Inégalités et inéquations

Q: Comment comparer deux nombres ou deux expressions ?

On calcule leur différence A − B et on étudie son signe : positive, A est le plus grand ; négative, c’est B ; nulle, ils sont égaux. Pour des expressions avec x, on cherche à écrire la différence comme un carré ou un nombre, valable pour tout x.

Q: Quand comparer deux nombres par leur quotient ?

Quand les deux nombres sont strictement positifs et écrits avec des produits ou des puissances. Si A/B > 1, alors A > B. Le rapport se lit « A vaut k fois B » : un rapport de 1,25 signifie que A est 25 % plus grand que B.

Comparer deux nombres par différence ou par quotient, calculer avec des inégalités et des encadrements, résoudre les inéquations du premier degré et mettre un problème en inéquation.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 2nde sur les inégalités et les inéquations suit cinq parties : comparer deux nombres par leur différence, comparer deux nombres positifs par leur quotient (variation additive ou multiplicative), opérations sur les inégalités et encadrements en lien avec les fonctions affines, résolution des inéquations du premier degré, et mise en inéquation d’un problème. Chaque partie donne des exemples rédigés, un réflexe et le piège à éviter.

Comparer deux nombres par leur différence

Ce qu’il faut savoir

Ordre et différence. Pour deux réels $a$ et $b$ : $a ⩽ b$ signifie $b - a ⩾ 0$ , et $a < b$ signifie $b - a > 0$ . Deux réels sont toujours comparables : $a < b$ , ou $a = b$ , ou $a > b$ .

Comparaison additive. Pour comparer $A$ et $B$ , on étudie le signe de $A - B$ : si $A - B > 0$ , alors $A > B$ ; si $A - B < 0$ , alors $A < B$ ; si $A - B = 0$ , ils sont égaux. La différence dit aussi de combien $A$ dépasse $B$ : c’est l’écart (la variation absolue quand on passe de $B$ à $A$ ).

Outil pour les expressions littérales. Un carré est toujours positif ou nul : pour tout réel $X$ , $X^{2} ⩾ 0$ , et $X^{2} = 0$ seulement si $X = 0$ . Si $A - B$ s’écrit comme un carré (identité $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , un automatisme), alors $A ⩾ B$ .

Exemples

Deux fractions. Comparer $\frac{7}{9}$ et $\frac{4}{5}$ . Au même dénominateur : $\frac{7}{9} - \frac{4}{5} = \frac{35}{45} - \frac{36}{45} = - \frac{1}{45}$ . La différence est négative : $\frac{7}{9} < \frac{4}{5}$ .

Deux expressions, réponse rédigée. Montrer que, pour tout réel $x$ , $4 x^{2} + 1 ⩾ 4 x$ .
Pour tout réel $x$ , $(4 x^{2} + 1) - 4 x = 4 x^{2} - 4 x + 1 = (2 x - 1)^{2}$ . Un carré est positif ou nul, donc $(4 x^{2} + 1) - 4 x ⩾ 0$ , c’est-à-dire $4 x^{2} + 1 ⩾ 4 x$ . L’égalité n’a lieu que si $2 x - 1 = 0$ , soit $x = 0, 5$ .

Interpréter l’écart. Un vélo coûte $389$ € dans un magasin et $412$ € dans un autre : $412 - 389 = 23$ . Le second est plus cher de $23$ € : c’est une comparaison additive (« de combien »).

Réflexe — Pour comparer $A$ et $B$ , je calcule $A - B$ , je le simplifie (même dénominateur, développement, carré), puis je conclus sur son signe par une phrase : « $A - B ⩾ 0$ , donc $A ⩾ B$ ».

Attention — Un carré est positif ou nul : $(2 x - 1)^{2} > 0$ est faux pour $x = 0, 5$ . Et tester une ou deux valeurs ne prouve pas qu’une inégalité est vraie pour tout $x$ : il faut un calcul valable pour tous les réels.

