Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : produit scalaire

Définition avec le cosinus et par projection orthogonale, bilinéarité, développement de ‖u + v‖² et ‖u − v‖², coordonnées par produits scalaires, calcul en repère orthonormé, orthogonalité et angles, théorème d’Al-Kashi, ensemble des points M tels que MA · MB = 0.

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Produit scalaire

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Géométrie · Produit scalaire)

Choisir la bonne méthode de calcul

1. Je lis les données : un angle et des normes, des angles droits dans la figure, des coordonnées, ou seulement des longueurs.

2. Je choisis la formule : cosinus ; projection orthogonale ; $x x' + y y'$ (repère orthonormé) ; identités remarquables ou Al-Kashi.

3. Je ramène les vecteurs à la même origine, ou je décompose avec Chasles puis je développe par bilinéarité.

4. Je conclus géométriquement : produit nul donc orthogonalité, cosinus donc angle, $M I^{2}$ donc ensemble de points.

Le réflexe — chaque calcul de produit scalaire s’annonce par sa méthode (« avec le cosinus », « par projection », « en repère orthonormé », « par bilinéarité ») : c’est elle qui rapporte les points de justification.

Cas 1 · Normes et angle

Réflexe — même origine, cosinus exact, contrôle du signe avec l’angle.

Exemple. Question type : « Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ». Exemple : $‖ \vec{u} ‖ = 4$ , $‖ \vec{v} ‖ = \sqrt{3}$ , angle de $30^{\circ}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times \sqrt{3} \times \cos 30^{\circ}$ $= 4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$ .

Angle aigu, résultat positif : cohérent.

Attention — l’angle de AB et BC est le supplémentaire de l’angle ABC.

Cas 2 · Projection orthogonale

Réflexe — figure avec angles droits : je projette sur la droite qui porte l’autre vecteur.

Exemple. Question type : « Calculer $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ dans un rectangle ». Exemple : $A B C D$ rectangle, $A B = 5$ , $A D = 2$ .

$(B C) ⟂ (A B)$ : le projeté de $C$ sur $(A B)$ est $B$ .

Donc $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = A B^{2} = 25$ .

Attention — H de l’autre côté de A : signe moins.

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Cas 3 · Normes seules

Réflexe — j’isole le produit scalaire dans ‖u ± v‖².

Exemple. Question type : « En déduire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ». Exemple : $‖ \vec{u} ‖ = 2$ , $‖ \vec{v} ‖ = 3$ , $‖ \vec{u} - \vec{v} ‖ = \sqrt{7}$ .

$‖ \vec{u} - \vec{v} ‖^{2}$ $= ‖ \vec{u} ‖^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ , soit $7 = 4 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + 9$ .

Donc $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{13 - 7}{2} = 3$ .

Attention — ‖u + v‖ n’est pas ‖u‖ + ‖v‖ : on passe par le carré.

Cas 4 · Repère orthonormé

Réflexe — xx′ + yy′ ; nul ⇔ orthogonaux ; cos = produit scalaire ÷ normes.

Exemple. Question type : « Montrer que $A B C$ est rectangle ». Exemple : $A (1; 0)$ , $B (3; 1)$ , $C (2; 3)$ .

$\vec{B A} (- 2; - 1)$ et $\vec{B C} (- 1; 2)$ .

$\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2 - 2 = 0$ : $A B C$ est rectangle en $B$ .

Attention — formule fausse si le repère n’est pas orthonormé.

Cas 5 · Al-Kashi

Réflexe — côté opposé à gauche ; deux côtés + angle compris → côté ; trois côtés → cosinus.

Exemple. Question type : « Calculer $B C$ ». Exemple : $A B = 2$ , $A C = 6$ , $\hat{A} = 120^{\circ}$ .

$B C^{2}$ $= 4 + 36 - 2 \times 2 \times 6 \times (- \frac{1}{2})$ $= 40 + 12 = 52$ .

$B C = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

Attention — angle obtus : cosinus négatif, le terme −2bc cos A devient positif.

Cas 6 · MA · MB et cercle

Réflexe — milieu I de [AB] : MA · MB = MI² − AB²/4.

Exemple. Question type : « Déterminer l’ensemble des $M$ tels que $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = k$ ». Exemple : $A B = 4$ , $k = 5$ .

$M I^{2} - 4 = 5$ , donc $M I^{2} = 9$ et $M I = 3$ .

Cercle de centre $I$ et de rayon $3$ .

Attention — le rayon du cercle de diamètre [AB] vaut AB/2.

Les pièges

Le produit scalaire est un nombre : (u · v) · w n’a pas de sens.
u · v = 0 n’entraîne pas u = 0 ou v = 0 : les vecteurs sont orthogonaux.
Vecteurs à ramener à la même origine avant de lire un angle.
Al-Kashi : cosinus d’un angle obtus négatif, ne pas perdre le signe.
MI² négatif : l’ensemble de points est vide.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode explique comment choisir la bonne formule pour calculer un produit scalaire, puis donne pour chacun des six cas du cours une question type et sa réponse rédigée : normes et angle, projection dans un rectangle, normes seules, triangle rectangle en repère, Al-Kashi, ensemble MA · MB = k. Elle se termine par cinq pièges classiques.

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