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Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

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Produit scalaire

Définition avec le cosinus et par projection orthogonale, bilinéarité, développement de ‖u + v‖² et ‖u − v‖², coordonnées par produits scalaires, calcul en repère orthonormé, orthogonalité et angles, théorème d’Al-Kashi, ensemble des points M tels que MA · MB = 0.

À propos de cette page
Un QCM sur le produit scalaire en trois niveaux de douze questions : définition et cosinus usuels, calculs en coordonnées et par projection, normes et angles, Al-Kashi, ensembles de points et pièges d’écriture. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Pour deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ formant un angle θ, le produit scalaire u⃗ · v⃗ vaut :

    • A. ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ
    • B. ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × sin θ
    • C. ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖ + cos θ
    • D. (‖u⃗‖ + ‖v⃗‖) × cos θ
    Réponse

    A. ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos θ — C’est la définition : produit des normes par le cosinus de l’angle.

  2. Si u⃗ et v⃗ sont orthogonaux, alors u⃗ · v⃗ est égal à :

    • A. 1
    • B. 0
    • C. −1
    • D. ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖
    Réponse

    B. 0 — L’angle vaut 90° et cos 90° = 0 : le produit scalaire est nul.

  3. Le carré scalaire u⃗ · u⃗ est égal à :

    • A. 0
    • B. ‖u⃗‖
    • C. ‖u⃗‖²
    • D. 2‖u⃗‖
    Réponse

    C. ‖u⃗‖² — L’angle entre u⃗ et lui-même est nul et cos 0 = 1, donc u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖².

  4. Dans un repère orthonormé, avec u⃗(x ; y) et v⃗(x′ ; y′), le produit scalaire u⃗ · v⃗ vaut :

    • A. xx′ − yy′
    • B. xy′ + yx′
    • C. xy′ − yx′
    • D. xx′ + yy′
    Réponse

    D. xx′ + yy′ — Abscisses entre elles, ordonnées entre elles, puis on additionne : xx′ + yy′.

  5. La valeur exacte de cos 120° est :

    • A. 1/2
    • B. −√3/2
    • C. −1/2
    • D. √3/2
    Réponse

    C. −1/2 — cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60° = −1/2.

  6. Si l’angle entre u⃗ et v⃗ est obtus (strictement entre 90° et 180°), le produit scalaire est :

    • A. positif
    • B. nul
    • C. de signe variable selon les normes
    • D. négatif
    Réponse

    D. négatif — Le cosinus d’un angle obtus est négatif et les normes sont positives : le produit scalaire est négatif.

  7. On sait que u⃗ · v⃗ = 3. Alors v⃗ · u⃗ vaut :

    • A. 3
    • B. −3
    • C. 1/3
    • D. on ne peut pas savoir
    Réponse

    A. 3 — Le produit scalaire est symétrique : v⃗ · u⃗ = u⃗ · v⃗ = 3.

  8. Dans un triangle ABC, avec a = BC, b = AC et c = AB, le théorème d’Al-Kashi s’écrit :

    • A. a² = b² + c² + 2bc cos Â
    • B. a² = b² + c²
    • C. a² = b² + c² − 2bc cos Â
    • D. a² = b² − c² − 2bc cos Â
    Réponse

    C. a² = b² + c² − 2bc cos  — Al-Kashi complète Pythagore par le terme −2bc cos Â, nul quand l’angle est droit.

  9. Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur u⃗(x ; y) est :

    • A. x + y
    • B. x² + y²
    • C. |x| + |y|
    • D. √(x² + y²)
    Réponse

    D. √(x² + y²) — ‖u⃗‖² = u⃗ · u⃗ = x² + y², donc ‖u⃗‖ = √(x² + y²). x² + y² est le carré de la norme.

  10. L’ensemble des points M tels que MA⃗ · MB⃗ = 0 est :

    • A. le cercle de diamètre [AB]
    • B. la médiatrice de [AB]
    • C. la droite (AB)
    • D. le cercle de centre A et de rayon AB
    Réponse

    A. le cercle de diamètre [AB] — MA⃗ · MB⃗ = MI² − AB²/4 avec I milieu de [AB] : il est nul si et seulement si MI = AB/2, c’est le cercle de diamètre [AB].

