Équations

Équations du premier degré et cas particuliers, mise en équation, équation produit nul, équation quotient et valeurs interdites, équation x² = a.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés qui se résolvent par une équation : deux formules d’escalade à comparer, l’énergie cinétique d’un chariot, une fonction Python qui résout ax + b = 0, un carré transformé en rectangle et la vitesse moyenne d’un aller-retour à vélo.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je choisis l’inconnue et j’écris ce qu’elle représente, avec son unité (nombre de séances, vitesse en km/h, côté en m).
Je traduis l’énoncé par une équation, en justifiant chaque terme (part fixe et part par séance, durée = distance ÷ vitesse).
Je reconnais le type d’équation (premier degré, produit nul, quotient, x² = a) et je la résous en rédigeant.
Je confronte au contexte : une longueur ou une vitesse est positive, un nombre de séances est entier ; je rejette les solutions qui ne conviennent pas.
Je vérifie et je conclus par une phrase qui répond à la question posée, avec l’unité.

Problème 1 · Deux formules d’escalade à comparer★★★Facile

Une salle d’escalade propose deux formules pour l’année. Formule A :

24

€ d’adhésion, puis

6, 20

€ par séance. Formule B :

52

€ d’adhésion, puis

3, 50

€ par séance. On note

n

le nombre de séances dans l’année,

A (n)

B (n)

les coûts annuels en euros.

1. Justifier que $A (n) = 24 + 6, 2 n$ , puis calculer le coût de la formule B pour $20$ séances : €
Rédaction attendue. Chaque formule se compose d’une part fixe et d’une part proportionnelle au nombre de séances. Pour la formule A : $24$ € fixes, plus $6, 20$ € pour chacune des $n$ séances, donc $A (n) = 24 + 6, 2 n$ . De même, $B (n) = 52 + 3, 5 n$ , donc $B (20) = 52 + 3, 5 \times 20 = 52 + 70 = 122$ €.
2. Résoudre l’équation $A (n) = B (n)$ . Valeur approchée au centième de la solution :
$24 + 6, 2 n = 52 + 3, 5 n$ $⟺ 6, 2 n - 3, 5 n = 52 - 24$ $⟺ 2, 7 n = 28$ $⟺ n = \frac{28}{2, 7} = \frac{280}{27}$ , soit environ $10, 37$ . Ce n’est pas un entier : les deux formules ne coûtent jamais exactement le même prix.
3. Démontrer que $B (n) - A (n) = 28 - 2, 7 n$ , puis en déduire le plus petit nombre de séances pour lequel la formule B est moins chère que la formule A : séances
Rédaction attendue. $B (n) - A (n) = (52 + 3, 5 n) - (24 + 6, 2 n) = 52 - 24 + 3, 5 n - 6, 2 n = 28 - 2, 7 n$ . Pour $n = 10$ : $28 - 27 = 1 > 0$ , la formule B coûte encore $1$ € de plus. Pour $n = 11$ : $28 - 29, 7 = - 1, 7 < 0$ , la formule B devient moins chère. Comme la différence diminue de $2, 7$ € à chaque séance de plus, la formule B est la plus avantageuse à partir de $11$ séances.
4. Le gérant veut que les deux formules coûtent le même prix pour $15$ séances, sans changer les $3, 50$ € par séance de la formule B. Nouvelle adhésion de la formule B : €
$A (15) = 24 + 6, 2 \times 15 = 24 + 93 = 117$ €. Avec la formule B, les $15$ séances coûtent $3, 5 \times 15 = 52, 5$ €. On cherche l’adhésion $f$ telle que $f + 52, 5 = 117$ , donc $f = 64, 5$ . Le gérant doit fixer l’adhésion à $64, 50$ €.

Problème 2 · L’énergie cinétique d’un chariot★★★Moyen

En physique, l’énergie cinétique (en joules) d’un objet de masse

m

(en kg) qui se déplace à la vitesse

v

(en m/s) est

E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2}

. On étudie un chariot de masse

m = 4, 5

kg.

