Calcul littéral

Développer et réduire, identités remarquables dans les deux sens, factoriser et choisir la forme adaptée, expressions fractionnaires (valeurs interdites, simplification, même dénominateur), isoler une variable dans une formule.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 2nde sur le calcul littéral suit cinq parties : développer et réduire avec la distributivité et le signe « moins », les identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) utilisées dans les deux sens, factoriser et choisir la forme adaptée, les expressions fractionnaires avec valeurs interdites et même dénominateur, isoler une variable dans une formule comme U = RI ou V = πr²h. Chaque partie a ses exemples rédigés, son réflexe et son piège.

Développer et réduire une expression

Ce qu’il faut savoir

Expression littérale. Elle contient une ou plusieurs lettres, les variables, qui représentent des nombres. Tout ce qui est vrai pour les nombres l’est pour les lettres : on calcule avec elles en appliquant les règles habituelles.

Vocabulaire. Développer : transformer un produit en somme. Factoriser : transformer une somme en produit. Réduire : regrouper les termes semblables (les $x^{2}$ ensemble, les $x$ ensemble, les nombres ensemble) pour écrire l’expression avec le moins de termes possible, puis l’ordonner par puissances décroissantes.

Distributivité. Pour tous réels $k$ , $a$ , $b$ , $c$ , $d$ :

$k (a + b) = k a + k b$ (simple distributivité) et $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ (double distributivité).

Signe « moins » devant une parenthèse. $- (a + b) = - a - b$ et $- (a - b) = - a + b = b - a$ : le signe de chaque terme de la parenthèse change. De même $(- 1) \times a = - a$ .

Égalité de deux expressions. Deux expressions sont égales si elles prennent la même valeur pour toute valeur de la variable. On le démontre en transformant l’une en l’autre par le calcul. Pour prouver qu’une égalité annoncée est fausse, une seule valeur qui ne convient pas suffit : c’est un contre-exemple.

Exemples

Simple distributivité. $6 (2 x - 9)$ $= 6 \times 2 x - 6 \times 9$ $= 12 x - 54$ .

Double distributivité. $(x + 4) (3 x - 1)$ $= 3 x^{2} - x + 12 x - 4$ $= 3 x^{2} + 11 x - 4$ .

Avec un signe « moins ». Réduisons $C = 5 (2 x - 3) - (4 x - 11)$ . On développe : $C = 10 x - 15 - 4 x + 11$ , car le « moins » change le signe de $4 x$ et de $- 11$ . On réduit : $C = 6 x - 4$ .

Contrôle avec une valeur simple. En $x = 1$ : $5 (2 - 3) - (4 - 11) = - 5 + 7 = 2$ et $6 \times 1 - 4 = 2$ . Les deux formes donnent le même résultat : pas d’erreur détectée (ce contrôle ne remplace pas le calcul).

Un contre-exemple. L’égalité $x^{2} = 3 x$ est vraie pour $x = 3$ ( $9 = 9$ ), mais fausse pour $x = 1$ ( $1 \neq 3$ ). Ce n’est donc pas une égalité d’expressions.

Réflexe — Je développe chaque produit à part, sans rien réduire. Après un signe « moins », je garde la parenthèse, puis je change le signe de tous ses termes. Je regroupe les termes de même degré, j’ordonne ( $x^{2}$ , puis $x$ , puis le nombre) et je contrôle avec $x = 1$ .

Attention — $8 - (3 x - 2) = 8 - 3 x + 2 = 10 - 3 x$ , et non $8 - 3 x - 2$ : c’est l’erreur la plus fréquente en devoir. Et $3 x^{2}$ et $3 x$ ne sont pas des termes semblables : ils ne s’additionnent jamais.

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Identités remarquables : l’outil à maîtriser dans les deux sens

Ce qu’il faut savoir

Les trois identités remarquables. Pour tous réels $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ; $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ; $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .

Ce que l’on attend en 2nde. Ces égalités ne sont pas une notion nouvelle : la troisième ( $a^{2} - b^{2}$ ) a été vue en 3e, et les deux carrés ne sont que la double distributivité appliquée à $(a + b) (a + b)$ . Le programme de 2nde les range dans les automatismes : on doit les utiliser sans hésiter, pour développer (de gauche à droite) et pour factoriser (de droite à gauche, partie suivante).

Démonstration. Par double distributivité : $(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$ $= a^{2} + a b + b a + b^{2}$ $= a^{2} + 2 a b + b^{2}$ . De même, $(a - b)^{2} = a^{2} - a b - b a + b^{2}$ $= a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , et $(a + b) (a - b)$ $= a^{2} - a b + b a - b^{2}$ $= a^{2} - b^{2}$ : les termes $- a b$ et $+ a b$ s’annulent.

