Équations

Résoudre chaque équation. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $9x-4=5x+18$ : $x=$
   $9x-5x=18+4$, soit $4x=22$, donc $x={\displaystyle \frac{22}{4}}={\displaystyle \frac{11}{2}}$. $S=\left\{{\displaystyle \frac{11}{2}}\right\}$.
2. $3(x-7)=2x+1$ : $x=$
   On développe : $3x-21=2x+1$. Donc $3x-2x=1+21$, soit $x=22$. $S=\{22\}$.
3. $-4x+13=2$ : $x=$
   $-4x=2-13$, soit $-4x=-11$, donc $x={\displaystyle \frac{-11}{-4}}={\displaystyle \frac{11}{4}}$. $S=\left\{{\displaystyle \frac{11}{4}}\right\}$.

On considère l’équation $x^2-2x=15$. Calcule le membre de gauche pour chaque valeur, et compare-le à $15$.

1. Pour $x=5$, $x^2-2x$ vaut
   $5^2=25$ et $2\times 5=10$, donc $x^2-2x$ vaut $25-10=15$ : les deux membres sont égaux, donc $5$ est solution.
2. Pour $x=-3$, $x^2-2x$ vaut
   $(-3{)}^2=9$ et $2\times (-3)=-6$, donc $x^2-2x$ vaut $9+6=15$ : $-3$ est aussi solution. Une équation peut avoir plusieurs solutions.
3. Pour $x=4$, $x^2-2x$ vaut
   $4^2=16$ et $2\times 4=8$, donc $x^2-2x$ vaut $16-8=8$, et $8\ne 15$ : $4$ n’est pas solution.
4. Justifier que les équations ${\displaystyle \frac{x}{3}}+2=5$ et $x+6=15$ sont équivalentes. Leur solution commune est $x=$
   Rédaction attendue. On multiplie les deux membres de ${\displaystyle \frac{x}{3}}+2=5$ par $3$, nombre non nul : on obtient $x+6=15$. Multiplier les deux membres par un même nombre non nul donne une équation équivalente : les deux équations ont donc le même ensemble de solutions. Or $x+6=15$ $⟺x=9$. Donc $S=\{9\}$ pour les deux.

Coefficients fractionnaires ou décimaux : chasse d’abord les dénominateurs (ou les virgules) en multipliant les deux membres par un même nombre non nul.

1. Démontrer que l’équation ${\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{x}{3}}+2$ a une unique solution : $x=$
   Rédaction attendue. On multiplie les deux membres par $6$, nombre non nul : on obtient l’équation équivalente $3x+2=2x+12$. On retranche $2x+2$ aux deux membres : $x=10$. Vérification : ${\displaystyle \frac{10}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{16}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{10}{3}}+2={\displaystyle \frac{16}{3}}$. L’équation a une unique solution : $S=\{10\}$.
2. ${\displaystyle \frac{x-1}{4}}={\displaystyle \frac{2x+3}{6}}$ : $x=$
   On multiplie par $12$ : $3(x-1)=2(2x+3)$, soit $3x-3=4x+6$. Donc $-x=9$ et $x=-9$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{-10}{4}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{-15}{6}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.
3. $0,4x-1,5=0,1x+0,6$ : $x=$
   On multiplie par $10$ : $4x-15=x+6$. Donc $3x=21$ et $x=7$. $S=\{7\}$.

Mise en équation : choisis l’inconnue, écris l’équation, résous-la, puis réponds à la question.

1. On choisit un nombre, on lui ajoute $8$, on multiplie le résultat par $3$, puis on retranche le double du nombre choisi. On obtient $41$. Le nombre choisi est
   Soit $x$ le nombre choisi. Le programme se traduit par $3(x+8)-2x=41$, soit $3x+24-2x=41$, donc $x+24=41$ et $x=17$. Vérification : $3\times 25-34=75-34=41$.
2. Un rectangle a pour longueur $x+5$ cm et pour largeur $x-3$ cm ; son périmètre vaut $58$ cm. Sa longueur mesure cm et sa largeur cm.
   Le périmètre vaut $2[(x+5)+(x-3)]=2(2x+2)=4x+4$. L’équation $4x+4=58$ donne $4x=54$, donc $x=13,5$. Longueur : $13,5+5=18,5$ cm ; largeur : $13,5-3=10,5$ cm. Contrôle : $2\times (18,5+10,5)=58$.
3. Un père a $41$ ans et son fils $9$ ans. L’âge du père sera le triple de celui du fils dans ans.
   Soit $t$ le nombre d’années. Dans $t$ ans, le père aura $41+t$ ans et le fils $9+t$ ans. On résout $41+t=3(9+t)$, soit $41+t=27+3t$, donc $14=2t$ et $t=7$. Vérification : $48=3\times 16$.

