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Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

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Géométrie repérée

Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite, droites parallèles ou perpendiculaires, projeté orthogonal et distance d’un point à une droite, équation de cercle et tangente, intersections d’un cercle avec une droite ou une parabole.

À propos de cette page
Un QCM de géométrie repérée en trois niveaux de douze questions : vecteur normal et directeur, équations de droites et de cercles, projeté orthogonal, distance à une droite, tangence, intersections et ensembles vides. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Quel vecteur est normal à la droite d : 2x − 3y + 7 = 0 ?

    • A. n(2 ; −3)
    • B. n(−3 ; 2)
    • C. n(3 ; 2)
    • D. n(2 ; 3)
    Réponse

    A. n(2 ; −3) — Pour ax + by + c = 0, le vecteur normal se lit sur les coefficients : (a ; b) = (2 ; −3).

  2. Quel vecteur dirige la droite d : x + 5y − 4 = 0 ?

    • A. u(1 ; 5)
    • B. u(−5 ; 1)
    • C. u(5 ; 1)
    • D. u(1 ; −5)
    Réponse

    B. u(−5 ; 1) — Un vecteur directeur est (−b ; a) = (−5 ; 1). Contrôle : (−5) × 1 + 1 × 5 = 0, il est orthogonal au vecteur normal (1 ; 5).

  3. Avec A(2 ; −3) et B(−1 ; 4), les coordonnées du vecteur AB sont :

    • A. (1 ; 1)
    • B. (3 ; −7)
    • C. (−3 ; 7)
    • D. (−1 ; 4)
    Réponse

    C. (−3 ; 7) — AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) = (−1 − 2 ; 4 + 3) = (−3 ; 7).

  4. Le centre du cercle d’équation (x + 6)² + (y − 2)² = 16 est :

    • A. (6 ; −2)
    • B. (6 ; 2)
    • C. (−6 ; −2)
    • D. (−6 ; 2)
    Réponse

    D. (−6 ; 2) — Dans (x − α)² + (y − β)² = r², les signes s’inversent : x + 6 = x − (−6), donc α = −6, et β = 2.

  5. Le rayon du cercle d’équation x² + (y − 1)² = 20 vaut :

    • A. 20
    • B. 10
    • C. 4√5
    • D. 2√5
    Réponse

    D. 2√5 — Le second membre est r² : r = √20 = √(4 × 5) = 2√5.

  6. La norme du vecteur u(−5 ; 12) vaut :

    • A. 7
    • B. 17
    • C. 13
    • D. 169
    Réponse

    C. 13 — ‖u‖ = √(25 + 144) = √169 = 13 (repère orthonormé).

  7. Les vecteurs u(3 ; −2) et v(4 ; 6) sont :

    • A. colinéaires
    • B. orthogonaux
    • C. égaux
    • D. de même norme
    Réponse

    B. orthogonaux — u · v = 3 × 4 + (−2) × 6 = 12 − 12 = 0 : ils sont orthogonaux. Leur déterminant vaut 18 + 8 = 26, non nul : ils ne sont pas colinéaires.

  8. Le milieu du segment [AB], avec A(−7 ; 1) et B(3 ; 9), est :

    • A. (−2 ; 5)
    • B. (2 ; 5)
    • C. (−2 ; −5)
    • D. (5 ; −2)
    Réponse

    A. (−2 ; 5) — Milieu : ((−7 + 3)/2 ; (1 + 9)/2) = (−2 ; 5).

  9. Le point A(2 ; 1) appartient à la droite d’équation :

    • A. 3x + y − 5 = 0
    • B. x + 3y − 5 = 0
    • C. x − 3y + 5 = 0
    • D. 2x + y + 5 = 0
    Réponse

    B. x + 3y − 5 = 0 — 2 + 3 × 1 − 5 = 0. Pour les autres : 6 + 1 − 5 = 2, 2 − 3 + 5 = 4 et 4 + 1 + 5 = 10.

  10. Une équation du cercle de centre Ω(0 ; −3) et de rayon 4 est :

    • A. x² + (y − 3)² = 16
    • B. x² + (y + 3)² = 4
    • C. x² + (y + 3)² = 16
    • D. (x + 3)² + y² = 16
    Réponse