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Comparer deux nombres positifs par leur quotient

Ce qu’il faut savoir

Propriété. Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Si $\frac{a}{b} > 1$ , alors $a > b$ ; si $\frac{a}{b} < 1$ , alors $a < b$ ; si $\frac{a}{b} = 1$ , alors $a = b$ .

Démonstration (à savoir refaire). $\frac{a}{b} - 1 = \frac{a - b}{b}$ . Comme $b > 0$ , ce quotient a le signe de $a - b$ . Donc $\frac{a}{b} > 1$ équivaut à $a - b > 0$ , c’est-à-dire $a > b$ (de même pour $<$ et pour $=$ ).

Comparaison multiplicative. Le rapport $k = \frac{a}{b}$ dit combien de fois $a$ contient $b$ : $a = k \times b$ . Si $k = 1, 3$ , $a$ est $30 %$ plus grand que $b$ ; si $k = 0, 9$ , $a$ est $10 %$ plus petit que $b$ .

Quand l’utiliser ? Quand les nombres s’écrivent avec des produits ou des puissances : le quotient se simplifie, la différence non.

Exemples

Deux puissances. Comparer $A = 7^{15}$ et $B = 5 \times 7^{14}$ . Les deux sont strictement positifs et $\frac{A}{B} = \frac{7^{15}}{5 \times 7^{14}} = \frac{7}{5} = 1, 4$ . Comme $1, 4 > 1$ , $A > B$ : $A$ vaut $1, 4$ fois $B$ , il est $40 %$ plus grand.

Additive ou multiplicative ? Un abonnement passe de $15$ € à $18$ € par mois. Comparaison additive : $18 - 15 = 3$ , il augmente de $3$ €. Comparaison multiplicative : $\frac{18}{15} = 1, 2$ , il est multiplié par $1, 2$ , soit une hausse de $20 %$ . Les deux phrases sont justes ; le contexte dit laquelle est utile : « de combien » (en euros) ou « combien de fois » (en pourcentage).

Réflexe — Les deux nombres sont strictement positifs et écrits avec des produits ou des puissances : je calcule $\frac{A}{B}$ , je simplifie, je compare à $1$ . Pour interpréter, $\frac{A}{B} = k$ se lit « $A$ vaut $k$ fois $B$ ».

Attention — La règle du quotient ne vaut que pour des nombres strictement positifs : $- 6 < - 2$ alors que $\frac{- 6}{- 2} = 3 > 1$ . Et un rapport dépend du sens : si $\frac{a}{b} = k$ , alors $\frac{b}{a} = \frac{1}{k}$ ; un pourcentage de hausse ne se « retourne » pas en le même pourcentage de baisse.

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Opérations sur les inégalités et encadrements

Ce qu’il faut savoir

Ajouter un même nombre. Si $a < b$ , alors $a + c < b + c$ pour tout réel $c$ : le sens est conservé (de même en soustrayant $c$ ).

Additionner membre à membre. Si $a < b$ et $c < d$ , alors $a + c < b + d$ . Deux inégalités de même sens s’ajoutent ; elles ne se soustraient pas.

Multiplier par un réel $k$ . Si $a < b$ : pour $k > 0$ , $k a < k b$ (sens conservé) ; pour $k < 0$ , $k a > k b$ (sens changé). Diviser par $k$ , c’est multiplier par $\frac{1}{k}$ , qui a le même signe : même règle.

Lien avec les fonctions affines. La fonction $f : x \mapsto k x + p$ est croissante si $k > 0$ et décroissante si $k < 0$ . Dire que « multiplier par un négatif change le sens », c’est dire que $x \mapsto k x$ est décroissante quand $k < 0$ : si $a < b$ , alors $f (a) > f (b)$ . Pour encadrer $f (x)$ , on calcule l’image des bornes, en les échangeant si $f$ est décroissante.

Démonstrations (par la différence). $(b + d) - (a + c) = (b - a) + (d - c)$ est une somme de deux nombres strictement positifs : elle est strictement positive. $k b - k a = k (b - a)$ a le signe de $k$ , puisque $b - a > 0$ .

Ces règles valent aussi pour les inégalités larges ( $⩽$ , $⩾$ ).