Pour chaque équation, écris sa solution si elle est unique, « vide » si $S=\varnothing$, « R » si $S=ℝ$.

1. $4(3x-5)=12x-20$ :
   On développe : $12x-20=12x-20$. Les deux membres sont identiques : l’égalité est vraie pour tout $x$. $S=ℝ$.
2. $2(5x+3)=10x-1$ :
   On développe : $10x+6=10x-1$. On retranche $10x$ : $6=-1$, faux. Aucune valeur ne convient : $S=\varnothing$.
3. $6x-(x+4)=2(x+1)$ :
   $6x-x-4=2x+2$, soit $5x-4=2x+2$, donc $3x=6$ et $x=2$. $S=\{2\}$. Attention au signe moins devant la parenthèse.
4. $3(x+2)-x=2(x+4)$ :
   $3x+6-x=2x+8$, soit $2x+6=2x+8$, puis $6=8$ : faux. $S=\varnothing$.

Développe d’abord chaque membre, puis résous. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $(x+4)(x-2)=x^2+10$ : $x=$
   $(x+4)(x-2)=x^2-2x+4x-8=x^2+2x-8$. L’équation devient $x^2+2x-8=x^2+10$. On retranche $x^2$ : $2x-8=10$, donc $2x=18$ et $x=9$. $S=\{9\}$.
2. $(2x-1{)}^2=4x^2+11$ : $x=$
   $(2x-1{)}^2=4x^2-4x+1$. L’équation s’écrit $4x^2-4x+1=4x^2+11$. On retranche $4x^2$ : $-4x+1=11$, donc $-4x=10$ et $x=-{\displaystyle \frac{10}{4}}=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.
3. $5(x-3)-2(x+8)=0$ : $x=$
   $5x-15-2x-16=3x-31$. L’équation $3x-31=0$ donne $x={\displaystyle \frac{31}{3}}$. $S=\left\{{\displaystyle \frac{31}{3}}\right\}$.

On considère l’équation $(m-6)x=9$, d’inconnue $x$, où $m$ est un réel (un paramètre). Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Démontrer que l’équation n’a aucune solution pour une seule valeur de $m$ : $m=$
   Rédaction attendue. L’équation est de la forme $ax=b$ avec $a=m-6$ et $b=9$. Si $m-6\ne 0$, on peut diviser par $m-6$ : l’équation a l’unique solution $x={\displaystyle \frac{9}{m-6}}$. Si $m-6=0$, c’est-à-dire $m=6$, elle s’écrit $0\times x=9$, soit $0=9$ : faux pour tout $x$, donc $S=\varnothing$. L’équation n’a donc aucune solution pour $m=6$ seulement.
2. Pour $m=8$, la solution est $x=$
   Pour $m=8$ : $2x=9$, donc $x={\displaystyle \frac{9}{2}}$.
3. Pour que $-2$ soit solution, il faut $m=$
   $-2$ est solution si $-2(m-6)=9$, soit $-2m+12=9$, donc $-2m=-3$ et $m={\displaystyle \frac{3}{2}}$. Contrôle : pour $m={\displaystyle \frac{3}{2}}$, l’équation s’écrit $-{\displaystyle \frac{9}{2}}x=9$, de solution $x=-2$.

Développer, réduire, puis conclure en justifiant.

1. Démontrer que pour tout réel $x$, $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2=16x$, puis résoudre $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2=40$ : $x=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$ et $(x-4{)}^2=x^2-8x+16$. Par différence, $(x+4{)}^2-(x-4{)}^2=x^2+8x+16-x^2+8x-16=16x$. L’équation équivaut donc à $16x=40$, soit $x={\displaystyle \frac{40}{16}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$. $S=\left\{{\displaystyle \frac{5}{2}}\right\}$.
2. Pour l’équation $(x-2)(x+7)=(x+1)(x+4)$, après développement et réduction, il reste l’égalité $-14=$
   $(x-2)(x+7)=x^2+5x-14$ et $(x+1)(x+4)=x^2+5x+4$. On retranche $x^2+5x$ : $-14=4$, faux. L’équation n’a aucune solution : $S=\varnothing$.
3. Le nombre $c$ pour lequel $(x-2)(x+7)=(x+1)(x+4)+c$ a tous les réels pour solutions est $c=$
   Après réduction, l’équation devient $-14=4+c$. Elle est vraie pour tout $x$ exactement quand $c=-18$ ; sinon, elle est fausse pour tout $x$.
4. $(2x+3{)}^2-4x(x+3)=9$ : (la solution, « vide » ou « R »)
   $(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$ et $4x(x+3)=4x^2+12x$. Le membre de gauche vaut $9$ pour tout $x$ : l’égalité $9=9$ est vraie, $S=ℝ$.

