Calcul littéral

Développer et réduire, identités remarquables dans les deux sens, factoriser et choisir la forme adaptée, expressions fractionnaires (valeurs interdites, simplification, même dénominateur), isoler une variable dans une formule.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de calcul littéral pour la 2nde, classés en cinq cas et par difficulté : réduire et développer, programme de calcul en Python, identités remarquables et calcul mental, facteur commun et différence de deux carrés, forme « carré + nombre », valeurs interdites et simplification, somme de quotients, formules de physique (d = vt, P = UI, effet Joule). Les questions « Démontrer » ont une rédaction attendue complète.

22 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Développer et réduire une expression

Réflexe — je développe chaque produit à part, je change tous les signes après un « moins », je regroupe les termes de même degré et je contrôle avec x = 1. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Réduire chaque expression et l’écrire par puissances décroissantes.

$A = 7 x - 4 + 2 x - 11$ s’écrit $a x + b$ avec $a =$ et $b =$
On regroupe les termes en $x$ d’une part, les nombres d’autre part : $A = (7 x + 2 x) + (- 4 - 11)$ $= 9 x - 15$ .
$B = 5 t^{2} - 3 t + 8 - 2 t^{2} + 9 t$ s’écrit $a t^{2} + b t + c$ avec $a =$ , $b =$ et $c =$
Les termes en $t^{2}$ et les termes en $t$ ne se mélangent pas : $B = (5 t^{2} - 2 t^{2}) + (- 3 t + 9 t) + 8$ $= 3 t^{2} + 6 t + 8$ .
$C = - 3 (u - 6) + 4 u$ s’écrit $a u + b$ avec $a =$ et $b =$
On distribue d’abord : $C = - 3 u + 18 + 4 u$ ; puis on réduit : $C = u + 18$ , donc $a = 1$ .
$D = 12 - (5 x - 9) - x$ s’écrit $a x + b$ avec $a =$ et $b =$
Le « moins » porte sur les deux termes de la parenthèse : $D = 12 - 5 x + 9 - x$ $= - 6 x + 21$ . Contrôle en $x = 1$ : $12 - (5 - 9) - 1 = 15$ et $- 6 + 21 = 15$ .

Exercice 2★★★Facile

Développer, puis réduire.

$E = 8 (3 x - 5)$ s’écrit $a x + b$ avec $a =$ et $b =$
Simple distributivité : $E = 8 \times 3 x - 8 \times 5$ $= 24 x - 40$ .
$F = - 2 x (4 x + 7)$ s’écrit $a x^{2} + b x$ avec $a =$ et $b =$
On multiplie chaque terme par $- 2 x$ : $F = - 2 x \times 4 x - 2 x \times 7$ $= - 8 x^{2} - 14 x$ .
$G = (x + 6) (x - 2)$ s’écrit $x^{2} + b x + c$ avec $b =$ et $c =$
Double distributivité : $G = x^{2} - 2 x + 6 x - 12$ $= x^{2} + 4 x - 12$ .
$H = (2 x - 1) (5 x + 3)$ s’écrit $a x^{2} + b x + c$ avec $a =$ , $b =$ et $c =$
$H = 2 x \times 5 x + 2 x \times 3 - 1 \times 5 x - 1 \times 3$ $= 10 x^{2} + 6 x - 5 x - 3$ $= 10 x^{2} + x - 3$ . Contrôle en $x = 1$ : $(2 - 1) (5 + 3) = 8$ et $10 + 1 - 3 = 8$ .

Exercice 3★★★Moyen

Égalités d’expressions : démontrer ou réfuter.

