Inégalités et inéquations

Calcule la différence $A-B$ (fraction irréductible ou décimal). Son signe donne le plus grand des deux.

1. $A={\displaystyle \frac{5}{6}}$ et $B={\displaystyle \frac{7}{9}}$ : $A-B=$
   ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{7}{9}}={\displaystyle \frac{15}{18}}-{\displaystyle \frac{14}{18}}={\displaystyle \frac{1}{18}}>0$, donc ${\displaystyle \frac{5}{6}}>{\displaystyle \frac{7}{9}}$.
2. $A={\displaystyle \frac{3}{8}}$ et $B={\displaystyle \frac{2}{5}}$ : $A-B=$
   ${\displaystyle \frac{3}{8}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{15}{40}}-{\displaystyle \frac{16}{40}}=-{\displaystyle \frac{1}{40}}<0$, donc ${\displaystyle \frac{3}{8}}<{\displaystyle \frac{2}{5}}$.
3. $A=0,35$ et $B={\displaystyle \frac{7}{20}}$ : $A-B=$
   ${\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{35}{100}}=0,35$ : la différence est nulle, les deux nombres sont égaux.
4. $A={\displaystyle \frac{11}{12}}$ et $B={\displaystyle \frac{12}{13}}$ : $A-B=$
   Au dénominateur $156$ : ${\displaystyle \frac{11\times 13-12\times 12}{156}}={\displaystyle \frac{143-144}{156}}=-{\displaystyle \frac{1}{156}}<0$, donc $A<B$.

Pour tout réel $x$, développe et réduis $A-B$ : le résultat est un nombre.

1. $A=(x+3{)}^2$ et $B=x^2+6x$ : $A-B=$
   $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$, donc $A-B=9>0$ : pour tout réel $x$, $A>B$, et l’écart vaut toujours $9$.
2. $A=(x+5)(x-5)$ et $B=x^2-30$ : $A-B=$
   $(x+5)(x-5)=x^2-25$, donc $A-B=x^2-25-x^2+30=5>0$ : $A>B$.
3. $A=2(x-1)+7$ et $B=2x+3$ : $A-B=$
   $A=2x-2+7=2x+5$, donc $A-B=2x+5-2x-3=2>0$ : $A>B$.
4. $A=3x^2-(x-2{)}^2$ et $B=2x^2+4x$ : $A-B=$
   $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$, donc $A=2x^2+4x-4$ et $A-B=-4<0$ : $A<B$ pour tout réel $x$.

Démontrer, puis contrôler.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $9x^2+4⩾12x$. L’égalité a lieu pour une seule valeur : $x=$ (fraction)
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $(9x^2+4)-12x=9x^2-12x+4=(3x-2{)}^2$ (identité $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=3x$ et $b=2$). Un carré est positif ou nul, donc $(9x^2+4)-12x⩾0$, c’est-à-dire $9x^2+4⩾12x$. L’égalité a lieu si et seulement si $3x-2=0$, soit $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
2. Un carré a pour côté $x+6$ et un rectangle a pour côtés $x+2$ et $x+10$ (en cm, $x>0$). Justifier que le carré a toujours la plus grande aire. Aire du carré moins aire du rectangle : cm²
   Rédaction attendue. Aire du carré : $(x+6{)}^2=x^2+12x+36$. Aire du rectangle : $(x+2)(x+10)=x^2+10x+2x+20=x^2+12x+20$. Différence : $x^2+12x+36-(x^2+12x+20)=16>0$. Quel que soit $x$, le carré a une aire plus grande, de $16$ cm² exactement.
3. On pose $f(x)=x^2+3x$ et $g(x)=13x-29$. Démontrer que $f(x)-g(x)=(x-5{)}^2+4$, puis résoudre $f(x)-g(x)⩽4$. Nombre de solutions :
   Rédaction attendue. $f(x)-g(x)=x^2+3x-13x+29=x^2-10x+29$ et $(x-5{)}^2+4=x^2-10x+25+4=x^2-10x+29$. Alors $f(x)-g(x)⩽4$ équivaut à $(x-5{)}^2⩽0$. Un carré est positif ou nul : il faut qu’il soit nul, donc $x=5$. $S=\{5\}$, une seule solution. (Et $f(x)-g(x)⩾4>0$ pour tout $x$ : $f(x)>g(x)$ sur $ℝ$.)