Résoudre. Donne les solutions de la plus petite à la plus grande. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $(x-13)(2x+7)=0$ : $x=$ ou $x=$
   Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul : $x-13=0$ ou $2x+7=0$, c’est-à-dire $x=13$ ou $x=-{\displaystyle \frac{7}{2}}$. $S=\{-{\displaystyle \frac{7}{2}};13\}$.
2. $(5x-1)(3x+21)=0$ : $x=$ ou $x=$
   $5x-1=0$ ou $3x+21=0$, donc $x={\displaystyle \frac{1}{5}}$ ou $x={\displaystyle \frac{-21}{3}}=-7$. $S=\{-7;{\displaystyle \frac{1}{5}}\}$.
3. $(2x+3{)}^2=0$ a une seule solution : $x=$
   $(2x+3{)}^2=(2x+3)(2x+3)$ : le produit est nul si et seulement si $2x+3=0$, soit $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. Les deux facteurs donnent la même valeur.

Factorise, puis résous. Donne les solutions de la plus petite à la plus grande. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $x^2-10x=0$ : $x=$ ou $x=$
   On factorise par $x$ : $x(x-10)=0$, donc $x=0$ ou $x=10$. $S=\{0;10\}$. Diviser par $x$ aurait fait perdre la solution $0$.
2. $9x^2-49=0$ : $x=$ ou $x=$
   $9x^2-49=(3x{)}^2-7^2=(3x-7)(3x+7)$. Donc $x={\displaystyle \frac{7}{3}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{7}{3}}$. $S=\{-{\displaystyle \frac{7}{3}};{\displaystyle \frac{7}{3}}\}$.
3. $x^2+12x+36=0$ a une seule solution : $x=$
   On reconnaît $a^2+2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=6$ : $x^2+12x+36=(x+6{)}^2$. Donc $(x+6{)}^2=0$ $⟺x+6=0$ $⟺x=-6$.

Repère le facteur commun, factorise, puis résous. Donne les solutions de la plus petite à la plus grande. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $(x-4)(2x+1)+(x-4)(x+9)=0$ : $x=$ ou $x=$
   Facteur commun $(x-4)$ : $(x-4)[(2x+1)+(x+9)]=0$, soit $(x-4)(3x+10)=0$. Donc $x=4$ ou $x=-{\displaystyle \frac{10}{3}}$. $S=\{-{\displaystyle \frac{10}{3}};4\}$.
2. $(2x-7{)}^2-(2x-7)(x+4)=0$ : $x=$ ou $x=$
   Facteur commun $(2x-7)$ : $(2x-7)[(2x-7)-(x+4)]=0$. Le crochet vaut $2x-7-x-4=x-11$. Donc $(2x-7)(x-11)=0$ : $x={\displaystyle \frac{7}{2}}$ ou $x=11$.

Rédiger complètement chaque réponse. Donne les solutions de la plus petite à la plus grande. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Pour résoudre $x(x-4)=x(2x+1)$, Hugo simplifie les deux membres par $x$ et trouve seulement $x=-5$. Expliquer son erreur. La solution qu’il a perdue est $x=$
   Rédaction attendue. Hugo a divisé par $x$, ce qui n’est permis que si $x\ne 0$ : il a écarté sans le dire le cas $x=0$, qui est solution ($0\times (-4)=0$ et $0\times 1=0$). Il faut tout ramener dans un membre : $x(x-4)-x(2x+1)=0$, soit $x[(x-4)-(2x+1)]=0$, c’est-à-dire $x(-x-5)=0$. D’après la règle du produit nul, $x=0$ ou $-x-5=0$, donc $x=0$ ou $x=-5$. $S=\{-5;0\}$.
2. Démontrer que $(x+1)(x-3)=5$ équivaut à $(x-4)(x+2)=0$, puis résoudre : $x=$ ou $x=$
   Rédaction attendue. On ramène tout dans un membre : $(x+1)(x-3)-5=0$, soit $x^2-3x+x-3-5=0$, c’est-à-dire $x^2-2x-8=0$. Or $(x-4)(x+2)=x^2+2x-4x-8=x^2-2x-8$. L’équation équivaut donc à $(x-4)(x+2)=0$, d’où $x=4$ ou $x=-2$. $S=\{-2;4\}$. On ne pouvait pas écrire « $x+1=5$ ou $x-3=5$ » : le second membre n’était pas nul.
3. L’équation $x^3=9x$ a trois solutions : , et
   $x^3-9x=0$ $⟺x(x^2-9)=0$ $⟺x(x-3)(x+3)=0$. Un produit de trois facteurs est nul si l’un d’eux est nul : $x=0$, $x=3$ ou $x=-3$. $S=\{-3;0;3\}$.

