Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques
Calcul littéral
Développer, factoriser, simplifier des expressions algébriques — socle du programme de 2nde générale
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en seconde sur « Calcul littéral » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : expressions littérales et vocabulaire, Développement et distributivité, Réduction d'une expression, Identités remarquables. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.
1
Rappels : expressions littérales et vocabulaire
Une expression littérale (ou algébrique) est une expression mathématique contenant une ou plusieurs lettres appelées variables (ou inconnues).
Définition. Un monôme est un produit d'un nombre (le coefficient) et d'une ou plusieurs variables. Exemples : $3x$, $-5ab$, $7x^{2}$.
Un polynôme est une somme de monômes. Exemple : $2x^{2} - 3x + 1$.
Le degré d'un monôme est la somme des exposants des variables. Le degré d'un polynôme est le degré de son monôme de plus haut degré.
Un polynôme est une somme de monômes. Exemple : $2x^{2} - 3x + 1$.
Le degré d'un monôme est la somme des exposants des variables. Le degré d'un polynôme est le degré de son monôme de plus haut degré.
| Terme | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Coefficient | Facteur numérique devant la variable | $5$ dans $5x$ |
| Termes semblables | Mêmes variables aux mêmes puissances | $3x^{2}$ et $-x^{2}$ |
| Facteur commun | Expression qui divise chaque terme | $2x$ dans $2x^{2} + 6x$ |
Convention. On écrit $1\cdot x = x$, $-1\cdot x = -x$ et $x\cdot x = x^{2}$. Le signe de multiplication entre une lettre et un nombre est omis : $3 \times x = 3x$.
2
Développement et distributivité
Développer une expression signifie la transformer en une somme de termes, en utilisant les règles de distributivité.
Distributivité simple. Pour tous réels a, b, c :
$k(a + b) = ka + kb$
$k(a - b) = ka - kb$
$k(a + b) = ka + kb$
$k(a - b) = ka - kb$
Exemple 1. $3(2x - 5) = 3 \times 2x - 3 \times 5 = 6x - 15$
Double distributivité. Pour tous réels a, b, c, d :
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
On développe chaque terme du premier facteur par chaque terme du second (règle « FOIL »).
$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
On développe chaque terme du premier facteur par chaque terme du second (règle « FOIL »).
Exemple 2. $(x + 3)(2x - 1) = x\cdot 2x + x\cdot (-1) + 3\cdot 2x + 3\cdot (-1) = 2x^{2} - x + 6x - 3 = 2x^{2} + 5x - 3$
Attention ! Devant une parenthèse précédée d'un signe moins, tous les signes à l'intérieur changent : $-(3x - 2) = -3x + 2$.
Exemple 3. $(2x - 1)(x + 4) - 3(x - 2)$
= $2x^{2} + 8x - x - 4 - 3x + 6$
= $2x^{2} + 4x + 2$
= $2x^{2} + 8x - x - 4 - 3x + 6$
= $2x^{2} + 4x + 2$
3
Réduction d'une expression
Réduire une expression consiste à regrouper les termes semblables (mêmes variables aux mêmes exposants) afin d'obtenir la forme la plus simple possible.
Règle. On additionne ou soustrait uniquement les coefficients de termes semblables :
$ax^{n} + bx^{n} = (a + b)x^{n}$
$ax^{n} + bx^{n} = (a + b)x^{n}$
Exemple. Réduire $4x^{2} - 2x + 3x^{2} + 5x - 1$
Termes en x² : $4x^{2} + 3x^{2} = 7x^{2}$
Termes en x : $-2x + 5x = 3x$
Terme constant : $-1$
Résultat : $7x^{2} + 3x - 1$
Termes en x² : $4x^{2} + 3x^{2} = 7x^{2}$
Termes en x : $-2x + 5x = 3x$
Terme constant : $-1$
Résultat : $7x^{2} + 3x - 1$
Méthode. Identifie d'abord les termes semblables en les soulignant avec le même code couleur/soulignement, puis regroupe leurs coefficients.
Attention ! $3x^{2}$ et $3x$ NE sont PAS des termes semblables (les exposants diffèrent). On ne peut pas les regrouper.
4
Identités remarquables
Les identités remarquables sont des formules de développement très fréquentes, à connaître par cœur. Au programme de 2nde, il y en a trois.
Les trois identités remarquables. Pour tous réels a et b :
- Carré d'une somme : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
- Carré d'une différence : $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
- Produit de la somme par la différence : $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$
Exemple 1. $(x + 5)^{2}$ avec $a = x$, $b = 5$ :
$(x + 5)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 5 + 5^{2} = x^{2} + 10x + 25$
$(x + 5)^{2} = x^{2} + 2\cdot x\cdot 5 + 5^{2} = x^{2} + 10x + 25$
Exemple 2. $(3x - 2)^{2}$ avec $a = 3x$, $b = 2$ :
$(3x - 2)^{2} = (3x)^{2} - 2\cdot (3x)\cdot 2 + 2^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$
$(3x - 2)^{2} = (3x)^{2} - 2\cdot (3x)\cdot 2 + 2^{2} = 9x^{2} - 12x + 4$
Exemple 3. $(x + 7)(x - 7)$ avec $a = x$, $b = 7$ :
$(x + 7)(x - 7) = x^{2} - 49$
$(x + 7)(x - 7) = x^{2} - 49$
Erreur classique ! $(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}$. Le terme $2ab$ est souvent oublié. Vérifiez toujours avec $a = 1, b = 1$ : $(1+1)^{2} = 4 \neq 1 + 1 = 2$.
Moyen mémo-technique. « Carré du premier + double produit + carré du second » pour (a+b)² et (a−b)².
5
Factorisation : mise en facteur commun
Factoriser une expression consiste à l'écrire sous forme d'un produit de facteurs. C'est l'opération inverse du développement.
Mise en facteur commun. Si chaque terme d'une expression contient un facteur commun f, on écrit :
$fa + fb = f(a + b)$
$fa - fb = f(a - b)$
$fa + fb = f(a + b)$
$fa - fb = f(a - b)$
Étapes pour factoriser :
- Identifier le facteur commun à tous les termes (variable ou expression).
- Écrire ce facteur devant une parenthèse.
- Diviser chaque terme par le facteur commun pour obtenir le contenu de la parenthèse.
- Vérifier en développant.
Exemple 1. $6x^{2} + 9x = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 3x(2x + 3)$
Vérification : $3x(2x + 3) = 6x^{2} + 9x ✓$
Vérification : $3x(2x + 3) = 6x^{2} + 9x ✓$
Exemple 2. $4x(x - 1) + 2(x - 1) = (x - 1)(4x + 2) = 2(x - 1)(2x + 1)$
Ici le facteur commun est l'expression $(x - 1)$.
Ici le facteur commun est l'expression $(x - 1)$.
Attention ! Le facteur commun peut être une expression entière. Exemple : $3(2x + 1) - x(2x + 1)$ → facteur commun $(2x + 1)$ → $(2x + 1)(3 - x)$.
6
Factorisation à l'aide des identités remarquables
On peut reconnaître les identités remarquables « à l'envers » pour factoriser.
Formules de factorisation.
- $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
- $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
- $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
Exemple 1. Factoriser $x^{2} - 9$
On écrit $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$, donc $x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$.
On écrit $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$, donc $x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$.
Exemple 2. Factoriser $4x^{2} - 20x + 25$
On cherche a et b tels que $a^{2} = 4x^{2}$ → $a = 2x$ et $b^{2} = 25$ → $b = 5$.
$2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x ✓$
Donc $4x^{2} - 20x + 25 = (2x - 5)^{2}$.
On cherche a et b tels que $a^{2} = 4x^{2}$ → $a = 2x$ et $b^{2} = 25$ → $b = 5$.
$2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x ✓$
Donc $4x^{2} - 20x + 25 = (2x - 5)^{2}$.