Démontrer que, pour tout réel $x$ , $(2 x + 1) (x + 4) - x (2 x + 9)$ est un nombre constant. Ce nombre vaut
Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $(2 x + 1) (x + 4) = 2 x^{2} + 8 x + x + 4$ $= 2 x^{2} + 9 x + 4$ et $x (2 x + 9) = 2 x^{2} + 9 x$ . Donc $(2 x + 1) (x + 4) - x (2 x + 9)$ $= 2 x^{2} + 9 x + 4 - 2 x^{2} - 9 x$ $= 4$ . L’expression vaut $4$ quel que soit $x$ .
Un élève affirme que $(x - 2) (x + 5) = x^{2} - 10$ pour tout réel $x$ . Le plus petit entier naturel qui est un contre-exemple est
Rédaction attendue. $(x - 2) (x + 5) = x^{2} + 5 x - 2 x - 10$ $= x^{2} + 3 x - 10$ . Les deux expressions ne sont égales que si $3 x = 0$ , soit $x = 0$ . En $x = 1$ : $(1 - 2) (1 + 5) = - 6$ alors que $1 - 10 = - 9$ . L’égalité est fausse ; l’élève a oublié les produits $5 x$ et $- 2 x$ .
L’égalité $2 x^{2} = x + 1$ est vraie pour $x = 1$ et pour une autre valeur, négative : $x =$
En $x = - 0, 5$ : $2 \times 0, 25 = 0, 5$ et $- 0, 5 + 1 = 0, 5$ . Mais en $x = 0$ : $0 \neq 1$ . Vraie pour deux valeurs seulement, ce n’est pas une égalité d’expressions : la vérifier sur quelques valeurs ne démontre rien.

Exercice 4★★★Difficile

Programme de calcul. On considère la fonction Python suivante (en Python, **2 désigne le carré).

def g(x):
    p = (x + 3)*(x - 1)
    return p - x**2

La valeur renvoyée par g(4) est
$(4 + 3) (4 - 1) - 4^{2}$ $= 7 \times 3 - 16$ $= 21 - 16 = 5$ .
Démontrer que, pour tout réel $x$ , $g (x) = a x + b$ avec $a =$ et $b =$
Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $(x + 3) (x - 1) = x^{2} - x + 3 x - 3$ $= x^{2} + 2 x - 3$ . Donc $g (x) = x^{2} + 2 x - 3 - x^{2}$ $= 2 x - 3$ . Contrôle : $2 \times 4 - 3 = 5$ , comme à la question précédente.
La fonction renvoie $0$ pour $x =$
$2 x - 3 = 0 ⟺ 2 x = 3 ⟺ x$ $= 1, 5$ . La forme réduite rend l’équation immédiate.
Justifier que, pour tout entier $x$ , g(x) est impair. Contrôle : g(10) renvoie
Rédaction attendue. Pour tout entier $x$ , $g (x) = 2 x - 3 = 2 (x - 2) + 1$ , et $x - 2$ est un entier : $g (x)$ s’écrit « un nombre pair plus $1$ », il est impair. Pour $x = 10$ : $2 \times 10 - 3 = 17$ .

Cas 2Identités remarquables : l’outil à maîtriser dans les deux sens

Réflexe — je repère a et b, j’écris a², 2ab et b² (ou a² − b²) avec des parenthèses autour de a et de b. Revoir la méthode →

Exercice 5★★★Facile

Développer avec une identité remarquable.

$K = (x + 9)^{2} = x^{2} + b x + c$ avec $b =$ et $c =$
Identité $(a + b)^{2}$ avec $a = x$ et $b = 9$ : le double produit vaut $2 \times x \times 9 = 18 x$ , donc $K = x^{2} + 18 x + 81$ .
$L = (3 x - 4)^{2} = a x^{2} + b x + c$ avec $a =$ , $b =$ et $c =$
Identité $(a - b)^{2}$ avec $a = 3 x$ et $b = 4$ : $a^{2} = 9 x^{2}$ , $2 a b = 2 \times 3 x \times 4 = 24 x$ , $b^{2} = 16$ . Donc $L = 9 x^{2} - 24 x + 16$ .
$M = (5 x + 2) (5 x - 2) = a x^{2} + c$ avec $a =$ et $c =$
Identité $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ avec $a = 5 x$ et $b = 2$ : $M = (5 x)^{2} - 2^{2} = 25 x^{2} - 4$ .
$N = (x - \sqrt{7}) (x + \sqrt{7})$ $= x^{2} + c$ avec $c =$
Même identité avec $a = x$ et $b = \sqrt{7}$ . Comme $(\sqrt{7})^{2} = 7$ : $N = x^{2} - 7$ .

Exercice 6★★★Facile

Calcul mental : utiliser une identité remarquable, sans calculatrice.