Exemples

Encadrer une expression affine. On sait que $- 2 < x ⩽ 5$ .
Pour $3 x - 4$ : on multiplie par $3 > 0$ (sens conservé) : $- 6 < 3 x ⩽ 15$ , puis on retranche $4$ : $- 10 < 3 x - 4 ⩽ 11$ .
Pour $1 - 2 x$ : on multiplie par $- 2 < 0$ (sens changé) : $4 > - 2 x ⩾ - 10$ , soit $- 10 ⩽ - 2 x < 4$ dans l’ordre croissant, puis on ajoute $1$ : $- 9 ⩽ 1 - 2 x < 5$ . La fonction $x \mapsto 1 - 2 x$ est décroissante : la borne $5$ de $x$ donne la borne $- 9$ .

Additionner deux encadrements. Un rectangle a une longueur $L$ avec $2, 4 ⩽ L ⩽ 2, 6$ (en m) et une largeur $ℓ$ avec $1, 1 ⩽ ℓ ⩽ 1, 3$ . Membre à membre : $3, 5 ⩽ L + ℓ ⩽ 3, 9$ , puis, en multipliant par $2 > 0$ : $7 ⩽ 2 (L + ℓ) ⩽ 7, 8$ . Le périmètre est compris entre $7$ m et $7, 8$ m.

Une différence. Pour encadrer $L - ℓ$ , on encadre d’abord $- ℓ$ (multiplication par $- 1$ , sens changé) : $- 1, 3 ⩽ - ℓ ⩽ - 1, 1$ , puis on additionne : $1, 1 ⩽ L - ℓ ⩽ 1, 5$ .

Réflexe — Avant de multiplier ou de diviser, je regarde le signe du nombre : positif, je garde le sens ; négatif, je retourne les symboles et je réécris l’encadrement dans l’ordre croissant. Pour une différence $a - b$ , j’encadre d’abord $- b$ , puis j’additionne.

Attention — On ne soustrait pas deux inégalités membre à membre : $1 ⩽ 2$ et $0 ⩽ 5$ donneraient $1 - 0 ⩽ 2 - 5$ , soit $1 ⩽ - 3$ , faux. On ne les multiplie pas non plus : ce n’est pas une règle du cours ( $1 < 3$ et $- 5 < - 4$ donneraient $- 5 < - 12$ , faux). Entre nombres positifs, cela marche, mais ce n’est pas au programme de 2nde.

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Résoudre une inéquation du premier degré

Ce qu’il faut savoir

Inéquation, solutions. Une inéquation d’inconnue $x$ est une inégalité entre deux expressions de $x$ . Un réel est solution s’il rend l’inégalité vraie. Résoudre, c’est trouver l’ensemble $S$ de toutes les solutions ; on l’écrit avec un intervalle.

Transformations permises (elles donnent une inéquation équivalente) : ajouter ou soustraire un même nombre, ou un même terme en $x$ , aux deux membres ; multiplier ou diviser les deux membres par un même réel non nul, en changeant le sens s’il est négatif.

Forme $a x + b > 0$ avec $a \neq 0$ . $a x + b > 0$ équivaut à $a x > - b$ . Si $a > 0$ : $x > - \frac{b}{a}$ , donc $S =] - \frac{b}{a}; + \infty [$ . Si $a < 0$ : $x < - \frac{b}{a}$ , donc $S =] - \infty; - \frac{b}{a} [$ .

Crochets. Inégalité large ( $⩽$ , $⩾$ ) : la borne est solution, crochet fermé. Inégalité stricte ( $<$ , $>$ ) : crochet ouvert. Toujours ouvert du côté de $- \infty$ ou de $+ \infty$ .

Cas particuliers. Si les termes en $x$ disparaissent, il reste une inégalité entre nombres : si elle est vraie, $S = ℝ$ ; si elle est fausse, $S = \emptyset$ (ensemble vide).