Pour $x>0$, on compare $A=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$ et le nombre $2$.

1. Démontrer que $A-2={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x}}$, puis que $A⩾2$. Contrôle pour $x=4$ : $A-2=$
   Rédaction attendue. Pour $x>0$ : $A-2=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}-2={\displaystyle \frac{x^2+1-2x}{x}}={\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{x}}$. Le numérateur est un carré, positif ou nul ; le dénominateur $x$ est strictement positif. Le quotient est donc positif ou nul : $A-2⩾0$, soit $A⩾2$ pour tout $x>0$. Pour $x=4$ : ${\displaystyle \frac{(4-1{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$.
2. Le seul réel $x>0$ pour lequel $A=2$ est
   $A=2$ équivaut à $(x-1{)}^2=0$, soit $x=1$ : en effet $1+{\displaystyle \frac{1}{1}}=2$.
3. Pour un entier $n⩾1$, on compare ${\displaystyle \frac{n}{n+1}}$ et ${\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}$ par leur différence. Pour $n=3$, cette différence vaut (fraction)
   Au même dénominateur : ${\displaystyle \frac{n(n+2)-(n+1{)}^2}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{(n+1)(n+2)}}={\displaystyle \frac{-1}{(n+1)(n+2)}}<0$. Donc ${\displaystyle \frac{n}{n+1}}<{\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}$ pour tout $n$. Pour $n=3$ : ${\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{15-16}{20}}=-{\displaystyle \frac{1}{20}}$.

Calcule le quotient ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ (décimal ou fraction). S’il dépasse $1$, $A$ est le plus grand.

1. $A=6^9$ et $B=5\times 6^8$ : ${\displaystyle \frac{A}{B}}=$
   ${\displaystyle \frac{6^9}{5\times 6^8}}={\displaystyle \frac{6}{5}}=1,2>1$, donc $A>B$.
2. $A=2,4\times {10}^7$ et $B=8\times {10}^6$ : ${\displaystyle \frac{A}{B}}=$
   ${\displaystyle \frac{2,4}{8}}\times {\displaystyle \frac{{10}^7}{{10}^6}}=0,3\times 10=3$ : $A$ vaut $3$ fois $B$.
3. $A=2\times 5^{10}$ et $B=5^{11}$ : ${\displaystyle \frac{A}{B}}=$
   ${\displaystyle \frac{2\times 5^{10}}{5^{11}}}={\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4<1$, donc $A<B$ : $A$ est $60\%$ plus petit que $B$.
4. $A=9\times 4^{12}$ et $B=2\times 4^{13}$ : ${\displaystyle \frac{A}{B}}=$
   ${\displaystyle \frac{9\times 4^{12}}{2\times 4^{13}}}={\displaystyle \frac{9}{2\times 4}}={\displaystyle \frac{9}{8}}=1,125>1$, donc $A>B$.

Comparaison additive ou multiplicative : complète.

1. Un loyer passe de $640$ € à $704$ €. Il augmente de €
   Comparaison additive : $704-640=64$ €.
2. Ce même loyer est multiplié par
   Comparaison multiplicative : ${\displaystyle \frac{704}{640}}=1,1$, soit une hausse de $10\%$.
3. Une population de bactéries passe de $1500$ à $4500$ : elle est multipliée par
   ${\displaystyle \frac{4500}{1500}}=3$ : la population a triplé.
4. Un prix passe de $80$ € à $68$ € : il baisse de %
   ${\displaystyle \frac{68}{80}}=0,85$ : le prix est multiplié par $0,85$, il baisse de $15\%$ (l’écart est de $12$ €).

Démontrer en calculant un quotient.

1. Démontrer que $A={25}^6$ est plus grand que $B=4\times 5^{11}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{A}{B}}=$
   Rédaction attendue. $A=(5^2{)}^6=5^{12}$. Les nombres $A$ et $B$ sont strictement positifs et ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{5^{12}}{4\times 5^{11}}}={\displaystyle \frac{5}{4}}=1,25$. Comme $1,25>1$, on a $A>B$ : $A$ vaut $1,25$ fois $B$, il est $25\%$ plus grand.
2. Démontrer que $4^{15}=8^{10}$ en écrivant ces deux nombres comme des puissances de $2$. On trouve $4^{15}=2^n$ avec $n=$
   Rédaction attendue. $4^{15}=(2^2{)}^{15}=2^{30}$ et $8^{10}=(2^3{)}^{10}=2^{30}$. Ces nombres sont strictement positifs et ${\displaystyle \frac{4^{15}}{8^{10}}}={\displaystyle \frac{2^{30}}{2^{30}}}=1$ : ils sont égaux.

