Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs ?

On peut utiliser la définition $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ ou, en repère orthonormé, $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_u x_v + y_u y_v$.

À quoi sert le produit scalaire en géométrie ?

Le produit scalaire permet de déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux (produit nul), de calculer des distances, des angles et de démontrer des propriétés géométriques (hauteurs, médiatrices, etc.).

Comment montrer que deux droites sont perpendiculaires avec le produit scalaire ?

Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si les vecteurs directeurs ont un produit scalaire nul, c'est-à-dire $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.

Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Produit scalaire

Définition, propriétés et applications géométriques — programme de Spécialité Mathématiques 1re (lycée général)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Produit scalaire » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition géométrique du produit scalaire, Propriétés algébriques, Expression analytique en repère orthonormé, Formule du cosinus et calcul d'angle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.

Définition géométrique du produit scalaire

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. On note $\theta$ l'angle entre ces deux vecteurs ($0 \leq \theta \leq \pi$).

Définition. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est le réel :
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$
où $\theta$ est l'angle formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et $\|\vec{u}\|$, $\|\vec{v}\|$ sont leurs normes (longueurs).

Ce nombre peut être positif, négatif ou nul selon la valeur de $\theta$.

Exemple. Si $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=4$ et $\theta = 60°$, alors :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 4 \times \cos 60° = 12 \times \frac{1}{2} = 6$.

Formule du projeté orthogonal. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Alors :
$$\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}$$
Plus précisément, si $A$, $B$, $H$ sont trois points avec $H$ pied de la perpendiculaire de $B$ sur $(OA)$ :
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \pm OA \times OH$$
avec le signe $+$ si $H$ est du même côté que $A$ par rapport à $O$, et le signe $-$ sinon.

Propriétés algébriques

Le produit scalaire se comporte comme un produit ordinaire vis-à-vis de la commutativité et de la distributivité.

Propriétés. Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$ :

Commutativité : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$
Bilinéarité : $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$
Homogénéité : $(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})$
Carré scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (car $\cos 0 = 1$)

Attention ! Le produit scalaire n'est pas associatif : l'expression $(\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}$ n'a pas de sens car $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est un scalaire, pas un vecteur.

De ces propriétés, on tire les identités remarquables :

Identités remarquables vectorielles.
$$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$$
$$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$$
$$(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$$

La formule de polarisation permet d'exprimer le produit scalaire à partir des normes :

Formule de polarisation.
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$
ou encore : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)$

Expression analytique en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, le produit scalaire s'exprime très simplement à partir des coordonnées.

Théorème. Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$, alors :
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

Preuve. On écrit $\vec{u} = x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ et $\vec{v} = x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$. En utilisant la bilinéarité et le fait que $\vec{i}\cdot\vec{j}=0$ (vecteurs orthogonaux), $\vec{i}\cdot\vec{i}=1$ et $\vec{j}\cdot\vec{j}=1$ :

$\vec{u}\cdot\vec{v} = (x_1\vec{i}+y_1\vec{j})\cdot(x_2\vec{i}+y_2\vec{j}) = x_1 x_2(\vec{i}\cdot\vec{i}) + x_1 y_2(\vec{i}\cdot\vec{j}) + y_1 x_2(\vec{j}\cdot\vec{i}) + y_1 y_2(\vec{j}\cdot\vec{j}) = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Exemple. Avec $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 2 + (-1)\times 5 = 6 - 5 = 1$.

Norme en repère orthonormé. Pour $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ :
$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u} = x^2+y^2$, donc $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}$.

Formule du cosinus et calcul d'angle

La définition $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ permet de calculer l'angle entre deux vecteurs dès qu'on connaît leurs coordonnées.

Calcul de l'angle entre deux vecteurs. Si $\vec{u}\neq\vec{0}$ et $\vec{v}\neq\vec{0}$ :
$$\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}$$
L'angle $\theta$ est dans $[0;\ \pi]$.

Exemple. Avec $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1$, $\|\vec{u}\|=\sqrt{2}$, $\|\vec{v}\|=1$.
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta = 45°$.

On peut aussi calculer l'angle $\widehat{BAC}$ d'un triangle à partir des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Angle d'un triangle.
$$\cos\widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}$$
On détermine $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ par la formule analytique, puis on calcule $\cos$ de l'angle.

Attention ! L'angle $\theta$ est toujours pris entre $0$ et $\pi$ (de $0°$ à $180°$). L'arccosinus renvoie toujours une valeur dans $[0;\ \pi]$, ce qui correspond bien à un angle d'un triangle.

Orthogonalité de deux vecteurs

Un cas particulièrement utile est celui où l'angle est de $90°$ : $\cos 90° = 0$, donc le produit scalaire est nul.

Théorème d'orthogonalité. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$$
En repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\perp\vec{v} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

Exemple. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times(-3)+3\times 2 = -6+6=0$. Les vecteurs sont bien orthogonaux.

Application aux droites. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Vecteur normal. Un vecteur $\vec{n}$ est dit normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$. Si $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est normal à $d$, alors $d$ a une équation de la forme $ax+by+c=0$.

Applications : distances et théorèmes de géométrie

Le produit scalaire permet de retrouver et démontrer élégamment des propriétés classiques de la géométrie.

Théorème d'Al-Kashi (généralisation du théorème de Pythagore). Dans tout triangle $ABC$ :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$$
ou, avec les notations classiques $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ et $\hat{A}=\widehat{BAC}$ :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$

Démonstration. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, donc
$BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\|^2 = AB^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2$.

Théorème de la médiane. Si $M$ est le milieu de $[BC]$, alors pour tout point $A$ :
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AM}\|^2 - \frac{BC^2}{4}$$

Caractérisation de la médiatrice. La médiatrice du segment $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ (ou $MA=MB$, formulation équivalente classique).
En effet : $MA=MB \iff MA^2=MB^2 \iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MB}$, ce qui se reformule avec le produit scalaire.

Pythagore vectoriel. Si $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ (angle droit en $A$), on retrouve le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$. C'est un cas particulier d'Al-Kashi avec $\cos 90°=0$.

Produit scalaire et équation de cercle

Le produit scalaire permet de caractériser le cercle de manière très élégante, en lien avec le théorème de Thalès et l'angle inscrit dans un demi-cercle.

Caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$. Soient $A$ et $B$ deux points. Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si :
$$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$$

Démonstration. Si $O$ est le centre du cercle (milieu de $[AB]$) et $R$ son rayon, $M$ est sur le cercle $\iff$ $OM=R$. On peut écrire $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}$. Comme $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$ :
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{OA}) = OM^2 - OA^2 = OM^2 - R^2$.
Ce produit est nul si et seulement si $OM=R$, c'est-à-dire $M$ appartient au cercle.

Application pratique. Pour montrer qu'un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, on peut : (1) calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et vérifier qu'il vaut $0$ ; ou (2) montrer que $A$ est sur le cercle de diamètre $[BC]$ (vérifier $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$ ou $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\neq 0$ mais $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$).

À retenir — Produit scalaire

Définition : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ (angle entre $0$ et $\pi$).
En repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
Orthogonalité : $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Angle : $\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$.
Al-Kashi : $a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$.
Cercle de diamètre $[AB]$ : $M$ dessus $\iff$ $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

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