Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Trigonométrie

Radian, cercle trigonométrique, cos et sin — Spécialité Mathématiques 1re (programme actuel)

Ce chapitre remplace les degrés par les radians et le triangle rectangle par le cercle trigonométrique : on doit savoir placer un réel sur le cercle, lire son cosinus et son sinus, et utiliser les symétries du cercle (angles associés).

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Définitions

Cercle trigonométrique : centre $O$ , rayon $1$ , sens direct (inverse des aiguilles d'une montre).
Radian : angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. Tour complet : $2 π$ rad $= 360^{\circ}$ ; sur un cercle de rayon $r$ , arc $ℓ = r α$ .
Enroulement : au réel $x$ correspond un unique point $M$ du cercle ; $x$ et $x + 2 k π$ donnent le même point.
Mesure principale : l'unique mesure dans $] - π; π]$ .
Cosinus et sinus de $x$ : abscisse et ordonnée de $M$ : $M (\cos x; \sin x)$ .

Formules

Conversion : $α_{rad} = α_{deg} \times \frac{π}{180}$ ; $α_{deg} = α_{rad} \times \frac{180}{π}$ .
$- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ , $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ , $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ .
$\cos (x + 2 k π) = \cos x$ , $\sin (x + 2 k π) = \sin x$ .
Angles associés : $\cos (- x) = \cos x$ , $\sin (- x) = - \sin x$ ; $\cos (π - x) = - \cos x$ , $\sin (π - x) = \sin x$ ; $\cos (π + x) = - \cos x$ , $\sin (π + x) = - \sin x$ ; $\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$ , $\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$ ; $\cos (\frac{π}{2} + x) = - \sin x$ , $\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x$ .

Valeurs remarquables

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$

Cosinus : $\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}$ ; sinus dans l'autre sens. Hors de $[0; \frac{π}{2}]$ , on se ramène à ces valeurs par les angles associés.

Méthodes

Mesure principale : écrire $2 π$ avec le dénominateur de la fraction, ajouter ou retrancher des tours jusqu'à $] - π; π]$ .
Sinus à partir du cosinus : $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ , puis signe donné par le quadrant de $x$ .
Équation $\cos x = a$ ou $\sin x = a$ : vérifier $- 1 ⩽ a ⩽ 1$ , tracer la droite verticale ou horizontale, lire une solution dans le tableau, trouver l'autre par symétrie ( $- x$ pour cos, $π - x$ pour sin), ajouter $2 k π$ selon l'intervalle.
Angle associé inconnu : placer $x$ dans le premier quadrant, dessiner le symétrique, lire les signes.

Pièges

$- π$ n'est pas une mesure principale ; $\frac{7 π}{6}$ non plus (c'est $- \frac{5 π}{6}$ ).
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ ne dit rien sur $\cos x + \sin x$ .
$\cos (a + b) \neq \cos a + \cos b$ et $\cos (2 x) \neq 2 \cos x$ .
Calculatrice en mode DEG : $\cos (1)$ devient $\cos (1^{\circ})$ .
Une équation sans intervalle a une infinité de solutions ; avec un intervalle, compter les tours.

L'essentiel

$180^{\circ} = π$ rad : on convertit par proportionnalité.
Un réel $x$ correspond à un point $M (\cos x; \sin x)$ du cercle trigonométrique ; $x + 2 k π$ donne le même point.
La mesure principale est dans $] - π; π]$ .
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ , et le quadrant fixe le signe.
Angles associés : $- x$ (axe des abscisses), $π - x$ (axe des ordonnées), $π + x$ (centre), $\frac{π}{2} - x$ (échange cos et sin).

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