Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Produit scalaire

Q: Comment calculer un produit scalaire avec un angle ?

Si les deux vecteurs sont non nuls et forment un angle θ, u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ. Les deux vecteurs doivent partir du même point ; le résultat est positif si l’angle est aigu, nul s’il est droit, négatif s’il est obtus.

Q: Comment utiliser le projeté orthogonal pour un produit scalaire ?

Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors AB · AC = AB · AH, qui vaut AB × AH si H et B sont du même côté de A, et −AB × AH sinon. C’est la méthode la plus rapide dans un carré, un rectangle ou un triangle rectangle.

Q: À quoi sert le développement de ‖u + v‖² ?

Par bilinéarité, ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u · v + ‖v‖². On s’en sert pour calculer une norme quand on connaît le produit scalaire, ou l’inverse : avec les seules longueurs d’un triangle, AB · AC = (AB² + AC² − BC²)/2.

Q: Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux en repère ?

Dans un repère orthonormé, u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont orthogonaux si et seulement si xx′ + yy′ = 0. On l’utilise pour prouver qu’un triangle est rectangle ou que deux droites sont perpendiculaires, et pour trouver un paramètre.

Q: À quoi sert le théorème d’Al-Kashi ?

Dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos Â. Avec deux côtés et l’angle compris, il donne le troisième côté ; avec les trois côtés, il donne le cosinus de chaque angle. Si l’angle est droit, c’est le théorème de Pythagore.

Q: Quel est l’ensemble des points M tels que MA · MB = 0 ?

C’est le cercle de diamètre [AB]. On le démontre avec le milieu I de [AB] : MA · MB = MI² − AB²/4, qui est nul si et seulement si MI = AB/2.

Définition avec le cosinus et par projection orthogonale, bilinéarité, développement de ‖u + v‖² et ‖u − v‖², coordonnées par produits scalaires, calcul en repère orthonormé, orthogonalité et angles, théorème d’Al-Kashi, ensemble des points M tels que MA · MB = 0.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur le produit scalaire suit six parties : la définition avec le cosinus et l’orthogonalité, le calcul par projection orthogonale, la bilinéarité et le développement de ‖u + v‖², le calcul en repère orthonormé avec les angles, le théorème d’Al-Kashi, puis l’ensemble des points M tels que MA · MB = 0. Les deux démonstrations exigibles (Al-Kashi et cercle de diamètre [AB]) y sont rédigées, avec des figures.

Définition avec le cosinus et orthogonalité

Ce qu’il faut savoir

Définition avec le cosinus. Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls et $θ$ l’angle géométrique qu’ils forment, avec $0^{\circ} ⩽ θ ⩽ 180^{\circ}$ (soit $0 ⩽ θ ⩽ π$ ). Le produit scalaire de $\vec{u}$ par $\vec{v}$ est le nombre réel $\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖ \times \cos θ .$ Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ , on pose $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

Avec des points. Pour $A$ , $B$ , $C$ avec $A \neq B$ et $A \neq C$ : $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ $= A B \times A C \times \cos B A C$ . Les deux vecteurs doivent partir du même point.

Signe. $\vec{u} \cdot \vec{v}$ a le signe de $\cos θ$ : positif si l’angle est aigu, nul si l’angle est droit, négatif si l’angle est obtus.

Cas extrêmes. $\vec{u} \cdot \vec{v}$ $= ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖$ si les vecteurs sont colinéaires de même sens ( $\cos 0^{\circ} = 1$ ) ; $\vec{u} \cdot \vec{v}$ $= - ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖$ s’ils sont de sens contraires ( $\cos 180^{\circ} = - 1$ ). Comme $- 1 ⩽ \cos θ ⩽ 1$ , on a toujours $- ‖ \vec{u} ‖ ‖ \vec{v} ‖ ⩽ \vec{u} \cdot \vec{v} ⩽ ‖ \vec{u} ‖ ‖ \vec{v} ‖$ .

Carré scalaire. $\vec{u} \cdot \vec{u} = ‖ \vec{u} ‖^{2}$ , noté aussi ${\vec{u}}^{2}$ . En particulier $\vec{A B} \cdot \vec{A B} = A B^{2}$ .

Symétrie. $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ (l’angle est le même).