Exemples

Coefficient positif. $5 x - 12 > 3 x + 1$ équivaut à $5 x - 3 x > 1 + 12$ , soit $2 x > 13$ . On divise par $2 > 0$ , le sens est conservé : $x > 6, 5$ . $S =] 6, 5; + \infty [$ .

Coefficient négatif. $- 3 x + 7 ⩾ 1$ équivaut à $- 3 x ⩾ - 6$ . On divise par $- 3 < 0$ , le sens change : $x ⩽ 2$ . $S =] - \infty; 2]$ . Contrôle avec $x = 0$ , qui doit être solution : $7 ⩾ 1$ , vrai.

Avec des fractions. $\frac{x}{3} + 1 > \frac{x}{2}$ . On multiplie les deux membres par $6 > 0$ : $2 x + 6 > 3 x$ , soit $6 > x$ . $S =] - \infty; 6 [$ .

Aucune solution, ou toutes. $4 x + 1 < 4 (x - 2)$ s’écrit $4 x + 1 < 4 x - 8$ , soit $1 < - 8$ : faux, donc $S = \emptyset$ . $5 (x + 1) ⩾ 5 x - 2$ s’écrit $5 x + 5 ⩾ 5 x - 2$ , soit $5 ⩾ - 2$ : vrai pour tout $x$ , donc $S = ℝ$ .

Réflexe — J’isole $x$ comme pour une équation, mais j’entoure le coefficient de $x$ avant de diviser : s’il est négatif, je retourne le symbole. Je conclus par « $S = \dots$ » et je teste une valeur de $S$ dans l’inéquation de départ.

Attention — La réponse est un ensemble, pas un nombre : « $x = 6, 5$ » ne répond pas. Et on ne multiplie jamais les deux membres par une expression dont on ne connaît pas le signe, comme $x$ : de $\frac{6}{x} > 1$ on ne peut pas déduire $6 > x$ (le réel $- 2$ vérifie $6 > x$ , mais $\frac{6}{- 2} = - 3$ n’est pas supérieur à $1$ ).

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Modéliser un problème par une inéquation

Ce qu’il faut savoir

Les étapes. 1. Choisir l’inconnue et préciser ses valeurs possibles (entier, positif, au plus…). 2. Traduire la phrase par une inéquation. 3. La résoudre. 4. Revenir à la question : arrondir dans le bon sens si l’inconnue est un entier, et répondre par une phrase.

Traduire les mots.

Dans l’énoncé	Symbole
au moins, au minimum, pas moins de	$⩾$
au plus, au maximum, ne dépasse pas	$⩽$
plus de, strictement supérieur à	$>$
strictement moins de, strictement inférieur à	$<$

Inconnue entière. Si $n$ est un nombre d’objets et que l’on trouve $n > 4, 3$ , la plus petite valeur possible est $n = 5$ ; si l’on trouve $n ⩽ 9, 6$ , la plus grande est $n = 9$ .

Exemples

Une moyenne à atteindre. Inès a eu $7$ et $12$ à deux devoirs de coefficient $1$ . Le prochain devoir a le coefficient $2$ . Quelle note $x$ lui faut-il pour avoir au moins $11$ de moyenne ?
La moyenne vaut $\frac{7 + 12 + 2 x}{4} = \frac{19 + 2 x}{4}$ . « Au moins $11$ » se traduit par $\frac{19 + 2 x}{4} ⩾ 11$ . On multiplie par $4 > 0$ : $19 + 2 x ⩾ 44$ , donc $2 x ⩾ 25$ et $x ⩾ 12, 5$ . Il lui faut au moins $12, 5$ sur $20$ .

Un nombre entier maximal. Un club dispose de $260$ € pour acheter des ballons à $18$ € pièce, avec $35$ € de frais de livraison. On note $n$ le nombre de ballons : $35 + 18 n ⩽ 260$ , donc $18 n ⩽ 225$ et $n ⩽ 12, 5$ . Comme $n$ est entier, le club peut acheter au plus $12$ ballons. Contrôle : $35 + 18 \times 12 = 251$ , qui ne dépasse pas $260$ , et $35 + 18 \times 13 = 269$ , qui dépasse.

