Inégalités et inéquations

1. a)${\displaystyle \frac{4}{7}}-{\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{36}{63}}-{\displaystyle \frac{35}{63}}={\displaystyle \frac{1}{63}}>0$, donc ${\displaystyle \frac{4}{7}}>{\displaystyle \frac{5}{9}}$. (1)
2. b)On multiplie par $-3<0$, le sens change : $-3x<6$. On ajoute $1$ : $-3x+1<7$. (1)
3. c)$5x-2x>9+3$, soit $3x>12$ ; on divise par $3>0$ (sens conservé) : $x>4$. $S=]4;+\infty [$. (1)
4. d)$A$ et $B$ sont strictement positifs et ${\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{4\times 3^8}{3^9}}={\displaystyle \frac{4}{3}}>1$, donc $A>B$. (1)

Repère — Différence pour des fractions, quotient pour des puissances : on choisit l’outil qui se simplifie.

1. a)$8x-3x⩽8+17$, soit $5x⩽25$. On divise par $5>0$, le sens est conservé : $x⩽5$. $S=]-\infty ;5]$. (1)
2. b)$-6x+2x>-19-5$, soit $-4x>-24$. On divise par $-4<0$, le sens change : $x<6$. $S=]-\infty ;6[$. (1)
3. c)On multiplie par $6>0$ (sens conservé) : $2(2x-1)⩾3(x+4)$, soit $4x-2⩾3x+12$, donc $x⩾14$. $S=[14;+\infty [$. (1)
4. d)Il faut $x⩽5$ et $x<6$, c’est-à-dire $x⩽5$. Entiers naturels : $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$, soit six valeurs. (1)

Repère — Diviser par un négatif change le sens : on l’écrit à chaque fois.

1. a)On additionne membre à membre : $1,5+(-3)⩽x+y⩽4+(-1)$, soit $-1,5⩽x+y⩽3$. (1)
2. b)On ne soustrait pas deux encadrements. On encadre $-y$ (multiplication par $-1$, sens changé) : $1⩽-y⩽3$. On additionne : $2,5⩽x-y⩽7$. (1)
3. c)On multiplie par $-2<0$, le sens change : $-8⩽-2x⩽-3$ (remis dans l’ordre). On ajoute $5$ : $-3⩽-2x+5⩽2$. (1)
4. d)$(-2a+5)-(-2b+5)=-2a+2b=2(b-a)$. Comme $a<b$, $b-a>0$, donc $2(b-a)>0$ : $-2a+5>-2b+5$. C’est dire que la fonction affine $x\mapsto -2x+5$, de coefficient $-2<0$, est décroissante. (1)

Repère — Pour $a-b$, on encadre $-b$ puis on additionne ; un coefficient négatif renverse l’encadrement.

1. a)$f(3)=9+3=12$ et $g(3)=21-9=12$ : les deux fonctions prennent la même valeur en $3$. (1)
2. b)$f(x)-g(x)=x^2+x-7x+9=x^2-6x+9$, et $(x-3{)}^2=x^2-6x+9$ : les deux expressions sont égales pour tout réel $x$. (1)
3. c)$f(x)-g(x)=(x-3{)}^2⩾0$ pour tout réel $x$, car un carré est positif ou nul. Donc $f(x)⩾g(x)$ est toujours vraie : $S=ℝ$. (1)
4. d)Il faut $(x-3{)}^2>0$. Le carré est nul seulement en $x=3$ : $S=]-\infty ;3[\cup ]3;+\infty [$, tous les réels sauf $3$. (1)

Repère — Comparer, c’est étudier le signe de la différence ; un carré est positif ou nul.

1. a)$E(x)=35+0,80x$ et $P(x)=1,15x$, en euros. (1)
2. b)On veut $E(x)<P(x)$ : $35+0,80x<1,15x$, soit $35<0,35x$. On divise par $0,35>0$ (sens conservé) : $x>100$. $S=]100;+\infty [$. (1)
3. c)$x$ est entier et l’inégalité est stricte ($x=100$ donne deux prix égaux, $115$ €) : il faut au moins $101$ affiches. (1)
4. d)$E(200)=35+160=195$ € et $P(200)=230$ € : le tarif Éco fait économiser $35$ €. (1)

Repère — Inconnue entière et inégalité stricte : on vérifie la valeur limite avant de conclure.