Équations

1. a)$9x-5x=27+3$, soit $4x=30$, donc $x={\displaystyle \frac{30}{4}}=7,5$. $S=\{7,5\}$. (1)
2. b)$54>0$ et $54=9\times 6$, donc $\sqrt{54}=3\sqrt{6}$. $S=\{-3\sqrt{6};3\sqrt{6}\}$. (1)
3. c)Le dénominateur $(x-6)(x+4)$ s’annule si $x-6=0$ ou $x+4=0$ : les valeurs interdites sont $-4$ et $6$. (1)
4. d)$x^2=4-40=-36<0$ : un carré n’est jamais négatif, donc $S=\varnothing$. (1)

Repère — Avant de résoudre, on repère le type d’équation : c’est lui qui dicte la méthode.

1. a)On développe : $2x+22=5x-4$. Donc $2x-5x=-4-22$, soit $-3x=-26$, et $x={\displaystyle \frac{26}{3}}$. $S=\left\{{\displaystyle \frac{26}{3}}\right\}$. (1)
2. b)On multiplie les deux membres par $12$, nombre non nul : $3x-36=2x+12$. Donc $x=48$. Vérification : ${\displaystyle \frac{48}{4}}-3=9$ et ${\displaystyle \frac{48}{6}}+1=9$. $S=\{48\}$. (1)
3. c)On développe : $12x-6=12x+15$. On retranche $12x$ : $-6=15$, égalité fausse pour tout $x$. $S=\varnothing$. (1)
4. d)On remplace $x$ par $4$ : $4$ est solution si et seulement si $4a+7=12-a$, donc $5a=5$ et $a=1$. Vérification : pour $a=1$, l’équation $x+7=3x-1$ donne $2x=8$, soit $x=4$. (1)

Repère — Quand les x disparaissent, on lit l’égalité restante : vraie, S = ℝ ; fausse, S = ∅.

1. a)Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $4x+13=0$ ou $x-21=0$, donc $x=-{\displaystyle \frac{13}{4}}$ ou $x=21$. $S=\{-{\displaystyle \frac{13}{4}};21\}$. (1)
2. b)$25x^2-4=(5x{)}^2-2^2=(5x-2)(5x+2)$. Produit nul : $x={\displaystyle \frac{2}{5}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$. $S=\{-{\displaystyle \frac{2}{5}};{\displaystyle \frac{2}{5}}\}$. (1)
3. c)Facteur commun $(3x-1)$ : $(3x-1)[(3x-1)-(x+11)]=(3x-1)(2x-12)=0$. Donc $3x-1=0$ ou $2x-12=0$, soit $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ou $x=6$. $S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{3}};6\right\}$. (1)
4. d)On ne divise pas par $x$ : $7x^2-2x=0$, soit $x(7x-2)=0$, donc $x=0$ ou $x={\displaystyle \frac{2}{7}}$. $S=\left\{0;{\displaystyle \frac{2}{7}}\right\}$. (1)

Repère — On factorise au lieu de diviser par x : diviser fait perdre la solution 0.

1. a)Valeur interdite : $2$. Pour $x\ne 2$, le quotient est nul si et seulement si $7x+3=0$, soit $x=-{\displaystyle \frac{3}{7}}$, valeur autorisée. $S=\{-{\displaystyle \frac{3}{7}}\}$. (1)
2. b)Valeur interdite : $2$. Pour $x\ne 2$, le quotient est nul si et seulement si $(x+9)(x-2)=0$, soit $x=-9$ ou $x=2$. La valeur $2$ est interdite, on la rejette. $S=\{-9\}$. (1)
3. c)Julie ne donne pas la valeur interdite : l’expression n’existe que si $x\ne 0$. La simplification par $x$ n’est permise que sous cette condition, qu’il faut écrire avant de calculer. Comme $7\ne 0$, la valeur convient : $S=\{7\}$. (1)
4. d)$23>0$ : $x-7=-\sqrt{23}$ ou $x-7=\sqrt{23}$, donc $x=7-\sqrt{23}$ ou $x=7+\sqrt{23}$. $S=\{7-\sqrt{23};7+\sqrt{23}\}$. (1)

Repère — Valeurs interdites d’abord, et deux solutions opposées pour un carré égal à un nombre positif.

1. a)Le triple de la largeur vaut $3x$ ; on lui ajoute $7$ : la longueur est $3x+7$ mètres. (1)
2. b)Le périmètre vaut $2[x+(3x+7)]=2(4x+7)=8x+14$. (1)
3. c)On résout $8x+14=158$ : $8x=144$, donc $x=18$. La largeur vaut $18$ m et la longueur $3\times 18+7=61$ m. (1)
4. d)Aire : $18\times 61=1098$ m². Un carré de même périmètre a pour côté $158÷4=39,5$ m, donc pour aire $39,5^2=1560,25$ m². Comme $1560,25>1098$, la parcelle carrée aurait une aire plus grande. (1)

Repère — Mettre en équation : nommer l’inconnue, traduire l’énoncé, résoudre, puis répondre avec l’unité.