Devoir surveillé : Produit scalaire, géométrie repérée et trigonométrie

1. a)${150}^{\circ }=150\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ rad. (1 pt) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, donc $\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. (1 pt) (1)
3. c)$\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=4\times 2+(-1)\times 8=8-8=0$ : les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux. (1 pt) (1)
4. d)Pour $ax+by+c=0$, $\overrightarrow{n}(a;b)$ est normal et $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est directeur : $\overrightarrow{n}(3;-5)$ et $\overrightarrow{u}(5;3)$ (contrôle : $3\times 5+(-5)\times 3=0$). (1 pt) (1)
5. e)$M(x;y)$ est sur le cercle si et seulement si $\Omega M^2=9$, soit $(x+2{)}^2+(y-1{)}^2=9$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour les angles comme ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$, on se ramène à un angle remarquable du premier quadrant grâce aux angles associés, puis on règle le signe avec le cercle trigonométrique.

1. a)$\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert \times \cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)=4\times 5\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-10$. (1 pt) (1,25)
2. b)$\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+2\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2=16-20+25=21$, donc $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{21}$. (1,5 pt) (1,25)
3. c)Par bilinéarité : $(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})·(2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=2\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}-2\overrightarrow{v}·\overrightarrow{u}-\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2=32-10+20-25=17$. (1,5 pt) (1,25)
4. d)$(\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v})·\overrightarrow{u}=\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+k\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=16-10k$. Ce produit est nul si et seulement si $k={\displaystyle \frac{16}{10}}={\displaystyle \frac{8}{5}}$. (1 pt) (1,25)

Erreur fréquente — $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert$ n'est pas égal à $\Vert \overrightarrow{u}\Vert +\Vert \overrightarrow{v}\Vert =9$ : on passe toujours par le carré scalaire, qui fait apparaître le double produit $2\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}$.

1. a)$\overrightarrow{AB}(4;2)$ et $\overrightarrow{AC}(2;4)$, donc $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4\times 2+2\times 4=16$. (1 pt) (1,25)
2. b)$AB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ et $AC=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$. Comme $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}$ : $\cos \widehat{BAC}={\displaystyle \frac{16}{20}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$, d'où $\widehat{BAC}\approx 36,9^{\circ }$. (1,5 pt) (1,25)
3. c)La hauteur issue de $C$ est la droite passant par $C$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}(4;2)$ : $4x+2y+c=0$. Avec $C(3;6)$ : $12+12+c=0$, donc $c=-24$. Équation : $4x+2y-24=0$, soit $2x+y-12=0$. (1,5 pt) (1,25)
4. d)Le centre est le milieu $I$ de $[BC]$ : $I(4;5)$. $B{C}^2=(3-5{)}^2+(6-4{)}^2=8$, donc le rayon vaut ${\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{2}}=\sqrt{2}$. Équation : $(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=2$. (1 pt) (1,25)

Astuce — Une hauteur est perpendiculaire à un côté : le vecteur de ce côté sert directement de vecteur normal, sans passer par un vecteur directeur.

1. a)${\displaystyle \frac{17\pi }{4}}={\displaystyle \frac{16\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=4\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}=2\times 2\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ et ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\in ]-\pi ;\pi ]$ : la mesure principale est ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. (1 pt) (1)
2. b)$\cos \left({\displaystyle \frac{17\pi }{4}}\right)=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\sin (-{\displaystyle \frac{17\pi }{4}})=-\sin \left({\displaystyle \frac{17\pi }{4}}\right)=-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. (1 pt) (1)
3. c)${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}$. Sur $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$, $\cos x⩽0$, donc $\cos x=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$. (1 pt) (1)
4. d)$\cos (\pi -x)=-\cos x={\displaystyle \frac{4}{5}}$ et $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\cos x=-{\displaystyle \frac{4}{5}}$. (1 pt) (1)
5. e)$M(\cos x;\sin x)=(-{\displaystyle \frac{4}{5}};{\displaystyle \frac{3}{5}})$, donc $\overrightarrow{OM}·\overrightarrow{OP}=-{\displaystyle \frac{4}{5}}\times 4+{\displaystyle \frac{3}{5}}\times 3=-{\displaystyle \frac{16}{5}}+{\displaystyle \frac{9}{5}}=-{\displaystyle \frac{7}{5}}$. Ce produit est strictement négatif, donc le cosinus de $\widehat{MOP}$ l'est aussi : l'angle est obtus. (1 pt) (1)