Orthogonalité. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ : pour des vecteurs non nuls, cela veut dire $\cos θ = 0$ , soit $θ = 90^{\circ}$ . Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.

Cosinus à connaître (vus en trigonométrie) : $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $\cos 90^{\circ} = 0$ ; et $\cos (180^{\circ} - α) = - \cos α$ , donc $\cos 120^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $\cos 135^{\circ} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos 150^{\circ} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exemples

Calcul direct. $‖ \vec{u} ‖ = 5$ , $‖ \vec{v} ‖ = 2$ et $θ = 120^{\circ}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \times 2 \times \cos 120^{\circ}$ $= 10 \times (- \frac{1}{2}) = - 5$ . Le résultat est négatif : l’angle est obtus.

Avec des racines. $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{2}$ , $‖ \vec{v} ‖ = 6$ et $θ = 135^{\circ}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{2} \times 6 \times (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ $= - \frac{6 \times 2}{2} = - 6$ .

Ramener à la même origine (réponse rédigée). Dans un triangle $A B C$ , $A B = 4$ , $B C = 6$ et $A B C = 60^{\circ}$ . Calculer $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ .
Les vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{B C}$ ne partent pas du même point. Or $\vec{A B} = - \vec{B A}$ , donc $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - \vec{B A} \cdot \vec{B C}$ $= - B A \times B C \times \cos A B C$ $= - 4 \times 6 \times \frac{1}{2} = - 12$ .

Réflexe — Je repère ce que l’énoncé donne : deux normes (ou deux longueurs) et l’angle entre les vecteurs, ramenés à la même origine. J’écris $‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖ \times \cos θ$ avec la valeur exacte du cosinus, puis je contrôle le signe avec l’angle (aigu : positif, obtus : négatif).

Attention — Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur. Et l’angle de $\vec{A B}$ et $\vec{B C}$ n’est pas $A B C$ : c’est son supplémentaire, car les vecteurs ne partent pas du même point.

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Produit scalaire et projection orthogonale

Ce qu’il faut savoir

Projeté orthogonal. Le projeté orthogonal d’un point $C$ sur une droite $(A B)$ est le point $H$ de $(A B)$ tel que $(C H) ⟂ (A B)$ (et $H = C$ si $C$ est sur $(A B)$ ).

Propriété. Soient $A$ , $B$ , $C$ trois points avec $A \neq B$ , et $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ . Alors $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{A B} \cdot \vec{A H} .$ Donc $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = A B \times A H$ si $H$ et $B$ sont du même côté de $A$ (vecteurs $\vec{A B}$ et $\vec{A H}$ de même sens), et $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - A B \times A H$ sinon. Si $H = A$ , le produit scalaire est nul.

Pourquoi (lien avec le cosinus). Si l’angle $B A C$ est aigu, $H$ est sur la demi-droite $[A B)$ et le triangle $A H C$ est rectangle en $H$ : $A H = A C \times \cos B A C$ , donc $A B \times A H = A B \times A C \times \cos B A C$ $= \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ . Si l’angle est obtus, $H$ est de l’autre côté de $A$ et $A H = A C \times \cos (180^{\circ} - B A C)$ $= - A C \times \cos B A C$ : on obtient $- A B \times A H$ . Les deux définitions (projection et cosinus) donnent le même nombre.

Cas utiles. Si $(B C) ⟂ (A B)$ , le projeté de $C$ est $B$ : $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = A B^{2}$ . Si $B A C$ est droit, $H = A$ et le produit est nul. Plus généralement, pour calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ , on peut remplacer $\vec{v}$ par son projeté orthogonal sur la direction de $\vec{u}$ .

Exemples

Même côté. $A B = 6$ et le projeté $H$ de $C$ sur $(A B)$ est sur la demi-droite $[A B)$ avec $A H = 2$ : $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = A B \times A H$ $= 6 \times 2 = 12$ .

Côté opposé. $A B = 8$ ; le projeté $H$ de $C$ sur $(A B)$ vérifie $A H = 3$ , mais $H$ est de l’autre côté de $A$ par rapport à $B$ (l’angle $B A C$ est obtus) : $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - A B \times A H$ $= - 8 \times 3 = - 24$ .