Exemples

Carré d’une somme. $(3 x + 5)^{2}$ avec $a = 3 x$ et $b = 5$ : $a^{2} = 9 x^{2}$ , $2 a b = 2 \times 3 x \times 5 = 30 x$ , $b^{2} = 25$ . Donc $(3 x + 5)^{2} = 9 x^{2} + 30 x + 25$ .

Carré d’une différence. $(2 x - 7)^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49$ , car $2 \times 2 x \times 7 = 28 x$ .

Avec une racine carrée. $(x + \sqrt{3}) (x - \sqrt{3})$ $= x^{2} - (\sqrt{3})^{2} = x^{2} - 3$ .

Calcul mental. $103^{2} = (100 + 3)^{2}$ $= 10 000 + 600 + 9$ $= 10 609$ .

Réflexe — Je repère $a$ et $b$ (avec leurs coefficients), puis j’écris les trois morceaux $a^{2}$ , $2 a b$ , $b^{2}$ en mettant des parenthèses : $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ , et non $3 x^{2}$ .

Attention — $(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}$ . Avec $a = 2$ et $b = 5$ : $(2 + 5)^{2} = 49$ alors que $2^{2} + 5^{2} = 29$ . Le double produit $2 a b$ ne disparaît que si $a = 0$ ou $b = 0$ .

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Factoriser une expression et choisir la bonne forme

Ce qu’il faut savoir

Factoriser, c’est écrire une somme sous forme de produit. Trois situations reviennent sans cesse.

1. Un facteur commun. $k a + k b = k (a + b)$ , où $k$ peut être un nombre, une lettre ou une parenthèse entière. Cas fréquent : $a x^{2} + b x = x (a x + b)$ . Si le facteur commun n’est pas visible, on le fait apparaître : $7 x + 14 = 7 (x + 2)$ .

2. Une identité remarquable lue de droite à gauche. Trois termes : on teste $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$ ou $a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$ . Deux termes séparés par un « moins » : $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

3. Une somme de deux carrés comme $x^{2} + 16$ ne se factorise pas : elle est toujours strictement positive (elle ne s’annule jamais, donc aucun facteur $x - c$ ).

Choisir la forme adaptée

Une même expression peut s’écrire sous forme développée réduite (pratique pour calculer une image ou résoudre une équation où les $x^{2}$ s’éliminent), sous forme factorisée (on voit les valeurs qui l’annulent : un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul, règle vue en 3e) ou sous la forme « carré + nombre » (un carré est toujours positif ou nul, ce qui donne une plus petite valeur). On démontre que deux formes sont égales en développant.

Exemples

Parenthèse commune. $(x - 1) (4 x + 3) + (x - 1) (x + 8)$ $= (x - 1) [(4 x + 3) + (x + 8)]$ $= (x - 1) (5 x + 11)$ .

Faire apparaître le facteur commun. $F = (x + 2)^{2} + 7 x + 14$ . Comme $7 x + 14 = 7 (x + 2)$ : $F = (x + 2) [(x + 2) + 7]$ $= (x + 2) (x + 9)$ . Contrôle : les deux formes valent $x^{2} + 11 x + 18$ .

Différence de deux carrés. $(2 x + 1)^{2} - 36 = (2 x + 1)^{2} - 6^{2}$ $= (2 x + 1 - 6) (2 x + 1 + 6)$ $= (2 x - 5) (2 x + 7)$ .

Trois formes d’une même expression. Soit $E = x^{2} + 6 x + 5$ . On vérifie que $(x + 3)^{2} - 4 = x^{2} + 6 x + 9 - 4$ $= E$ . Puis, avec $4 = 2^{2}$ : $E = (x + 3 - 2) (x + 3 + 2)$ $= (x + 1) (x + 5)$ .

• Forme factorisée : $E$ s’annule pour $x = - 1$ et pour $x = - 5$ .

• Forme « carré + nombre » : $(x + 3)^{2} ⩾ 0$ , donc $E ⩾ - 4$ , avec égalité pour $x = - 3$ : la plus petite valeur de $E$ est $- 4$ .

• Forme développée : $E = 5 ⟺ x^{2} + 6 x = 0$ $⟺ x (x + 6) = 0$ , donc $x = 0$ ou $x = - 6$ .

Réflexe — Je cherche d’abord un facteur commun (nombre, $x$ , parenthèse), au besoin en factorisant un morceau. Sinon je compte les termes : trois termes → $(a \pm b)^{2}$ ; deux termes avec un « moins » → $a^{2} - b^{2}$ . Je contrôle toujours en redéveloppant.

