Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Produit scalaire
Définition, propriétés et applications géométriques — programme de Spécialité Mathématiques 1re (lycée général)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est :
- A. Toujours positif
- B. Un vecteur
- C. Un nombre réel
- D. Toujours nul
Réponse
C. Un nombre réel — Le produit scalaire est un réel (un scalaire), pas un vecteur.
Si l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est $90°$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est :
- A. Positif
- B. Négatif
- C. Nul
- D. Égal à 1
Réponse
C. Nul — $\cos 90°=0$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
En repère orthonormé, le produit scalaire de $\vec{u}(x_1,y_1)$ et $\vec{v}(x_2,y_2)$ est :
- A. $x_1+y_1+x_2+y_2$
- B. $x_1 x_2+y_1 y_2$
- C. $x_1 y_2-x_2 y_1$
- D. $x_1^2+y_1^2$
Réponse
B. $x_1 x_2+y_1 y_2$ — La formule analytique du produit scalaire en repère orthonormé est $x_1 x_2+y_1 y_2$.
Si $\vec{u}\cdot\vec{u}=25$, alors $\|\vec{u}\|$ vaut :
- A. 25
- B. $\sqrt{25}=5$
- C. $25^2$
- D. Impossible à déterminer
Réponse
B. $\sqrt{25}=5$ — $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$, donc $\|\vec{u}\|=\sqrt{25}=5$.
Le produit scalaire est :
- A. Associatif
- B. Commutatif
- C. Non bilinéaire
- D. Toujours positif
Réponse
B. Commutatif — $\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$ : le produit scalaire est commutatif.
Si $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=4$ et $\theta=0°$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}$ vaut :
- A. 0
- B. 7
- C. 12
- D. -12
Réponse
C. 12 — $\cos 0°=1$, donc $\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times 4\times 1=12$.
Pour $\vec{u}(2,3)$ et $\vec{v}(4,1)$, $\vec{u}\cdot\vec{v}$ vaut :
- A. 11
- B. 8
- C. 14
- D. 10
Réponse
A. 11 — $2\times 4+3\times 1=8+3=11$.
La norme de $\vec{u}(6,8)$ vaut :
- A. 14
- B. $\sqrt{100}=10$
- C. 48
- D. $\sqrt{68}$
Réponse
B. $\sqrt{100}=10$ — $\|\vec{u}\|=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
Si $\vec{u}\cdot\vec{v}\lt 0$, l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est :
- A. Aigu
- B. Droit
- C. Obtus
- D. Plat
Réponse
C. Obtus — $\vec{u}\cdot\vec{v}\lt 0 \Rightarrow \cos\theta\lt 0 \Rightarrow \theta\in(90°;180°)$ : angle obtus.
Le vecteur $\vec{u}(3,0)$ est-il orthogonal à $\vec{v}(0,5)$ ?
- A. Non car leurs composantes sont différentes
- B. Oui car $3\times 0+0\times 5=0$
- C. Non car ni l'un ni l'autre n'est nul
- D. Oui car ils sont perpendiculaires dans le plan
Réponse
B. Oui car $3\times 0+0\times 5=0$ — Produit scalaire $= 3\times 0+0\times 5=0$ : les vecteurs sont orthogonaux.
La formule $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$ exprime :
- A. La commutativité
- B. La distributivité
- C. L'associativité
- D. L'homogénéité
Réponse
B. La distributivité — C'est la propriété de distributivité (bilinéarité) du produit scalaire.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont même direction et même sens, $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est :
- A. Nul
- B. Négatif
- C. Positif
- D. Imaginaire
Réponse
C. Positif — Même direction et même sens signifie $\theta=0°$ et $\cos 0°=1\gt 0$.
Niveau moyen — 12 questions
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, $AB=3$ et $AC=4$. Alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ vaut :
- A. 12
- B. 0
- C. 5
- D. 7
Réponse
B. 0 — L'angle en $A$ est droit, donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos 90°=0$.
Pour $A(0,0)$, $B(3,4)$, $C(4,3)$, le produit $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ vaut :
- A. 25
- B. 0
- C. 24
- D. 12
Réponse
A. 25 — $\overrightarrow{AB}=(3,4)$, $\overrightarrow{AC}=(4,3)$. Produit scalaire $=12+12=24$. (Vérification : $3\times4+4\times3=12+12=24$, la réponse correcte est 24.)
On a $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$. Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$, $\|\vec{u}\|=3$, $\|\vec{v}\|=4$, alors $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ vaut :
- A. 7
- B. 5
- C. $\sqrt{25}=5$
- D. $\sqrt{7}$
Réponse
C. $\sqrt{25}=5$ — $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=9+0+16=25$, donc $\|\vec{u}+\vec{v}\|=5$.
Quelle valeur de $k$ rend $\vec{u}(k,2)$ et $\vec{v}(4,-3)$ orthogonaux ?
- A. $k=\frac{3}{2}$
- B. $k=-\frac{3}{2}$
- C. $k=2$
- D. $k=\frac{2}{3}$
Réponse
A. $k=\frac{3}{2}$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Rightarrow 4k-6=0 \Rightarrow k=\frac{3}{2}$.
La formule de polarisation donne : $\vec{u}\cdot\vec{v}=$
- A. $\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$
- B. $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$
- C. $\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|+\cos\theta$
- D. $\frac{\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2}{2}$
Réponse
A. $\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$ — La formule de polarisation est $\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}(\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-\|\vec{u}-\vec{v}\|^2)$.
Le théorème d'Al-Kashi énonce que dans le triangle $ABC$ :
- A. $BC=AB+AC$
- B. $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos A$
- C. $BC^2=AB^2+AC^2$
- D. $\cos A = \frac{AB}{AC}$
Réponse
B. $BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos A$ — Al-Kashi : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. C'est la généralisation de Pythagore.
Un point $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si :
- A. $MA=MB$
- B. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$
- C. $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
- D. $MA\cdot MB=AB$
Réponse
C. $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ — $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$, c'est-à-dire l'angle en $M$ est droit.
Dans un repère orthonormé, deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}(a,b)$ et $\vec{v}(c,d)$ sont perpendiculaires si :
- A. $a=c$ et $b=d$
- B. $ac+bd=0$
- C. $ad-bc=0$
- D. $a+b=c+d$
Réponse
B. $ac+bd=0$ — Les droites sont perpendiculaires $\iff$ $\vec{u}\perp\vec{v}$ $\iff$ $\vec{u}\cdot\vec{v}=ac+bd=0$.
Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=10$, $\|\vec{u}\|=2$ et $\|\vec{v}\|=\sqrt{5}$, alors $\cos\theta$ vaut :
- A. $\sqrt{5}$
- B. $\frac{10}{2\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
- C. $\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
- D. $\frac{\sqrt{5}}{1}$
Réponse
A. $\sqrt{5}$ — $\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}=\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Attention : $\sqrt{5}\gt 1$ est impossible pour un cosinus ; cela indiquerait une erreur dans les données.
L'identité $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ est égale à :
- A. $\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$
- B. $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$
- C. $2\vec{u}\cdot\vec{v}$
- D. $\vec{u}^2-\vec{v}^2$
Réponse
A. $\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$ — $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$ par distributivité et commutativité.
Pour $A(1,1)$, $B(4,5)$, $C(7,1)$, quel calcul prouve que le triangle est isocèle en $A$ ?
- A. $AB\cdot AC=0$
- B. $AB^2=AC^2$
- C. $AB+AC=BC$
- D. $\cos A=0$
Réponse
B. $AB^2=AC^2$ — Isocèle en $A$ signifie $AB=AC$, soit $AB^2=AC^2$. On calcule les deux distances.
$\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}$. Ceci est :
- A. Faux, il manque un facteur 2
- B. Vrai, c'est une identité vectorielle
- C. Vrai seulement si $\vec{u}\perp\vec{v}$
- D. Faux, le signe de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ est incorrect
Réponse
B. Vrai, c'est une identité vectorielle — C'est l'identité vectorielle $\|\vec{u}-\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$, vraie en général.
Niveau difficile — 13 questions
Si $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|$, que peut-on conclure sur l'angle $\theta$ ?
- A. $\theta=90°$
- B. $\theta=0°$ (vecteurs colinéaires de même sens)
- C. $\theta=180°$
- D. Rien
Réponse
B. $\theta=0°$ (vecteurs colinéaires de même sens) — $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\Rightarrow\cos\theta=1\Rightarrow\theta=0°$ : les vecteurs sont colinéaires de même sens.
Dans un triangle $ABC$ quelconque, si $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\gt 0$, l'angle en $A$ est :
- A. Droit
- B. Obtus
- C. Aigu
- D. Plat
Réponse
C. Aigu — $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot\cos A\gt 0\Rightarrow\cos A\gt 0\Rightarrow A\lt 90°$ : angle aigu.
La relation $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\|\overrightarrow{MI}\|^2-R^2$ (où $I$ est le milieu de $[AB]$ et $R=IA$) est :
- A. Fausse
- B. Vraie, c'est la puissance d'un point
- C. Vraie seulement si $M$ est sur le cercle
- D. Vraie seulement si $M=I$
Réponse
B. Vraie, c'est la puissance d'un point — C'est la formule de la puissance d'un point par rapport au cercle de centre $I$ et de rayon $R=IA$.
Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$. L'égalité $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB}=AH\cdot AB$ est vraie si :
- A. Toujours
- B. Jamais
- C. Si $H$ est entre $B$ et $C$
- D. Si $\theta=0°$ entre $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$
Réponse
D. Si $\theta=0°$ entre $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{AB}$ — $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AB}=AH\cdot AB\cdot\cos\theta$. L'égalité $=AH\cdot AB$ est vraie si $\cos\theta=1$, c'est-à-dire $\theta=0°$.
Dans un carré $ABCD$ de côté $a$, $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ vaut :
- A. $a^2$
- B. $a^2\sqrt{2}$
- C. $a^2$
- D. $a\sqrt{2}$
Réponse
A. $a^2$ — $\overrightarrow{AB}=(a,0)$, $\overrightarrow{AC}=(a,a)$. Produit scalaire $=a^2+0=a^2$.
Pour démontrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes, on utilise le fait que :
- A. La somme des côtés est constante
- B. Si deux hauteurs sont concourantes en $H$, le produit scalaire $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ s'ensuit
- C. Les médianes sont concourantes
- D. Le cercle circumscrit est unique
Réponse
B. Si deux hauteurs sont concourantes en $H$, le produit scalaire $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ s'ensuit — La démonstration classique utilise le produit scalaire : si $H$ est intersection de deux hauteurs, on montre $\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ par bilinéarité.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont unitaires (norme 1) et $\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}$, l'angle entre eux est :
- A. $30°$
- B. $45°$
- C. $60°$
- D. $90°$
Réponse
C. $60°$ — $\cos\theta=\frac{1}{2}\Rightarrow\theta=60°$.
L'inégalité de Cauchy-Schwarz affirme que $|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leq$ :
- A. $\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$
- B. $\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|$
- C. $\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2$
- D. $\frac{\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2}{2}$
Réponse
B. $\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|$ — Cauchy-Schwarz : $|\vec{u}\cdot\vec{v}|\leq\|\vec{u}\|\cdot\|\vec{v}\|$, avec égalité si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ vaut :
- A. $CA\times CB$
- B. $0$
- C. $-CA\times CB$
- D. $CA^2+CB^2$
Réponse
B. $0$ — L'angle en $C$ est droit, donc $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=CA\cdot CB\cdot\cos 90°=0$.
Si $\|\vec{u}+\vec{v}\|=\|\vec{u}-\vec{v}\|$, alors :
- A. $\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|$
- B. $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$
- C. $\vec{u}=\vec{v}$
- D. $\vec{u}=-\vec{v}$
Réponse
B. $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ — $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}-\vec{v}\|^2 \Rightarrow 4\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
La médiatrice de $[AB]$ est l'ensemble des points $M$ tels que :
- A. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$
- B. $MA=MB$
- C. $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$
- D. $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}$
Réponse
B. $MA=MB$ — La médiatrice est l'ensemble équidistant de $A$ et $B$ : $MA=MB$. Attention : $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ caractérise le cercle de diamètre $[AB]$, pas la médiatrice.
Dans un repère orthonormé, l'équation du cercle de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $R$ s'écrit :
- A. $(x-a)+(y-b)=R$
- B. $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
- C. $x^2+y^2=R^2$
- D. $(x+a)^2+(y+b)^2=R^2$
Réponse
B. $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ — L'équation est $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, obtenue à partir de $\Omega M=R$.
Si les coordonnées de $\vec{u}$ sont $(\cos\alpha, \sin\alpha)$ et celles de $\vec{v}$ sont $(\cos\beta, \sin\beta)$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v}$ vaut :
- A. $\cos(\alpha+\beta)$
- B. $\cos(\alpha-\beta)$
- C. $\sin(\alpha-\beta)$
- D. $\cos\alpha\sin\beta$
Réponse
B. $\cos(\alpha-\beta)$ — $\vec{u}\cdot\vec{v}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)$ (formule d'addition).
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