Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus
Radian et longueur d’arc, enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique, mesure principale, cosinus et sinus d’un réel, valeurs remarquables et angles associés.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Un tour complet du cercle trigonométrique mesure, en radians :
- A. 2π
- B. π
- C. 360
- D. π/2
Réponse
A. 2π — Le périmètre du cercle de rayon 1 vaut 2π, et la mesure en radians est la longueur de l’arc parcouru.
Un angle de 90° mesure, en radians :
- A. π/4
- B. π
- C. π/2
- D. 2π/3
Réponse
C. π/2 — 90° est un quart de tour : 2π ÷ 4 = π/2.
Le point du cercle trigonométrique image du réel π a pour coordonnées :
- A. (0 ; 1)
- B. (−1 ; 0)
- C. (1 ; 0)
- D. (0 ; −1)
Réponse
B. (−1 ; 0) — Un demi-tour depuis I(1 ; 0) mène au point diamétralement opposé I′(−1 ; 0).
cos(π/3) vaut :
- A. √3/2
- B. √2/2
- C. 0
- D. 1/2
Réponse
D. 1/2 — C’est le cosinus de 60° : 1/2. La valeur √3/2 est celle de sin(π/3).
sin(π/2) vaut :
- A. 0
- B. −1
- C. 1/2
- D. 1
Réponse
D. 1 — L’image de π/2 est J(0 ; 1) : son ordonnée, le sinus, vaut 1.
Pour tout réel x, cos²x + sin²x est égal à :
- A. 1
- B. 0
- C. cos(2x)
- D. 2
Réponse
A. 1 — Relation fondamentale : le point (cos x ; sin x) est à la distance 1 de l’origine.
Le sens direct sur le cercle trigonométrique est :
- A. le sens des aiguilles d’une montre
- B. le sens qui descend de J vers I
- C. le sens inverse des aiguilles d’une montre
- D. le sens qui va de I vers J′
Réponse
C. le sens inverse des aiguilles d’une montre — Par convention, le sens direct est le sens inverse des aiguilles d’une montre : il va de I vers J.
Les réels qui ont la même image que le réel x sur le cercle sont les réels :
- A. x + kπ, k entier
- B. x + 2kπ, k entier
- C. x + k, k entier
- D. kx, k entier
Réponse
B. x + 2kπ, k entier — On retombe sur le même point après un nombre entier de tours, et un tour mesure 2π.
Un angle de 1 radian mesure environ :
- A. 3,14°
- B. 57,3°
- C. 90°
- D. 180°
Réponse
B. 57,3° — 1 rad = 180/π degrés, soit environ 57,3°.
Si x ∈ ]π/2 ; π[, l’image de x a :
- A. abscisse et ordonnée positives
- B. abscisse et ordonnée négatives
- C. une abscisse positive, une ordonnée négative
- D. une abscisse négative, une ordonnée positive
Réponse
D. une abscisse négative, une ordonnée positive — Entre le quart de tour et le demi-tour, l’image est dans le deuxième quadrant : cosinus négatif, sinus positif.
Le cercle trigonométrique a pour rayon :
- A. 1
- B. π
- C. 2π
- D. 2
Réponse
A. 1 — C’est le cercle de centre O et de rayon 1 : la mesure en radians y est égale à la longueur de l’arc.
Pour tout réel x, sin(−x) est égal à :
- A. sin x
- B. cos x
- C. −sin x
- D. −cos x
Réponse
C. −sin x — Les images de x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : même abscisse, ordonnées opposées.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
315° en radians, c’est :
- A. 5π/4
- B. 7π/4
- C. 3π/4
- D. 7π/6
Réponse
B. 7π/4 — 315 × π/180 = 315π/180 = 7π/4 (on simplifie par 45).
4π/9 rad en degrés, c’est :
- A. 40°
- B. 60°
- C. 90°
- D. 80°
Réponse
D. 80° — 4π/9 × 180/π = 4 × 20 = 80.
La mesure principale de 33π/8 est :
- A. π/8
- B. 7π/8
- C. −π/8
- D. 9π/8
Réponse
A. π/8 — 2π = 16π/8 et 33 = 2 × 16 + 1, donc 33π/8 = π/8 + 2 × 2π.
La mesure principale de −13π/5 est :
- A. 7π/5
- B. −13π/5
- C. −3π/5
- D. 3π/5
Réponse
C. −3π/5 — −13π/5 + 2π = −13π/5 + 10π/5 = −3π/5, qui est bien dans ]−π ; π].
Si sin x = 8/17 et x ∈ ]π/2 ; π[, alors cos x vaut :
- A. −15/17
- B. 15/17
- C. 9/17
- D. −9/17
Réponse
A. −15/17 — cos²x = 1 − 64/289 = 225/289, et le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant : cos x = −15/17.
cos(7π/6) vaut :
- A. √3/2
- B. −√3/2
- C. −1/2
- D. 1/2
Réponse
B. −√3/2 — 7π/6 = π + π/6, donc cos(7π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.
sin(3π/2) vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. 1/2
- D. −1
Réponse
D. −1 — 3π/2 correspond à trois quarts de tour : l’image est J′(0 ; −1), d’ordonnée −1.
Sachant que cos x = 0,45, la valeur de cos(π − x) est :
- A. 0,45
- B. 0,55
- C. −0,45
- D. −0,55
Réponse
C. −0,45 — cos(π − x) = −cos x : la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées change le signe de l’abscisse.
Sachant que cos x = −0,9, la valeur de sin(π/2 + x) est :
- A. 0,9
- B. 0,1
- C. −0,9
- D. −0,1
Réponse
C. −0,9 — sin(π/2 + x) = cos x = −0,9 : un quart de tour direct fait de l’abscisse la nouvelle ordonnée.
L’image du réel 3 sur le cercle trigonométrique se trouve dans le :
- A. premier quadrant
- B. deuxième quadrant
- C. troisième quadrant
- D. quatrième quadrant
Réponse
B. deuxième quadrant — π/2 ≈ 1,57 < 3 < π ≈ 3,14 : l’image est juste avant I′, dans le deuxième quadrant.
Le point (−√3/2 ; 1/2) du cercle trigonométrique est l’image de :
- A. 2π/3
- B. 5π/6
- C. −π/6
- D. 7π/6
Réponse
B. 5π/6 — C’est le symétrique de l’image de π/6 par rapport à l’axe des ordonnées : image de π − π/6 = 5π/6.
Sur un cercle de rayon 6, un angle au centre de 2π/9 rad intercepte un arc de longueur :
- A. 2π/9
- B. π/3
- C. 12π
- D. 4π/3
Réponse
D. 4π/3 — ℓ = rα = 6 × 2π/9 = 12π/9 = 4π/3.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Parmi ces réels, lequel est une mesure principale ?
- A. −π
- B. 7π/6
- C. π
- D. 3π/2
Réponse
C. π — La mesure principale appartient à ]−π ; π] : −π est exclu (intervalle ouvert à gauche), 7π/6 et 3π/2 dépassent π.
Si deux réels x et y ont la même image sur le cercle, alors nécessairement :
- A. x − y est un multiple de 2π
- B. x et y sont égaux
- C. x − y est un multiple de π
- D. x + y est un multiple de 2π
Réponse
A. x − y est un multiple de 2π — Deux réels ont la même image quand ils diffèrent d’un nombre entier de tours : x = y + 2kπ. Un écart de π donne le point diamétralement opposé.
Pour tout réel x, cos(π/2 + x) est égal à :
- A. sin x
- B. cos x
- C. −cos x
- D. −sin x
Réponse
D. −sin x — Un quart de tour direct envoie (a ; b) sur (−b ; a) : la nouvelle abscisse est −sin x. Test : pour x = 0, cos(π/2) = 0 = −sin 0.
Laquelle de ces égalités est vraie pour tout réel x ?
- A. cos(2x) = 2cos x
- B. sin(π − x) = sin x
- C. cos(x + π) = cos x + cos π
- D. sin(x + π) = sin x
Réponse
B. sin(π − x) = sin x — Seule la formule des angles associés est vraie. Contre-exemples pour x = π/2 : cos π = −1 ≠ 0 ; cos(3π/2) = 0 ≠ 0 + (−1) ; sin(3π/2) = −1 ≠ 1.
Sur un cercle de rayon 5, un arc de longueur 5 correspond à un angle au centre de :
- A. 5 rad
- B. 5°
- C. 25 rad
- D. 1 rad
Réponse
D. 1 rad — Par définition du radian, un arc de longueur égale au rayon correspond à 1 rad, quel que soit le rayon (α = ℓ/r).
Si sin x = −0,1 et x ∈ ]−π ; −π/2[, alors cos x vaut environ :
- A. 0,9
- B. 0,995
- C. −0,995
- D. −0,9
Réponse
C. −0,995 — cos²x = 1 − 0,01 = 0,99, donc cos x ≈ ±0,995 ; dans le troisième quadrant le cosinus est négatif : cos x ≈ −0,995. La réponse −0,9 vient de l’oubli des carrés (« |cos x| = 1 − |sin x| »).
Combien de réels de l’intervalle [0 ; 10π] ont pour image le point I′ ?
- A. 10
- B. 5
- C. 4
- D. 6
Réponse
B. 5 — Ce sont les π + 2kπ : π, 3π, 5π, 7π et 9π ; le suivant, 11π, dépasse 10π. Il y en a 5.
Un réel x vérifie sin x = √3/2 et cos x < 0. Sa mesure principale est :
- A. π/3
- B. 2π/3
- C. −π/3
- D. 4π/3
Réponse
B. 2π/3 — Sinus positif et cosinus négatif : deuxième quadrant. Le point est le symétrique de l’image de π/3 par rapport à l’axe des ordonnées : π − π/3 = 2π/3.
Les réels x de ]−π ; π] tels que cos(−x) = cos x et sin(−x) = sin x sont :
- A. tous les réels de ]−π ; π]
- B. les réels 0 et π seulement
- C. aucun réel de cet intervalle
- D. le seul réel π/2
Réponse
B. les réels 0 et π seulement — La première égalité est toujours vraie. La seconde s’écrit −sin x = sin x, soit sin x = 0 : les points I et I′, images de 0 et de π.
Laquelle de ces affirmations est fausse ?
- A. Si cos x = 0, alors sin x vaut 1 ou −1
- B. Si sin x = 1, alors cos x = 0
- C. Si cos x = 0, alors sin x = 0
- D. Si sin x = 0, alors cos x vaut 1 ou −1
Réponse
C. Si cos x = 0, alors sin x = 0 — cos x = 0 signifie que l’image est J ou J′, d’ordonnée 1 ou −1 : le sinus ne peut pas être nul en même temps, car cos²x + sin²x = 1.
Une calculatrice affiche cos(1) ≈ 0,9998. On peut en déduire qu’elle :
- A. est réglée en degrés
- B. est réglée en radians
- C. donne cos(1) en radians
- D. arrondit 1 rad à 0 rad
Réponse
A. est réglée en degrés — En radians, cos 1 ≈ 0,54, car 1 rad ≈ 57°. La valeur 0,9998 est celle du cosinus de 1° : la calculatrice est en mode degrés.
Pour tout réel x, sin(x − π/2) est égal à :
- A. cos x
- B. −cos x
- C. sin x
- D. −sin x
Réponse
B. −cos x — sin(x − π/2) = sin(−(π/2 − x)) = −sin(π/2 − x) = −cos x. Test : pour x = 0, sin(−π/2) = −1 = −cos 0.
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