Rapport dans les deux sens : $a$ et $b$ sont strictement positifs.

1. On sait que ${\displaystyle \frac{a}{b}}=0,5$. Alors ${\displaystyle \frac{b}{a}}=$
   ${\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{1}{0,5}}=2$ : $b$ vaut le double de $a$.
2. $a$ est donc $50\%$ plus petit que $b$, mais $b$ est plus grand que $a$ de %
   $b=2a=a+100\%$ de $a$ : $b$ est $100\%$ plus grand que $a$. Un pourcentage ne se retourne pas.
3. Démontrer que si ${\displaystyle \frac{a}{b}}<1$, alors $a<b$. Contrôle pour $a=9$ et $b=12$ : ${\displaystyle \frac{a-b}{b}}=$
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{a}{b}}-1={\displaystyle \frac{a-b}{b}}$. Si ${\displaystyle \frac{a}{b}}<1$, alors ${\displaystyle \frac{a-b}{b}}<0$. Comme $b>0$, ce quotient a le signe de $a-b$ : donc $a-b<0$, c’est-à-dire $a<b$. Pour $a=9$ et $b=12$ : ${\displaystyle \frac{9-12}{12}}=-{\displaystyle \frac{3}{12}}=-0,25$, et en effet $9<12$.

On sait que $3<x<7$. Donne l’encadrement obtenu en appliquant la règle du cours aux bornes.

1. $<x+5<$
   On ajoute $5$ aux trois membres, le sens est conservé : $8<x+5<12$.
2. $<4x<$
   On multiplie par $4>0$, le sens est conservé : $12<4x<28$.
3. $<-x<$
   On multiplie par $-1<0$, le sens change : $-3>-x>-7$, soit $-7<-x<-3$.
4. $<{\displaystyle \frac{x}{2}}-1<$
   On divise par $2>0$ : $1,5<{\displaystyle \frac{x}{2}}<3,5$, puis on retranche $1$ : $0,5<{\displaystyle \frac{x}{2}}-1<2,5$.

Complète par un symbole ($<$, $>$, $⩽$ ou $⩾$), puis par un nombre.

1. $x⩾3$ équivaut à $-2x$
   On multiplie par $-2<0$, le sens change : $-2x⩽-6$.
2. $x<-4$ équivaut à ${\displaystyle \frac{x}{2}}$
   On divise par $2>0$, le sens est conservé : ${\displaystyle \frac{x}{2}}<-2$.
3. $x>1,5$ équivaut à $7-4x$
   $-4x<-6$ (on multiplie par $-4<0$, le sens change), puis $7-4x<7-6$, soit $7-4x<1$.
4. $x⩽15$ équivaut à ${\displaystyle \frac{x}{-5}}$
   On divise par $-5<0$, le sens change : ${\displaystyle \frac{x}{-5}}⩾-3$.

On sait que $3⩽a⩽8$ et $-4⩽b⩽2$. Donne les encadrements obtenus avec les règles du cours.

1. $⩽a+b⩽$
   On additionne membre à membre : $3+(-4)⩽a+b⩽8+2$, soit $-1⩽a+b⩽10$.
2. $⩽a-b⩽$
   On ne soustrait pas deux encadrements. On encadre $-b$ (multiplication par $-1$, sens changé) : $-2⩽-b⩽4$. Puis on additionne : $3-2⩽a-b⩽8+4$, soit $1⩽a-b⩽12$.
3. $⩽3a-2b⩽$
   $9⩽3a⩽24$ et, en multipliant par $-2<0$ : $-4⩽-2b⩽8$. On additionne : $5⩽3a-2b⩽32$.

Fonctions affines et démonstration.