$61^{2} =$
$61^{2} = (60 + 1)^{2}$ $= 3 600 + 120 + 1$ $= 3 721$ .
$98^{2} =$
$98^{2} = (100 - 2)^{2}$ $= 10 000 - 400 + 4$ $= 9 604$ .
$39 \times 41 =$
$39 \times 41 = (40 - 1) (40 + 1)$ $= 1 600 - 1$ $= 1 599$ .
$7, 5^{2} =$
$7, 5^{2} = (7 + 0, 5)^{2}$ $= 49 + 2 \times 7 \times 0, 5 + 0, 25$ $= 49 + 7 + 0, 25 = 56, 25$ .

Exercice 7★★★Moyen

On pose $P (x) = (4 x - 3)^{2} - (2 x + 5) (3 x - 1)$ .

$(4 x - 3)^{2} = 16 x^{2} + b x + c$ avec $b =$ et $c =$
Identité $(a - b)^{2}$ avec $a = 4 x$ et $b = 3$ : $2 a b = 24 x$ et $b^{2} = 9$ , donc $(4 x - 3)^{2} = 16 x^{2} - 24 x + 9$ .
$(2 x + 5) (3 x - 1) = 6 x^{2} + b x + c$ avec $b =$ et $c =$
$(2 x + 5) (3 x - 1)$ $= 6 x^{2} - 2 x + 15 x - 5$ $= 6 x^{2} + 13 x - 5$ .
Démontrer que $P (x) = a x^{2} + b x + c$ avec $a =$ , $b =$ et $c =$
Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ , le « moins » porte sur tout le second produit : $P (x) = 16 x^{2} - 24 x + 9 - (6 x^{2} + 13 x - 5)$ $= 16 x^{2} - 24 x + 9 - 6 x^{2} - 13 x + 5$ $= 10 x^{2} - 37 x + 14$ . On pouvait prévoir $a$ et $c$ : $16 - 6 = 10$ et $9 - (- 5) = 14$ .
$P (- 1) =$ (calculer avec la forme réduite, contrôler avec la forme de départ)
Forme réduite : $(- 1)^{2} = 1$ , donc $P (- 1) = 10 + 37 + 14 = 61$ . Forme de départ : $(4 \times (- 1) - 3)^{2} = 49$ et $(2 \times (- 1) + 5) (3 \times (- 1) - 1)$ $= - 12$ , d’où $49 - (- 12) = 61$ . Les deux calculs concordent.

Exercice 8★★★Difficile

Une fonction Python à simplifier.

def f(x):
    a = (2*x - 5)**2
    b = (x - 1)*(4*x + 3)
    return a - b

Pour un réel

x

, on note

f (x)

la valeur renvoyée.

$f (- 1) =$ (à la main, en détaillant)
$(2 \times (- 1) - 5)^{2} = (- 7)^{2} = 49$ et $(- 1 - 1) (- 4 + 3) = (- 2) \times (- 1)$ $= 2$ . Donc $f (- 1) = 49 - 2 = 47$ .
Démontrer que, pour tout réel $x$ , $f (x) = a x + b$ avec $a =$ et $b =$
Rédaction attendue. $(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + 25$ (identité $(a - b)^{2}$ avec $a = 2 x$ , $b = 5$ ) et $(x - 1) (4 x + 3)$ $= 4 x^{2} + 3 x - 4 x - 3$ $= 4 x^{2} - x - 3$ . Donc $f (x) = 4 x^{2} - 20 x + 25 - 4 x^{2} + x + 3$ $= - 19 x + 28$ . Contrôle en $x = - 1$ : $19 + 28 = 47$ .
La fonction renvoie $0$ pour $x = \frac{28}{19}$ , soit environ (au centième)
$- 19 x + 28 = 0 ⟺ x$ $= \frac{28}{19}$ ; $\frac{28}{19} \approx 1, 4737$ , soit $1, 47$ au centième.
Un élève affirme : « cette fonction renvoie toujours un nombre positif, puisque son calcul commence par un carré ». Le plus petit entier naturel qui le contredit est
Rédaction attendue. Un carré positif est ici diminué d’une autre quantité : rien ne garantit le signe du résultat. Avec la forme réduite, $f (0) = 28$ , $f (1) = 9$ et $f (2) = - 38 + 28 = - 10 < 0$ . Contrôle sur le code : $(4 - 5)^{2} - 1 \times 11 = 1 - 11$ $= - 10$ . Le raisonnement de l’élève est faux.

