Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Convertir en radians, sous forme de fraction de $\pi$ simplifiée. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. ${20}^{\circ }=$ rad
   $20\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}={\displaystyle \frac{20\pi }{180}}={\displaystyle \frac{\pi }{9}}$ (on simplifie par $20$).
2. ${210}^{\circ }=$ rad
   ${\displaystyle \frac{210\pi }{180}}={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$ (on simplifie par $30$).
3. ${252}^{\circ }=$ rad
   ${\displaystyle \frac{252\pi }{180}}={\displaystyle \frac{7\pi }{5}}$ (on simplifie par $36$ : $252=7\times 36$ et $180=5\times 36$).
4. ${40}^{\circ }=$ rad
   ${\displaystyle \frac{40\pi }{180}}={\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$ (on simplifie par $20$).

Convertir en degrés.

1. ${\displaystyle \frac{7\pi }{9}}$ rad $=$ °
   ${\displaystyle \frac{7\pi }{9}}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}={\displaystyle \frac{7\times 180}{9}}=7\times 20=140$, donc ${140}^{\circ }$.
2. ${\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$ rad $=$ °
   ${\displaystyle \frac{11\times 180}{12}}=11\times 15=165$, donc ${165}^{\circ }$.
3. ${\displaystyle \frac{13\pi }{18}}$ rad $=$ °
   ${\displaystyle \frac{13\times 180}{18}}=13\times 10=130$, donc ${130}^{\circ }$.
4. $2$ rad, au dixième de degré près (on donne ${\displaystyle \frac{180}{\pi }}\approx 57,296$) : °
   $2\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}\approx 2\times 57,296=114,592$, soit environ $114,6^{\circ }$ : un peu plus qu’un quart de tour, ce qui est cohérent car $2>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx 1,57$.

Longueurs d’arc (les longueurs sont en cm). Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Sur un cercle de rayon $9$ cm, l’arc intercepté par un angle au centre de ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ rad mesure cm.
   $\ell =r\alpha =9\times {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}=6\pi$ cm, soit environ $18,8$ cm.
2. Sur un cercle de rayon $4$ cm, un arc de $14$ cm correspond à un angle au centre de rad.
   $\alpha ={\displaystyle \frac{\ell }{r}}={\displaystyle \frac{14}{4}}=3,5$ rad. C’est un peu plus que $\pi \approx 3,14$ : l’angle dépasse le demi-tour.
3. Un angle au centre intercepte un arc de $10\pi$ cm sur un cercle de rayon $15$ cm. Justifier sa mesure en radians, puis la donner en degrés : °
   Rédaction attendue. La longueur d’arc vérifie $\ell =r\alpha$, avec $\alpha$ en radians. Donc $\alpha ={\displaystyle \frac{\ell }{r}}={\displaystyle \frac{10\pi }{15}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ rad. En degrés : ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}={\displaystyle \frac{2\times 180}{3}}=120$. L’angle mesure ${120}^{\circ }$.

La Terre fait un tour complet sur elle-même en $24$ heures. Le rayon de l’équateur mesure environ $6400$ km. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. En une heure, la Terre tourne d’un angle de rad.
   Un tour mesure $2\pi$ rad, donc en une heure : ${\displaystyle \frac{2\pi }{24}}={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ rad.
2. Cet angle mesure, en degrés, °
   ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}={\displaystyle \frac{180}{12}}=15$, soit ${15}^{\circ }$ par heure ($360÷24=15$, ce qui confirme).
3. Justifier la longueur de l’arc parcouru en une heure par un point de l’équateur, en km (valeur exacte en fonction de $\pi$) : km
   Rédaction attendue. Un point de l’équateur décrit un cercle de rayon $r=6400$ km. En une heure, l’angle au centre est $\alpha ={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ rad, donc l’arc parcouru mesure $\ell =r\alpha =6400\times {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{6400\pi }{12}}={\displaystyle \frac{1600\pi }{3}}$ km, soit environ $1676$ km.
4. Un point situé plus au nord décrit un cercle de rayon $4200$ km. En deux heures, il parcourt km (en fonction de $\pi$).
   En deux heures, l’angle est $2\times {\displaystyle \frac{\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ rad. Donc $\ell =4200\times {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=700\pi$ km, soit environ $2199$ km.

