Comment résoudre une équation du premier degré ?

On isole l'inconnue en appliquant les mêmes opérations des deux côtés de l'équation.

Qu'est-ce que le discriminant ?

Le discriminant Δ = b² − 4ac permet de déterminer le nombre de solutions d'une équation du second degré ax² + bx + c = 0.

Quand une équation produit a-t-elle une solution nulle ?

L'équation A × B = 0 admet une solution lorsque A = 0 ou B = 0 (règle du produit nul).

Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Équations

Résoudre des équations du premier et du second degré : techniques et méthodes du programme de 2nde générale

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en seconde sur « Équations » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels et vocabulaire, Équivalence d'équations : opérations autorisées, Équations du premier degré, Équations-produit : règle du produit nul. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.

Rappels et vocabulaire

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue (souvent notée $x$) qui vérifient cette égalité.

Définition. Une solution d'une équation est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. L'ensemble des solutions, noté S, rassemble toutes ces valeurs.

Exemple. L'équation $2x + 3 = 7$ a pour solution $x = 2$ car $2 \times 2 + 3 = 7$. On écrit S = {2}.

Une équation peut avoir :

une seule solution (équation du 1er degré en général),
deux solutions (équation du 2nd degré avec Δ > 0),
aucune solution (S = ∅),
une infinité de solutions (identité vérifiée pour tout $x$).

Équivalence d'équations : opérations autorisées

Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions. On utilise le symbole ⟺ pour exprimer l'équivalence.

Propriétés fondamentales. On peut effectuer les opérations suivantes des deux côtés d'une équation sans changer l'ensemble des solutions :

Ajouter ou soustraire un même réel ;
Multiplier ou diviser par un même réel non nul.

Attention ! On ne peut pas diviser les deux membres par une expression pouvant valoir 0. Cela peut faire perdre des solutions.

Exemple. Si l'on a $x(x - 3) = 0$, on ne peut pas diviser par $x$ (car $x$ peut être nul). La bonne méthode est la règle du produit nul.

Opération	Autorisée ?
Ajouter 5 des deux côtés	✔ Oui
Multiplier les deux côtés par −3	✔ Oui (−3 ≠ 0)
Diviser par (x − 2)	✘ Non (risque de perte de solution)
Passer un terme de l'autre côté en changeant de signe	✔ Oui (= soustraire des deux côtés)

Équations du premier degré

Une équation du premier degré (ou équation linéaire) est de la forme $ax + b = 0$ avec a ≠ 0.

Méthode de résolution.

Développer et réduire si nécessaire.
Regrouper les termes en $x$ d'un côté, les constantes de l'autre.
Diviser par le coefficient de $x$.

Si a ≠ 0 : S = {−b/a}.
Si a = 0 et b = 0 : S = ℝ (identité).
Si a = 0 et b ≠ 0 : S = ∅ (équation impossible).

Exemple résolu. Résoudre $3(x - 2) + 5 = 2x + 1$.
⟺ 3x − 6 + 5 = 2x + 1
⟺ 3x − 1 = 2x + 1
⟺ 3x − 2x = 1 + 1
⟺ x = 2
Vérification : 3(2 − 2) + 5 = 5 et 2 × 2 + 1 = 5 ✔
S = {2}.

Astuce. Toujours vérifier la solution en la substituant dans l'équation de départ. Cela permet de détecter les erreurs de calcul.

Équations-produit : règle du produit nul

Lorsqu'une équation se présente sous la forme d'un produit égal à zéro, on applique la règle du produit nul.

Règle du produit nul. Pour tous réels A et B :
$A \times B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0$

La méthode consiste à :

Mettre l'équation sous la forme $A \times B = 0$ (souvent après développement, regroupement et factorisation).
Former deux équations du premier degré : A = 0 et B = 0.
Résoudre chacune.

Exemple résolu. Résoudre $(2x - 4)(x + 3) = 0$.
⟺ 2x − 4 = 0 ou x + 3 = 0
⟺ x = 2 ou x = −3
S = {−3 ; 2}.

Exemple résolu (avec mise en facteur). Résoudre $x^{2} - 5x = 0$.
⟺ x(x − 5) = 0
⟺ x = 0 ou x = 5
S = {0 ; 5}.

Attention ! La règle du produit nul ne s'applique que si le second membre est 0. Si $A \times B = 6$, on ne peut pas conclure A = 6 ou B = 6.

Équations du second degré : forme générale et discriminant

Une équation du second degré est de la forme $ax^{2} + bx + c = 0$ avec a ≠ 0, où a, b, c sont des réels.

Discriminant. On calcule Δ (delta) = b² − 4ac.

