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Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

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Calcul littéral

Développer et réduire, identités remarquables dans les deux sens, factoriser et choisir la forme adaptée, expressions fractionnaires (valeurs interdites, simplification, même dénominateur), isoler une variable dans une formule.

À propos de cette page
Un QCM de calcul littéral de 2nde en trois niveaux de douze questions : développer et réduire, identités remarquables dans les deux sens, factorisation, valeurs interdites et simplification, isoler une variable, erreurs classiques à repérer. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Développer 4(x + 7) donne :

    • A. 4x + 28
    • B. 4x + 7
    • C. x + 28
    • D. 4x + 11
    Réponse

    A. 4x + 28 — On multiplie chaque terme de la parenthèse par 4 : 4 × x = 4x et 4 × 7 = 28.

  2. La forme réduite de 3x + 5x² − x est :

    • A. 7x²
    • B. 5x² + 2x
    • C. 5x² + 4x
    • D. 8x² − x
    Réponse

    B. 5x² + 2x — Les termes en x² et en x ne se regroupent pas : il reste 5x² et 3x − x = 2x.

  3. (x + 2)² est égal à :

    • A. x² + 4
    • B. x² + 2x + 4
    • C. x² + 4x + 4
    • D. x² + 4x + 2
    Réponse

    C. x² + 4x + 4 — Identité (a + b)² = a² + 2ab + b² : le double produit vaut 2 × x × 2 = 4x, à ne jamais oublier.

  4. (x − 6)(x + 6) est égal à :

    • A. x² + 36
    • B. x² − 12x + 36
    • C. x² − 6
    • D. x² − 36
    Réponse

    D. x² − 36 — Identité (a + b)(a − b) = a² − b² : les termes −6x et +6x disparaissent, il reste x² − 36.

  5. Factoriser 9x − 12 donne :

    • A. 3(3x − 12)
    • B. 3(3x − 4)
    • C. 9(x − 12)
    • D. 3(6x − 4)
    Réponse

    B. 3(3x − 4) — Le facteur commun à 9 et 12 est 3 : 9x = 3 × 3x et 12 = 3 × 4, d’où 3(3x − 4).

  6. Dans (x + 1)(x − 5) + 2x(x + 1), le facteur commun est :

    • A. (x − 5)
    • B. 2x
    • C. (x + 1)
    • D. (x + 6)
    Réponse

    C. (x + 1) — La parenthèse (x + 1) apparaît dans les deux produits : l’expression vaut (x + 1)(3x − 5).

  7. La valeur interdite de 5/(x − 8) est :

    • A. x = 8
    • B. x = −8
    • C. x = 0
    • D. x = 5
    Réponse

    A. x = 8 — Le dénominateur s’annule lorsque x − 8 = 0, c’est-à-dire pour x = 8 : le quotient n’existe pas alors.

  8. Factoriser une somme, c’est l’écrire sous la forme :

    • A. d’une différence
    • B. d’une somme réduite
    • C. d’un quotient
    • D. d’un produit
    Réponse

    D. d’un produit — Factoriser transforme une somme en produit ; développer fait l’opération inverse.

  9. L’expression −(4 − x) est égale à :

    • A. −4 − x
    • B. 4 + x
    • C. x − 4
    • D. −4x
    Réponse

    C. x − 4 — Le signe « moins » change le signe des deux termes : −(4 − x) = −4 + x, c’est-à-dire x − 4.

  10. Dans la formule U = RI, on isole I :

    • A. I = U − R
    • B. I = U/R
    • C. I = R/U
    • D. I = U × R
    Réponse

    B. I = U/R — On divise les deux membres par R, non nul : I = U/R.

  11. Développer −2(x − 3) donne :

    • A. −2x − 6
    • B. −2x − 3
    • C. 2x + 6
    • D. −2x + 6
    Réponse

    D. −2x + 6 — On multiplie chaque terme par −2 : −2 × x = −2x et −2 × (−3) = +6.

  12. Factoriser x² + 7x donne :

    • A. x(x + 7)
    • B. 7x(x + 1)
    • C. x²(1 + 7x)
    • D. (x + 7)²
    Réponse

    A. x(x + 7) — x est commun aux deux termes : x² = x × x et 7x = x × 7, d’où x(x + 7).

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. La forme développée de (2x − 3)(x + 5) est :