Cas 3Factoriser une expression et choisir la bonne forme

Réflexe — je cherche un facteur commun (nombre, x, parenthèse), au besoin en le faisant apparaître ; sinon une identité remarquable ; je contrôle en redéveloppant. Revoir la méthode →

Exercice 9★★★Facile

Factoriser par un facteur commun (le plus grand possible).

$15 x^{2} - 25 x = k x (a x + b)$ avec $k$ entier positif le plus grand possible : $k =$ , $a =$ , $b =$
Le facteur commun est $5 x$ : $15 x^{2} - 25 x$ $= 5 x \times 3 x - 5 x \times 5$ $= 5 x (3 x - 5)$ .
$14 x + 21 = k (a x + b)$ avec $k$ , $a$ , $b$ entiers et $k$ positif le plus grand possible : $k =$ , $a =$ , $b =$
$14 = 7 \times 2$ et $21 = 7 \times 3$ : $14 x + 21 = 7 (2 x + 3)$ .
$6 x^{2} + x = x (a x + b)$ avec $a =$ et $b =$
$x = x \times 1$ : $6 x^{2} + x = x \times 6 x + x \times 1$ $= x (6 x + 1)$ . Le $1$ ne disparaît pas.
$R = (x - 8) (2 x + 1) + (x - 8) (x - 4)$ $= k (x - 8) (x + c)$ : $k =$ et $c =$
Facteur commun $(x - 8)$ : $R = (x - 8) [(2 x + 1) + (x - 4)]$ $= (x - 8) (3 x - 3)$ . Et $3 x - 3 = 3 (x - 1)$ : $R = 3 (x - 8) (x - 1)$ .

Exercice 10★★★Moyen

Une parenthèse en facteur commun, parfois à faire apparaître.

$S = (3 x + 2)^{2} - (3 x + 2) (x - 7)$ $= (3 x + 2) (a x + b)$ : $a =$ et $b =$
$(3 x + 2)^{2} = (3 x + 2) (3 x + 2)$ : $S = (3 x + 2) [(3 x + 2) - (x - 7)]$ $= (3 x + 2) (3 x + 2 - x + 7)$ $= (3 x + 2) (2 x + 9)$ .
$T = (x + 5)^{2} + 4 x + 20$ $= (x + 5) (x + c)$ : $c =$
$4 x + 20 = 4 (x + 5)$ , donc $T = (x + 5) [(x + 5) + 4]$ $= (x + 5) (x + 9)$ . Contrôle : $x^{2} + 14 x + 45$ des deux côtés.
$(2 x - 1) (x + 4) - (2 x - 1)^{2}$ $= (2 x - 1) (a x + b)$ : $a =$ et $b =$
$(2 x - 1) [(x + 4) - (2 x - 1)]$ $= (2 x - 1) (x + 4 - 2 x + 1)$ $= (2 x - 1) (- x + 5)$ .
Justifier que $(x - 3)^{2} + 5 x - 15$ admet $(x - 3)$ comme facteur, puis l’écrire $(x - 3) (x + c)$ : $c =$
Rédaction attendue. $5 x - 15 = 5 (x - 3)$ , donc $(x - 3)^{2} + 5 x - 15$ $= (x - 3) (x - 3) + 5 (x - 3)$ : $(x - 3)$ est un facteur commun. Ainsi l’expression vaut $(x - 3) [(x - 3) + 5]$ $= (x - 3) (x + 2)$ . Contrôle : $(x - 3) (x + 2) = x^{2} - x - 6$ et $x^{2} - 6 x + 9 + 5 x - 15$ $= x^{2} - x - 6$ .

Exercice 11★★★Moyen

Factoriser avec une identité remarquable.

