Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fiche de révision : trigonométrie, cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Radian et longueur d’arc, enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique, mesure principale, cosinus et sinus d’un réel, valeurs remarquables et angles associés.

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benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · Première

Trigonométrie

Fiche méthode

(Spécialité maths 1re · Analyse · Trigonométrie)

La démarche pour une question de trigonométrie

1. Je dessine le cercle trigonométrique et j’y place le point image du réel (quadrant, position approximative).

2. Je ramène le réel à une valeur simple : je retire des tours entiers ( $2 π$ ) jusqu’à la mesure principale, puis je l’écris $π - a$ , $π + a$ , $- a$ ou $\frac{π}{2} \pm a$ avec $a$ remarquable.

3. Je lis les coordonnées : valeur remarquable de $a$ , signes donnés par le quadrant ; ou relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ et signe.

4. Je conclus en valeur exacte et je contrôle : un cosinus ou un sinus est entre $- 1$ et $1$ , le signe correspond au dessin.

Le réflexe — dans une copie, on cite toujours la règle utilisée : « un tour mesure 2π », « angles associés », « deuxième quadrant, donc sinus positif ». Un résultat sans justification ne rapporte pas tous les points.

Cas 1 · Convertir, calculer une longueur d’arc

Réflexe — 180° = π rad ; ℓ = rα avec α en radians.

Exemple. Questions types : « Convertir en radians », « Calculer la longueur de l’arc ». Exemple : convertir $75^{\circ}$ , puis l’arc intercepté sur un cercle de rayon $8$ cm.

$75 \times \frac{π}{180} = \frac{75 π}{180} = \frac{5 π}{12}$ rad (on simplifie par $15$ ).

Arc : $ℓ = r α = 8 \times \frac{5 π}{12} = \frac{10 π}{3}$ cm, soit environ $10, 5$ cm.

Attention — la formule ℓ = rα est fausse avec un angle en degrés.

Cas 2 · Placer un réel, mesure principale

Réflexe — j’écris 2π avec le même dénominateur et j’ajoute ou je retire des tours jusqu’à ]−π ; π].

Exemple. Questions types : « Placer le point image », « Déterminer la mesure principale ». Exemple : $- \frac{17 π}{3}$ .

$2 π = \frac{6 π}{3}$ . On ajoute trois tours : $- \frac{17 π}{3} + \frac{18 π}{3} = \frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{3} \in] - π; π]$ : c’est la mesure principale ; l’image est dans le premier quadrant.

Attention — −π n’est pas une mesure principale : c’est π.

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Cas 3 · Du cosinus au sinus

Réflexe — cos² x + sin² x = 1 pour le carré, le quadrant pour le signe.

Exemple. Questions types : « Sachant que $\cos x = \dots$ et $x \in \dots$ , calculer $\sin x$ ». Exemple : $\cos x = \frac{20}{29}$ et $x \in] - \frac{π}{2}; 0 [$ .

$\sin^{2} x = 1 - \frac{400}{841} = \frac{441}{841}$ , donc $\sin x = \frac{21}{29}$ ou $\sin x = - \frac{21}{29}$ .

Quatrième quadrant : le sinus est négatif. Donc $\sin x = - \frac{21}{29}$ .

Attention — sans intervalle, on ne peut pas choisir le signe.

Cas 4 · Valeurs remarquables

Réflexe — cosinus de 0, π/6, π/4, π/3, π/2 : √4/2, √3/2, √2/2, √1/2, √0/2 ; sinus dans l’autre sens.

Exemple. Questions types : « Calculer la valeur exacte », « Démontrer la valeur de $\cos \frac{π}{3}$ ». Exemple : $A = 2 \sin \frac{π}{4} \cos \frac{π}{4} + \cos \frac{π}{3}$ .

$2 \sin \frac{π}{4} \cos \frac{π}{4} = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \times \frac{2}{4} = 1$ .

Donc $A = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

Attention — cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2 : ne pas les échanger.

Cas 5 · Angles associés

Réflexe — j’écris le réel π ± a, −a ou π/2 ± a, je dessine le point et je lis les signes.

Exemple. Questions types : « Calculer $\cos \frac{7 π}{4}$ », « Simplifier une expression ». Exemple : $\cos \frac{7 π}{4}$ et $\sin \frac{7 π}{4}$ .

$\frac{7 π}{4} = 2 π - \frac{π}{4}$ : même image que $- \frac{π}{4}$ , dans le quatrième quadrant.

$\cos \frac{7 π}{4} = \cos (- \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \frac{7 π}{4} = - \sin \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Attention — sin(π − x) = sin x, pas −sin x.

Les pièges

Calculatrice en mode degrés : cos(1) donne alors le cosinus de 1°, pas de 1 rad.
cos² x + sin² x = 1 ne dit rien de cos x + sin x.
Deux réels différents peuvent avoir la même image (x et x + 2kπ) : un point ne donne pas un seul réel.
La mesure principale est dans ]−π ; π], pas dans [0 ; 2π[.
cos(a + b) ≠ cos a + cos b et cos(2x) ≠ 2 cos x : seules les formules des angles associés sont au programme.
Un cosinus ou un sinus égal à 1,2 ou −1,5 est impossible : il est toujours entre −1 et 1.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche à suivre pour toute question de trigonométrie, puis un exemple corrigé pour chacun des cinq cas : conversion et longueur d’arc, mesure principale, sinus à partir du cosinus, valeurs remarquables, angles associés. Elle se termine par les pièges les plus fréquents, comme la calculatrice réglée en degrés.

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