Donner les valeurs interdites de chaque expression (de la plus petite à la plus grande s’il y en a deux). Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. ${\displaystyle \frac{x+1}{2x-9}}$ :
   Le dénominateur s’annule quand $2x-9=0$, soit $x={\displaystyle \frac{9}{2}}$. La seule valeur interdite est ${\displaystyle \frac{9}{2}}$.
2. ${\displaystyle \frac{3x}{x+6}}$ :
   $x+6=0$ pour $x=-6$. L’expression est définie sur $ℝ⧵\{-6\}$. La valeur $0$, qui annule le numérateur, n’est pas interdite.
3. ${\displaystyle \frac{5}{(x-1)(x+8)}}$ : et
   Le dénominateur est un produit : il est nul si $x-1=0$ ou $x+8=0$. Les valeurs interdites sont $-8$ et $1$.

Valeurs interdites d’abord, puis résoudre. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. ${\displaystyle \frac{4x-3}{x-7}}=0$ : $x=$
   Valeur interdite : $7$. Pour $x\ne 7$, le quotient est nul si et seulement si $4x-3=0$, soit $x={\displaystyle \frac{3}{4}}$, valeur autorisée. $S=\left\{{\displaystyle \frac{3}{4}}\right\}$.
2. ${\displaystyle \frac{x^2-64}{x+8}}=0$ : $x=$
   Valeur interdite : $-8$. Pour $x\ne -8$ : $x^2-64=0$, soit $(x-8)(x+8)=0$, donc $x=8$ ou $x=-8$. La valeur $-8$ est interdite, on la rejette : $S=\{8\}$.
3. ${\displaystyle \frac{12}{x-1}}=3$ : $x=$
   Valeur interdite : $1$. Pour $x\ne 1$, on multiplie les deux membres par $x-1$ : $12=3(x-1)$, soit $12=3x-3$, donc $3x=15$ et $x=5$, valeur autorisée. $S=\{5\}$.

Rédiger complètement chaque résolution. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. ${\displaystyle \frac{x-1}{x+2}}=5$ : $x=$
   Valeur interdite : $-2$. Pour $x\ne -2$ : $x-1=5(x+2)$, soit $x-1=5x+10$, donc $-4x=11$ et $x=-{\displaystyle \frac{11}{4}}$. Comme $-{\displaystyle \frac{11}{4}}\ne -2$, $S=\{-{\displaystyle \frac{11}{4}}\}$.
2. Démontrer que l’équation ${\displaystyle \frac{(2x-6)(4x+3)}{x-3}}=0$ a une seule solution : $x=$
   Rédaction attendue. Le dénominateur s’annule pour $x=3$ : la valeur interdite est $3$. Pour $x\ne 3$, le quotient est nul si et seulement si son numérateur l’est : $(2x-6)(4x+3)=0$, donc $2x-6=0$ ou $4x+3=0$, soit $x=3$ ou $x=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$. La valeur $3$ est interdite et doit être rejetée, bien qu’elle annule le numérateur. L’équation a une seule solution : $S=\{-{\displaystyle \frac{3}{4}}\}$.

Pour résoudre ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}}=6$, Inès multiplie les deux membres par $x-3$ et obtient $x^2-9=6x-18$, puis $(x-3{)}^2=0$.

1. Justifier que la valeur trouvée par Inès ne convient pas. Nombre de solutions de l’équation :
   Rédaction attendue. La valeur interdite de l’équation est $3$ (elle annule $x-3$). L’équation $(x-3{)}^2=0$ d’Inès donne $x=3$ : c’est justement la valeur interdite, le quotient n’existe pas pour $x=3$. En multipliant par $x-3$, qui peut être nul, Inès a créé une solution parasite. Autre rédaction : pour $x\ne 3$, ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}}={\displaystyle \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}}=x+3$, et $x+3=6$ donne $x=3$, interdite. Donc $S=\varnothing$.
2. Avec la même expression, résoudre ${\displaystyle \frac{x^2-9}{x-3}}=10$ : $x=$
   Pour $x\ne 3$, l’expression vaut $x+3$. L’équation équivaut à $x+3=10$, soit $x=7$, valeur autorisée. $S=\{7\}$ (contrôle : ${\displaystyle \frac{49-9}{4}}={\displaystyle \frac{40}{4}}=10$).