Donner l’image du réel parmi les points $I$, $J$, $I\prime$ et $J\prime$ (écris I' pour $I\prime$).

1. L’image de $3\pi$ est
   $3\pi =\pi +2\pi$ : même image que $\pi$, c’est-à-dire $I\prime (-1;0)$.
2. L’image de $-{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}$ est
   $-{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}+2\times 2\pi =-{\displaystyle \frac{7\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{8\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : l’image est $J(0;1)$.
3. L’image de $6\pi$ est
   $6\pi =0+3\times 2\pi$ : trois tours complets, on revient en $I(1;0)$.
4. L’image de $-{\displaystyle \frac{9\pi }{2}}$ est
   $-{\displaystyle \frac{9\pi }{2}}+2\times 2\pi =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : l’image est $J\prime (0;-1)$.

Dans quel quadrant se trouve l’image du réel ? Écris 1, 2, 3 ou 4.

1. ${\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$ : quadrant n°
   ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{2,5\pi }{5}}<{\displaystyle \frac{4\pi }{5}}<\pi$ : deuxième quadrant.
2. ${\displaystyle \frac{9\pi }{7}}$ : quadrant n°
   ${\displaystyle \frac{9\pi }{7}}-2\pi =-{\displaystyle \frac{5\pi }{7}}$, et $-\pi <-{\displaystyle \frac{5\pi }{7}}<-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : troisième quadrant.
3. $-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$ : quadrant n°
   $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=-{\displaystyle \frac{4\pi }{8}}<-{\displaystyle \frac{3\pi }{8}}<0$ : quatrième quadrant.
4. le réel $2$ : quadrant n°
   ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\approx 1,57<2<\pi \approx 3,14$ : deuxième quadrant. Un réel sans $\pi$ se place aussi.

Déterminer la mesure principale. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Mesure principale de ${\displaystyle \frac{23\pi }{6}}$ :
   $2\pi ={\displaystyle \frac{12\pi }{6}}$ ; ${\displaystyle \frac{23\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{12\pi }{6}}={\displaystyle \frac{11\pi }{6}}>\pi$, puis ${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{12\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\in ]-\pi ;\pi ]$.
2. Mesure principale de $-{\displaystyle \frac{7\pi }{3}}$ :
   $2\pi ={\displaystyle \frac{6\pi }{3}}$ ; $-{\displaystyle \frac{7\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{6\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\in ]-\pi ;\pi ]$.
3. Mesure principale de ${\displaystyle \frac{29\pi }{4}}$ :
   $2\pi ={\displaystyle \frac{8\pi }{4}}$ et $29=3\times 8+5$, donc ${\displaystyle \frac{29\pi }{4}}={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}+3\times 2\pi$. Or ${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}>\pi$ : ${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}-2\pi =-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.
4. Justifier la mesure principale de ${\displaystyle \frac{50\pi }{3}}$ :
   Rédaction attendue. Un tour s’écrit $2\pi ={\displaystyle \frac{6\pi }{3}}$. La division de $50$ par $6$ donne $50=8\times 6+2$, donc ${\displaystyle \frac{50\pi }{3}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+8\times 2\pi$ : les réels ${\displaystyle \frac{50\pi }{3}}$ et ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ont la même image. Comme $-\pi <{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}⩽\pi$, la mesure principale est ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. Le réel de $[4\pi ;6\pi [$ qui a la même image que ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ est
   Les réels de même image sont les ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}+2k\pi$. Avec $k=2$ : ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}+4\pi ={\displaystyle \frac{21\pi }{5}}$, qui est bien dans $[4\pi ;6\pi [$ (un intervalle de longueur $2\pi$ en contient un seul).
2. Nombre de réels de $[0;7\pi ]$ qui ont pour image le point $J$ :
   Ce sont les ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi$ : ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{9\pi }{2}}$, ${\displaystyle \frac{13\pi }{2}}$ ; le suivant, ${\displaystyle \frac{17\pi }{2}}$, dépasse $7\pi ={\displaystyle \frac{14\pi }{2}}$. Il y en a $4$.
3. Justifier que ${\displaystyle \frac{41\pi }{6}}$ et $-{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$ ont la même image. Leur mesure principale commune est
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{41\pi }{6}}-(-{\displaystyle \frac{7\pi }{6}})={\displaystyle \frac{48\pi }{6}}=8\pi =4\times 2\pi$ : les deux réels diffèrent d’un nombre entier de tours, ils ont donc la même image. Puis $-{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}<-\pi$ : on ajoute un tour, $-{\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{12\pi }{6}}={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\in ]-\pi ;\pi ]$. La mesure principale commune est ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.
4. La mesure principale de $-\pi$ est
   $-\pi$ n’appartient pas à $]-\pi ;\pi ]$ (intervalle ouvert en $-\pi$). On ajoute un tour : $-\pi +2\pi =\pi$. La mesure principale est $\pi$ (le point $I\prime$).
5. Un élève affirme : « $-{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$ est compris entre $-2\pi$ et $0$, c’est donc une mesure principale. » Expliquer son erreur. La mesure principale de $-{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}$ est
   Rédaction attendue. La mesure principale doit appartenir à $]-\pi ;\pi ]$, pas à $[-2\pi ;0]$. Or $-{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}<-\pi$ : ce n’en est pas une. On ajoute un tour : $-{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{12\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, qui appartient à $]-\pi ;\pi ]$. La mesure principale est ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