$U = 49 x^{2} - 64 = (a x - b) (a x + b)$ avec $a > 0$ et $b > 0$ : $a =$ et $b =$
Différence de deux carrés : $49 x^{2} = (7 x)^{2}$ et $64 = 8^{2}$ , donc $U = (7 x - 8) (7 x + 8)$ .
$V = x^{2} + 22 x + 121 = (x + c)^{2}$ : $c =$
Trois termes : $121 = 11^{2}$ et le double produit $2 \times x \times 11 = 22 x$ est bien le terme du milieu : $V = (x + 11)^{2}$ .
$9 x^{2} - 12 x + 4 = (a x - b)^{2}$ avec $a > 0$ et $b > 0$ : $a =$ et $b =$
$9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , $4 = 2^{2}$ et $2 \times 3 x \times 2 = 12 x$ , avec le signe « moins » : $(3 x - 2)^{2}$ .
$W = (2 x - 9)^{2} - 25$ $= 4 (x + p) (x + q)$ avec $p < q$ : $p =$ et $q =$
$a^{2} - b^{2}$ avec $a = 2 x - 9$ et $b = 5$ : $W = (2 x - 9 - 5) (2 x - 9 + 5)$ $= (2 x - 14) (2 x - 4)$ $= 2 (x - 7) \times 2 (x - 2)$ $= 4 (x - 7) (x - 2)$ .
$Y = x^{2} - 11 = (x - c) (x + c)$ avec $c > 0$ : $c =$
$11 = (\sqrt{11})^{2}$ : c’est encore une différence de deux carrés, $Y = (x - \sqrt{11}) (x + \sqrt{11})$ .

Exercice 12★★★Difficile

Choisir la bonne forme. Soit $A (x) = x^{2} - 16 x + 55$ .

Démontrer que, pour tout réel $x$ , $A (x) = (x - 8)^{2} - 9$ . Contrôle : $A (0) =$
Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ : $(x - 8)^{2} - 9 = x^{2} - 16 x + 64 - 9$ $= x^{2} - 16 x + 55 = A (x)$ . Contrôle : $A (0) = 55$ et $(0 - 8)^{2} - 9 = 64 - 9 = 55$ .
En déduire $A (x) = (x - p) (x - q)$ avec $p < q$ : $p =$ et $q =$
$9 = 3^{2}$ : $A (x) = (x - 8)^{2} - 3^{2}$ $= (x - 8 - 3) (x - 8 + 3)$ $= (x - 11) (x - 5)$ . Contrôle : $(x - 5) (x - 11) = x^{2} - 16 x + 55$ .
La plus petite valeur prise par $A (x)$ est , atteinte pour $x =$
Rédaction attendue. On choisit la forme $(x - 8)^{2} - 9$ . Pour tout réel $x$ , $(x - 8)^{2} ⩾ 0$ , donc $A (x) ⩾ - 9$ . L’égalité a lieu quand $(x - 8)^{2} = 0$ , c’est-à-dire pour $x = 8$ . La plus petite valeur de $A (x)$ est $- 9$ , atteinte en $x = 8$ .
L’équation $A (x) = 55$ a deux solutions : $0$ et
On choisit la forme développée : $x^{2} - 16 x + 55 = 55 ⟺ x^{2} - 16 x$ $= 0 ⟺ x (x - 16) = 0$ . Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : $x = 0$ ou $x = 16$ .

Exercice 13★★★Difficile

Démontrer avec des entiers. Dans tout l’exercice, $n$ désigne un entier naturel.

$B (n) = (n + 3)^{2} - (n + 1)^{2}$ se réduit en $a n + b$ avec $a =$ et $b =$
$(n + 3)^{2} = n^{2} + 6 n + 9$ et $(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1$ , donc $B (n) = n^{2} + 6 n + 9 - n^{2} - 2 n - 1$ $= 4 n + 8$ .
Démontrer que la différence des carrés de deux entiers naturels non nuls qui diffèrent de $2$ est un multiple de $4$ : $B (n) = 4 (n + c)$ avec $c =$
Rédaction attendue. Deux entiers naturels non nuls qui diffèrent de $2$ s’écrivent $n + 1$ et $n + 3$ , avec $n$ entier naturel ; la différence de leurs carrés est $B (n)$ . Or $B (n) = 4 n + 8 = 4 (n + 2)$ , et $n + 2$ est un entier : $B (n)$ est un multiple de $4$ .
Un élève affirme : « la différence des carrés de deux entiers consécutifs est toujours paire ». On a $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + c$ avec $c =$
Rédaction attendue. $(n + 1)^{2} - n^{2}$ $= n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} = 2 n + 1$ : c’est « un nombre pair plus $1$ », un nombre impair, pour tout $n$ . L’affirmation est fausse ; contre-exemple : $7^{2} - 6^{2} = 49 - 36 = 13$ .
L’entier $n$ tel que $B (n) = 48$ est
$4 n + 8 = 48 ⟺ 4 n = 40 ⟺ n$ $= 10$ . Vérification : $13^{2} - 11^{2} = 169 - 121 = 48$ .