Si Δ < 0 : l'équation n'a aucune solution réelle, S = ∅.
Si Δ = 0 : l'équation a une seule solution (racine double) : x₀ = −b / (2a).
Si Δ > 0 : l'équation a deux solutions distinctes :
x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a).

Exemple résolu. Résoudre $2x^{2} - 5x + 2 = 0$.
a = 2, b = −5, c = 2.
Δ = (−5)² − 4 × 2 × 2 = 25 − 16 = 9 > 0.
√Δ = 3.
x₁ = (5 − 3) / 4 = 2/4 = 1/2 et x₂ = (5 + 3) / 4 = 8/4 = 2.
S = {1/2 ; 2}.

Astuce. Avant de calculer le discriminant, toujours mettre l'équation sous la forme $ax^{2} + bx + c = 0$ (second membre nul). Identifier soigneusement a, b et c avec leurs signes.

Cas particuliers du second degré

Certaines équations du second degré se résolvent sans discriminant grâce à des formes particulières.

Équation sans terme en x (b = 0). $ax^{2} + c = 0 ⟺ x^{2} = -c/a$.

Si −c/a < 0 : S = ∅.
Si −c/a = 0 : S = {0}.
Si −c/a > 0 : S = {−√(−c/a) ; √(−c/a)}.

Exemple. $3x^{2} - 12 = 0 ⟺ x^{2} = 4 ⟺ x = -2 ou x = 2.$ S = {−2 ; 2}.

Équation sans terme constant (c = 0). $ax^{2} + bx = 0 ⟺ x(ax + b) = 0$ (factorisation directe).
Solutions : x = 0 ou x = −b/a.

Exemple. $5x^{2} - 10x = 0 ⟺ 5x(x - 2) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 2.$ S = {0 ; 2}.

Identités remarquables utilisables.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a − b)(a + b) = a² − b²

Ces identités permettent de factoriser certaines expressions pour former un produit nul.

Méthode de résolution complète et vérification

Voici la démarche complète recommandée pour résoudre une équation :

Étape	Action
1. Identifier le type	1er degré ? 2nd degré ? Produit nul ?
2. Mettre sous forme standard	Tout passer d'un côté (= 0)
3. Simplifier	Développer, réduire, ordonner
4. Résoudre	Appliquer la méthode appropriée
5. Vérifier	Substituer les solutions trouvées
6. Conclure	Écrire S = { … }

Exemple résolu (équation à réorganiser). Résoudre $x^{2} + 3x = 4$.
⟺ x² + 3x − 4 = 0
Δ = 9 + 16 = 25 > 0, √Δ = 5.
x₁ = (−3 − 5)/2 = −4 et x₂ = (−3 + 5)/2 = 1.
Vérification x = −4 : 16 − 12 = 4 ✔ ; x = 1 : 1 + 3 = 4 ✔
S = {−4 ; 1}.

Astuce calcul. Pour retrouver rapidement les solutions d'un trinôme, on peut aussi utiliser la somme (−b/a) et le produit (c/a) des racines, sans calculer le discriminant, si les solutions sont des entiers évidents.

Équations en lien avec d'autres domaines

En 2nde, les équations apparaissent dans plusieurs contextes :

Fonctions : résoudre $f(x) = k$ (trouver les antécédents d'un réel).
Géométrie : trouver les coordonnées d'un point d'intersection de deux courbes ou droites.
Mise en équation de problèmes : modéliser une situation par une équation, résoudre, puis interpréter la solution dans le contexte.

Exemple — intersection de deux fonctions. Soient f(x) = x² − 1 et g(x) = x + 1. Trouver les abscisses des points d'intersection.
f(x) = g(x) ⟺ x² − 1 = x + 1 ⟺ x² − x − 2 = 0.
Δ = 1 + 8 = 9, x₁ = (1 − 3)/2 = −1, x₂ = (1 + 3)/2 = 2.
Les abscisses d'intersection sont −1 et 2.

Méthode — mise en équation d'un problème.

Nommer l'inconnue et préciser son unité.
Traduire la situation par une équation.
Résoudre l'équation.
Vérifier que la solution est cohérente avec le problème (valeur positive, réaliste…).

Attention ! Une solution mathématique peut être non valide dans le contexte (distance négative, nombre de personnes fractionnaire…). Toujours interpréter et vérifier la cohérence.

À retenir — Équations (2nde)

Une équation du 1er degré ax + b = 0 (a ≠ 0) a une unique solution : x = −b/a.
Règle du produit nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.
Pour une équation du 2nd degré ax² + bx + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac.
- Δ < 0 : aucune solution ; Δ = 0 : x₀ = −b/(2a) ; Δ > 0 : deux solutions x₁, x₂.
Toujours vérifier les solutions en les substituant dans l'équation initiale.
Si b = 0 : équation du type x² = k (racine carrée). Si c = 0 : factoriser par x.

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