Angle droit (réponse rédigée). $A B C$ est rectangle en $B$ , avec $A B = 7$ . Calculer $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .
Le triangle est rectangle en $B$ , donc $(B C) ⟂ (A B)$ : le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ est $B$ . Ainsi $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{A B} \cdot \vec{A B}$ $= A B^{2} = 49$ . On n’a eu besoin ni de $B C$ , ni d’un angle.

Réflexe — Dans une figure avec des angles droits (carré, rectangle, triangle rectangle, hauteur) et des longueurs connues, je projette le second vecteur sur la droite qui porte le premier : le produit scalaire devient un produit de deux longueurs, avec le signe $+$ ou $-$ selon le sens.

Attention — On projette sur la droite qui porte l’autre vecteur, et les deux vecteurs doivent partir du même point $A$ . Oublier le signe $-$ quand $H$ est de l’autre côté de $A$ est l’erreur la plus fréquente.

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Bilinéarité, ‖u + v‖² et calcul avec les normes

Ce qu’il faut savoir

Règles de calcul. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ et tout réel $k$ :

• symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ ;

• bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w})$ $= \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ et $(k \vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v})$ .

On développe donc comme en algèbre (en gardant l’ordre libre grâce à la symétrie).

Identités remarquables. $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2} = ‖ \vec{u} ‖^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ $‖ \vec{u} - \vec{v} ‖^{2} = ‖ \vec{u} ‖^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ‖ \vec{u} ‖^{2} - ‖ \vec{v} ‖^{2}$

Démonstration de la première. $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2}$ $= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$ $= \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v}$ $+ \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v}$ (bilinéarité) $= ‖ \vec{u} ‖^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ (symétrie). Même calcul pour les deux autres.

Produit scalaire avec les normes seules. En isolant $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2} - ‖ \vec{u} ‖^{2} - ‖ \vec{v} ‖^{2})$ $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (‖ \vec{u} ‖^{2} + ‖ \vec{v} ‖^{2} - ‖ \vec{u} - \vec{v} ‖^{2})$ Dans un triangle $A B C$ , avec $\vec{u} = \vec{A B}$ , $\vec{v} = \vec{A C}$ et $\vec{u} - \vec{v} = \vec{C B}$ : $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}) .$

Pythagore vectoriel. $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2}$ $= ‖ \vec{u} ‖^{2} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , c’est-à-dire $\vec{u} ⟂ \vec{v}$ .

Exemples

Norme d’une somme. $‖ \vec{u} ‖ = 3$ , $‖ \vec{v} ‖ = 2$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = - 1$ : $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2}$ $= 9 + 2 \times (- 1) + 4 = 11$ , donc $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ = \sqrt{11}$ .

Retrouver le produit scalaire. $‖ \vec{u} ‖ = 2$ , $‖ \vec{v} ‖ = 5$ et $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ = 6$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (36 - 4 - 25)$ $= \frac{7}{2}$ .

Trois longueurs suffisent (réponse rédigée). Un triangle $A B C$ vérifie $A B = 4$ , $A C = 6$ et $B C = 5$ . Calculer $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ .
On a $\vec{C B} = \vec{A B} - \vec{A C}$ , donc $B C^{2} = ‖ \vec{A B} - \vec{A C} ‖^{2}$ $= A B^{2} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{A C} + A C^{2}$ . Ainsi $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ $= \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ $= \frac{1}{2} (16 + 36 - 25) = \frac{27}{2}$ .

Réflexe — Quand l’énoncé donne des normes (ou les trois côtés d’un triangle) et pas d’angle, je pense aux identités remarquables : je développe $‖ \vec{u} \pm \vec{v} ‖^{2}$ et j’isole l’inconnue. Pour une norme, je calcule toujours son carré, puis je prends la racine.

Attention — $‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ \neq ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ en général. Et on ne simplifie pas un produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$ n’entraîne pas $\vec{v} = \vec{w}$ (seulement $\vec{u} ⟂ (\vec{v} - \vec{w})$ ).