Cas 4Expressions fractionnaires : valeurs interdites, simplification, somme

Réflexe — je cherche les valeurs interdites en premier, je factorise, je ne simplifie qu’un facteur et j’écris « pour x ≠ … » ; pour une somme, un seul dénominateur. Revoir la méthode →

Exercice 14★★★Facile

Déterminer les valeurs interdites.

$\frac{3 x}{x + 6}$ : valeur interdite $x =$
$x + 6 = 0 ⟺ x = - 6$ : le quotient n’existe pas pour $x = - 6$ .
$\frac{x + 1}{2 x - 7}$ : valeur interdite $x =$
$2 x - 7 = 0 ⟺ x = \frac{7}{2}$ $= 3, 5$ . Le numérateur ne joue aucun rôle.
$\frac{4}{x^{2} - 25}$ : valeurs interdites et (la plus petite d’abord)
$x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ s’annule pour $x = - 5$ et pour $x = 5$ .
$\frac{x}{x^{2} + 1}$ : nombre de valeurs interdites
Pour tout réel $x$ , $x^{2} ⩾ 0$ , donc $x^{2} + 1 ⩾ 1 > 0$ : le dénominateur ne s’annule jamais, il n’y a aucune valeur interdite.

Exercice 15★★★Facile

Simplifier, quand c’est possible, pour les valeurs autorisées.

$\frac{6 x + 18}{3} = a x + b$ avec $a =$ et $b =$
$6 x + 18 = 3 (2 x + 6)$ : le $3$ est un facteur du numérateur, on peut simplifier : $\frac{3 (2 x + 6)}{3} = 2 x + 6$ .
Pour $x \neq 0$ , $\frac{x^{2} - 4 x}{x} = x + c$ avec $c =$
$x^{2} - 4 x = x (x - 4)$ , donc pour $x \neq 0$ : $\frac{x (x - 4)}{x} = x - 4$ .
Pour $x \neq 1$ et $x \neq - 1$ , $\frac{7 x - 7}{x^{2} - 1}$ $= \frac{k}{x + c}$ avec $k =$ et $c =$
$7 x - 7 = 7 (x - 1)$ et $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ : on simplifie par $x - 1 \neq 0$ , d’où $\frac{7}{x + 1}$ .
Un élève simplifie $\frac{x + 5}{5}$ en $x$ . Pour $x = 5$ , le quotient vaut en réalité
$\frac{5 + 5}{5} = \frac{10}{5}$ $= 2$ , et non $5$ : $5$ n’est pas un facteur du numérateur $x + 5$ , on ne peut pas le « barrer ».

Exercice 16★★★Moyen

Écrire sous la forme d’un seul quotient (dénominateurs non nuls).

$\frac{2}{x} + \frac{5}{3 x}$ $= \frac{k}{3 x}$ avec $k =$
$\frac{2}{x} = \frac{6}{3 x}$ , donc $\frac{6}{3 x} + \frac{5}{3 x}$ $= \frac{11}{3 x}$ .
$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}$ $= \frac{k}{x^{2} - 1}$ avec $k =$
Dénominateur commun $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ : $\frac{(x + 1) - (x - 1)}{x^{2} - 1}$ $= \frac{2}{x^{2} - 1}$ .
$1 + \frac{4}{x} = \frac{x + c}{x}$ avec $c =$
$1 = \frac{x}{x}$ pour $x \neq 0$ , donc $1 + \frac{4}{x} = \frac{x + 4}{x}$ .