    C. x² + (y + 3)² = 16 — (x − 0)² + (y − (−3))² = 4², soit x² + (y + 3)² = 16.

  11. Les droites 2x + 5y − 1 = 0 et 4x + 10y + 3 = 0 sont :

    • A. strictement parallèles
    • B. perpendiculaires
    • C. sécantes, pas perpendiculaires
    • D. confondues
    Réponse

    A. strictement parallèles — Vecteurs normaux (2 ; 5) et (4 ; 10) colinéaires (2 × 10 − 5 × 4 = 0) : parallèles. 2 × (2x + 5y − 1) = 4x + 10y − 2, et −2 ≠ 3 : pas confondues.

  12. Le projeté orthogonal du point M(4 ; −7) sur l’axe des ordonnées est :

    • A. (4 ; 0)
    • B. (0 ; 4)
    • C. (−4 ; −7)
    • D. (0 ; −7)
    Réponse

    D. (0 ; −7) — La perpendiculaire à l’axe des ordonnées passant par M est horizontale (y = −7) ; elle coupe l’axe en (0 ; −7).

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. La droite passant par A(1 ; −4) et de vecteur normal n(3 ; 2) a pour équation :

    • A. 3x + 2y − 5 = 0
    • B. 2x + 3y + 10 = 0
    • C. 3x + 2y − 11 = 0
    • D. 3x + 2y + 5 = 0
    Réponse

    D. 3x + 2y + 5 = 0 — 3(x − 1) + 2(y + 4) = 0 donne 3x + 2y + 5 = 0. Contrôle avec A : 3 − 8 + 5 = 0.

  2. La distance de l’origine à la droite d : 8x − 6y + 30 = 0 vaut :

    • A. 30
    • B. 5
    • C. 3
    • D. 1,5
    Réponse

    C. 3 — (formule de contrôle du cours) |8 × 0 − 6 × 0 + 30| / √(64 + 36) = 30 / 10 = 3.

  3. Le rayon du cercle d’équation x² + y² − 10x + 4y + 13 = 0 vaut :

    • A. 4
    • B. 16
    • C. √13
    • D. 2√5
    Réponse

    A. 4 — (x − 5)² + (y + 2)² = 25 + 4 − 13 = 16, donc le rayon vaut √16 = 4 et le centre est (5 ; −2).

  4. Les points communs au cercle (x − 2)² + (y − 3)² = 49 et à la droite y = 3 ont pour abscisses :

    • A. −7 et 7
    • B. −5 et 9
    • C. −5 et 5
    • D. 2 et 9
    Réponse

    B. −5 et 9 — Avec y = 3 : (x − 2)² = 49, donc x − 2 = 7 ou x − 2 = −7, soit x = 9 ou x = −5.

  5. Le projeté orthogonal de M(2 ; 6) sur la droite d’équation y = x est :

    • A. (2 ; 2)
    • B. (6 ; 6)
    • C. (4 ; 4)
    • D. (3 ; 3)
    Réponse

    C. (4 ; 4) — La perpendiculaire passant par M est x + y − 8 = 0 ; avec y = x : 2x = 8, donc H(4 ; 4). MH(2 ; −2) est bien orthogonal à (1 ; 1).

  6. La tangente en T(4 ; 5) au cercle de centre Ω(1 ; 1) a pour équation :

    • A. 3x + 4y − 12 = 0
    • B. 4x + 3y − 31 = 0
    • C. 3x + 4y + 32 = 0
    • D. 3x + 4y − 32 = 0
    Réponse

    D. 3x + 4y − 32 = 0 — ΩT(3 ; 4) est normal à la tangente : 3(x − 4) + 4(y − 5) = 0, soit 3x + 4y − 32 = 0. La droite 4x + 3y − 31 = 0 passe par T, mais avec le mauvais vecteur normal.

