Inégalités et inéquations

Comparer deux nombres par différence ou par quotient, calculer avec des inégalités et des encadrements, résoudre les inéquations du premier degré et mettre un problème en inéquation.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés de 2nde : deux formules d’une piscine, la clôture d’un terrain aux dimensions encadrées, deux villes comparées en habitants et en pourcentage, le coût moyen d’un atelier et deux cuves suivies par un programme Python avec une boucle while.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je choisis l’inconnue et je note ses valeurs possibles (entier, positif, borné par l’énoncé).
J’exprime les grandeurs (prix, quantités, aires) en fonction de l’inconnue.
Je traduis la question par une inégalité : « au moins » ≥, « au plus » ≤, « strictement moins cher » <.
Je résous en justifiant chaque changement de sens, ou je compare par différence ou quotient.
Je reviens au contexte : arrondi dans le bon sens, contrôle des valeurs limites, phrase de conclusion.

Problème 1 · Deux formules de piscine★★★Facile

Une piscine propose deux formules pour un mois. Formule A :

5, 20

€ l’entrée. Formule B : carte mensuelle à

24

€, puis

1, 80

€ l’entrée. On note

n

le nombre d’entrées du mois (

n

entier naturel).

1. Justifier que le prix avec la formule B est $B (n) = 24 + 1, 80 n$ euros. Pour $10$ entrées : $B (10) =$ €
Rédaction attendue. Avec la formule B, on paie la carte mensuelle, $24$ €, une seule fois, puis $1, 80$ € pour chacune des $n$ entrées : $B (n) = 24 + 1, 80 n$ . Pour $n = 10$ : $24 + 18 = 42$ €.
2. Traduire « la formule B coûte strictement moins cher que la formule A », puis résoudre dans $ℝ$ : $n >$ (fraction irréductible)
Rédaction attendue. $A (n) = 5, 20 n$ . On veut $B (n) < A (n)$ : $24 + 1, 80 n < 5, 20 n$ , soit $24 < 3, 40 n$ . On divise par $3, 40 > 0$ (sens conservé) : $n > \frac{24}{3, 4} = \frac{240}{34} = \frac{120}{17} \approx 7, 06$ .
3. Nombre minimal d’entrées pour que la formule B soit plus avantageuse :
$n$ est entier et $n > 7, 06$ : le plus petit est $8$ . À partir de $8$ entrées, la formule B est strictement moins chère.
4. Pour $7$ entrées, quelle formule est la moins chère ? Écart entre les deux prix : €
$A (7) = 7 \times 5, 2 = 36, 4$ € et $B (7) = 24 + 7 \times 1, 8 = 36, 6$ € : la formule A est moins chère, de $0, 20$ €. Le basculement a bien lieu entre $7$ et $8$ entrées.

Problème 2 · Clôturer un terrain★★★Moyen

Un terrain rectangulaire a une longueur

L

et une largeur

ℓ

connues par encadrement :

48 ⩽ L ⩽ 49

31 ⩽ ℓ ⩽ 31, 4

(en mètres). La clôture coûte

12

€ le mètre.

1. Encadrer le périmètre $P = 2 (L + ℓ)$ : $⩽ P ⩽$
Membre à membre : $79 ⩽ L + ℓ ⩽ 80, 4$ , puis on multiplie par $2 > 0$ : $158 ⩽ P ⩽ 160, 8$ (en m).
2. Encadrer le coût $12 P$ de la clôture : $⩽ 12 P ⩽$ €
On multiplie par $12 > 0$ : $12 \times 158 = 1 896$ et $12 \times 160, 8 = 1 929, 6$ .
3. Justifier qu’un budget de $1 900$ € peut ne pas suffire. Plus petit budget entier, en euros, qui suffit dans tous les cas :
Rédaction attendue. Le coût peut atteindre $1 929, 60$ €, qui dépasse $1 900$ € : selon les dimensions réelles, le budget peut manquer. Il faut un budget d’au moins $1 929, 60$ €, soit $1 930$ € en euros entiers.
4. Encadrer l’écart $L - ℓ$ entre longueur et largeur : $⩽ L - ℓ ⩽$
On encadre $- ℓ$ : $- 31, 4 ⩽ - ℓ ⩽ - 31$ . On additionne avec $48 ⩽ L ⩽ 49$ : $16, 6 ⩽ L - ℓ ⩽ 18$ .

Problème 3 · Deux villes qui grandissent★★★Moyen

Entre 2015 et 2025, la ville A est passée de

12 000

13 800

habitants et la ville B de

3 000

3 900

habitants.