1. Énergie cinétique du chariot à la vitesse de $3, 2$ m/s : J
$E_{c} = \frac{1}{2} \times 4, 5 \times 3, 2^{2} = 2, 25 \times 10, 24 = 23, 04$ J.
2. Déterminer la vitesse du chariot lorsque son énergie cinétique vaut $90$ J, en justifiant qu’une seule des deux solutions de l’équation convient. Valeur exacte : $v = k \sqrt{10}$ avec $k =$ ; valeur approchée au centième : m/s
Rédaction attendue. On résout $\frac{1}{2} \times 4, 5 \times v^{2} = 90$ , soit $2, 25 v^{2} = 90$ , donc $v^{2} = \frac{90}{2, 25} = 40$ . Comme $40 > 0$ , l’équation a deux solutions opposées : $v = - \sqrt{40}$ ou $v = \sqrt{40}$ . Ici $v$ est une vitesse, donc un nombre positif : on écarte $- \sqrt{40}$ . Or $\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2 \sqrt{10} \approx 6, 32$ m/s. C’est le contexte, et non le calcul, qui impose ce choix.
3. Démontrer que si la vitesse est multipliée par $3$ , l’énergie cinétique est multipliée par
Rédaction attendue. À la vitesse $3 v$ , l’énergie vaut $\frac{1}{2} m (3 v)^{2} = \frac{1}{2} m \times 9 v^{2} = 9 \times (\frac{1}{2} m v^{2}) = 9 E_{c}$ . Elle est multipliée par $9$ , quelle que soit la masse : c’est l’effet du carré dans la formule.
4. Un second chariot lancé à $2, 5$ m/s a une énergie cinétique de $30$ J. Sa masse est kg
On note $M$ la masse cherchée : $\frac{1}{2} \times M \times 2, 5^{2} = 30$ , soit $3, 125 M = 30$ . Cette équation est du premier degré en $M$ : $M = \frac{30}{3, 125} = 9, 6$ kg.

Problème 3 · Un programme Python qui résout ax + b = 0★★★Moyen

Un élève écrit la fonction Python suivante pour résoudre l’équation

a x + b = 0

d’inconnue

x

def solution(a, b):
    return -b / a

1. L’appel solution(5, 8) renvoie
La fonction calcule $- \frac{8}{5} = - 1, 6$ : c’est la solution de $5 x + 8 = 0$ . Contrôle : $5 \times (- 1, 6) + 8 = - 8 + 8 = 0$ .
2. Expliquer pourquoi l’appel solution(0, 3) provoque une erreur. Nombre de solutions de l’équation correspondante :
Rédaction attendue. Avec $a = 0$ , l’instruction -b / a demande une division par zéro, que Python refuse : l’exécution s’arrête sur une erreur. Mathématiquement, l’équation est $0 \times x + 3 = 0$ , soit $3 = 0$ , faux pour tout $x$ : $S = \emptyset$ , aucune solution. La fonction oublie le cas $a = 0$ de la propriété du cours.
3. On corrige la fonction pour qu’elle renvoie « aucune solution » ou « tous les reels » quand $a = 0$ (voir la correction). L’appel solution(0, 0) renvoie alors
On distingue les trois cas de la propriété, en testant a avant de diviser :
```
def solution(a, b):
    if a == 0:
        if b == 0:
            return "tous les reels"
        return "aucune solution"
    return -b / a
```
Pour a=0 et b=0, l’équation 0×x+0=0 est vraie pour tout x : la fonction renvoie « tous les reels ».
4. Avec la fonction corrigée, on exécute :
```
L = [(5, -12), (0, 4)]
for (a, b) in L:
    print(solution(a, b))
```
Le programme affiche d’abord puis
Pour le couple $(5, - 12)$ : $a = 5 \neq 0$ , la fonction renvoie $- \frac{- 12}{5} = \frac{12}{5} = 2, 4$ , que Python affiche 2.4 (solution de $5 x - 12 = 0$ ). Pour le couple $(0, 4)$ : $a = 0$ et $b \neq 0$ , l’équation $0 \times x + 4 = 0$ s’écrit $4 = 0$ , fausse : la fonction affiche « aucune solution ».
5. Démontrer que, pour $a \neq 0$ , solution(a, b) et solution(-a, -b) renvoient le même nombre. Ainsi solution(-4, -10) renvoie
Rédaction attendue. Pour $a \neq 0$ , solution(a, b) renvoie $- \frac{b}{a}$ et solution(-a, -b) renvoie $- \frac{- b}{- a} = - \frac{b}{a}$ : un quotient de deux opposés ne change pas. Les équations $a x + b = 0$ et $- a x - b = 0$ sont équivalentes (on multiplie les deux membres par $- 1$ ). Ici, $- \frac{- 10}{- 4} = - \frac{10}{4} = - 2, 5$ .