1. $f(x)=-3x+5$ et $-1⩽x⩽2$. Justifier le sens de variation de $f$, puis encadrer : $⩽f(x)⩽$
   Rédaction attendue. $f$ est affine de coefficient $-3<0$ : elle est décroissante, elle renverse l’ordre. De $-1⩽x⩽2$ on tire $f(2)⩽f(x)⩽f(-1)$. Or $f(2)=-6+5=-1$ et $f(-1)=3+5=8$. Donc $-1⩽f(x)⩽8$.
2. Un plombier facture $P=35h+40$ euros pour $h$ heures de travail. Si $1,5⩽h⩽3$ : $⩽P⩽$
   $35>0$ : $52,5⩽35h⩽105$, puis on ajoute $40$ : $92,5⩽P⩽145$.
3. Démontrer que si $u<v$ et $s<t$, alors $u+s<v+t$. Contrôle avec $u=1$, $v=4$, $s=-2$, $t=0$ : $(v+t)-(u+s)=$
   Rédaction attendue. $(v+t)-(u+s)=(v-u)+(t-s)$. Comme $u<v$, $v-u>0$ ; comme $s<t$, $t-s>0$. Une somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive, donc $(v+t)-(u+s)>0$, c’est-à-dire $u+s<v+t$. Contrôle : $(4+0)-(1-2)=4+1=5$.

Résous. Complète par un symbole ($<$, $>$, $⩽$ ou $⩾$), puis par un nombre.

1. $6x-15⩽0$ équivaut à $x$
   $6x⩽15$, puis on divise par $6>0$ (sens conservé) : $x⩽2,5$. $S=]-\infty ;2,5]$.
2. $-4x+22>2$ équivaut à $x$
   $-4x>-20$, puis on divise par $-4<0$ (sens changé) : $x<5$. $S=]-\infty ;5[$.
3. $3-8x<11$ équivaut à $x$
   $-8x<8$, puis on divise par $-8<0$ (sens changé) : $x>-1$. $S=]-1;+\infty [$.
4. $-{\displaystyle \frac{x}{4}}+2⩾0$ équivaut à $x$
   $-{\displaystyle \frac{x}{4}}⩾-2$, puis on multiplie par $-4<0$ (sens changé) : $x⩽8$. $S=]-\infty ;8]$.

Inconnue dans les deux membres : complète l’ensemble des solutions.

1. $7x+8⩾12x-27$ : $S=]-\infty ;$ $]$
   $7x-12x⩾-27-8$, soit $-5x⩾-35$. On divise par $-5<0$, le sens change : $x⩽7$.
2. $-2(x-9)⩽3x+13$ : $S=[$ $;+\infty [$
   On développe : $-2x+18⩽3x+13$, puis $18-13⩽3x+2x$, soit $5⩽5x$, donc $x⩾1$.
3. $5-{\displaystyle \frac{3x}{4}}>{\displaystyle \frac{x}{2}}+1$ : $S=]-\infty ;$ $[$
   On multiplie par $4>0$ : $20-3x>2x+4$, puis $16>5x$, donc $x<3,2$. Contrôle avec $x=0$ : $5>1$, vrai.
4. $2(x+4)<5x-7$ : $S=]$ $;+\infty [$
   $2x+8<5x-7$, puis $8+7<5x-2x$, soit $15<3x$, donc $x>5$.

Résoudre en justifiant. Pour l’ensemble des réels, écris ℝ.

1. Résoudre $2(x+3)<2x+1$. Nombre de solutions :
   $2x+6<2x+1$ donne $6<1$, qui est faux quel que soit $x$ : $S=\varnothing$, aucune solution.
2. Résoudre $3x-2⩽3(x+1)$ : $S=$
   $3x-2⩽3x+3$ donne $-2⩽3$, vrai quel que soit $x$ : $S=ℝ$.
3. Démontrer que l’ensemble des solutions de ${\displaystyle \frac{x+1}{3}}-{\displaystyle \frac{x-2}{4}}⩾1$ est un intervalle $[a;+\infty [$, et donner $a=$
   Rédaction attendue. On multiplie les deux membres par $12>0$, le sens est conservé : $4(x+1)-3(x-2)⩾12$, soit $4x+4-3x+6⩾12$, c’est-à-dire $x+10⩾12$, donc $x⩾2$. Ainsi $S=[2;+\infty [$ et $a=2$.

Soit $m$ un réel. On considère l’inéquation d’inconnue $x$ : $mx+4>2x+m$. Pour l’ensemble des réels, écris ℝ.