1. Comparaison additive : la ville A a gagné habitants de plus que la ville B
Gains : $13 800 - 12 000 = 1 800$ pour A et $3 900 - 3 000 = 900$ pour B. Différence : $1 800 - 900 = 900$ habitants.
2. Comparaison multiplicative : la population de B a été multipliée par
$\frac{3 900}{3 000} = 1, 3$ .
3. Justifier que la ville B a la plus forte hausse en pourcentage. Hausse de la ville A : %
Rédaction attendue. $\frac{13 800}{12 000} = 1, 15$ : A a augmenté de $15 %$ . B a été multipliée par $1, 3$ , soit $+ 30 %$ . Comme $1, 3 > 1, 15$ , la hausse relative de B est la plus forte, alors que A a gagné plus d’habitants : les deux comparaisons ne répondent pas à la même question.
4. Pour les deux villes réunies, la population a été multipliée par
Avant : $15 000$ ; après : $17 700$ . $\frac{17 700}{15 000} = 1, 18$ , soit $+ 18 %$ : ce n’est pas la moyenne de $15 %$ et $30 %$ , car A pèse plus lourd.

Problème 4 · Coût moyen d’un atelier★★★Difficile

Un atelier fabrique

x

objets par jour, avec

0 < x ⩽ 80

. Le coût total, en euros, est

C (x) = 3 x + 180

. Le coût moyen d’un objet est

C_{m} (x) = \frac{C (x)}{x}

. Chaque objet est vendu

8

€.

1. Coût moyen pour $45$ objets : $C_{m} (45) =$ €
$C (45) = 135 + 180 = 315$ , donc $C_{m} (45) = \frac{315}{45} = 7$ € : les $180$ € de charges fixes sont répartis sur $45$ objets.
2. Démontrer que, pour $0 < x ⩽ 80$ , $C_{m} (x) ⩽ 8$ équivaut à $3 x + 180 ⩽ 8 x$ , puis résoudre : $x ⩾$
Rédaction attendue. Ici $x > 0$ : multiplier les deux membres de $\frac{3 x + 180}{x} ⩽ 8$ par $x$ conserve le sens, d’où $3 x + 180 ⩽ 8 x$ . (Si $x$ pouvait être négatif, ce calcul serait interdit.) Alors $180 ⩽ 5 x$ , soit $x ⩾ 36$ . Le coût moyen ne dépasse pas le prix de vente à partir de $36$ objets.
3. Le bénéfice est $B (x) = 8 x - C (x)$ . Il atteint au moins $140$ € lorsque $x ⩾$
$B (x) = 8 x - 3 x - 180 = 5 x - 180$ . $5 x - 180 ⩾ 140$ donne $5 x ⩾ 320$ , soit $x ⩾ 64$ (valeur permise, car $64 ⩽ 80$ ).
4. Pour $60$ objets, le prix de vente est combien de fois le coût moyen ? (fraction irréductible)
$C (60) = 180 + 180 = 360$ et $C_{m} (60) = \frac{360}{60} = 6$ €. Rapport : $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ : le prix de vente dépasse le coût moyen d’environ $33 %$ .

Problème 5 · Deux cuves et un programme★★★Difficile

La cuve A contient

900

L et perd

35

L par heure ; la cuve B contient

120

L et reçoit

25

L par heure. Après

t

heures, elles contiennent

a (t) = 900 - 35 t

b (t) = 120 + 25 t

litres (tant que A n’est pas vide).

1. Quantité dans la cuve A après $6$ heures : L
$a (6) = 900 - 35 \times 6 = 900 - 210 = 690$ L.
2. Démontrer que $b (t) > a (t)$ équivaut à $t >$
Rédaction attendue. $120 + 25 t > 900 - 35 t$ équivaut (en ajoutant $35 t$ et en retranchant $120$ ) à $60 t > 780$ , puis (division par $60 > 0$ ) à $t > 13$ . La cuve B contient strictement plus que A après $13$ heures.
3. On exécute le programme suivant.
```
t = 0
a = 900
b = 120
while b <= a:
    t = t + 1
    a = a - 35
    b = b + 25
print(t)
```
Valeur affichée :
La boucle continue tant que $b ⩽ a$ . Pour $t = 13$ : $a = 445$ et $b = 445$ , l’égalité vérifie encore $b ⩽ a$ , donc la boucle tourne une fois de plus. Pour $t = 14$ : $a = 410$ et $b = 470$ , la condition est fausse : le programme affiche $14$ , premier nombre entier d’heures où B dépasse A.
4. La cuve A est vide au bout de heures (fraction irréductible)
$900 - 35 t = 0$ donne $t = \frac{900}{35} = \frac{180}{7} \approx 25, 7$ heures : le modèle n’a de sens que pour $0 ⩽ t ⩽ \frac{180}{7}$ .

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