Piège — La relation ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ donne deux valeurs possibles pour $\cos x$ : c'est l'intervalle où se trouve $x$ qui fixe le signe.

1. a)$-{\displaystyle \frac{29\pi }{6}}+4\pi =-{\displaystyle \frac{29\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{24\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, qui appartient à $]-\pi ;\pi ]$ : la mesure principale est $-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$. (1 pt) (1)
2. b)$\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\cos (\pi +x)=-\cos x$ et $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\cos x$, donc $A(x)=-\cos x-\cos x+\cos x=-\cos x$. (1 pt) (1)
3. c)$\overrightarrow{AB}(-3;4)$ : la droite a une équation $-3x+4y+c=0$. Avec $A$ : $-6-4+c=0$, donc $c=10$. Équation : $-3x+4y+10=0$. (1 pt) (1)
4. d)$x^2-6x=(x-3{)}^2-9$ et $y^2+4y=(y+2{)}^2-4$, donc l'équation équivaut à $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=16$ : c'est le cercle de centre $(3;-2)$ et de rayon $4$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour reconnaître un cercle, on complète les carrés en $x$ et en $y$ ; le membre de droite doit être strictement positif pour obtenir un vrai cercle.

1. a)$3\times 2+4\times (-1)-2=6-4-2=0$, donc $A\in d$ ; un vecteur normal est $\overrightarrow{n}(3;4)$. (0,5 pt) (0,666667)
2. b)$\Delta ⟂d$, donc $\overrightarrow{n}(3;4)$ dirige $\Delta$ et $(4;-3)$ lui est normal : $4x-3y+c=0$. Avec $\Omega$ : $16-15+c=0$, $c=-1$. $\Delta :4x-3y-1=0$. (0,5 pt) (0,666667)
3. c)$H$ est l'intersection de $d$ et $\Delta$ : $\{\begin{array}{c}3x+4y=2\hfill \\ 4x-3y=1\hfill \end{array}$. En multipliant par $3$ et par $4$ puis en additionnant : $9x+16x=6+4$, donc $x={\displaystyle \frac{2}{5}}$ et $y={\displaystyle \frac{4x-1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. $H\left({\displaystyle \frac{2}{5}};{\displaystyle \frac{1}{5}}\right)$. (1 pt) (0,666667)
4. d)$\overrightarrow{A\Omega }(2;6)$, donc $\overrightarrow{A\Omega }·\overrightarrow{n}=6+24=30$. Par Chasles, $\overrightarrow{A\Omega }=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{H\Omega }$ et $\overrightarrow{AH}$ dirige $d$, donc $\overrightarrow{AH}·\overrightarrow{n}=0$ : $\overrightarrow{A\Omega }·\overrightarrow{n}=\overrightarrow{H\Omega }·\overrightarrow{n}$. Or $\overrightarrow{H\Omega }\left({\displaystyle \frac{18}{5}};{\displaystyle \frac{24}{5}}\right)={\displaystyle \frac{6}{5}}\overrightarrow{n}$ est colinéaire à $\overrightarrow{n}$ et de même sens, donc $\overrightarrow{H\Omega }·\overrightarrow{n}=\Omega H\times \Vert \overrightarrow{n}\Vert =5\Omega H$. D'où $5\Omega H=30$ et $\Omega H=6$ (contrôle : $\sqrt{3,6^2+4,8^2}=\sqrt{36}=6$). (1 pt) (0,666667)
5. e)Le rayon est la distance de $\Omega$ à $d$, soit $6$ : $\Gamma :(x-4{)}^2+(y-5{)}^2=36$. (0,5 pt) (0,666667)
6. f)Avec $y=0$ : $(x-4{)}^2+25=36$, soit $(x-4{)}^2=11$, donc $x=4-\sqrt{11}$ ou $x=4+\sqrt{11}$. Points : $(4-\sqrt{11};0)$ et $(4+\sqrt{11};0)$. (0,5 pt) (0,666667)