Problème 4 · Un carré transformé en rectangle★★★Difficile

Un terrain a la forme d’un carré de côté

x

mètres, avec

x > 6

. On le transforme en rectangle en allongeant un côté de

6

m et en raccourcissant l’autre de

6

1. Démontrer que l’aire du rectangle est inférieure à celle du carré d’une quantité qui ne dépend pas de $x$ : m²
Rédaction attendue. Le rectangle mesure $x + 6$ sur $x - 6$ mètres. Son aire vaut $(x + 6) (x - 6) = x^{2} - 36$ (identité $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ). L’aire du carré vaut $x^{2}$ ; la différence est $x^{2} - (x^{2} - 36) = 36$ . L’aire du rectangle est donc toujours inférieure de $36$ m² à celle du carré.
2. Valeur de $x$ pour laquelle l’aire du rectangle vaut $220$ m² : $x =$
$x^{2} - 36 = 220$ $⟺ x^{2} = 256$ . Comme $256 > 0$ : $x = - 16$ ou $x = 16$ . Une longueur est positive (et $x > 6$ ) : $x = 16$ . Contrôle : $22 \times 10 = 220$ m².
3. Valeur de $x$ pour laquelle la largeur du rectangle est le tiers de sa longueur : $x =$
$x - 6 = \frac{x + 6}{3}$ $⟺ 3 x - 18 = x + 6$ $⟺ 2 x = 24$ $⟺ x = 12$ , et $12 > 6$ . Contrôle : largeur $6$ m, longueur $18$ m $= 3 \times 6$ .
4. Valeur de $x$ pour laquelle l’aire du rectangle est la moitié de celle du carré. Valeur exacte : $x = k \sqrt{2}$ avec $k =$ ; valeur approchée au centième :
On résout $x^{2} - 36 = \frac{x^{2}}{2}$ , soit $\frac{x^{2}}{2} = 36$ , donc $x^{2} = 72$ . Comme $x > 6$ , on garde la solution positive : $x = \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6 \sqrt{2} \approx 8, 49$ m, bien supérieure à $6$ .
5. Un élève affirme : « on ajoute $6$ d’un côté et on retire $6$ de l’autre, donc l’aire ne change pas ». Justifier ce qui, en fait, ne change pas : pour $x = 16$ , le périmètre du rectangle vaut m
Rédaction attendue. La somme des deux dimensions ne change pas : $(x + 6) + (x - 6) = 2 x$ . Le périmètre du rectangle, $2 \times 2 x = 4 x$ , est donc égal à celui du carré : pour $x = 16$ , $4 \times 16 = 64$ m. Mais l’aire est un produit, pas une somme : la première question montre qu’elle diminue toujours de $36$ m². L’élève confond périmètre et aire. Plus généralement, si l’on allonge un côté de $h$ et raccourcit l’autre de $h$ , l’aire devient $(x + h) (x - h) = x^{2} - h^{2} ⩽ x^{2}$ : parmi les rectangles de même périmètre, c’est le carré qui a la plus grande aire.

Problème 5 · La vitesse moyenne d’un aller-retour★★★Difficile

Un cycliste parcourt

60

km à l’aller à la vitesse moyenne de

40

km/h, puis revient par la même route à la vitesse moyenne

v

(en km/h,

v > 0

). La vitesse moyenne sur l’aller-retour est la distance totale divisée par la durée totale.

1. Durée de l’aller : min
Durée $=$ distance $\div$ vitesse $= \frac{60}{40} = 1, 5$ h, soit $90$ min.
2. Justifier que la vitesse moyenne sur l’aller-retour est $V (v) = \frac{120 v}{1, 5 v + 60}$ . Calculer $V (40)$ : km/h
Rédaction attendue. Le retour dure $\frac{60}{v}$ heures. La distance totale est $120$ km et la durée totale $1, 5 + \frac{60}{v}$ h. Donc $V (v) = \frac{120}{1, 5 + \frac{60}{v}}$ ; en multipliant le numérateur et le dénominateur par $v$ , qui n’est pas nul : $V (v) = \frac{120 v}{1, 5 v + 60}$ . Pour $v = 40$ : $V (40) = \frac{4 800}{120} = 40$ km/h, logique puisque l’aller et le retour se font à la même vitesse.
3. Vitesse au retour qui donne une vitesse moyenne de $48$ km/h : $v =$ km/h
La valeur interdite de $V$ est $- 40$ (elle annule $1, 5 v + 60$ ), exclue puisque $v > 0$ . Pour $v > 0$ : $\frac{120 v}{1, 5 v + 60} = 48$ $⟺ 120 v = 48 (1, 5 v + 60)$ $⟺ 120 v = 72 v + 2 880$ $⟺ 48 v = 2 880$ $⟺ v = 60$ . Contrôle : le retour dure $1$ h, l’aller-retour $2, 5$ h, et $120 \div 2, 5 = 48$ . Ce n’est pas la moyenne de $40$ et $60$ , qui vaut $50$ .
4. Démontrer qu’aucune vitesse au retour ne permet une moyenne de $80$ km/h. Nombre de solutions de l’équation $V (v) = 80$ :
Rédaction attendue. Pour $v > 0$ : $\frac{120 v}{1, 5 v + 60} = 80$ $⟺ 120 v = 80 (1, 5 v + 60)$ $⟺ 120 v = 120 v + 4 800$ $⟺ 0 = 4 800$ , ce qui est faux. L’équation n’a aucune solution : $S = \emptyset$ . Les $1, 5$ h de l’aller sont déjà passées : même très rapide au retour, la moyenne reste en dessous de $120 \div 1, 5 = 80$ km/h.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs