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Inégalités et inéquations
Comparer deux nombres par différence ou par quotient, calculer avec des inégalités et des encadrements, résoudre les inéquations du premier degré et mettre un problème en inéquation.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
L’inéquation −3x ≤ 12 équivaut à :
- A. x ≤ −4
- B. x ≥ −4
- C. x ≥ 4
- D. x ≤ 4
Réponse
B. x ≥ −4 — On divise par −3, strictement négatif : le sens change, d’où x ≥ −4.
L’ensemble des solutions de x > 5 s’écrit :
- A. [5 ; +∞[
- B. ]−∞ ; 5[
- C. ]−∞ ; 5]
- D. ]5 ; +∞[
Réponse
D. ]5 ; +∞[ — Inégalité stricte : 5 n’est pas solution, le crochet est ouvert en 5, et toujours ouvert vers +∞.
Le nombre −2 est solution de l’inéquation :
- A. 3x + 8 > 0
- B. x − 4 > 0
- C. 2x + 9 < 0
- D. −x − 5 > 0
Réponse
A. 3x + 8 > 0 — Avec x = −2 : 3x + 8 vaut 2, et 2 > 0 est vrai. Les trois autres inégalités deviennent −6 > 0, 5 < 0 et −3 > 0, toutes fausses.
Si a < b et c < 0, alors on peut affirmer :
- A. ac < bc
- B. a + c > b + c
- C. ac > bc
- D. ac = bc
Réponse
C. ac > bc — Multiplier par un nombre strictement négatif change le sens : de a < b on tire ac > bc.
Pour comparer deux réels A et B, on étudie le signe de :
- A. A + B
- B. A × B
- C. A² + B²
- D. A − B
Réponse
D. A − B — A ≤ B signifie B − A ≥ 0 : c’est le signe de la différence qui permet de conclure.
Pour a = 4,2 et b = 3,5, le rapport a/b vaut 1,2. Cela signifie que :
- A. a dépasse b de 1,2 unité
- B. a est 20 % plus grand que b
- C. b est 20 % plus petit que a
- D. a est 1,2 % plus grand que b
Réponse
B. a est 20 % plus grand que b — a = 1,2 × b : a vaut b augmenté de 20 %. L’écart a − b vaut 0,7 ; et b/a ≈ 0,83, donc b est environ 17 % plus petit que a.
L’encadrement 1 < x < 3 équivaut à :
- A. 5 < x + 4 < 7
- B. 4 < x + 4 < 12
- C. 1 < x + 4 < 7
- D. 3 < x + 4 < 5
Réponse
A. 5 < x + 4 < 7 — Ajouter 4 aux trois membres donne une inégalité équivalente : 1 + 4 < x + 4 < 3 + 4.
x ≥ 6 équivaut à :
- A. −x/2 ≥ −3
- B. −x/2 ≤ 3
- C. −x/2 ≤ −3
- D. −x/2 ≥ 3
Réponse
C. −x/2 ≤ −3 — On multiplie par −1/2, qui est négatif : le sens change, et 6 multiplié par −1/2 donne −3.
Si a < b et c < d, alors on peut affirmer :
- A. a − c < b − d
- B. a + c < b + d
- C. ac < bd
- D. a − d > b − c
Réponse
B. a + c < b + d — Deux inégalités de même sens s’additionnent membre à membre. Les soustraire ou les multiplier n’est pas une règle du cours.
Pour tout réel x, l’expression (x − 6)² est :
- A. strictement positive
- B. toujours négative
- C. nulle seulement si x = 0
- D. positive ou nulle
Réponse
D. positive ou nulle — Un carré est toujours positif ou nul. Il s’annule en x = 6, donc il n’est pas strictement positif pour tout x.
L’inéquation 2x + 1 > 2x + 3 a pour ensemble de solutions :
- A. ℝ tout entier
- B. l’intervalle ]1 ; 3[
- C. l’ensemble vide
- D. l’intervalle ]−1 ; +∞[
Réponse
C. l’ensemble vide — En retranchant 2x aux deux membres, il reste 1 > 3, qui est faux : aucun réel ne convient.
La fonction f définie par f(x) = −4x + 1 est décroissante. Donc, si a < b :
- A. f(a) > f(b)
- B. f(a) < f(b)
- C. f(a) = f(b)
- D. on ne peut pas comparer
Réponse
A. f(a) > f(b) — Une fonction décroissante renverse l’ordre : c’est la règle « multiplier par −4 change le sens ».
Niveau moyen ★★ — 12 questions
L’inéquation 7x + 4 ≥ 2x − 11 équivaut à :
- A. x ≤ −3
- B. x ≥ 3
- C. x ≥ −3
- D. x ≤ 3
Réponse
C. x ≥ −3 — On obtient 5x ≥ −15, puis on divise par 5 > 0 sans changer le sens : x ≥ −3.
L’inéquation x/2 − 3 < x/6 a pour solutions :
- A. x < 9
- B. x > 9
- C. x < −9
- D. x > −9
Réponse
A. x < 9 — En multipliant par 6 > 0 : 3x − 18 < x, donc 2x < 18 et x < 9.
Si 1 ≤ x ≤ 4, alors 3 − 2x appartient à :
- A. [1 ; 5]
- B. [−5 ; −1]
- C. [1 ; 11]
- D. [−5 ; 1]
Réponse
D. [−5 ; 1] — De 1 ≤ x ≤ 4 on tire 2 ≤ 2x ≤ 8, puis −8 ≤ −2x ≤ −2 (sens changé et remis dans l’ordre), et enfin −5 ≤ 3 − 2x ≤ 1.
L’inéquation −2x + 9 < 3x − 6 a pour solutions :
- A. x < 3
- B. x > 3
- C. x < −3
- D. x > −3
Réponse
B. x > 3 — On regroupe : 9 + 6 < 3x + 2x, soit 15 < 5x, donc x > 3 après division par 5 > 0.
Combien d’entiers relatifs vérifient −4 < 2x + 3 ≤ 11 ?
- A. 8
- B. 7
- C. 9
- D. 6
Réponse
A. 8 — On retranche 3 : −7 < 2x ≤ 8, puis −3,5 < x ≤ 4. Les entiers sont −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 et 4 : huit valeurs.
Un prix passe de 50 € à 65 €. Quelle phrase est juste ?
- A. Il augmente de 15 €, soit de 15 %
- B. Il est multiplié par 1,15
- C. Il augmente de 15 €, soit de 30 %
- D. Il augmente de 30 €, soit de 15 %
Réponse
C. Il augmente de 15 €, soit de 30 % — Différence : 65 − 50 = 15 €. Rapport : 65/50 = 1,3, soit une hausse de 30 %.
Pour comparer A = 5¹² et B = 3 × 5¹¹, le plus rapide est de :
- A. calculer A − B, qui vaut 2
- B. calculer A et B en entier
- C. comparer les exposants 12 et 11
- D. calculer A/B, qui vaut 5/3
Réponse
D. calculer A/B, qui vaut 5/3 — A et B sont strictement positifs et A/B = 5/3 après simplification par 5¹¹. Comme 5/3 > 1, A > B.
Si 3 ≤ a ≤ 5 et 1 ≤ b ≤ 2, alors a − b appartient à :
- A. [2 ; 3]
- B. [1 ; 4]
- C. [1 ; 3]
- D. [2 ; 4]
Réponse
B. [1 ; 4] — On encadre −b : −2 ≤ −b ≤ −1, puis on additionne avec l’encadrement de a : 3 − 2 ≤ a − b ≤ 5 − 1.
Pour tout réel x, l’expression x² − 14x + 49 est :
- A. positive ou nulle, car égale à (x − 7)²
- B. strictement positive pour tout réel x
- C. négative pour tout x < 7
- D. nulle pour tout réel x
Réponse
A. positive ou nulle, car égale à (x − 7)² — x² − 14x + 49 = (x − 7)² : c’est un carré, positif ou nul, nul seulement en 7.
Une boîte de 500 g coûte 3 € et une boîte de 750 g coûte 4,20 €. Au kilo, la grande boîte :
- A. coûte 0,40 € de plus
- B. coûte 1,20 € de plus
- C. coûte exactement le même prix
- D. coûte 0,40 € de moins
Réponse
D. coûte 0,40 € de moins — Prix au kilo : 6 € pour la petite et 5,60 € pour la grande (4,20 ÷ 0,75 = 5,60). Écart : 0,40 € en faveur de la grande.
L’inéquation 3(x − 1) ≥ 3x − 5 a pour ensemble de solutions :
- A. l’ensemble vide
- B. [1 ; +∞[
- C. ℝ
- D. ]−∞ ; 5/3]
Réponse
C. ℝ — 3x − 3 ≥ 3x − 5 donne −3 ≥ −5, vrai pour tout x : tous les réels conviennent.
Une voiture part avec 50 L d’essence et consomme 6 L aux 100 km. On note d la distance parcourue (en km). Garder au moins 8 L équivaut à :
- A. d ≥ 700
- B. d ≤ 700
- C. d ≤ 800
- D. d ≤ 133
Réponse
B. d ≤ 700 — Il reste 50 − 0,06d litres : 50 − 0,06d ≥ 8 donne 0,06d ≤ 42, soit d ≤ 700.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
On a −10 < −5 et pourtant (−10)/(−5) = 2 > 1. Cela montre que :
- A. la règle du quotient est fausse pour tous les nombres réels
- B. −10 est plus grand que −5
- C. un quotient de deux négatifs est négatif
- D. la règle du quotient exige des nombres strictement positifs
Réponse
D. la règle du quotient exige des nombres strictement positifs — Comparer un quotient à 1 ne marche que pour deux nombres strictement positifs ; ici ils sont négatifs.
De 3/x > 1, on ne peut pas déduire 3 > x parce que :
- A. la fraction n’est pas simplifiée
- B. le signe de x n’est pas connu
- C. l’inégalité de départ est stricte
- D. 3 n’est pas un multiple de x
Réponse
B. le signe de x n’est pas connu — Multiplier par x revient à multiplier par un nombre de signe inconnu : si x est négatif, le sens change.
Si 2 < a < 6 et 2 < b < 6, alors a − b appartient à :
- A. ]−4 ; 4[
- B. ]0 ; 4[
- C. ]4 ; 12[
- D. ]−4 ; 0[
Réponse
A. ]−4 ; 4[ — On encadre −b : −6 < −b < −2. En additionnant avec 2 < a < 6, on obtient −4 < a − b < 4.
Pour résoudre mx > 4, où m est un réel :
- A. on a x > 4/m dans tous les cas
- B. on a x < 4/m dans tous les cas
- C. la réponse dépend du signe de m
- D. x = 4/m est l’unique solution
Réponse
C. la réponse dépend du signe de m — Si m > 0 : x > 4/m ; si m < 0 : x < 4/m ; si m = 0 : 0 > 4, aucune solution.
f(x) = 2 − x/3 pour 0 ≤ x ≤ 9. L’ensemble des valeurs prises par f(x) est :
- A. [2 ; 5]
- B. [−1 ; 2]
- C. [−1 ; 5]
- D. [−3 ; 2]
Réponse
B. [−1 ; 2] — f est affine de coefficient −1/3 < 0, donc décroissante : f(x) va de f(9) = −1 à f(0) = 2.
a et b sont strictement positifs et a est 60 % plus grand que b. Alors b est plus petit que a de :
- A. 60 %
- B. 40 %
- C. 62,5 %
- D. 37,5 %
Réponse
D. 37,5 % — a = 1,6b, donc b/a = 1/1,6 = 0,625 : b vaut 62,5 % de a, soit 37,5 % de moins.
Pour quelle valeur de a l’inéquation ax + 3 > 0 a-t-elle ℝ pour ensemble de solutions ?
- A. a = 0
- B. a = −3
- C. a = 3
- D. pour aucune valeur de a
Réponse
A. a = 0 — Si a = 0, il reste 3 > 0, vrai pour tout x. Si a ≠ 0, les solutions forment un intervalle borné d’un côté, pas ℝ.
Le plus grand entier n tel que 7n − 30 < 2n + 12 est :
- A. 9
- B. 7
- C. 8
- D. 42
Réponse
C. 8 — On obtient 5n < 42, soit n < 8,4 : le plus grand entier qui convient est 8.
Un élève écrit : « −2x < 10, donc x < −5 ». Qu’aurait-il dû écrire ?
- A. x < 5
- B. x > 5
- C. rien : x < −5 est correct
- D. x > −5
Réponse
D. x > −5 — On divise par −2, négatif : le sens change. De −2x < 10 on tire x > −5.
Pour tout x > 0, que peut-on dire de x/(x + 1) ?
- A. x/(x + 1) > 1 pour tout x > 0
- B. x/(x + 1) < 1 pour tout x > 0
- C. x/(x + 1) = 1 pour x assez grand
- D. cela dépend de la valeur de x
Réponse
B. x/(x + 1) < 1 pour tout x > 0 — x/(x + 1) − 1 = −1/(x + 1), négatif pour x > 0 : le quotient est toujours strictement inférieur à 1.
4 × 10⁻³ est combien de fois plus grand que 5 × 10⁻⁴ ?
- A. 0,8
- B. 80
- C. 8
- D. 1,25
Réponse
C. 8 — Quotient : 4/5 = 0,8, et 10⁻³/10⁻⁴ = 10, donc le rapport vaut 0,8 × 10 = 8.
On sait que 2 ≤ x ≤ 5. Laquelle de ces écritures est incorrecte ?
- A. −4 ≤ −2x ≤ −10
- B. −10 ≤ −2x ≤ −4
- C. 4 ≤ 2x ≤ 10
- D. −3 ≤ 2 − x ≤ 0
Réponse
A. −4 ≤ −2x ≤ −10 — −2x est compris entre −10 et −4 : écrire « −4 ≤ −2x ≤ −10 », c’est oublier de remettre l’encadrement dans l’ordre (−4 est plus grand que −10).
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