Astuce — Le produit scalaire avec un vecteur normal « oublie » la composante le long de la droite : c'est ce qui permet de lire une distance avec n'importe quel point de $d$.

1. a)Angles associés : $\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\sin x$ et $\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\cos x$, ce sont bien les coordonnées de $\overrightarrow{v}$. $\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, donc $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =1$, et $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=-\cos x\sin x+\sin x\cos x=0$. (1 pt) (1)
2. b)$\Vert \overrightarrow{w}\Vert =\sqrt{3+1}=2$. Pour $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ : $\overrightarrow{u}\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ et $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{w}={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=2$. Donc $\cos (\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})={\displaystyle \frac{2}{1\times 2}}=1$ : l'angle est nul, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires et de même sens (en effet $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}$). (1 pt) (1)
3. c)Pour $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$ : $\overrightarrow{u}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}})$ et $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{w}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}=-1$. Le cosinus de l'angle vaut ${\displaystyle \frac{-1}{1\times 2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc l'angle mesure ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ rad. (1 pt) (1)
4. d)$\overrightarrow{u}·\overrightarrow{w}=\sqrt{3}\cos x+\sin x$ : il est nul si et seulement si $M(X;Y)=(\cos x;\sin x)$ vérifie $\sqrt{3}X+Y=0$, et $M$ est toujours sur le cercle $X^2+Y^2=1$. Avec $Y=-\sqrt{3}X$ : $X^2+3X^2=1$, donc $X=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$. On obtient $({\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$, associé à $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, et $(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$, associé à $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. $\mathcal{S}=\{-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\}$. (1 pt) (1)

Méthode — Une condition sur $\cos x$ et $\sin x$ devient une question de géométrie : on cherche les points du cercle trigonométrique situés sur une droite, puis on lit les réels associés.

1. a)${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}={120}^{\circ }$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)$\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=PA\times PB\times \cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=6\times 10\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-30$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)Al-Kashi : $A{B}^2=P{A}^2+P{B}^2-2\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PB}=36+100+60=196$, donc $AB=14$ km. (1 pt) (0,8)
4. d)Al-Kashi en $A$ : $P{B}^2=P{A}^2+A{B}^2-2\times PA\times AB\times \cos \widehat{PAB}$, soit $100=36+196-168\cos \widehat{PAB}$. Donc $\cos \widehat{PAB}={\displaystyle \frac{132}{168}}={\displaystyle \frac{11}{14}}$ et $\widehat{PAB}\approx 38,2^{\circ }$. (1 pt) (0,8)
5. e)$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PH}+\overrightarrow{HB}$ avec $\overrightarrow{HB}⟂\overrightarrow{PA}$, d'où l'égalité. L'angle $\widehat{APB}$ étant obtus, $H$ est sur la demi-droite opposée à $[PA)$ : $\overrightarrow{PA}·\overrightarrow{PH}=-PA\times PH=-6PH=-30$, donc $PH=5$ km. Pythagore dans $PHB$ rectangle en $H$ : $BH=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}$ km. Aire : ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times PA\times BH={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6\times 5\sqrt{3}=15\sqrt{3}\approx 26,0$ km². (1 pt) (0,8)

Piège — Quand l'angle est obtus, le projeté tombe hors du segment et le produit scalaire est négatif : on écrit $-PA\times PH$, pas $PA\times PH$.

1. a)$y^2-4y=(y-2{)}^2-4$, donc l'équation équivaut à $x^2+(y-2{)}^2=4$ : cercle de centre $\Omega (0;2)$ et de rayon $2$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)En remplaçant $x^2$ par $y$ : $y+y^2-4y=0$, soit $y(y-3)=0$. Si $y=0$, $x^2=0$ et $x=0$ : point $O$. Si $y=3$, $x^2=3$ : $x=\pm \sqrt{3}$. D'où $A(\sqrt{3};3)$, $B(-\sqrt{3};3)$ et $O(0;0)$. (1 pt) (0,8)
3. c)$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=-3+9=6$ et $OA=OB=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}$. Donc $\cos \widehat{AOB}={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\widehat{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Le triangle $OAB$ est isocèle en $O$ avec un angle au sommet de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, ses angles à la base valent aussi ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ : il est équilatéral. (1 pt) (0,8)
4. d)$T_A$ passe par $A$ et a pour vecteur normal $\overrightarrow{\Omega A}(\sqrt{3};1)$ : $\sqrt{3}x+y+c=0$. Avec $A$ : $3+3+c=0$, $c=-6$. $T_A:\sqrt{3}x+y-6=0$. (1 pt) (0,8)
5. e)De même, $\overrightarrow{\Omega B}(-\sqrt{3};1)$ et $T_B:-\sqrt{3}x+y+c^{\prime }=0$ avec $3+3+c^{\prime }=0$, soit $T_B:-\sqrt{3}x+y-6=0$. Pour $x=0$, les deux équations donnent $y=6$ : $T(0;6)$ est commun aux deux tangentes. $TA=\sqrt{3+(6-3{)}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. (0,5 pt) (0,8)

Erreur fréquente — Pour la tangente à un cercle, le vecteur normal est le rayon $\overrightarrow{\Omega A}$ et non $\overrightarrow{OA}$ : l'origine du repère n'est pas le centre du cercle.

1. a)$\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)=-\sin x$, $\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=-\sin x$ et $\sin (\pi -x)=\sin x$. Donc $S(x)=-\sin x-\sin x+2\sin x=0$. (1 pt) (1)
2. b)$2027=6\times 337+5$, donc ${\displaystyle \frac{2027\pi }{6}}=337\pi +{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=168\times 2\pi +\pi +{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=168\times 2\pi +{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$. Or ${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}-2\pi =-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\in ]-\pi ;\pi ]$ : la mesure principale est $-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{2027\pi }{6}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1 pt) (1)
3. c)Soit $I(2;3)$ le milieu de $[AB]$. $\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})·(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})=M{I}^2-I{A}^2$ avec $I{A}^2=9+1=10$. La condition s'écrit $M{I}^2=4$ : c'est le cercle de centre $I(2;3)$ et de rayon $2$, d'équation $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=4$. (1 pt) (1)

Astuce — Pour une grande fraction de $\pi$, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur : seul le reste, à un nombre pair de $\pi$ près, compte.