  11. H est le projeté orthogonal de C sur (AB), et H est du même côté de A que B. Alors AB⃗ · AC⃗ vaut :

    • A. AB × AC
    • B. AB × AH
    • C. AH × AC
    • D. −AB × AH
    Réponse

    B. AB × AH — AB⃗ · AC⃗ = AB⃗ · AH⃗, et AB⃗, AH⃗ sont de même sens : le produit vaut AB × AH.

  12. Si u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ (vecteurs non nuls), l’angle entre u⃗ et v⃗ mesure :

    • A. 90°
    • B. 0°
    • C. 180°
    • D. 45°
    Réponse

    B. 0° — On a cos θ = 1, donc θ = 0° : les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. ‖u⃗‖ = 8, ‖v⃗‖ = 3 et l’angle entre u⃗ et v⃗ mesure 60°. Alors u⃗ · v⃗ vaut :

    • A. 24
    • B. 6
    • C. 12
    • D. 12√3
    Réponse

    C. 12 — 8 × 3 × cos 60° = 24 × 1/2 = 12. 12√3 vient d’une confusion avec sin 60°.

  2. En repère orthonormé, u⃗(2 ; −5) et v⃗(−3 ; −4). Alors u⃗ · v⃗ vaut :

    • A. 14
    • B. −26
    • C. −14
    • D. 26
    Réponse

    A. 14 — 2 × (−3) + (−5) × (−4) = −6 + 20 = 14.

  3. En repère orthonormé, u⃗(3 ; k) et v⃗(4 ; −6) sont orthogonaux pour :

    • A. k = −2
    • B. k = 8
    • C. k = −8
    • D. k = 2
    Réponse

    D. k = 2 — 3 × 4 + k × (−6) = 12 − 6k, nul pour k = 2.

  4. ‖u⃗‖ = 2, ‖v⃗‖ = 3 et u⃗ · v⃗ = 1. Alors ‖u⃗ + v⃗‖² vaut :

    • A. 13
    • B. 15
    • C. 14
    • D. 17
    Réponse

    B. 15 — ‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2 u⃗ · v⃗ + ‖v⃗‖² = 4 + 2 + 9 = 15. 13 oublie le double produit.

  5. Dans un triangle ABC, AB = 3, AC = 5 et l’angle BAC mesure 60°. Alors BC vaut :

    • A. √19
    • B. 7
    • C. √34
    • D. 2
    Réponse

    A. √19 — Al-Kashi : BC² = 9 + 25 − 2 × 3 × 5 × 1/2 = 34 − 15 = 19, donc BC = √19.

  6. En repère orthonormé, u⃗(2 ; 0) et v⃗(−1 ; √3). L’angle entre u⃗ et v⃗ mesure :

    • A. 60°
    • B. 150°
    • C. 120°
    • D. 30°
    Réponse

    C. 120° — u⃗ · v⃗ = −2, ‖u⃗‖ = 2 et ‖v⃗‖ = √(1 + 3) = 2 : cos θ = −2/4 = −1/2, donc θ = 120°.

  7. ‖u⃗‖ = 5, ‖v⃗‖ = 4 et ‖u⃗ + v⃗‖ = 7. Alors u⃗ · v⃗ vaut :

    • A. 8
    • B. 4
    • C. −4
    • D. 2
    Réponse

    B. 4 — u⃗ · v⃗ = (49 − 25 − 16)/2 = 8/2 = 4. La valeur 8 oublie de diviser par 2.

  8. ABCD est un rectangle avec AB = 6 et BC = 4. Alors AB⃗ · AC⃗ vaut :

    • A. 24
    • B. 0
    • C. 52
    • D. 36
    Réponse

    D. 36 — Le projeté orthogonal de C sur (AB) est B, donc AB⃗ · AC⃗ = AB² = 36.

  9. ABC est rectangle en A avec AB = 4 et AC = 3. Alors BA⃗ · BC⃗ vaut :

    • A. 12
    • B. 0
    • C. 25
    • D. 16
    Réponse

    D. 16 — Le projeté orthogonal de C sur (BA) est A : BA⃗ · BC⃗ = BA² = 16.

  10. ‖u⃗‖ = 3, ‖v⃗‖ = 7 et u⃗ · v⃗ = −10,5. L’angle entre u⃗ et v⃗ mesure :

    • A. 120°
    • B. 60°
    • C. 150°
    • D. 30°
    Réponse

    A. 120° — cos θ = −10,5/21 = −0,5, donc θ = 120°.

  11. ‖u⃗‖ = 2, ‖v⃗‖ = 1 et u⃗ · v⃗ = 1. Alors (u⃗ + 2v⃗) · (u⃗ − v⃗) vaut :

    • A. 1
    • B. 3
    • C. 5
    • D. −1
    Réponse

    B. 3 — On développe : ‖u⃗‖² − u⃗ · v⃗ + 2 u⃗ · v⃗ − 2‖v⃗‖² = 4 − 1 + 2 − 2 = 3.

  12. En repère orthonormé, A(0 ; 0) et B(6 ; 0). L’ensemble des points M tels que MA⃗ · MB⃗ = 0 est le cercle :

    • A. de centre A et de rayon 6
    • B. de centre B et de rayon √6
    • C. de centre (3 ; 0) et de rayon 3
    • D. de centre (0 ; 3) et de rayon 3
    Réponse

    C. de centre (3 ; 0) et de rayon 3 — C’est le cercle de diamètre [AB] : son centre est le milieu (3 ; 0) et son rayon AB/2 = 3.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. On sait que u⃗ · v⃗ = 0. Que peut-on conclure ?

    • A. u⃗ = 0⃗ ou v⃗ = 0⃗, obligatoirement
    • B. u⃗ et v⃗ sont orthogonaux
    • C. u⃗ et v⃗ sont colinéaires de même sens
    • D. l’angle entre u⃗ et v⃗ est nul
    Réponse

    B. u⃗ et v⃗ sont orthogonaux — Le produit scalaire n’a pas la règle du produit nul : deux vecteurs non nuls orthogonaux ont un produit scalaire nul.

  2. Laquelle de ces écritures n’a pas de sens ?

    • A. (u⃗ · v⃗) w⃗
    • B. u⃗ · (v⃗ + w⃗)
    • C. ‖u⃗‖ v⃗
    • D. (u⃗ · v⃗) · w⃗
    Réponse

    D. (u⃗ · v⃗) · w⃗ — u⃗ · v⃗ est un réel : on ne fait pas le produit scalaire d’un réel par un vecteur. Le produit réel × vecteur, lui, existe.

  3. Dans une base orthonormée (i⃗, j⃗), un vecteur u⃗ vérifie u⃗ · i⃗ = −3 et u⃗ · j⃗ = 4. Alors ‖u⃗‖ vaut :

    • A. 5
    • B. 1
    • C. 7
    • D. 25
    Réponse

    A. 5 — Les coordonnées de u⃗ sont ses produits scalaires avec i⃗ et j⃗ : u⃗(−3 ; 4), donc ‖u⃗‖ = √(9 + 16) = 5. La valeur 25 est ‖u⃗‖².

  4. L’égalité ‖u⃗ + v⃗‖ = ‖u⃗‖ + ‖v⃗‖ est vraie si et seulement si :

    • A. u⃗ et v⃗ sont orthogonaux et de même norme
    • B. toujours, d’après l’inégalité triangulaire
    • C. u⃗, v⃗ colinéaires de même sens, ou l’un nul
    • D. u⃗ = v⃗
    Réponse

    C. u⃗, v⃗ colinéaires de même sens, ou l’un nul — En élevant au carré, l’égalité équivaut à u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖, soit cos θ = 1 : angle nul (ou un vecteur nul).

  5. Si ‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + ‖v⃗‖², alors :

    • A. u⃗ = 0⃗
    • B. u⃗ et v⃗ sont colinéaires de même sens
    • C. u⃗ = −v⃗
    • D. u⃗ et v⃗ sont orthogonaux
    Réponse

    D. u⃗ et v⃗ sont orthogonaux — L’identité remarquable donne 2 u⃗ · v⃗ = 0 : c’est le théorème de Pythagore sous forme vectorielle.

  6. Si u⃗ · v⃗ = −‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ avec u⃗ et v⃗ non nuls, alors :

    • A. u⃗ et v⃗ sont orthogonaux
    • B. u⃗ et v⃗ sont colinéaires de sens contraires
    • C. c’est impossible, car un produit scalaire est positif
    • D. l’angle entre u⃗ et v⃗ vaut 90°
    Réponse

    B. u⃗ et v⃗ sont colinéaires de sens contraires — cos θ = −1, donc θ = 180° : les vecteurs sont colinéaires et de sens contraires.

  7. A et B sont deux points tels que AB = 6. L’ensemble des points M tels que MA⃗ · MB⃗ = −10 est :

    • A. un cercle de rayon 1
    • B. un cercle de rayon √10
    • C. l’ensemble vide
    • D. le milieu de [AB]
    Réponse

    C. l’ensemble vide — Avec I milieu de [AB], MA⃗ · MB⃗ = MI² − 9. L’équation MI² = −1 n’a pas de solution.

  8. Un triangle a pour côtés 3, 5 et 7. Son plus grand angle mesure :

    • A. 120°
    • B. 60°
    • C. 90°
    • D. 150°
    Réponse

    A. 120° — Al-Kashi : 7² = 3² + 5² − 2 × 3 × 5 × cos α, d’où 30 cos α = 9 + 25 − 49 = −15, cos α = −1/2 et α = 120°. Ce n’est pas un triangle rectangle : 9 + 25 ≠ 49.

  9. H est le projeté orthogonal de C sur (AB). L’égalité AB⃗ · AC⃗ = AB × AH est :

    • A. vraie si H et B sont du même côté de A
    • B. toujours vraie
    • C. vraie seulement si ABC est rectangle en C
    • D. toujours fausse
    Réponse

    A. vraie si H et B sont du même côté de A — AB⃗ · AC⃗ = AB⃗ · AH⃗ vaut AB × AH si les vecteurs AB⃗ et AH⃗ sont de même sens, et −AB × AH sinon.

  10. Dans un triangle ABC, AB⃗ · AC⃗ < 0. Alors :

    • A. AB > AC
    • B. l’angle en B est obtus
    • C. [BC] est le plus long des trois côtés
    • D. le triangle est rectangle en A
    Réponse

    C. [BC] est le plus long des trois côtés — AB⃗ · AC⃗ < 0 donne cos  < 0 : l’angle en A est obtus. Avec Al-Kashi, BC² = AB² + AC² − 2 AB⃗ · AC⃗ > AB² + AC², donc BC est le plus long côté. Un triangle n’a qu’un angle obtus.

  11. Pour tous vecteurs u⃗ et v⃗, l’inégalité (u⃗ · v⃗)² ≤ ‖u⃗‖² × ‖v⃗‖² est :

    • A. fausse en général
    • B. vraie, car cos² θ ≤ 1
    • C. vraie seulement pour des vecteurs orthogonaux
    • D. vraie seulement si les normes sont égales
    Réponse

    B. vraie, car cos² θ ≤ 1 — (u⃗ · v⃗)² = ‖u⃗‖² × ‖v⃗‖² × cos² θ et cos² θ ≤ 1 (l’inégalité est évidente si un vecteur est nul).

  12. En repère orthonormé, u⃗(a ; b) et v⃗(−b ; a) avec (a ; b) ≠ (0 ; 0). Ces vecteurs sont :

    • A. colinéaires
    • B. égaux
    • C. jamais orthogonaux
    • D. toujours orthogonaux
    Réponse

    D. toujours orthogonaux — u⃗ · v⃗ = −ab + ba = 0 quels que soient a et b ; ils ont de plus la même norme.

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