À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Inéquations » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels sur les inégalités entre nombres réels, Définition d'une inéquation — solution et ensemble solution, Opérations sur les inégalités (addition, soustraction), Multiplication et division par un nombre négatif. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappels sur les inégalités entre nombres réels
2 · Définition d'une inéquation — solution et ensemble solution
3 · Opérations sur les inégalités (addition, soustraction)
4 · Multiplication et division par un nombre négatif
5 · Méthode de résolution d'une inéquation du premier degré
6 · Représentation des solutions : intervalles et droite des réels
7 · Inéquations avec développement et réduction
8 · Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation
1Rappels sur les inégalités entre nombres réels
On compare deux réels avec les symboles :
| Symbole | Lecture | Exemple |
|---|
| < | strictement inférieur à | −3 < 1 |
| ≤ | inférieur ou égal à | 5 ≤ 5 |
| > | strictement supérieur à | 7 > 0 |
| ≥ | supérieur ou égal à | −2 ≥ −4 |
Astuce. Sur la droite des réels, $a$ < $b$ signifie que $a$ est à gauche de $b$.
Exemple. −5 < −1 car −5 est à gauche de −1 sur l'axe des réels.
2Définition d'une inéquation — solution et ensemble solution
Définition. Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue (souvent $x$). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la rendent vraie. L'ensemble de ces valeurs s'appelle l'ensemble solution.
Exemple. L'inéquation $x > 3$ a pour ensemble solution :
• L'ensemble des réels strictement supérieurs à 3, noté $]3 ; +\infty [$.
• Vérification : 5 > 3 ✓ (5 est solution) ; 2 > 3 ✗ (2 n'est pas solution).
Attention ! Une inéquation a en général une infinité de solutions (un intervalle), contrairement à une équation du premier degré qui a une solution unique.
3Opérations sur les inégalités (addition, soustraction)
Propriété. On peut ajouter ou soustraire un même nombre des deux membres d'une inégalité sans changer le sens de l'inégalité.
Si a < b alors a + c < b + c (quel que soit c).
Exemple. Résoudre $x + 4 < 7$ :
On soustrait 4 des deux membres : $x + 4 - 4 < 7 - 4$, soit $x < 3$.
Ensemble solution : $]-\infty ; 3[$.
Astuce. Pour éliminer un terme d'un membre, on « passe de l'autre côté » en changeant de signe : +4 devient −4.
4Multiplication et division par un nombre négatif
Propriété fondamentale.
• Si l'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre positif, le sens de l'inégalité ne change pas.
• Si l'on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse.
| Opération | Sens de l'inégalité |
|---|
| × ou ÷ par un positif | inchangé |
| × ou ÷ par un négatif | inversé (< devient >, ≤ devient ≥, etc.) |
Exemple. Résoudre $-2x > 6$ :
On divise par −2 (négatif) → le sens s'inverse :
$x < 6/(-2)$, soit $x < -3$.
Ensemble solution : $]-\infty ; -3[$.
Attention ! C'est LE piège principal des inéquations : oublier d'inverser le signe quand on divise par un nombre négatif.
5Méthode de résolution d'une inéquation du premier degré
Méthode. Pour résoudre $ax + b < cx + d$ :
- Rassembler les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre.
- Réduire : obtenir $αx < β$ (ou >, ≤, ≥).
- Diviser par α ; inverser le sens si α < 0.
- Exprimer la solution sous forme d'intervalle.
Exemple résolu. Résoudre $3x - 5 \geq x + 7$ :
• Étape 1 : $3x - x \geq 7 + 5$
• Étape 2 : $2x \geq 12$
• Étape 3 : $x \geq 6$ (on divise par 2 > 0, sens inchangé)
• Ensemble solution : $[6 ; +\infty [$.
Astuce. On peut toujours vérifier la solution en testant une valeur : ici, x = 10 donne 3×10−5 = 25 ≥ 10+7 = 17 ✓.
6Représentation des solutions : intervalles et droite des réels
On représente la solution d'une inéquation sous deux formes équivalentes.
| Inéquation | Intervalle | Sur la droite des réels |
|---|
| x > a | ]a ; +∞[ | Point a exclu (crochet ouvert ou cercle vide) |
| x ≥ a | [a ; +∞[ | Point a inclus (crochet fermé ou point plein) |
| x < a | ]−∞ ; a[ | Point a exclu |
| x ≤ a | ]−∞ ; a] | Point a inclus |
| a < x ≤ b | ]a ; b] | a exclu, b inclus |
Attention ! On écrit toujours +∞ et −∞ avec des crochets ouverts (jamais fermés) car l'infini n'est pas un réel.
Exemple. x ≥ −2 se note $[-2 ; +\infty [$. On place un crochet fermé en −2 et on flèche vers la droite.
7Inéquations avec développement et réduction
Certaines inéquations nécessitent de développer et réduire avant d'appliquer la méthode.
Exemple résolu. Résoudre $2(x + 3) < 4x - 2$ :
• Développer : $2x + 6 < 4x - 2$
• Rassembler les x : $2x - 4x < -2 - 6$
• Réduire : $-2x < -8$
• Diviser par −2 (négatif → inversion) : $x > 4$
• Ensemble solution : $]4 ; +\infty [$.
Exemple résolu 2. Résoudre $3(2x - 1) \leq 5x + 4$ :
• Développer : $6x - 3 \leq 5x + 4$
• Réduire : $6x - 5x \leq 4 + 3$, soit $x \leq 7$
• Ensemble solution : $]-\infty ; 7]$.
Astuce. Commencer toujours par développer (distribuer) avant de déplacer les termes.
8Résoudre un problème à l'aide d'une inéquation
On peut modéliser certaines situations de la vie quotidienne par une inéquation.
Méthode.- Définir l'inconnue et son unité.
- Traduire la condition en inéquation.
- Résoudre l'inéquation.
- Interpréter la solution dans le contexte (vérifier la cohérence).
Exemple. Un taxi applique un forfait de 3 € puis 2 € par km. Un client veut payer au plus 15 €. Combien de km peut-il parcourir au maximum ?
• Soit $x$ le nombre de km (x ≥ 0).
• Condition : $3 + 2x \leq 15$
• Résolution : $2x \leq 12$, soit $x \leq 6$.
• Interprétation : le client peut parcourir au plus 6 km.
★À retenir
À retenir :
• Une inéquation a pour solution un intervalle (ensemble infini de valeurs).
• On peut additionner/soustraire le même nombre des deux membres sans changer le sens.
• Multiplier ou diviser par un négatif inverse le sens de l'inégalité (≤ devient ≥, etc.).
• On note la solution sous forme d'intervalle : ] a ; +∞ [ (exclu) ou [ a ; +∞ [ (inclus).
• Pour les problèmes : définir l'inconnue → traduire → résoudre → interpréter.