Réflexe — Je souligne « au moins », « au plus », « plus de », je les traduis par un symbole, puis je reviens toujours à la question posée : un nombre de séances, d’objets ou de personnes est un entier.

Attention — Arrondir dans le bon sens : $n ⩽ 12, 5$ donne au plus $12$ (pas $13$ ). Et avec une inégalité stricte, la valeur limite n’est pas solution : je vérifie toujours le cas d’égalité.

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Pour aller plus loin

Signe de $a x + b$ , produits et quotients. Le signe d’une expression affine, les tableaux de signes et les inéquations produit ou quotient, comme $(2 x + 5) (3 - x) ⩾ 0$ , sont traités dans le chapitre Étude de signe et tableaux de signes.

Intervalles et valeur absolue. La notation des intervalles, la réunion et l’intersection, et les inéquations du type $| x - a | ⩽ r$ sont dans le chapitre Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue.

Carrés et inverses. Pour des nombres strictement positifs, $a < b$ donne $a^{2} < b^{2}$ et $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ : ce sont les variations des fonctions carré et inverse, chapitre Carré, inverse et valeur absolue. Avec des négatifs, l’ordre des carrés peut s’inverser.

Sens de variation d’une fonction affine. Sa démonstration et le signe de $m x + p$ sont dans le chapitre Fonctions affines.

Résolution graphique. Résoudre $f (x) < k$ ou $f (x) < g (x)$ en lisant une courbe : chapitre Généralités sur les fonctions.

Évolutions en pourcentage. Coefficient multiplicateur, évolutions successives et réciproques : chapitre Information chiffrée : proportions et évolutions.

À retenir

$a ⩽ b$ signifie $b - a ⩾ 0$ : pour comparer $A$ et $B$ , j’étudie le signe de $A - B$ (« de combien »).
Pour $a > 0$ et $b > 0$ : $\frac{a}{b} > 1$ équivaut à $a > b$ ; le rapport dit « combien de fois », en pourcentage.
Ajouter un nombre ou multiplier par un réel positif conserve le sens ; multiplier par un réel négatif le change ( $x \mapsto k x$ est décroissante si $k < 0$ ).
Deux inégalités de même sens s’additionnent membre à membre ; elles ne se soustraient pas.
Inéquation du premier degré : j’isole $x$ , je change le sens en divisant par un négatif, je conclus par $S$ (intervalle, $\emptyset$ ou $ℝ$ ).
Problème : je choisis l’inconnue, je traduis « au moins / au plus », je résous, je reviens à la question (entier).

Questions fréquentes

Comment comparer deux nombres ou deux expressions ?

On calcule leur différence A − B et on étudie son signe : positive, A est le plus grand ; négative, c’est B ; nulle, ils sont égaux. Pour des expressions avec x, on cherche à écrire la différence comme un carré ou un nombre, valable pour tout x.

Quand comparer deux nombres par leur quotient ?

Quand les deux nombres sont strictement positifs et écrits avec des produits ou des puissances. Si A/B > 1, alors A > B. Le rapport se lit « A vaut k fois B » : un rapport de 1,25 signifie que A est 25 % plus grand que B.

Quand faut-il changer le sens d’une inégalité ?

Seulement quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre strictement négatif. Ajouter ou soustraire un nombre, multiplier ou diviser par un positif conservent le sens. C’est la même idée qu’une fonction affine décroissante, qui renverse l’ordre.

Comment résoudre une inéquation du premier degré ?

On regroupe les termes en x d’un côté et les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de x en changeant le sens s’il est négatif. On conclut par l’ensemble des solutions S écrit avec un intervalle (crochet fermé pour ≤ ou ≥), ou S = ∅, ou S = ℝ.

Comment mettre un problème en inéquation ?

On choisit l’inconnue, on traduit les mots (« au moins » par ≥, « au plus » par ≤, « strictement moins cher » par <), on résout, puis on revient à la question : un nombre d’objets est un entier, on arrondit dans le sens de l’inégalité et on vérifie la valeur limite.

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