Calcul littéral

1. a)$(5x-2)(x+8)$ $=5x^2+40x-2x-16$ $=5x^2+38x-16$. (1)
2. b)Identité $(a+b{)}^2$ avec $a=4x$, $b=9$ : $(4x{)}^2+2\times 4x\times 9+9^2$ $=16x^2+72x+81$. (1)
3. c)Le facteur commun est $6x$ : $18x^2+24x$ $=6x\times 3x+6x\times 4$ $=6x(3x+4)$. (1)

Repère — Un automatisme se contrôle de tête : x = 1 dans les deux formes.

1. a)$-6x+14-x-4=-7x+10$ : le « moins » devant $(x+4)$ change le signe de $x$ et de $4$. (1)
2. b)Trois termes : $100={10}^2$ et $2\times x\times 10=20x$, avec le signe moins : $x^2-20x+100=(x-10{)}^2$. (1)
3. c)Facteur commun $(x+6)$ : $(x+6)[(2x-5)-(x-1)]$ $=(x+6)(2x-5-x+1)$ $=(x+6)(x-4)$. (1)
4. d)Différence de deux carrés : $(4x{)}^2-9^2=(4x-9)(4x+9)$. (1)

Repère — Après un « moins » devant une parenthèse, on change le signe de tous ses termes.

1. a)$x^2-25=(x-5)(x+5)$ s’annule pour $x=5$ et pour $x=-5$ : ce sont les valeurs interdites. $F$ est définie pour tout réel $x$ différent de $5$ et de $-5$. (1)
2. b)Numérateur : $x^2-5x=x(x-5)$ (facteur commun $x$). Dénominateur : $x^2-25=(x-5)(x+5)$ (différence de deux carrés). (1)
3. c)Pour $x\ne 5$ et $x\ne -5$, $x-5\ne 0$ et l’on simplifie par ce facteur : $F(x)={\displaystyle \frac{x(x-5)}{(x-5)(x+5)}}$ $={\displaystyle \frac{x}{x+5}}$. (1)
4. d)$3$ est une valeur autorisée. Forme simplifiée : $F(3)={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Forme de départ : ${\displaystyle \frac{9-15}{9-25}}$ $={\displaystyle \frac{-6}{-16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Les deux calculs concordent. (1)

Repère — Les valeurs interdites se cherchent avant de simplifier, et elles restent interdites après.

1. a)Pour tout réel $x$ : $(x+8{)}^2-25$ $=x^2+16x+64-25$ $=x^2+16x+39=G(x)$. (1)
2. b)$25=5^2$, donc $G(x)=(x+8{)}^2-5^2$ est une différence de deux carrés : $G(x)=(x+8-5)(x+8+5)$ $=(x+3)(x+13)$. Contrôle : $(x+3)(x+13)=x^2+16x+39$. (1)
3. c)On utilise la forme $(x+8{)}^2-25$. Pour tout réel $x$, $(x+8{)}^2⩾0$, donc $G(x)⩾-25$. L’égalité a lieu lorsque $(x+8{)}^2=0$, c’est-à-dire pour $x=-8$. La plus petite valeur de $G(x)$ est $-25$, atteinte pour $x=-8$. (1)

Repère — Un carré est toujours positif ou nul : la forme « carré + nombre » donne la plus petite valeur.

1. a)On multiplie les deux membres par $V$ : $\rho V=m$. On divise par $\rho \ne 0$ : $V={\displaystyle \frac{m}{\rho }}$. (1)
2. b)On divise par $P\ne 0$ : $t={\displaystyle \frac{E}{P}}$. Application : $t={\displaystyle \frac{1,5}{0,5}}=3$ h. (1)
3. c)On multiplie par $3$ : $3V=\pi r^{2}h$. On divise par $\pi r^2\ne 0$ : $h={\displaystyle \frac{3V}{\pi r^2}}$. (1)

Repère — On défait les opérations dans l’ordre inverse, en ne divisant que par une grandeur non nulle.

1. a)$(n+7{)}^2-n^2$ $=n^2+14n+49-n^2$ $=14n+49$. (1)
2. b)D’après a), $(n+7{)}^2-n^2=14n+49$ $=7(2n+7)$, et $2n+7$ est un entier : c’est le produit de $7$ par un entier, donc un multiple de $7$. (1)
3. c)Pour $n=1$ : $(1+7{)}^2=64$ alors que $1^2+49=50$. L’égalité est fausse : l’élève a oublié le double produit $2\times n\times 7=14n$, qui n’est nul que pour $n=0$. (1)

Repère — Pour prouver « multiple de 7 », on écrit le nombre sous la forme 7 × (un entier).