Attention — Dans $(6 x + 1)^{2} - (6 x + 1) (2 x - 5)$ , le « moins » porte sur tout le second facteur : le crochet vaut $(6 x + 1) - (2 x - 5) = 4 x + 6$ . Et factoriser « le plus possible » : $(x + 7) (5 x - 10)$ s’écrit encore $5 (x + 7) (x - 2)$ .

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Expressions fractionnaires : valeurs interdites, simplification, somme

Ce qu’il faut savoir

Valeurs interdites. Une expression $\frac{A (x)}{B (x)}$ n’existe que si $B (x) \neq 0$ . Les réels qui annulent le dénominateur sont les valeurs interdites ; on les cherche en premier.

Simplifier. On ne simplifie que par un facteur commun au numérateur et au dénominateur : on factorise d’abord les deux. Le résultat n’est valable que pour les $x$ autorisés au départ.

Règles de calcul (pour des dénominateurs non nuls) :

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ $= \frac{a d + b c}{b d}$ (même dénominateur) ; $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$ $= \frac{a c}{b d}$ ; $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ $= \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ ; $\frac{a b}{a c} = \frac{b}{c}$ .

Exemples

Valeurs interdites, puis simplification. Soit $D (x) = \frac{2 x - 6}{x^{2} - 9}$ . Le dénominateur se factorise : $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ ; il s’annule pour $x = 3$ et pour $x = - 3$ : ce sont les valeurs interdites. Pour $x \neq 3$ et $x \neq - 3$ : $D (x) = \frac{2 (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$ $= \frac{2}{x + 3}$ .

Un autre exemple rédigé. $G (x) = \frac{x^{2} - 8 x}{x^{2} - 64}$ . On a $x^{2} - 64 = (x - 8) (x + 8)$ : valeurs interdites $8$ et $- 8$ . Et $x^{2} - 8 x = x (x - 8)$ . Pour $x \neq 8$ et $x \neq - 8$ : $G (x) = \frac{x (x - 8)}{(x - 8) (x + 8)}$ $= \frac{x}{x + 8}$ .

Somme de deux quotients. Pour $x \neq 0$ et $x \neq - 2$ : $\frac{1}{x + 2} + \frac{3}{x}$ $= \frac{x}{x (x + 2)} + \frac{3 (x + 2)}{x (x + 2)}$ $= \frac{4 x + 6}{x (x + 2)}$ .

Réflexe — Valeurs interdites d’abord (dénominateur $= 0$ ), puis je factorise numérateur et dénominateur, je simplifie un facteur commun et j’écris « pour $x \neq \dots$ ». Pour une somme, je mets tout sur le même dénominateur.

Attention — Dans $\frac{x + 5}{5}$ , on ne « barre » pas les $5$ : $5$ n’est pas un facteur du numérateur. Les dénominateurs ne s’additionnent pas : $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \neq \frac{2}{a + b}$ . Et la forme simplifiée $\frac{2}{x + 3}$ existe en $3$ , mais $D (3)$ n’existe pas : simplifier ne supprime jamais une valeur interdite.

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Isoler une variable dans une formule

Ce qu’il faut savoir

Isoler une variable, c’est exprimer une grandeur en fonction des autres : on résout l’égalité comme une équation dont l’inconnue est cette grandeur, les autres lettres étant traitées comme des nombres.

On a le droit d’ajouter ou de soustraire un même terme aux deux membres, de multiplier ou de diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Relation du premier degré. Si $a x + b = c$ avec $a \neq 0$ , alors $a x = c - b$ , puis $x = \frac{c - b}{a}$ .

Grandeur au carré. Si $X^{2} = k$ avec $X > 0$ (une longueur, une vitesse) et $k > 0$ , alors $X = \sqrt{k}$ .

Formules usuelles : $U = R I$ (loi d’Ohm), $d = v t$ , $S = π r^{2}$ (aire d’un disque), $V = a b c$ (pavé), $V = π r^{2} h$ (cylindre).

Exemples

Loi d’Ohm. $U = R I$ avec $R \neq 0$ : on divise les deux membres par $R$ , d’où $I = \frac{U}{R}$ . Application : $U = 12$ V et $R = 40$ $Ω$ donnent $I = \frac{12}{40} = 0, 3$ A.

Volume d’un cylindre. $V = π r^{2} h$ , avec $r > 0$ : on divise par $π r^{2}$ , qui n’est pas nul : $h = \frac{V}{π r^{2}}$ .

Rayon d’un disque. $S = π r^{2}$ donne $r^{2} = \frac{S}{π}$ ; comme $r > 0$ , $r = \sqrt{\frac{S}{π}}$ .

