À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Produit scalaire » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition géométrique du produit scalaire, Propriétés algébriques, Expression analytique en repère orthonormé, Formule du cosinus et calcul d'angle. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Définition géométrique du produit scalaire
2 · Propriétés algébriques
3 · Expression analytique en repère orthonormé
4 · Formule du cosinus et calcul d'angle
5 · Orthogonalité de deux vecteurs
6 · Applications : distances et géométrie
7 · Produit scalaire et équation de cercle
1Définition géométrique du produit scalaire
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. On note $\theta$ l'angle entre ces deux vecteurs ($0 \leq \theta \leq \pi$).
Définition. Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$, est le réel :
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos\theta$$
où $\theta$ est l'angle formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et $\|\vec{u}\|$, $\|\vec{v}\|$ sont leurs normes (longueurs).
Ce nombre peut être positif, négatif ou nul selon la valeur de $\theta$.
Exemple. Si $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=4$ et $\theta = 60°$, alors :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3 \times 4 \times \cos 60° = 12 \times \frac{1}{2} = 6$.
Formule du projeté orthogonal. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$. Alors :
$$\vec{OA}\cdot\vec{OB} = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}$$
Plus précisément, si $A$, $B$, $H$ sont trois points avec $H$ pied de la perpendiculaire de $B$ sur $(OA)$ :
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} = \pm OA \times OH$$
avec le signe $+$ si $H$ est du même côté que $A$ par rapport à $O$, et le signe $-$ sinon.
2Propriétés algébriques
Le produit scalaire se comporte comme un produit ordinaire vis-à-vis de la commutativité et de la distributivité.
Propriétés. Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ et tout réel $k$ :
- Commutativité : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$
- Bilinéarité : $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$
- Homogénéité : $(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})$
- Carré scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ (car $\cos 0 = 1$)
Attention ! Le produit scalaire n'est pas associatif : l'expression $(\vec{u}\cdot\vec{v})\cdot\vec{w}$ n'a pas de sens car $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est un scalaire, pas un vecteur.
De ces propriétés, on tire les identités remarquables :
Identités remarquables vectorielles.
$$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$$
$$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$$
$$(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2$$
La formule de polarisation permet d'exprimer le produit scalaire à partir des normes :
Formule de polarisation.
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$$
ou encore : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{u}-\vec{v}\|^2\right)$
3Expression analytique en repère orthonormé
Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$, le produit scalaire s'exprime très simplement à partir des coordonnées.
Théorème. Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$, alors :
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$
Preuve. On écrit $\vec{u} = x_1\vec{i}+y_1\vec{j}$ et $\vec{v} = x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$. En utilisant la bilinéarité et le fait que $\vec{i}\cdot\vec{j}=0$ (vecteurs orthogonaux), $\vec{i}\cdot\vec{i}=1$ et $\vec{j}\cdot\vec{j}=1$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = (x_1\vec{i}+y_1\vec{j})\cdot(x_2\vec{i}+y_2\vec{j}) = x_1 x_2(\vec{i}\cdot\vec{i}) + x_1 y_2(\vec{i}\cdot\vec{j}) + y_1 x_2(\vec{j}\cdot\vec{i}) + y_1 y_2(\vec{j}\cdot\vec{j}) = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
Exemple. Avec $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 2 + (-1)\times 5 = 6 - 5 = 1$.
Norme en repère orthonormé. Pour $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ :
$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u} = x^2+y^2$, donc $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}$.
4Formule du cosinus et calcul d'angle
La définition $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ permet de calculer l'angle entre deux vecteurs dès qu'on connaît leurs coordonnées.
Calcul de l'angle entre deux vecteurs. Si $\vec{u}\neq\vec{0}$ et $\vec{v}\neq\vec{0}$ :
$$\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}$$
L'angle $\theta$ est dans $[0;\ \pi]$.
Exemple. Avec $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 1$, $\|\vec{u}\|=\sqrt{2}$, $\|\vec{v}\|=1$.
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta = 45°$.
On peut aussi calculer l'angle $\widehat{BAC}$ d'un triangle à partir des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :
Angle d'un triangle.
$$\cos\widehat{BAC} = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}$$
On détermine $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ par la formule analytique, puis on calcule $\cos$ de l'angle.
Attention ! L'angle $\theta$ est toujours pris entre $0$ et $\pi$ (de $0°$ à $180°$). L'arccosinus renvoie toujours une valeur dans $[0;\ \pi]$, ce qui correspond bien à un angle d'un triangle.
5Orthogonalité de deux vecteurs
Un cas particulièrement utile est celui où l'angle est de $90°$ : $\cos 90° = 0$, donc le produit scalaire est nul.
Théorème d'orthogonalité. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si :
$$\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$$
En repère orthonormé, si $\vec{u}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$ :
$\vec{u}\perp\vec{v} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.
Exemple. $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times(-3)+3\times 2 = -6+6=0$. Les vecteurs sont bien orthogonaux.
Application aux droites. Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
Vecteur normal. Un vecteur $\vec{n}$ est dit normal à une droite $d$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $d$. Si $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ est normal à $d$, alors $d$ a une équation de la forme $ax+by+c=0$.
6Applications : distances et théorèmes de géométrie
Le produit scalaire permet de retrouver et démontrer élégamment des propriétés classiques de la géométrie.
Théorème d'Al-Kashi (généralisation du théorème de Pythagore). Dans tout triangle $ABC$ :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$$
ou, avec les notations classiques $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$ et $\hat{A}=\widehat{BAC}$ :
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$
Démonstration. $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, donc
$BC^2 = \|\overrightarrow{BC}\|^2 = \|-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\|^2 = AB^2 - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + AC^2$.
Théorème de la médiane. Si $M$ est le milieu de $[BC]$, alors pour tout point $A$ :
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \|\overrightarrow{AM}\|^2 - \frac{BC^2}{4}$$
Caractérisation de la médiatrice. La médiatrice du segment $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ (ou $MA=MB$, formulation équivalente classique).
En effet : $MA=MB \iff MA^2=MB^2 \iff \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MB}$, ce qui se reformule avec le produit scalaire.
Pythagore vectoriel. Si $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ (angle droit en $A$), on retrouve le théorème de Pythagore : $BC^2 = AB^2 + AC^2$. C'est un cas particulier d'Al-Kashi avec $\cos 90°=0$.
7Produit scalaire et équation de cercle
Le produit scalaire permet de caractériser le cercle de manière très élégante, en lien avec le théorème de Thalès et l'angle inscrit dans un demi-cercle.
Caractérisation du cercle de diamètre $[AB]$. Soient $A$ et $B$ deux points. Un point $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si :
$$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = 0$$
Démonstration. Si $O$ est le centre du cercle (milieu de $[AB]$) et $R$ son rayon, $M$ est sur le cercle $\iff$ $OM=R$. On peut écrire $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}$. Comme $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$ :
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot(\overrightarrow{MO}-\overrightarrow{OA}) = OM^2 - OA^2 = OM^2 - R^2$.
Ce produit est nul si et seulement si $OM=R$, c'est-à-dire $M$ appartient au cercle.
Application pratique. Pour montrer qu'un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, on peut : (1) calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ et vérifier qu'il vaut $0$ ; ou (2) montrer que $A$ est sur le cercle de diamètre $[BC]$ (vérifier $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$ ou $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\neq 0$ mais $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$).
★À retenir
À retenir — Produit scalaire :
• Définition : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ (angle entre $0$ et $\pi$).
• En repère orthonormé : $\vec{u}\cdot\vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.
• Orthogonalité : $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
• Angle : $\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$.
• Al-Kashi : $a^2 = b^2+c^2-2bc\cos A$.
• Cercle de diamètre $[AB]$ : $M$ dessus $\iff$ $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.