Produit scalaire

1. a)$\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}$ $=(-2)\times 3+5\times 1=-6+5$ $=-1$. (1)
2. b)$\Vert \overrightarrow{w}\Vert =\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. (1)
3. c)$\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=4\times 3\times \cos {135}^{\circ }$ $=12\times (-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=-6\sqrt{2}$. (1)

Repère — Coordonnées : xx′ + yy′ ; normes et angle : produit des normes par le cosinus.

1. a)Avec le cosinus : $\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}=\sqrt{6}\times 2\sqrt{2}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ $=\sqrt{6}\times 2=2\sqrt{6}$. (1)
2. b)Avec le cosinus : $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}=6\times 6\times \cos {60}^{\circ }$ $=18$. Puis $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (règle du parallélogramme), donc par bilinéarité $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$ $=A{B}^2+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}=36+18$ $=54$. (1)
3. c)$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$. Donc $\overrightarrow{AC}·\overrightarrow{BD}$ $=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})·(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$ $=A{D}^2-A{B}^2=36-36=0$. On retrouve que les diagonales d’un losange sont perpendiculaires. (1)

Repère — Un losange a ses côtés de même longueur : (u + v) · (u − v) = ‖u‖² − ‖v‖² = 0.

1. a)Le repère est orthonormé. $\overrightarrow{BA}(-2;-1)$ et $\overrightarrow{BC}(-2;4)$, donc $\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}$ $=(-2)\times (-2)+(-1)\times 4$ $=4-4=0$. Ces vecteurs non nuls sont orthogonaux : le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. (1)
2. b)$\overrightarrow{AB}(2;1)$ et $\overrightarrow{AC}(0;5)$ : $\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0+5=5$. $AB=\sqrt{5}$ et $AC=5$. Donc $\cos BAC={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{5}\times 5}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{5}}$. (1)
3. c)$ABC$ est rectangle en $B$ ; $ABCD$ est un rectangle si et seulement si $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. $\overrightarrow{BC}(-2;4)$, donc $D(1-2;1+4)=D(-1;5)$. (1)
4. d)$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=0$, donc $B$ est sur le cercle de diamètre $[AC]$ : c’est le cercle circonscrit à $ABC$, de centre le milieu $\Omega \left(1;{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)$ de $[AC]$ et de rayon ${\displaystyle \frac{AC}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$. Or $\overrightarrow{DA}(2;-4)$ et $\overrightarrow{DC}(2;1)$ donnent $\overrightarrow{DA}·\overrightarrow{DC}=4-4=0$ : $D$ est aussi sur le cercle de diamètre $[AC]$. (1)

Repère — Angle droit en M dans le triangle AMB : M est sur le cercle de diamètre [AB], l’hypoténuse.

1. a)$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert \times \Vert \overrightarrow{v}\Vert }}={\displaystyle \frac{-6}{12}}$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et $\theta \in [0^{\circ };{180}^{\circ }]$, donc $\theta ={120}^{\circ }$. (1)
2. b)Par bilinéarité, $\Vert 2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}{\Vert }^2$ $=4\Vert \overrightarrow{u}{\Vert }^2-4\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}+\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2$ $=36+24+16=76$, donc $\Vert 2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\Vert =\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. (1)
3. c)Par bilinéarité, $(\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v})·\overrightarrow{v}$ $=\overrightarrow{u}·\overrightarrow{v}+k\Vert \overrightarrow{v}{\Vert }^2$ $=-6+16k$. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $-6+16k=0$, soit $k={\displaystyle \frac{6}{16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$. (1)

Repère — Une norme se calcule par son carré : on développe, puis on prend la racine.

1. a)On connaît deux côtés et l’angle compris : théorème d’Al-Kashi. $B{C}^2$ $=A{B}^2+A{C}^2-2\times AB\times AC\times \cos BAC$ $=25+256-2\times 5\times 16\times (-{\displaystyle \frac{1}{2}})$ $=281+80=361$, donc $BC=19$. (1)
2. b)Al-Kashi au sommet $B$ : $A{C}^2$ $=B{A}^2+B{C}^2-2\times BA\times BC\times \cos ABC$, donc $\cos ABC={\displaystyle \frac{25+361-256}{2\times 5\times 19}}={\displaystyle \frac{130}{190}}$ $={\displaystyle \frac{13}{19}}$. (1)
3. c)Il a pris $\cos {120}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $281-80=201$. Or ${120}^{\circ }$ est obtus, $\cos {120}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, et le terme $-2\times AB\times AC\times \cos BAC$ est positif. Contrôle : le côté opposé à l’angle obtus doit être le plus long, et $\sqrt{201}<16$. (1)
4. d)$𝒜={\displaystyle \frac{1}{2}}\times AB\times AC\times \sin BAC$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 5\times 16\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=20\sqrt{3}$ unités d’aire. (1)

Repère — Angle obtus : cosinus négatif, le troisième côté est plus long que ne le donnerait Pythagore.

1. a)$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}$ $=\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA}$ ($I$ milieu de $[AB]$). Donc $h(M)$ $=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})·(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IA})$ $=M{I}^2-I{A}^2$. Or $\overrightarrow{AB}(4;4)$, $A{B}^2=32$ et $I{A}^2={\displaystyle \frac{A{B}^2}{4}}=8$ : $h(M)=M{I}^2-8$. (1)
2. b)$h(M)=0⟺M{I}^2=8⟺MI=2\sqrt{2}$ : $E$ est le cercle de centre $I(4;1)$ et de rayon $2\sqrt{2}$, c’est-à-dire le cercle de diamètre $[AB]$. $O{I}^2=16+1=17>8$, donc $OI>2\sqrt{2}$ : $O$ est à l’extérieur de $E$. Contrôle : $h(O)=\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=12-3$ $=9=17-8$. (1)
3. c)$h(M)=-8⟺M{I}^2=0⟺M=I$ : $F$ est réduit au point $I(4;1)$. (1)

Repère — MA · MB = MI² − AB²/4 : selon le signe de MI², un cercle, un point ou rien.