Exercice 17★★★Moyen

On considère $Z (x) = \frac{3 x^{2} - 12}{x^{2} - 4 x + 4}$ .

Valeur interdite de $Z$ : $x =$
$x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}$ (identité $(a - b)^{2}$ ) : ce carré n’est nul que pour $x = 2$ . $Z$ est définie pour tout réel $x \neq 2$ .
Démontrer que, pour $x \neq 2$ , $Z (x) = \frac{3 (x + p)}{x + q}$ avec $p =$ et $q =$
Rédaction attendue. Numérateur : $3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4)$ $= 3 (x - 2) (x + 2)$ . Dénominateur : $(x - 2)^{2} = (x - 2) (x - 2)$ . Pour $x \neq 2$ , $x - 2 \neq 0$ et on peut simplifier : $Z (x) = \frac{3 (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 2)}$ $= \frac{3 (x + 2)}{x - 2}$ .
$Z (0) =$ (avec les deux formes)
Forme de départ : $\frac{- 12}{4} = - 3$ . Forme simplifiée : $\frac{3 \times 2}{- 2} = - 3$ .
Un élève écrit $Z (x) = 3$ « en simplifiant les $x^{2}$ ». Contre-exemple : $Z (1) =$
$Z (1) = \frac{3 - 12}{1 - 4 + 4}$ $= \frac{- 9}{1} = - 9 \neq 3$ . Les $x^{2}$ sont des termes d’une somme, pas des facteurs : on ne les simplifie pas.

Exercice 18★★★Difficile

Pour tout réel $x$ différent de $- 1$ et de $3$ , on pose $C (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 3}$ .

Les valeurs interdites sont et (la plus petite d’abord)
Chaque quotient n’existe que si son dénominateur est non nul : $x + 1 = 0$ donne $x = - 1$ et $x - 3 = 0$ donne $x = 3$ .
Démontrer que $C (x) = \frac{a x + b}{(x + 1) (x - 3)}$ avec $a =$ et $b =$
Rédaction attendue. Pour $x \neq - 1$ et $x \neq 3$ , on réduit au dénominateur commun $(x + 1) (x - 3)$ , non nul : $C (x) = \frac{x - 3}{(x + 1) (x - 3)} + \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 3)}$ $= \frac{x - 3 + 2 x + 2}{(x + 1) (x - 3)}$ $= \frac{3 x - 1}{(x + 1) (x - 3)}$ .
$C (2) =$ (fraction irréductible)
$C (2) = \frac{1}{3} + \frac{2}{- 1}$ $= \frac{1}{3} - 2 = - \frac{5}{3}$ . Avec la forme réduite : $\frac{6 - 1}{3 \times (- 1)}$ $= - \frac{5}{3}$ .
Un élève écrit $C (x) = \frac{3}{2 x - 2}$ . En $x = 0$ , sa formule donne alors que $C (0) =$
Rédaction attendue. L’élève a additionné les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{1 + 2}{(x + 1) + (x - 3)}$ , règle qui n’existe pas. En $x = 0$ : sa formule donne $\frac{3}{- 2} = - 1, 5$ , alors que $C (0) = 1 - \frac{2}{3}$ $= \frac{1}{3}$ . Les résultats diffèrent : son égalité est fausse.

Cas 5Isoler une variable dans une formule

Réflexe — j’entoure la variable demandée, j’enlève d’abord ce qui est ajouté ou soustrait, puis je divise par le facteur (non nul) ; pour un carré, racine carrée d’une grandeur positive. Revoir la méthode →

Exercice 19★★★Facile

Exprimer la variable demandée en fonction des autres (toutes les grandeurs sont non nulles). Écris la formule avec « / » pour la division, par exemple d/v.

$d = v t$ : $t =$
On divise les deux membres par $v \neq 0$ : $t = \frac{d}{v}$ .
$P = U I$ (puissance électrique) : $I =$
On divise par $U \neq 0$ : $I = \frac{P}{U}$ .
$V = a b c$ (volume d’un pavé) : $b =$
On divise par le produit $a c \neq 0$ : $b = \frac{V}{a c}$ .
$y = 4 x - 3$ : $x =$
On ajoute $3$ : $y + 3 = 4 x$ , puis on divise par $4$ : $x = \frac{y + 3}{4}$ .