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En repère orthonormé : coordonnées, orthogonalité, angles

Ce qu’il faut savoir

Théorème. Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ , si $\vec{u} (x; y)$ et $\vec{v} (x'; y')$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' et ‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .$

Démonstration. $\vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j}$ et $\vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j}$ . Par bilinéarité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' \vec{i} \cdot \vec{i}$ $+ x y' \vec{i} \cdot \vec{j}$ $+ y x' \vec{j} \cdot \vec{i}$ $+ y y' \vec{j} \cdot \vec{j}$ . La base est orthonormée : $\vec{i} \cdot \vec{i} = \vec{j} \cdot \vec{j} = 1$ et $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$ . D’où $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$ . Avec $\vec{v} = \vec{u}$ : $‖ \vec{u} ‖^{2} = x^{2} + y^{2}$ .

Coordonnées et produits scalaires. Le même calcul donne $\vec{u} \cdot \vec{i} = x$ et $\vec{u} \cdot \vec{j} = y$ : dans une base orthonormée, les coordonnées d’un vecteur sont ses produits scalaires avec les vecteurs de la base.

Critère d’orthogonalité. $\vec{u} (x; y) ⟂ \vec{v} (x'; y')$ $⟺ x x' + y y' = 0$ . En particulier, $\vec{u} (a; b)$ et $\vec{v} (- b; a)$ sont toujours orthogonaux, et de même norme.

Angle de deux vecteurs non nuls. $\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖}$ et dans un triangle : $\cos B A C = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{A B \times A C}$ .

Usages. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si des vecteurs directeurs sont orthogonaux ; un triangle $A B C$ est rectangle en $A$ si et seulement si $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$ .

Exemples

Calcul. $\vec{u} (2; - 3)$ et $\vec{v} (4; 5)$ : $\vec{u} \cdot \vec{v}$ $= 2 \times 4 + (- 3) \times 5 = 8 - 15$ $= - 7$ , et $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ .

Orthogonalité. $\vec{u} (4; 6)$ et $\vec{v} (- 3; 2)$ : $4 \times (- 3) + 6 \times 2 = - 12 + 12$ $= 0$ , donc $\vec{u} ⟂ \vec{v}$ : des droites dirigées par ces vecteurs sont perpendiculaires.

Un angle (réponse rédigée). Le repère est orthonormé, $\vec{u} (3; 1)$ et $\vec{v} (1; 2)$ . Déterminer l’angle $θ$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 1 + 1 \times 2$ $= 5$ ; $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{10}$ et $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{5}$ . Donc $\cos θ = \frac{5}{\sqrt{10} \times \sqrt{5}}$ $= \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Comme $θ \in [0^{\circ}; 180^{\circ}]$ , $θ = 45^{\circ}$ .

Réflexe — Avant d’écrire $x x' + y y'$ , je vérifie que le repère est orthonormé. Pour un angle de triangle, je pars du sommet : $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ pour l’angle en $A$ , puis $\cos$ $= \frac{produit scalaire}{produit des longueurs}$ .

Attention — La formule $x x' + y y'$ est fausse dans un repère qui n’est pas orthonormé. Et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ n’entraîne pas $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ : deux vecteurs non nuls orthogonaux ont un produit scalaire nul.

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Le théorème d’Al-Kashi

Ce qu’il faut savoir

Théorème d’Al-Kashi. Dans un triangle $A B C$ , on note $a = B C$ , $b = A C$ et $c = A B$ (chaque côté est nommé par le sommet opposé). Alors $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ et de même $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos \hat{B}$ , $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos \hat{C}$ .

Démonstration (exigible). Par la relation de Chasles, $\vec{B C} = \vec{A C} - \vec{A B}$ . Donc $B C^{2} = ‖ \vec{A C} - \vec{A B} ‖^{2}$ $= A C^{2} - 2 \vec{A B} \cdot \vec{A C} + A B^{2}$ . Or $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = A B \times A C \times \cos \hat{A}$ . D’où $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ .

Cas particulier. Si $\hat{A} = 90^{\circ}$ , $\cos \hat{A} = 0$ : on retrouve le théorème de Pythagore.

Deux usages. Deux côtés et l’angle compris → le troisième côté. Trois côtés → un angle, avec $\cos \hat{A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ ; le signe de $b^{2} + c^{2} - a^{2}$ dit si l’angle $\hat{A}$ est aigu (positif), droit (nul) ou obtus (négatif). Si $a$ est le plus grand côté, alors $a^{2} + c^{2} - b^{2} > 0$ et $a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ : les angles $\hat{B}$ et $\hat{C}$ sont aigus, et seul l’angle $\hat{A}$ , opposé au plus grand côté, peut être droit ou obtus.

