Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Produit scalaire

Définition, propriétés et applications géométriques — programme de Spécialité Mathématiques 1re (lycée général)

Le produit scalaire transforme les questions d'angles, de perpendicularité et de longueurs en calculs algébriques : il faut savoir le calculer de trois façons, développer avec la bilinéarité et l'appliquer à Al-Kashi et aux cercles.

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Définitions

Produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (non nuls) : le réel $\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖ \times \cos θ$ , où $θ \in [0; π]$ est l'angle des deux vecteurs. Si l'un est nul, le produit scalaire vaut $0$ .
Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = ‖ \vec{u} ‖^{2}$ .
Vecteurs orthogonaux : $\vec{u} ⟂ \vec{v} ⟺ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur).

Trois formules de calcul

Avec l'angle : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖ \vec{u} ‖ ‖ \vec{v} ‖ \cos θ$ .
Avec les coordonnées (repère orthonormé) : $\vec{u} (x; y)$ , $\vec{v} (x^{'}; y^{'})$ ⇒ $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'}$ et $‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
Avec le projeté orthogonal $H$ de $C$ sur $(A B)$ : $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{A B} \cdot \vec{A H} = \pm A B \times A H$ (signe $+$ si $H$ et $B$ sont du même côté de $A$ ).

Propriétés

Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ .
Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ ; $(k \vec{u}) \cdot \vec{v} = k (\vec{u} \cdot \vec{v})$ .
Identités remarquables : $‖ \vec{u} \pm \vec{v} ‖^{2} = ‖ \vec{u} ‖^{2} \pm 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ ; $(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = ‖ \vec{u} ‖^{2} - ‖ \vec{v} ‖^{2}$ .
Polarisation : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} (‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2} - ‖ \vec{u} ‖^{2} - ‖ \vec{v} ‖^{2})$ .

Applications géométriques

Angle : $\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{‖ \vec{u} ‖ ‖ \vec{v} ‖}$ ; dans un triangle, $\cos \hat{B A C} = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{A B \times A C}$ .
Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ (Pythagore si $\hat{A} = 90^{\circ}$ ). Sert à trouver un côté (deux côtés + angle compris) ou un angle (trois côtés).
Cercle de diamètre $[A B]$ : ensemble des $M$ tels que $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ . Avec $I$ milieu de $[A B]$ : $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = M I^{2} - \frac{A B^{2}}{4}$ .

Méthodes

Calculer un produit scalaire : repérer les données (angle, coordonnées, figure), appliquer la formule adaptée, contrôler le signe avec l'angle.
Prouver une perpendicularité : calculer le produit scalaire de deux vecteurs directeurs issus du même point et montrer qu'il est nul.
Calculer un angle : produit scalaire et normes, puis $\cos^{- 1}$ en mode degrés.
Ensemble $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = k$ : poser $M (x; y)$ , développer, forme canonique $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r$ ; cercle si $r > 0$ , point si $r = 0$ , vide si $r < 0$ .

Pièges

Le produit scalaire est un nombre : $(\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}$ n'existe pas.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ n'implique pas qu'un vecteur soit nul.
$x x^{'} + y y^{'}$ exige un repère orthonormé.
L'angle de $\vec{A B}$ et $\vec{B C}$ est le supplémentaire de $\hat{A B C}$ .
Cosinus négatif ⇒ angle obtus : ne pas perdre le signe dans Al-Kashi.
$‖ \vec{u} + \vec{v} ‖ \neq ‖ \vec{u} ‖ + ‖ \vec{v} ‖$ : passer par le carré.

L'essentiel

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖ \vec{u} ‖ ‖ \vec{v} ‖ \cos θ = x x^{'} + y y^{'}$ en repère orthonormé.
$\vec{u} ⟂ \vec{v} ⟺ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ ; $\vec{u} \cdot \vec{u} = ‖ \vec{u} ‖^{2}$ .
$‖ \vec{u} + \vec{v} ‖^{2} = ‖ \vec{u} ‖^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + ‖ \vec{v} ‖^{2}$ .
Al-Kashi : $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos \hat{A}$ .
$M$ est sur le cercle de diamètre $[A B]$ $⟺ \vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ .

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