Premier degré. Une marmite d’eau chauffée a une température $T = 2, 5 t + 15$ (en °C, $t$ en minutes). On soustrait $15$ , puis on divise par $2, 5$ : $t = \frac{T - 15}{2, 5}$ . L’eau atteint $100$ °C pour $t = \frac{85}{2, 5} = 34$ min.

Réflexe — J’entoure la variable demandée et je « défais » les opérations qui l’entourent dans l’ordre inverse : d’abord les termes ajoutés ou soustraits, ensuite les facteurs (je divise), enfin le carré (racine carrée d’une grandeur positive). Je contrôle avec une application numérique.

Attention — On ne divise que par une grandeur non nulle. Et diviser une différence se fait en entier : $t = \frac{T - 15}{2, 5}$ , et non $T - \frac{15}{2, 5}$ .

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Pour aller plus loin

Résoudre des équations. Équation produit nul $A (x) B (x) = 0$ , équation quotient $\frac{A (x)}{B (x)} = 0$ (le numérateur s’annule, la valeur n’est pas interdite), équations $x^{2} = a$ : chapitre Équations.

Signe d’une expression. Le signe d’un produit ou d’un quotient comme $(x - 5) (x - 11)$ s’étudie avec un tableau de signes : chapitre Étude de signe et tableaux de signes.

Racines carrées. Simplifier $\sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ , la relation $\sqrt{a^{2}} = | a |$ : chapitre Racines carrées.

Pour aller plus loin (approfondissements, non exigibles). Les identités se prolongent : $(a + b + c)^{2}$ $= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$ et $(a + b)^{3}$ $= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ , qui se démontrent par double distributivité. Pour deux réels $a > 0$ et $b > 0$ , la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique : $\sqrt{a b}$ $⩽ \frac{a + b}{2}$ , car $\frac{a + b}{2} - \sqrt{a b}$ $= \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2}}{2}$ $⩾ 0$ .

En 1re. La forme « carré + nombre » d’un trinôme s’appelle la forme canonique : elle est étudiée en spécialité dans le chapitre Second degré.

À retenir

Développer : chaque terme multiplie chaque terme, puis on réduit ; un « moins » devant une parenthèse change le signe de tous ses termes : $- (a - b) = b - a$ .
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ , $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ : à utiliser dans les deux sens, sans oublier le double produit.
Factoriser : facteur commun (nombre, $x$ , parenthèse) d’abord, sinon identité remarquable ; $a^{2} + b^{2}$ ne se factorise pas ; on contrôle en redéveloppant.
Une égalité d’expressions se démontre par le calcul ; un seul contre-exemple suffit à la réfuter.
$\frac{A (x)}{B (x)}$ : valeurs interdites ( $B (x) = 0$ ) en premier, on ne simplifie qu’un facteur, on additionne sur un même dénominateur.
Isoler une variable : on défait les opérations dans l’ordre inverse, on ne divise que par une grandeur non nulle.

Questions fréquentes

Comment développer et réduire une expression sans erreur de signe ?

On développe chaque produit séparément (chaque terme multiplie chaque terme), on garde la parenthèse après un signe « moins » puis on change le signe de tous ses termes, et on regroupe les termes de même degré. Un contrôle avec x = 1 sur les deux formes repère la plupart des erreurs.

Les identités remarquables sont-elles encore au programme de 2nde ?

Oui, comme automatismes : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b² doivent être utilisées sans hésiter, pour développer et pour factoriser. La troisième a été vue en 3e ; les deux carrés se retrouvent par double distributivité.

Comment savoir quelle méthode utiliser pour factoriser ?

On cherche d’abord un facteur commun : un nombre, x, ou une parenthèse entière, au besoin en factorisant un morceau. Sinon on compte les termes : trois termes font penser à (a + b)² ou (a − b)², deux termes séparés par un « moins » à a² − b². Une somme de deux carrés comme x² + 16 ne se factorise pas.

Qu’est-ce qu’une valeur interdite ?

C’est un réel qui annule le dénominateur d’une expression fractionnaire : l’expression n’y est pas définie. On les cherche avant toute simplification, et elles restent interdites même si la forme simplifiée a un sens en ces valeurs.

Comment isoler une variable dans une formule comme U = RI ou V = πr²h ?

On traite la variable demandée comme l’inconnue d’une équation et on défait les opérations dans l’ordre inverse : on enlève les termes ajoutés ou soustraits, puis on divise par le facteur, à condition qu’il soit non nul. Ainsi I = U/R et h = V/(πr²) ; pour r dans S = πr², on prend la racine carrée car r > 0.

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