Exercice 20★★★Facile

Application numérique : isoler la grandeur, puis calculer.

$d = v t$ : un cycliste parcourt $45$ km à $18$ km/h. Durée : $t =$ h
$t = \frac{d}{v} = \frac{45}{18}$ $= 2, 5$ h, soit $2$ h $30$ min.
$V = a b c$ : un pavé de $120$ cm³ a pour dimensions $a = 5$ cm et $c = 4$ cm. Alors $b =$ cm
$b = \frac{V}{a c}$ $= \frac{120}{5 \times 4}$ $= \frac{120}{20} = 6$ cm.
$P = U I$ : une bouilloire de $2 000$ W branchée sous $230$ V. $I \approx$ A (au dixième)
$I = \frac{P}{U}$ $= \frac{2 000}{230} \approx 8, 696$ , soit $8, 7$ A au dixième.

Exercice 21★★★Moyen

Formules avec un carré ou une fraction (calculatrice autorisée).

$S = π r^{2}$ : un disque a une aire de $50$ cm². Son rayon est $r \approx$ cm (au dixième)
$r^{2} = \frac{S}{π}$ et $r > 0$ , donc $r = \sqrt{\frac{50}{π}} \approx 3, 989$ , soit $4, 0$ cm au dixième.
$V = π r^{2} h$ : une casserole cylindrique de rayon $5$ cm contient $1$ L, soit $1 000$ cm³. Hauteur d’eau $h \approx$ cm (au dixième)
$h = \frac{V}{π r^{2}}$ $= \frac{1 000}{25 π} \approx 12, 73$ , soit $12, 7$ cm.
Puissance dissipée par effet Joule : $P = R I^{2}$ , avec $I > 0$ . Démontrer que $I = \sqrt{\frac{P}{R}}$ . Pour $R = 50$ $Ω$ et $P = 200$ W : $I =$ A
Rédaction attendue. On divise les deux membres par $R \neq 0$ : $I^{2} = \frac{P}{R}$ . Comme $I > 0$ : $I = \sqrt{\frac{P}{R}}$ . Application : $\frac{200}{50} = 4$ et $\sqrt{4} = 2$ A.
Aire d’un trapèze : $𝒜 = \frac{(B + b) h}{2}$ . Isoler $h$ , puis calculer $h$ pour $𝒜 = 30$ , $B = 7$ et $b = 5$ : $h =$
On multiplie par $2$ , puis on divise par $B + b \neq 0$ : $h = \frac{2 𝒜}{B + b}$ . Ici $h = \frac{60}{12} = 5$ .

Exercice 22★★★Difficile

Relations du premier degré.

$5 x - 2 y = 10$ : $x = p y + q$ avec $p =$ et $q =$
On ajoute $2 y$ : $5 x = 2 y + 10$ . On divise par $5$ : $x = \frac{2 y + 10}{5} = 0, 4 y + 2$ .
$3 x + 4 y = 12$ : $y = m x + p$ avec $m =$ et $p =$
$4 y = - 3 x + 12$ , puis $y = - \frac{3}{4} x + 3$ $= - 0, 75 x + 3$ .
Une moyenne de trois notes vaut $m = \frac{a + b + c}{3}$ . Exprimer $c$ ; avec $m = 14$ , $a = 12$ et $b = 13$ : $c =$
On multiplie par $3$ : $3 m = a + b + c$ , puis on soustrait $a + b$ : $c = 3 m - a - b$ . Ici $c = 42 - 12 - 13 = 17$ .
Justifier que la formule $x = \frac{c - b}{a}$ exige $a \neq 0$ . Pour $a = 0$ , $b = 2$ et $c = 5$ , le nombre de solutions de $a x + b = c$ est
Rédaction attendue. Pour passer de $a x = c - b$ à $x = \frac{c - b}{a}$ , on divise par $a$ , ce qui n’est permis que si $a \neq 0$ . Avec $a = 0$ , $b = 2$ , $c = 5$ , l’égalité devient $0 \times x + 2 = 5$ , soit $2 = 5$ , fausse pour tout $x$ : aucune solution.

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