1. Démontrer qu’elle équivaut à $(m-2)x>m-4$, puis la résoudre pour $m=2$ : $S=$
   Rédaction attendue. $mx+4>2x+m$ équivaut à $mx-2x>m-4$ (on retranche $2x$ et $4$ aux deux membres), soit $(m-2)x>m-4$ en factorisant par $x$. Pour $m=2$ : $0\times x>-2$, c’est-à-dire $0>-2$, vrai pour tout $x$. Donc $S=ℝ$.
2. Pour $m=5$ : $S=]$ $;+\infty [$ (fraction)
   $3x>1$ et $3>0$ : $x>{\displaystyle \frac{1}{3}}$.
3. Pour $m=0$, l’inéquation équivaut à $x$
   $-2x>-4$ et $-2<0$ : on divise en changeant le sens, $x<2$. Le signe de $m-2$ décide du sens.

Traduis par une inéquation et résous.

1. Le triple d’un nombre, diminué de $4$, vaut au moins $11$. Le plus petit nombre qui convient est
   $3x-4⩾11$ donne $3x⩾15$, donc $x⩾5$ : le plus petit est $5$.
2. Une citerne de $1200$ L contient $150$ L ; on y verse $45$ L par minute. Nombre entier maximal de minutes de remplissage sans débordement :
   $150+45t⩽1200$ donne $45t⩽1050$, soit $t⩽{\displaystyle \frac{70}{3}}\approx 23,3$. Au plus $23$ minutes entières.
3. Un ascenseur supporte au plus $630$ kg. Un livreur de $80$ kg y charge des cartons de $25$ kg. Nombre maximal de cartons :
   $80+25n⩽630$ donne $25n⩽550$, soit $n⩽22$ : au plus $22$ cartons.

Moyenne et budget.

1. Tom a $9$ et $12$ à deux devoirs de coefficient $1$ ; le prochain a le coefficient $2$. Note minimale pour une moyenne d’au moins $12$ :
   ${\displaystyle \frac{21+2x}{4}}⩾12$ ; on multiplie par $4>0$ : $21+2x⩾48$, donc $2x⩾27$ et $x⩾13,5$.
2. Avec $50$ €, Lina achète un livre à $14,50$ € et des cahiers à $2,80$ € pièce. Nombre maximal de cahiers :
   $14,5+2,8n⩽50$ donne $2,8n⩽35,5$, soit $n⩽12,6\dots$ : au plus $12$ cahiers (contrôle : $14,5+2,8\times 12=48,1$).

Justifier.

1. Un triangle a deux côtés de $5$ cm et $8$ cm ; le troisième mesure $x$ cm. Avec l’inégalité triangulaire ($8<5+x$ et $x<5+8$), justifier l’encadrement de $x$. Nombre de valeurs entières possibles :
   Rédaction attendue. $8<5+x$ donne $x>3$ ; $x<5+8$ donne $x<13$ (la troisième condition, $5<8+x$, est alors automatique). Donc $3<x<13$ : les entiers possibles vont de $4$ à $12$, soit $9$ valeurs.
2. Démontrer qu’un rectangle de largeur $x$ et de longueur $x+7$ (en cm) a un périmètre d’au plus $60$ cm si et seulement si $x⩽$
   Rédaction attendue. Le périmètre vaut $2(x+x+7)=4x+14$. « Au plus $60$ » : $4x+14⩽60$, équivaut à $4x⩽46$, puis (division par $4>0$) à $x⩽11,5$ (avec $x>0$, puisque c’est une largeur). Les transformations sont des équivalences, d’où le « si et seulement si ».

Un traiteur facture $300$ € de location de salle, plus $24$ € par invité. Le budget doit être compris entre $1500$ € et $2000$ €.

1. Justifier par une double inéquation. Nombre d’invités : au moins et au plus
   Rédaction attendue. Pour $n$ invités, le coût est $300+24n$. On veut $1500⩽300+24n⩽2000$. On retranche $300$ : $1200⩽24n⩽1700$. On divise par $24>0$ : $50⩽n⩽70,8\dots$ Comme $n$ est entier : de $50$ à $70$ invités.
2. Si le prix par invité passe à $25$ €, le nombre maximal d’invités devient
   $300+25n⩽2000$ donne $25n⩽1700$, soit $n⩽68$.