Aire. La hauteur issue de $C$ mesure $A C \times \sin \hat{A}$ (si $\hat{A}$ est obtus, elle vaut $A C \times \sin (180^{\circ} - \hat{A}) = A C \times \sin \hat{A}$ ). L’aire du triangle vaut donc $𝒜 = \frac{1}{2} b c \sin \hat{A}$ . Si l’on connaît seulement le cosinus, on obtient $\sin \hat{A}$ (positif) avec $\cos^{2} \hat{A} + \sin^{2} \hat{A} = 1$ (voir le chapitre Trigonométrie).

Exemples

Un côté. $A B = 7$ , $A C = 5$ et $\hat{A} = 60^{\circ}$ : $B C^{2}$ $= 5^{2} + 7^{2} - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2}$ $= 74 - 35 = 39$ , donc $B C = \sqrt{39}$ .

Un angle (réponse rédigée). Un triangle a pour côtés $4$ , $5$ et $6$ . Son plus grand angle est-il aigu ?
Le plus grand angle, noté $α$ , est opposé au plus grand côté, $6$ . Al-Kashi : $6^{2}$ $= 4^{2} + 5^{2} - 2 \times 4 \times 5 \times \cos α$ , soit $36 = 41 - 40 \cos α$ . Donc $\cos α = \frac{41 - 36}{40} = \frac{1}{8} > 0$ : le plus grand angle est aigu, et le triangle a ses trois angles aigus.

Réflexe — J’écris d’abord la formule avec les lettres du triangle de l’énoncé, en partant du côté opposé à l’angle utilisé ; je remplace ensuite. Pour un angle, j’isole $\cos$ avant de conclure.

Attention — Le signe $-$ dans $- 2 b c \cos \hat{A}$ et le signe du cosinus se combinent : avec un angle obtus, $\cos \hat{A} < 0$ et $- 2 b c \cos \hat{A}$ est positif. L’angle utilisé est toujours celui compris entre les deux côtés $b$ et $c$ .

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L’ensemble des points M tels que MA · MB = 0

Ce qu’il faut savoir

Transformation de $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ . Soit $I$ le milieu de $[A B]$ . Pour tout point $M$ : $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = M I^{2} - \frac{A B^{2}}{4} .$

Démonstration. $\vec{M A} = \vec{M I} + \vec{I A}$ et $\vec{M B} = \vec{M I} + \vec{I B}$ , avec $\vec{I B} = - \vec{I A}$ ( $I$ milieu). Donc $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ $= (\vec{M I} + \vec{I A}) \cdot (\vec{M I} - \vec{I A})$ $= M I^{2} - I A^{2}$ (identité remarquable). Or $I A = \frac{A B}{2}$ , d’où le résultat.

Théorème (démonstration exigible). L’ensemble des points $M$ tels que $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ est le cercle de diamètre $[A B]$ .
En effet, $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0 ⟺ M I^{2} = \frac{A B^{2}}{4}$ $⟺ M I = \frac{A B}{2}$ (des longueurs sont positives) : c’est le cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{A B}{2}$ . Les points $A$ et $B$ en font partie ; pour $M$ distinct de $A$ et de $B$ , cela redit que l’angle $A M B$ est droit.

Ensemble $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = k$ . Il équivaut à $M I^{2} = k + \frac{A B^{2}}{4}$ : si ce nombre est positif, c’est le cercle de centre $I$ et de rayon $\sqrt{k + \frac{A B^{2}}{4}}$ ; s’il est nul, c’est le point $I$ ; s’il est négatif, l’ensemble est vide.

Exemples

En repère (réponse rédigée). Le repère est orthonormé, $A (- 1; 0)$ , $B (3; 0)$ et $M (1; 2)$ . Montrer que $M$ est sur le cercle de diamètre $[A B]$ .
$\vec{M A} (- 2; - 2)$ et $\vec{M B} (2; - 2)$ , donc $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ $= (- 2) \times 2 + (- 2) \times (- 2)$ $= - 4 + 4 = 0$ . D’après le théorème, $M$ appartient au cercle de diamètre $[A B]$ , de centre $I (1; 0)$ et de rayon $\frac{A B}{2} = 2$ .

Un cercle. $A B = 8$ ; l’ensemble des points $M$ tels que $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 9$ : $M I^{2} - 16 = 9$ , soit $M I^{2} = 25$ et $M I = 5$ . C’est le cercle de centre $I$ et de rayon $5$ .

L’ensemble vide. Toujours avec $A B = 8$ : $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 20$ donne $M I^{2} = - 4$ , impossible. Aucun point ne convient.

Réflexe — Devant $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ , je fais apparaître le milieu $I$ de $[A B]$ (relation de Chasles) et j’écris $M I^{2} - \frac{A B^{2}}{4}$ : l’ensemble cherché se lit sur la valeur de $M I^{2}$ .

Attention — Le rayon du cercle de diamètre $[A B]$ est $\frac{A B}{2}$ , pas $A B$ . Et l’équation de cercle en coordonnées (forme $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ) se travaille dans le chapitre Géométrie repérée.

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Pour aller plus loin

Géométrie repérée. Le produit scalaire sert ensuite en repère : vecteur normal et équation cartésienne d’une droite, projeté orthogonal d’un point sur une droite, équation d’un cercle (par exemple celle du cercle de diamètre $[A B]$ ), intersections. Tout cela est traité dans le chapitre Géométrie repérée.

En Terminale. Le produit scalaire s’étend à l’espace, avec les mêmes règles de calcul et une troisième coordonnée : $x x' + y y' + z z'$ .

À retenir

$\vec{u} \cdot \vec{v}$ $= ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖ \times \cos θ$ : un nombre, du signe de $\cos θ$ ; $\vec{u} \cdot \vec{u} = ‖ \vec{u} ‖^{2}$ .
Projection : $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{A B} \cdot \vec{A H}$ $= \pm A B \times A H$ ( $+$ si $H$ et $B$ sont du même côté de $A$ ).
$‖ \vec{u} \pm \vec{v} ‖^{2}$ $= ‖ \vec{u} ‖^{2} \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ ; dans un triangle, $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ $= \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ .
Repère orthonormé : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y'$ ; $\vec{u} ⟂ \vec{v} ⟺ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ; $\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{‖ \vec{u} ‖ ‖ \vec{v} ‖}$ .
Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ (Pythagore si $\hat{A} = 90^{\circ}$ ).
$\vec{M A} \cdot \vec{M B} = M I^{2} - \frac{A B^{2}}{4}$ ; $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0 ⟺ M$ est sur le cercle de diamètre $[A B]$ .

Questions fréquentes

Comment calculer un produit scalaire avec un angle ?

Si les deux vecteurs sont non nuls et forment un angle θ, u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ. Les deux vecteurs doivent partir du même point ; le résultat est positif si l’angle est aigu, nul s’il est droit, négatif s’il est obtus.

Comment utiliser le projeté orthogonal pour un produit scalaire ?

Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), alors AB · AC = AB · AH, qui vaut AB × AH si H et B sont du même côté de A, et −AB × AH sinon. C’est la méthode la plus rapide dans un carré, un rectangle ou un triangle rectangle.

À quoi sert le développement de ‖u + v‖² ?

Par bilinéarité, ‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u · v + ‖v‖². On s’en sert pour calculer une norme quand on connaît le produit scalaire, ou l’inverse : avec les seules longueurs d’un triangle, AB · AC = (AB² + AC² − BC²)/2.

Comment montrer que deux vecteurs sont orthogonaux en repère ?

Dans un repère orthonormé, u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont orthogonaux si et seulement si xx′ + yy′ = 0. On l’utilise pour prouver qu’un triangle est rectangle ou que deux droites sont perpendiculaires, et pour trouver un paramètre.

À quoi sert le théorème d’Al-Kashi ?

Dans un triangle ABC, BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos Â. Avec deux côtés et l’angle compris, il donne le troisième côté ; avec les trois côtés, il donne le cosinus de chaque angle. Si l’angle est droit, c’est le théorème de Pythagore.

Quel est l’ensemble des points M tels que MA · MB = 0 ?

C’est le cercle de diamètre [AB]. On le démontre avec le milieu I de [AB] : MA · MB = MI² − AB²/4, qui est nul si et seulement si MI = AB/2.

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