Résoudre. Pour une solution du type $k\sqrt{n}$, on simplifie la racine.

1. $x^2=121$ : $x=$ ou $x=$ (de la plus petite à la plus grande)
   $121>0$ : deux solutions opposées, $-\sqrt{121}=-11$ et $\sqrt{121}=11$. $S=\{-11;11\}$.
2. $x^2=28$ : les solutions sont $-k\sqrt{7}$ et $k\sqrt{7}$ avec $k=$
   $28>0$ : deux solutions, $-\sqrt{28}$ et $\sqrt{28}$. Comme $28=4\times 7$, $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. $S=\{-2\sqrt{7};2\sqrt{7}\}$.
3. $x^2=-12$ : nombre de solutions réelles
   Un carré est toujours positif ou nul : il ne peut pas valoir $-12$. $S=\varnothing$.
4. $x^2-18=0$ : les solutions sont $-k\sqrt{2}$ et $k\sqrt{2}$ avec $k=$
   $x^2=18$ et $18>0$. $\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}$. $S=\{-3\sqrt{2};3\sqrt{2}\}$.

Isole d’abord le carré, puis résous.

1. $2x^2-50=0$ : la solution positive est $x=$
   $2x^2=50$, donc $x^2=25$. Deux solutions opposées : $-5$ et $5$. La solution positive est $5$.
2. $x^2+3=3$ : nombre de solutions
   $x^2=0$ : une seule solution, $x=0$. $S=\{0\}$.
3. $5-x^2=9$ : nombre de solutions
   $-x^2=4$, soit $x^2=-4$ : un carré n’est jamais négatif. $S=\varnothing$.

Carré d’une expression : pour $a>0$, $(x+c{)}^2=a$ donne $x+c=-\sqrt{a}$ ou $x+c=\sqrt{a}$.

1. $(x+1{)}^2=20$ : $x=-1-k\sqrt{5}$ ou $x=-1+k\sqrt{5}$ avec $k=$
   $20>0$ : $x+1=-\sqrt{20}$ ou $x+1=\sqrt{20}$. Or $\sqrt{20}=\sqrt{4\times 5}=2\sqrt{5}$. Donc $x=-1-2\sqrt{5}$ ou $x=-1+2\sqrt{5}$.
2. Valeurs approchées au centième de ces deux solutions : et (de la plus petite à la plus grande)
   $\sqrt{5}\approx 2,236$, donc $2\sqrt{5}\approx 4,472$. $-1-2\sqrt{5}\approx -5,47$ et $-1+2\sqrt{5}\approx 3,47$.
3. $4x^2-12x+9=25$ : $x=$ ou $x=$ (de la plus petite à la plus grande)
   On reconnaît $(2x-3{)}^2=4x^2-12x+9$. L’équation s’écrit $(2x-3{)}^2=25$, donc $2x-3=-5$ ou $2x-3=5$, soit $x=-1$ ou $x=4$. $S=\{-1;4\}$.

Rédiger complètement chaque réponse.

1. Démontrer que $9x^2+24x+16=(3x+4{)}^2$, puis résoudre $9x^2+24x+16=0$ : $x=$
   Rédaction attendue. On développe : $(3x+4{)}^2=(3x{)}^2+2\times 3x\times 4+4^2=9x^2+24x+16$. L’égalité est vraie pour tout réel $x$. L’équation s’écrit donc $(3x+4{)}^2=0$, ce qui équivaut à $3x+4=0$, soit $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$. Une seule solution : $S=\{-{\displaystyle \frac{4}{3}}\}$.
2. Démontrer, en factorisant $x^2-3$, que l’équation $x^2=3$ a deux solutions. Valeur approchée au centième de la solution positive :
   Rédaction attendue. Comme $3={\left(\sqrt{3}\right)}^2$, on a $x^2=3$ $⟺x^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=0$ $⟺(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})=0$. D’après la règle du produit nul, $x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$ : deux solutions opposées. $\sqrt{3}\approx 1,73$.
3. Un carré a pour aire $98$ cm². Son côté mesure $k\sqrt{2}$ cm avec $k=$
   Le côté $c$ vérifie $c^2=98$. L’équation a deux solutions opposées, mais une longueur est positive : $c=\sqrt{98}=\sqrt{49\times 2}=7\sqrt{2}$ cm.