  7. Les points A(0 ; 1), B(3 ; 7) et C(−2 ; −3) sont-ils alignés ?

    • A. non : AB et AC ne sont pas colinéaires
    • B. oui : le déterminant de AB et AC est nul
    • C. non : le produit scalaire AB · AC vaut −30
    • D. oui : les longueurs AB et AC sont égales
    Réponse

    B. oui : le déterminant de AB et AC est nul — AB(3 ; 6) et AC(−2 ; −4) : 3 × (−4) − 6 × (−2) = −12 + 12 = 0. Les vecteurs sont colinéaires, les points sont alignés. Le produit scalaire ne teste pas l’alignement.

  8. La droite 4x + 3y − 20 = 0 et le cercle de centre O et de rayon 4 :

    • A. sont tangents
    • B. ont deux points communs
    • C. n’ont aucun point commun
    • D. se coupent au centre O
    Réponse

    A. sont tangents — (formule de contrôle du cours) dist(O ; d) = |−20| / √(16 + 9) = 20 / 5 = 4, exactement le rayon : la droite est tangente au cercle.

  9. Quelle droite est perpendiculaire à d : 3x − y + 2 = 0 ?

    • A. 3x − y + 5 = 0
    • B. x − 3y + 1 = 0
    • C. x + 3y − 1 = 0
    • D. 3x + y = 0
    Réponse

    C. x + 3y − 1 = 0 — Il faut un vecteur normal orthogonal à (3 ; −1) : (1 ; 3) convient, car 3 − 3 = 0. La droite 3x − y + 5 = 0 est parallèle à d.

  10. Le cercle de diamètre [AB], avec A(−1 ; 2) et B(3 ; −4), a pour centre et pour rayon :

    • A. (1 ; −1) et √13
    • B. (1 ; −1) et 2√13
    • C. (2 ; −3) et √13
    • D. (1 ; −1) et 13
    Réponse

    A. (1 ; −1) et √13 — Le centre est le milieu ((−1 + 3)/2 ; (2 − 4)/2) = (1 ; −1). AB = √(16 + 36) = √52 = 2√13, donc le rayon vaut AB / 2 = √13.

  11. Combien de points communs ont la droite y = x + 1 et le cercle x² + y² = 1 ?

    • A. aucun
    • B. un seul
    • C. deux
    • D. quatre
    Réponse

    C. deux — x² + (x + 1)² = 1 donne 2x² + 2x = 0, soit x = 0 ou x = −1 : deux points, (0 ; 1) et (−1 ; 0).

  12. Les droites x + y − 5 = 0 et x − y + 1 = 0 se coupent au point :

    • A. (3 ; 2)
    • B. (−2 ; 3)
    • C. (2 ; −3)
    • D. (2 ; 3)
    Réponse

    D. (2 ; 3) — En additionnant : 2x − 4 = 0, donc x = 2, puis y = 5 − 2 = 3. Contrôle : 2 − 3 + 1 = 0.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. L’ensemble des points M(x ; y) tels que x² + y² + 2x − 8y + 21 = 0 est :

    • A. un cercle de rayon √21
    • B. un cercle de rayon 2
    • C. le seul point (−1 ; 4)
    • D. l’ensemble vide
    Réponse

    D. l’ensemble vide — (x + 1)² + (y − 4)² = 1 + 16 − 21 = −4. Une somme de carrés n’est jamais négative : l’ensemble est vide.

  2. Les droites mx + y − 1 = 0 et x − 2y + 3 = 0 sont perpendiculaires pour :

    • A. m = 2
    • B. m = −2
    • C. m = 1/2
    • D. m = −1/2
    Réponse

    A. m = 2 — Vecteurs normaux (m ; 1) et (1 ; −2) : m × 1 + 1 × (−2) = m − 2, nul pour m = 2. Avec m = −1/2, les droites seraient parallèles.

  3. Une droite peut-elle avoir plusieurs équations cartésiennes ?

    • A. non, une droite n’a qu’une équation
    • B. oui, toutes proportionnelles entre elles
    • C. oui, mais seulement une droite verticale
    • D. non, sauf si le coefficient c est nul
    Réponse

    B. oui, toutes proportionnelles entre elles — Si ax + by + c = 0 convient, alors kax + kby + kc = 0 aussi, pour tout réel k non nul.