Valeurs exactes, en lisant le point image sur le cercle.

1. $\sin (-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}})=$
   $-{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}+2\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : l’image est $J(0;1)$, d’ordonnée $1$.
2. $\cos (4\pi )=$
   $4\pi =2\times 2\pi$ : l’image est $I(1;0)$, d’abscisse $1$.
3. $\sin (5\pi )=$
   $5\pi =\pi +2\times 2\pi$ : l’image est $I\prime (-1;0)$, d’ordonnée $0$.
4. $\cos (-\pi )=$
   $-\pi +2\pi =\pi$ : l’image est $I\prime (-1;0)$, d’abscisse $-1$.

Donner le signe sans calculer : écris positif ou négatif.

1. $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{7}}$ est
   ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\displaystyle \frac{5\pi }{7}}<\pi$ : deuxième quadrant, abscisse négative.
2. $\sin (-{\displaystyle \frac{2\pi }{9}})$ est
   $-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<-{\displaystyle \frac{2\pi }{9}}<0$ : quatrième quadrant, ordonnée négative.
3. $\sin {\displaystyle \frac{11\pi }{12}}$ est
   ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\displaystyle \frac{11\pi }{12}}<\pi$ : deuxième quadrant, ordonnée positive.
4. $\cos (-{\displaystyle \frac{4\pi }{5}})$ est
   $-\pi <-{\displaystyle \frac{4\pi }{5}}<-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : troisième quadrant, abscisse négative.

Utiliser ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ et l’intervalle. Une fraction s’écrit avec « / ». Pour une racine carrée, écris √ ou « racine » (exemple : √5/3 ou racine(5)/3).

1. $\sin x=-{\displaystyle \frac{5}{13}}$ et $x\in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0[$ : $\cos x=$
   ${\cos }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{25}{169}}={\displaystyle \frac{144}{169}}$, donc $\cos x={\displaystyle \frac{12}{13}}$ ou $-{\displaystyle \frac{12}{13}}$. Quatrième quadrant : $\cos x>0$, donc $\cos x={\displaystyle \frac{12}{13}}$.
2. $\cos y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ et $y\in \left]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right[$ : $\sin y=$
   ${\sin }^{2}y=1-{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{15}{16}}$. Deuxième quadrant : $\sin y>0$, donc $\sin y={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}$.
3. On sait que $\cos t=0,28$ et $t\in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0[$. Justifier le signe de $\sin t$, puis donner $\sin t=$
   Rédaction attendue. D’après la relation ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ : ${\sin }^{2}t=1-0,{28}^2=1-0,0784=0,9216$. Or $0,{96}^2=0,9216$, donc $\sin t=0,96$ ou $\sin t=-0,96$. Comme $t\in ]-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0[$, l’image de $t$ est dans le quatrième quadrant, où l’ordonnée est négative : $\sin t=-0,96$.

Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Si l’on avait $\cos z=0,7$ et $\sin z=0,7$, on aurait ${\cos }^{2}z+{\sin }^{2}z=$
   $0,49+0,49=0,98$, et $0,98\ne 1$ : c’est contraire à la relation fondamentale, valable pour tout réel. Aucun réel $z$ ne vérifie les deux égalités : le point $(0,7;0,7)$ est à l’intérieur du cercle, pas dessus.
2. Démontrer que, pour tout réel $x$, $(\cos x+\sin x{)}^2=1+2\sin x\cos x$. Si $x\in [0;\pi ]$ et $\cos x=-{\displaystyle \frac{8}{17}}$, alors $(\cos x+\sin x{)}^2=$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $(\cos x+\sin x{)}^2$ $={\cos }^{2}x+2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x$ $=1+2\sin x\cos x$, car ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. Ici, ${\sin }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{64}{289}}={\displaystyle \frac{225}{289}}$ ; comme $x\in [0;\pi ]$, l’image est dans la moitié supérieure du cercle, donc $\sin x⩾0$ et $\sin x={\displaystyle \frac{15}{17}}$. Alors $(\cos x+\sin x{)}^2=1+2\times {\displaystyle \frac{15}{17}}\times (-{\displaystyle \frac{8}{17}})=1-{\displaystyle \frac{240}{289}}={\displaystyle \frac{49}{289}}$. Vérification directe : ${\left({\displaystyle \frac{15-8}{17}}\right)}^2={\displaystyle \frac{49}{289}}$.
3. Pour tout réel $x$, $(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2=$
   On développe : $({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$ $+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$ $=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$.

Valeurs exactes. Une fraction s’écrit avec « / ». Pour une racine carrée, écris √ ou « racine » (exemple : √5/3 ou racine(5)/3).

1. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=$
   D’après le tableau, $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\approx 0,87$ : l’image de ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ est proche de $I$, son abscisse est grande.
2. $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=$
   $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ : l’image est sur la droite d’équation $y=x$.
3. $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=$
   $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : l’image de ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ est basse.
4. $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=$
   L’image de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ est $J(0;1)$, d’abscisse $0$.

Calculer la valeur exacte. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\cos 0=$
   $2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+1=1+1=2$.
2. ${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{4}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=$
   ${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$ : la somme vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}+1={\displaystyle \frac{3}{2}}$.
3. $4\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=$
   $4\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=4\times {\displaystyle \frac{3}{4}}=3$.
4. $\sqrt{2}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-\sqrt{3}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=$
   $\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-\sqrt{3}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{2}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3). Pour une racine carrée, écris √ ou « racine » (exemple : √5/3 ou racine(5)/3).

1. Le point $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ est l’image du réel de $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ égal à
   Dans le tableau, $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ pour $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.
2. Le point $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$ est l’image du réel de $\left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ égal à
   Abscisse et ordonnée égales : le point est sur la droite $y=x$, c’est l’image de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.
3. On sait que ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<{\displaystyle \frac{\pi }{5}}<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Justifier que ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}<\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}<c$ avec $c=$
   Rédaction attendue. Quand le réel augmente de $0$ à ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, son image parcourt le quart de cercle de $I$ vers $J$ et son abscisse diminue. Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<{\displaystyle \frac{\pi }{5}}<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, on a $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}<\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}<\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}<\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. (En effet, $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\approx 0,81$, entre $0,71$ et $0,87$.)

Soit $M$ l’image de ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ sur le cercle trigonométrique et $K$ son projeté orthogonal sur la droite $(OJ)$. Pour une racine carrée, écris √ ou « racine » (exemple : √5/3 ou racine(5)/3).

1. Le triangle $OJM$ est (donne sa nature précise).
   $OJ=OM=1$ (rayons) et $JOM={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, soit ${60}^{\circ }$ : les deux autres angles mesurent ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-{60}^{\circ }}{2}}={60}^{\circ }$. Le triangle est équilatéral.
2. Justifier que $K$ est le milieu de $[OJ]$. On en déduit $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=$
   Rédaction attendue. Dans le triangle équilatéral $OJM$, la droite $(MK)$ est la hauteur issue de $M$ ; dans un triangle équilatéral, chaque hauteur est aussi une médiane, donc $K$ est le milieu de $[OJ]$ et $OK={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Or $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ est l’ordonnée de $M$, c’est-à-dire $OK$ : $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
3. L’aire du triangle $OJM$ vaut
   Aire $={\displaystyle \frac{OJ\times KM}{2}}$ avec $KM=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ (abscisse de $M$) : aire $={\displaystyle \frac{1\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$.