Exemple 3. Factoriser $9x^{2} - 16$
$9x^{2} - 16 = (3x)^{2} - 4^{2} = (3x + 4)(3x - 4)$.
$9x^{2} - 16 = (3x)^{2} - 4^{2} = (3x + 4)(3x - 4)$.
Méthode. Pour identifier si c'est un carré parfait : vérifier que les termes extrêmes sont des carrés parfaits et que le terme central vaut bien 2ab (ou −2ab).
7
Substitution et calcul numérique d'une expression
La substitution consiste à remplacer les lettres d'une expression par des valeurs numériques données, puis à calculer le résultat.
Règle. On remplace chaque variable par sa valeur entre parenthèses pour éviter les erreurs de signe, puis on calcule en respectant l'ordre des opérations (puissances, multiplications/divisions, additions/soustractions).
Exemple 1. Pour $A(x) = 3x^{2} - 2x + 1$, calculer $A(-2)$.
$A(-2) = 3\cdot (-2)^{2} - 2\cdot (-2) + 1 = 3\cdot 4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$
$A(-2) = 3\cdot (-2)^{2} - 2\cdot (-2) + 1 = 3\cdot 4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$
Exemple 2. Calculer $(a + b)(a - b)$ pour $a = 5$ et $b = 3$.
Méthode directe : $(5 + 3)(5 - 3) = 8 \times 2 = 16$
Via identité : $a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16 ✓$
Méthode directe : $(5 + 3)(5 - 3) = 8 \times 2 = 16$
Via identité : $a^{2} - b^{2} = 25 - 9 = 16 ✓$
Astuce. Utiliser une identité remarquable avant de substituer peut simplifier considérablement les calculs. Par exemple, calculer $98^{2} = (100 - 2)^{2} = 10000 - 400 + 4 = 9604$.
8
Méthode générale : choisir entre développer et factoriser
Selon l'objectif, on choisit la forme la plus adaptée.
| Objectif | Action | Exemple |
|---|---|---|
| Simplifier une somme/différence | Développer puis réduire | $(x+1)^{2}-(x-1)^{2}$ → $4x$ |
| Résoudre une équation-produit | Factoriser (produit = 0) | $x^{2}-9 = 0$ → $(x+3)(x-3)=0$ |
| Calculer rapidement | Reconnaître une identité | $101\times 99 = (100+1)(100-1) = 9999$ |
| Comparer deux expressions | Développer les deux | Étudier le signe de $A-B$ |
Exemple complet. Montrer que $(x + 2)^{2} - (x - 2)^{2}= 8x$ pour tout réel x.
Développons : $(x+2)^{2} = x^{2} + 4x + 4$
$(x-2)^{2} = x^{2} - 4x + 4$
$(x+2)^{2} - (x-2)^{2} = x^{2} + 4x + 4 - (x^{2} - 4x + 4) = x^{2} + 4x + 4 - x^{2} + 4x - 4 = 8x ✓$
Développons : $(x+2)^{2} = x^{2} + 4x + 4$
$(x-2)^{2} = x^{2} - 4x + 4$
$(x+2)^{2} - (x-2)^{2} = x^{2} + 4x + 4 - (x^{2} - 4x + 4) = x^{2} + 4x + 4 - x^{2} + 4x - 4 = 8x ✓$
Conseil méthode. Sur une copie d'examen, montrez toujours les étapes intermédiaires. Le résultat seul ne suffit pas pour les points de la démarche.
À retenir — Calcul littéral en 2nde
- Développer : appliquer la distributivité, simple ou double. Attention aux signes devant les parenthèses.
- Réduire : regrouper uniquement les termes semblables (même variable, même exposant).
- 3 identités remarquables : (a+b)² = a²+2ab+b² ; (a−b)² = a²−2ab+b² ; (a+b)(a−b) = a²−b².
- Factoriser : mise en facteur commun OU reconnaissance d'une identité remarquable « à l'envers ».
- Substitution : remplacer les lettres par leurs valeurs entre parenthèses pour éviter les erreurs de signe.
- Toujours vérifier une factorisation en redéveloppant.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs