Équations

Vocabulaire. Une équation d’inconnue $x$ est une égalité entre deux expressions (ses deux membres) qui n’est vraie que pour certaines valeurs de $x$. Un nombre est solution s’il rend l’égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions ; on note $S$ l’ensemble des solutions.

Équations équivalentes (symbole $⟺$) : elles ont exactement le même ensemble de solutions. On obtient une équation équivalente quand on :
• ajoute ou retranche un même nombre, ou une même expression, aux deux membres ;
• multiplie ou divise les deux membres par un même nombre non nul.

Premier degré. Une équation $ax+b=cx+d$ se ramène, en regroupant, à $(a-c)x=d-b$. Si $a\ne c$, elle a une unique solution : $x={\displaystyle \frac{d-b}{a-c}}$.

Mettre un problème en équation. 1. Choisir l’inconnue (et son unité). 2. Traduire l’énoncé par une équation. 3. La résoudre. 4. Vérifier, puis répondre par une phrase en tenant compte du contexte.

Propriété. Soient $a$ et $b$ deux réels. L’équation $ax+b=0$ :
• si $a\ne 0$, a une unique solution : $x=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ ;
• si $a=0$ et $b\ne 0$, n’a aucune solution : $S=\varnothing$ (l’ensemble vide) ;
• si $a=0$ et $b=0$, a tous les réels pour solutions : $S=ℝ$.

Équations qui se ramènent au premier degré. Après développement, les termes en $x^2$ peuvent s’éliminer des deux côtés : l’équation devient du premier degré. Si ce sont les termes en $x$ qui disparaissent, il reste une égalité entre deux nombres : vraie, alors $S=ℝ$ ; fausse, alors $S=\varnothing$.

Équation avec un paramètre. Dans $(k-2)x=5$, la lettre $k$ désigne un nombre fixé (un paramètre) : on discute selon que le coefficient $k-2$ est nul ou non.

Propriété (produit nul). Pour tous réels $A$ et $B$ : $A\times B=0$ $⟺A=0$ ou $B=0$. Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.

Pourquoi. Si $A=0$ ou $B=0$, le produit vaut $0$. Réciproquement, si $A\times B=0$ et $A\ne 0$, on peut diviser par $A$ : $B=0$.

Méthode. 1. Tout ramener dans un membre pour obtenir « $\dots =0$ ». 2. Factoriser : facteur commun ($ka+kb=k(a+b)$) ou identités remarquables (automatismes de 2nde ; $a^2-b^2$ a déjà été vue en 3e), $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$, $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$. 3. Appliquer la règle du produit nul. 4. Résoudre chaque équation du premier degré et réunir les solutions dans $S$.

Valeurs interdites. Un quotient ${\displaystyle \frac{A}{B}}$ n’existe que si $B\ne 0$. Les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur sont les valeurs interdites : on les trouve en résolvant « dénominateur $=0$ ». L’expression est définie sur $ℝ$ privé de ces valeurs, par exemple $ℝ⧵\{-4\}$ : c’est son ensemble de définition.

Propriété (quotient nul). ${\displaystyle \frac{A}{B}}=0$ $⟺A=0$ et $B\ne 0$. Un quotient est nul quand son numérateur est nul, à condition d’exister.

Quotient égal à un nombre $k$. Pour $x$ différent des valeurs interdites, ${\displaystyle \frac{A}{B}}=k$ $⟺A=k\times B$ (on multiplie les deux membres par $B$, qui n’est pas nul).

Propriété. Soit $a$ un réel. L’équation $x^2=a$ :
• si $a>0$, a deux solutions opposées : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ ;
• si $a=0$, a une seule solution : $0$ ;
• si $a<0$, n’a aucune solution réelle (un carré n’est jamais négatif) : $S=\varnothing$.

Pourquoi (cas $a>0$). Comme $a={\left(\sqrt{a}\right)}^2$ : $x^2=a$ $⟺x^2-{\left(\sqrt{a}\right)}^2=0$ $⟺(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0$, et la règle du produit nul donne $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$.

Carré d’une expression. Pour $a>0$ : $(x+c{)}^2=a$ $⟺x+c=-\sqrt{a}$ ou $x+c=\sqrt{a}$.

Lecture graphique. Les solutions de $x^2=a$ sont les abscisses des points d’intersection de la parabole d’équation $y=x^2$ et de la droite horizontale d’équation $y=a$.