Valeurs exactes par les angles associés. Une fraction s’écrit avec « / ». Pour une racine carrée, écris √ ou « racine » (exemple : √5/3 ou racine(5)/3).

1. $\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=$
   ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, donc $\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.
2. $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=$
   ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.
3. $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=$
   $\sin (-x)=-\sin x$, donc $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.
4. $\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}=$
   ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}=\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

On donne $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\approx 0,809$ et $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\approx 0,588$. Donner une valeur approchée.

1. $\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}\approx$
   ${\displaystyle \frac{4\pi }{5}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{5}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\approx -0,809$.
2. $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}\approx$
   ${\displaystyle \frac{3\pi }{10}}={\displaystyle \frac{5\pi }{10}}-{\displaystyle \frac{2\pi }{10}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{10}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\approx 0,588$.
3. $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{10}}\approx$
   ${\displaystyle \frac{7\pi }{10}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$, donc $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{10}}=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\approx 0,809$.
4. $\sin {\displaystyle \frac{6\pi }{5}}\approx$
   ${\displaystyle \frac{6\pi }{5}}=\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$, donc $\sin {\displaystyle \frac{6\pi }{5}}=-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\approx -0,588$.

Pour tout réel $x$, on pose $A=\cos (\pi -x)+\cos (-x)$ $+\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)$, $B=\sin (\pi +x)\sin (-x)$ $+{\cos }^2(\pi -x)$ et $C=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)$ $+\sin (\pi -x)\sin (x+\pi )$.

1. $A=k\cos x$ avec $k=$
   $\cos (\pi -x)=-\cos x$, $\cos (-x)=\cos x$ et $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=\cos x$. Donc $A=-\cos x+\cos x+\cos x=\cos x$ : $k=1$.
2. Démontrer que $B$ ne dépend pas de $x$ : $B=$
   Rédaction attendue. D’après les angles associés, $\sin (\pi +x)=-\sin x$ et $\sin (-x)=-\sin x$, donc $\sin (\pi +x)\sin (-x)=(-\sin x)(-\sin x)={\sin }^{2}x$. De plus $\cos (\pi -x)=-\cos x$, donc ${\cos }^2(\pi -x)={\cos }^{2}x$. Ainsi $B={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ pour tout réel $x$ : $B$ ne dépend pas de $x$.
3. $C=k{\sin }^{2}x$ avec $k=$
   $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$, $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=-\sin x$, $\sin (\pi -x)=\sin x$ et $\sin (x+\pi )=-\sin x$. Donc $C=-{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x=-2{\sin }^{2}x$ : $k=-2$.

Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3). Pour une racine carrée, écris √ ou « racine » (exemple : √5/3 ou racine(5)/3).

1. Justifier que $M(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$ est sur le cercle trigonométrique. La mesure principale du réel associé à $M$ est
   Rédaction attendue. ${(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}=1$, donc $OM=1$ : $M$ est sur le cercle. Ses deux coordonnées sont négatives : troisième quadrant. Or l’image de ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ est $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$ et $M$ est son symétrique par rapport à $O$ : $M$ est l’image de $\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$, dont la mesure principale est ${\displaystyle \frac{4\pi }{3}}-2\pi =-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.
2. Le point $N(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})$ est l’image du réel de $]-\pi ;\pi ]$ égal à
   Deuxième quadrant ; $N$ est le symétrique de l’image de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ par rapport à l’axe des ordonnées, donc l’image de $\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.
3. L’image $D$ de ${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$ a pour ordonnée
   ${\displaystyle \frac{5\pi }{3}}=2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ : même image que $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Donc l’ordonnée de $D$ est $\sin (-{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.
4. Pour tout réel $x$, $\sin (\pi -x)-\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=k\sin x$ avec $k=$
   $\sin (\pi -x)=\sin x$ et $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=-\sin x$. Donc l’expression vaut $\sin x+\sin x=2\sin x$ : $k=2$.