1. a)Par bilinéarité : $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+2\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2$ et $\Vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2=\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-2\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2$. En additionnant, les doubles produits s'éliminent : on obtient $2\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2+2\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2$. (1 pt) (1)
2. b)Avec $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{IB}$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et, comme $\overrightarrow{IC}=-\overrightarrow{IB}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$. D'après a) : $A{B}^2+A{C}^2=2A{I}^2+2I{B}^2=2A{I}^2+2{\left({\displaystyle \frac{BC}{2}}\right)}^2=2A{I}^2+{\displaystyle \frac{B{C}^2}{2}}$. Application : $49+25=2A{I}^2+18$, donc $A{I}^2=28$ et $AI=2\sqrt{7}$. (1 pt) (1)
3. c)Le milieu de $[AB]$ est $O$ et $AB=6$ : $M{A}^2+M{B}^2=2M{O}^2+18$. La condition équivaut à $M{O}^2=16$ : $E$ est le cercle de centre $O$ et de rayon $4$. Contrôle : $(x+3{)}^2+y^2+(x-3{)}^2+y^2=2x^2+2y^2+18=50⟺x^2+y^2=16$. (1 pt) (1)
4. d)Sur la parabole, $x^2=y+4$ ; en remplaçant : $y+4+y^2=16$, soit $y^2+y-12=0$, $\Delta =1+48=49$, $y=3$ ou $y=-4$. Si $y=3$ : $x^2=7$, $x=\pm \sqrt{7}$. Si $y=-4$ : $x^2=0$, $x=0$. Points : $(\sqrt{7};3)$, $(-\sqrt{7};3)$ et $(0;-4)$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour croiser un cercle et une parabole $y=x^2+k$, on remplace $x^2$ par $y-k$ : on obtient une équation du second degré en $y$, et chaque $y$ retenu doit rendre $x^2$ positif ou nul.

1. a)Faux. Contre-exemple : $\overrightarrow{u}(1;0)$, $\overrightarrow{v}(0;1)$, $\overrightarrow{w}(0;2)$ : $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=0=\overrightarrow{u}·\overrightarrow{w}$ mais $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{w}$. On peut seulement conclure que $\overrightarrow{u}·(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w})=0$, c'est-à-dire $\overrightarrow{u}⟂\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}$. (1 pt) (1)
2. b)Vrai. $\sin (x+\pi )=-\sin x$, $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$, $\cos (-x)=\cos x$ et $\cos (\pi -x)=-\cos x$. L'expression vaut $-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-1$. (1 pt) (1)
3. c)Vrai. Des vecteurs normaux sont $\overrightarrow{n}(2;-3)$ et ${\overrightarrow{n}}^{\prime }(6;4)$ ; $\overrightarrow{n}·{\overrightarrow{n}}^{\prime }=12-12=0$. Les vecteurs normaux étant orthogonaux, les droites sont perpendiculaires. (1 pt) (1)
4. d)Faux. En remplaçant $y$ par $x+2$ : $x^2+x^2+4x+4-2x-7=0$, soit $2x^2+2x-3=0$, de discriminant $\Delta =4+24=28>0$ : deux points d'intersection, la droite est sécante et non tangente. (1 pt) (1)

Piège — On ne « simplifie » jamais par un vecteur dans un produit scalaire : l'égalité $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}·\overrightarrow{w}$ traduit seulement une orthogonalité.

1. a)$M(\cos \theta ;\sin \theta )$, $\overrightarrow{MO}(-\cos \theta ;-\sin \theta )$ et $\overrightarrow{MA}(3-\cos \theta ;-\sin \theta )$. Donc $\overrightarrow{MO}·\overrightarrow{MA}=-3\cos \theta +{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1-3\cos \theta$. (1 pt) (1)
2. b)$(AM)$ est tangente en $M$ si et seulement si $(AM)⟂(OM)$, soit $\overrightarrow{MO}·\overrightarrow{MA}=0$, soit $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{3}}$. Alors ${\sin }^2\theta =1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$, $\sin \theta =\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$. D'où $M_1\left({\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\right)$ et $M_2({\displaystyle \frac{1}{3}};-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}})$. (1 pt) (1)
3. c)Vecteur normal $\overrightarrow{O{M}_1}\left({\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\right)$, ou $3\overrightarrow{O{M}_1}(1;2\sqrt{2})$ : $x+2\sqrt{2}y+c=0$. Avec $M_1$ : ${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{8}{3}}+c=0$, $c=-3$. Tangente : $x+2\sqrt{2}y-3=0$ ; pour $A(3;0)$ : $3+0-3=0$, elle passe bien par $A$. (1 pt) (1)
4. d)$\overrightarrow{A{M}_1}(-{\displaystyle \frac{8}{3}};{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}})$ et $\overrightarrow{A{M}_2}(-{\displaystyle \frac{8}{3}};-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}})$. $A{M}_1^2={\displaystyle \frac{64}{9}}+{\displaystyle \frac{8}{9}}=8$, donc $A{M}_1=A{M}_2=2\sqrt{2}$ (contrôle par Pythagore : $\sqrt{9-1}$). $\overrightarrow{A{M}_1}·\overrightarrow{A{M}_2}={\displaystyle \frac{64}{9}}-{\displaystyle \frac{8}{9}}={\displaystyle \frac{56}{9}}$, d'où $\cos \widehat{M_{1}A{M}_2}={\displaystyle \frac{56/9}{8}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$. (1 pt) (1)
5. e)$M{A}^2=(3-\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta =9-6\cos \theta +1=10-6\cos \theta$ (c'est aussi Al-Kashi dans $OMA$). $MA=\sqrt{13}⟺10-6\cos \theta =13⟺\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Dans $]-\pi ;\pi ]$ : $\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ou $\theta =-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Traduire « tangente en $M$ » par « perpendiculaire au rayon $[OM]$ » est la clé : oublier cette traduction mène à chercher une pente qu'on ne sait pas calculer.