    • A. 2x² + 7x − 15
    • B. 2x² + 13x − 15
    • C. 2x² + 7x + 15
    • D. 2x² − 7x − 15
    Réponse

    A. 2x² + 7x − 15 — 2x² + 10x − 3x − 15, et 10x − 3x = 7x ; le produit des nombres vaut −15.

  2. La forme développée de (3x − 1)² est :

    • A. 9x² + 1
    • B. 9x² − 6x + 1
    • C. 3x² − 6x + 1
    • D. 9x² − 3x + 1
    Réponse

    B. 9x² − 6x + 1 — a = 3x et b = 1 : a² = 9x², 2ab = 6x avec un signe moins, et b² = 1.

  3. Factoriser x² − 16x + 64 donne :

    • A. (x − 16)²
    • B. (x + 8)²
    • C. (x − 8)(x + 8)
    • D. (x − 8)²
    Réponse

    D. (x − 8)² — 64 = 8² et le double produit 2 × x × 8 = 16x correspond au terme du milieu, avec le signe moins : (x − 8)².

  4. Factoriser 25x² − 9 donne :

    • A. (5x − 9)(5x + 9)
    • B. (25x − 3)(x + 3)
    • C. (5x − 3)(5x + 3)
    • D. (5x − 3)²
    Réponse

    C. (5x − 3)(5x + 3) — Différence de deux carrés : 25x² = (5x)² et 9 = 3², donc a = 5x, b = 3 et 25x² − 9 = (5x − 3)(5x + 3).

  5. Pour x ≠ −7, (x² − 49)/(x + 7) est égal à :

    • A. x + 7
    • B. x − 7
    • C. x² − 7
    • D. 7 − x
    Réponse

    B. x − 7 — Le numérateur se factorise en (x − 7)(x + 7) ; on simplifie par (x + 7), non nul par hypothèse : il reste x − 7.

  6. La forme réduite de (x + 4)² − (x − 4)² est :

    • A. 32
    • B. 8x
    • C. 2x² + 32
    • D. 16x
    Réponse

    D. 16x — (x² + 8x + 16) − (x² − 8x + 16) = 16x : les carrés et les nombres se compensent.

  7. Pour x ≠ −1, (2x + 2)/(x + 1) est égal à :

    • A. 2
    • B. x + 2
    • C. 2x
    • D. 3
    Réponse

    A. 2 — 2x + 2 = 2(x + 1) : on simplifie par le facteur x + 1, non nul, et il reste 2.

  8. La forme réduite de −3(2x − 5) + 4(x − 1) est :

    • A. −2x + 19
    • B. 2x + 11
    • C. −2x + 11
    • D. −6x + 11
    Réponse

    C. −2x + 11 — −6x + 15 + 4x − 4 : les termes en x donnent −2x et les nombres 15 − 4 = 11.

  9. Si S = πr² avec r > 0, alors :

    • A. r = S/(2π)
    • B. r = √(S/π)
    • C. r = √S − π
    • D. r = (S/π)²
    Réponse

    B. r = √(S/π) — On divise par π : r² = S/π. Comme r est positif, r = √(S/π).

  10. Pour x ≠ 0 et x ≠ −1, 1/x + 1/(x + 1) est égal à :

    • A. 2/(2x + 1)
    • B. 2/(x(x + 1))
    • C. (x + 2)/(x(x + 1))
    • D. (2x + 1)/(x(x + 1))
    Réponse

    D. (2x + 1)/(x(x + 1)) — Dénominateur commun x(x + 1) : le numérateur vaut (x + 1) + x = 2x + 1.

  11. Dans la formule d = vt (v ≠ 0), on isole t :

    • A. t = d − v
    • B. t = v/d
    • C. t = d/v
    • D. t = d × v
    Réponse

    C. t = d/v — On divise les deux membres par v : t = d/v.

  12. Avec une identité remarquable, 101² est égal à :

    • A. 10 201
    • B. 10 101
    • C. 10 001
    • D. 1 021
    Réponse

    A. 10 201 — 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Pour démontrer que deux expressions sont égales pour tout réel x, il faut :

    • A. les comparer en x = 0 puis en x = 1
    • B. transformer l’une en l’autre par le calcul
    • C. tracer leurs courbes à la calculatrice
    • D. trouver trois valeurs où elles sont égales
    Réponse

    B. transformer l’une en l’autre par le calcul — Des vérifications numériques, même nombreuses, ne prouvent rien : seul un calcul littéral vaut démonstration.