  4. L’ensemble des points vérifiant x² + y² − 6y + 9 = 0 est :

    • A. un cercle de rayon 3
    • B. l’ensemble vide
    • C. le seul point (0 ; 3)
    • D. la droite d’équation y = 3
    Réponse

    C. le seul point (0 ; 3) — L’équation s’écrit x² + (y − 3)² = 0 : une somme de carrés nulle impose x = 0 et y = 3.

  5. La distance du point M(1 ; 1) à la droite x + 2y − 9 = 0 vaut :

    • A. −6/√5
    • B. 6/5
    • C. 4√5/5
    • D. 6√5/5
    Réponse

    D. 6√5/5 — (formule de contrôle du cours) |1 + 2 − 9| / √(1 + 4) = 6/√5 = 6√5/5. La valeur absolue est indispensable : une distance n’est jamais négative.

  6. En cherchant les points communs à y = x² et à un cercle, on obtient y² − y − 3 = 0. Que faire des solutions ?

    • A. rejeter la négative, car y = x² ≥ 0
    • B. rejeter la positive, car x est négatif
    • C. garder les deux : chacune donne deux points
    • D. les rejeter : y doit être un entier
    Réponse

    A. rejeter la négative, car y = x² ≥ 0 — Les solutions sont (1 + √13)/2 et (1 − √13)/2. Comme y = x² ≥ 0, seule la positive donne des points, avec x = ±√y.

  7. Pour quel rayon r la droite 3x − 4y + 10 = 0 est-elle tangente au cercle de centre Ω(2 ; 1) ?

    • A. r = 12
    • B. r = 12/5
    • C. r = 5/12
    • D. r = 24/5
    Réponse

    B. r = 12/5 — (formule de contrôle du cours) Tangente si et seulement si dist(Ω ; d) = r : |6 − 4 + 10| / √(9 + 16) = 12/5.

  8. Pour la droite ax + by + c = 0, le vecteur (a ; b) est :

    • A. un vecteur directeur de la droite
    • B. un vecteur colinéaire à la droite
    • C. un vecteur normal à la droite
    • D. le vecteur entre deux de ses points
    Réponse

    C. un vecteur normal à la droite — Les coefficients donnent le vecteur normal (a ; b). Un vecteur directeur est (−b ; a).

  9. Le projeté orthogonal de l’origine O sur la droite x + 2y − 10 = 0 est :

    • A. (10 ; 0)
    • B. (0 ; 5)
    • C. (4 ; 3)
    • D. (2 ; 4)
    Réponse

    D. (2 ; 4) — H = O + t·n avec n(1 ; 2) : t + 4t − 10 = 0, donc t = 2 et H(2 ; 4). Le point (4 ; 3) est sur la droite, mais OH(4 ; 3) n’est pas colinéaire à n.

  10. L’équation x² + y² − 2y = k est celle d’un cercle si et seulement si :

    • A. k > 0
    • B. k > −1
    • C. k > 1
    • D. k ≥ −1
    Réponse

    B. k > −1 — x² + (y − 1)² = k + 1 : c’est un cercle si et seulement si k + 1 > 0, soit k > −1. Pour k = −1, c’est un seul point.

  11. Le cercle de centre Ω(3 ; 4) tangent à l’axe des abscisses a pour rayon :

    • A. 4
    • B. 3
    • C. 5
    • D. 7
    Réponse

    A. 4 — La distance de Ω à l’axe des abscisses (y = 0) est |4| = 4 : c’est le rayon. 5 est la distance OΩ.

  12. Combien de points communs ont la parabole y = x² et le cercle x² + (y − 5)² = 4 ?

    • A. deux
    • B. quatre
    • C. un seul
    • D. aucun
    Réponse

    D. aucun — En remplaçant x² par y : y + (y − 5)² = 4, soit y² − 9y + 21 = 0. Δ = 81 − 84 = −3 < 0 : aucune solution, donc aucun point commun.

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