1. a)Les distances étant positives, $MO=2MB⟺M{O}^2=4M{B}^2⟺x^2+y^2=4((x-3{)}^2+y^2)⟺x^2+y^2=4x^2-24x+36+4y^2⟺3x^2+3y^2-24x+36=0⟺x^2+y^2-8x+12=0$. (1 pt) (0,8)
2. b)$x^2-8x=(x-4{)}^2-16$, donc l'équation équivaut à $(x-4{)}^2+y^2=4$ : ${\Gamma }_2$ est le cercle de centre $\Omega (4;0)$ et de rayon $2$. Ses points sur l'axe sont $(2;0)$ : $MO=2$, $MB=1$ ; et $(6;0)$ : $MO=6$, $MB=3$. Dans les deux cas $MO=2MB$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)$(OT)$ tangente en $T$ équivaut à $\overrightarrow{TO}·\overrightarrow{T\Omega }=0$, soit $(-x)(4-x)+(-y)(-y)=0$, c'est-à-dire $x^2+y^2-4x=0$. Avec $x^2+y^2-8x+12=0$, par soustraction : $4x-12=0$, $x=3$, puis $y^2=12-9=3$. D'où $T(3;\sqrt{3})$ et $T^{\prime }(3;-\sqrt{3})$. $OT=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ et $\overrightarrow{ı}·\overrightarrow{OT}=3$, donc le cosinus de l'angle vaut ${\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ : l'angle mesure ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ (de même pour $T^{\prime }$). (1 pt) (0,8)
4. d)$M{O}^2=k^{2}M{B}^2⟺(1-k^2)(x^2+y^2)+6k^{2}x-9k^2=0$. Comme $k\ne 1$, on divise par $1-k^2$ : $x^2+y^2-{\displaystyle \frac{6k^2}{k^2-1}}x+{\displaystyle \frac{9k^2}{k^2-1}}=0$. En posant $a={\displaystyle \frac{3k^2}{k^2-1}}$ : $(x-a{)}^2+y^2=a^2-{\displaystyle \frac{9k^2}{k^2-1}}={\displaystyle \frac{9k^4-9k^2(k^2-1)}{(k^2-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{9k^2}{(k^2-1{)}^2}}>0$. ${\Gamma }_k$ est le cercle de centre $\left({\displaystyle \frac{3k^2}{k^2-1}};0\right)$ et de rayon ${\displaystyle \frac{3k}{|k^2-1|}}$ (pour $k=2$ : centre $(4;0)$, rayon $2$, cohérent). (1 pt) (0,8)
5. e)Pour $k=1$ : $MO=MB$, l'équation devient $6x-9=0$, soit $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ : ${\Gamma }_1$ est la médiatrice de $[OB]$, une droite et non un cercle. (0,5 pt) (0,8)