  2. L’expression (x² − 3x)/x :

    • A. vaut x − 3 pour tout réel x
    • B. vaut x − 3 pour tout x ≠ 0
    • C. vaut x² − 3 pour x ≠ 0
    • D. ne se simplifie pas
    Réponse

    B. vaut x − 3 pour tout x ≠ 0 — On factorise x(x − 3) au numérateur, mais 0 reste une valeur interdite : simplifier ne l’autorise pas.

  3. L’expression x² + 9 :

    • A. se factorise en (x + 3)²
    • B. se factorise en (x − 3)(x + 3)
    • C. se factorise en (x + 9)x
    • D. ne se factorise pas
    Réponse

    D. ne se factorise pas — Seule une différence de deux carrés se factorise ainsi. x² + 9 est une somme, toujours strictement positive.

  4. L’expression x² − 6 se factorise en :

    • A. (x − √6)(x + √6)
    • B. (x − 6)(x + 6)
    • C. (x − 3)(x + 2)
    • D. aucune factorisation
    Réponse

    A. (x − √6)(x + √6) — 6 = (√6)² : c’est une différence de deux carrés, même si √6 n’est pas un entier.

  5. Un élève écrit (a + b)² = a² + b². Cette égalité :

    • A. est vraie pour tous réels a et b
    • B. est vraie si a et b sont positifs
    • C. est vraie si a et b sont entiers
    • D. n’est vraie que si a = 0 ou b = 0
    Réponse

    D. n’est vraie que si a = 0 ou b = 0 — Il manque le double produit 2ab, qui n’est nul que si l’un des deux nombres est nul.

  6. Le quotient (3x + 6)/(x² − 4) :

    • A. est défini pour tout réel x
    • B. a pour seule valeur interdite x = 2
    • C. vaut 3/(x − 2) pour x ≠ 2 et x ≠ −2
    • D. vaut 3/(x − 2) pour tout réel x
    Réponse

    C. vaut 3/(x − 2) pour x ≠ 2 et x ≠ −2 — 3(x + 2)/((x − 2)(x + 2)) se simplifie en 3/(x − 2), mais les deux valeurs interdites de départ, 2 et −2, subsistent.

  7. Dans V = πr²h (r > 0), on isole h :

    • A. h = V − πr²
    • B. h = V/(πr²)
    • C. h = πr²/V
    • D. h = V/(2πr)
    Réponse

    B. h = V/(πr²) — On divise les deux membres par πr², qui n’est pas nul : h = V/(πr²).

  8. Si y = 3x − 6, alors x est égal à :

    • A. (y − 6)/3
    • B. y/3 + 6
    • C. 3y + 6
    • D. (y + 6)/3
    Réponse

    D. (y + 6)/3 — On ajoute 6 : y + 6 = 3x, puis on divise par 3 : x = (y + 6)/3.

  9. (2x − 1)² − (x + 3)² se factorise en :

    • A. (x − 4)(3x + 2)
    • B. (x + 2)(3x − 4)
    • C. (x − 4)²
    • D. (3x + 2)(x + 4)
    Réponse

    A. (x − 4)(3x + 2) — a² − b² avec a = 2x − 1 et b = x + 3 : (2x − 1 − x − 3)(2x − 1 + x + 3) = (x − 4)(3x + 2).

  10. Un élève simplifie (x + 4)/2 en x + 2. Pour x = 2, le quotient vaut en réalité :

    • A. 4
    • B. 3
    • C. 1
    • D. 6
    Réponse

    B. 3 — (2 + 4)/2 = 6/2 = 3, alors que x + 2 donne 4 : 2 n’est pas un facteur de x + 4, on ne simplifie pas.

  11. La plus petite valeur prise par (x − 3)² + 5 est :

    • A. 3
    • B. 5
    • C. −3
    • D. 0
    Réponse

    B. 5 — Un carré est positif ou nul : (x − 3)² + 5 ≥ 5, avec égalité pour x = 3. La plus petite valeur est 5.

  12. Pour x ≠ 0, (2/3) ÷ (4/x) est égal à :

    • A. 8/(3x)
    • B. 6/x
    • C. 2x/7
    • D. x/6
    Réponse

    D. x/6 — Diviser par 4/x, c’est multiplier par x/4 : (2/3) × (x/4) = 2x/12 = x/6.

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