$. (0,5 pt) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{x-2}}-{\displaystyle \frac{2}{x+1}}={\displaystyle \frac{(x+1)-2(x-2)}{(x-2)(x+1)}}={\displaystyle \frac{-x+5}{(x-2)(x+1)}}$, et $(I)$ équivaut à « cette différence $\ge 0$ ». (1 pt) (1)
3. c)Valeurs clés : $-1$, $2$, $5$. $x+1$ change de signe en $-1$, $x-2$ en $2$ (tous deux négatifs puis positifs), $-x+5$ en $5$ (positif puis négatif). Quotient : positif sur $]-\infty ;-1[$, négatif sur $]-1;2[$, positif sur $]2;5[$, nul en $5$, négatif sur $]5;+\infty [$ ; doubles barres en $-1$ et $2$. (1,5 pt) (1)
4. d)$\mathcal{S}=]-\infty ;-1[\cup ]2;5]$. (1 pt) (1)

Piège — Pas de produit en croix dans une inéquation : le signe des dénominateurs dépend de $x$ et pourrait inverser le sens sans qu'on le voie.

1. a)$A(x)=600-(30-x)(20-x)=600-(600-50x+x^2)=50x-x^2$. (1 pt) (1,33333)
2. b)$50x-x^2=400⟺x^2-50x+400=0⟺(x-25{)}^2-625+400=0⟺(x-25{)}^2=225$, donc $x-25=15$ ou $x-25=-15$ : $x=40$ ou $x=10$. Comme $0<x<20$, l'allée mesure $10$ m de large (vérification : $500-100=400$). (1 pt) (1,33333)
3. c)$16\%$ de $600$ vaut $96$. $A(x)\le 96⟺x^2-50x+96\ge 0⟺(x-25{)}^2-529\ge 0⟺(x-48)(x-2)\ge 0$ (car $529={23}^2$). Sur $]0;20[$, $x-48<0$ ; le produit est positif ou nul si et seulement si $x-2\le 0$. Largeurs possibles : $x\in ]0;2]$. (2 pts) (1,33333)

Méthode — Quand un trinôme ne se factorise pas à vue, on fait apparaître un carré, $(x-25{)}^2-529$, puis on applique $a^2-b^2$.

1. a)$5x+1>2x-3⟺3x>-4⟺x>-{\displaystyle \frac{4}{3}}$. $\mathcal{S}=]-{\displaystyle \frac{4}{3}};+\infty [$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)$1>2x-3⟺-2x>-4⟺x<2$ (division par $-2$, sens inversé). $\mathcal{S}=]-\infty ;2[$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)$(I_m)⟺(m-2)x>-4$. Si $m>2$ : $x>-{\displaystyle \frac{4}{m-2}}$. Si $m<2$ : on divise par $m-2<0$, $x<{\displaystyle \frac{4}{2-m}}$. Si $m=2$ : $0\times x>-4$ est toujours vrai, $\mathcal{S}=ℝ$. (1,5 pt) (0,8)
4. d)Il faut $m<2$ et ${\displaystyle \frac{4}{2-m}}=1⟺2-m=4⟺m=-2$. Vérification : $-4x>-4⟺x<1$. (1 pt) (0,8)
5. e)Non : d'après c), l'ensemble des solutions est une demi-droite si $m\ne 2$ et $ℝ$ si $m=2$ ; il n'est jamais vide. (0,5 pt) (0,8)

Erreur fréquente — Diviser par $m-2$ sans connaître son signe est une faute : on sépare les cas $m>2$, $m<2$ et $m=2$, ce dernier étant souvent oublié.