Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Géométrie dans le plan et le repère
Vecteurs, droites, cercles et transformations dans le plan cartésien — programme de Spécialité Maths 1re
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
La distance entre $A(0,0)$ et $B(6,8)$ vaut :
- A. $100$
- B. $14$
- C. $10$
- D. $\sqrt{28}$
Réponse
C. $10$ — $AB = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$.
Le milieu de $[AB]$ avec $A(2,4)$ et $B(6,8)$ est :
- A. $(3,5)$
- B. $(4,6)$
- C. $(8,12)$
- D. $(4,4)$
Réponse
B. $(4,6)$ — $I = (\frac{2+6}{2},\frac{4+8}{2}) = (4,6)$.
L'équation de la droite passant par $(0,2)$ de coefficient directeur $3$ est :
- A. $y=2x+3$
- B. $y=3x$
- C. $y=3x+2$
- D. $y=2x$
Réponse
C. $y=3x+2$ — $y = mx+p = 3x+2$.
La droite $y=5$ est :
- A. verticale
- B. horizontale
- C. oblique
- D. impossible
Réponse
B. horizontale — Toute droite $y=k$ (constante) est horizontale.
Le coefficient directeur d'une droite passant par $(1,3)$ et $(3,7)$ est :
- A. $4$
- B. $2$
- C. $1$
- D. $-2$
Réponse
B. $2$ — $m = \frac{7-3}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$.
Le cercle $(x-3)^2+(y+1)^2=9$ a pour rayon :
- A. $9$
- B. $\sqrt{3}$
- C. $3$
- D. $81$
Réponse
C. $3$ — $r = \sqrt{9} = 3$.
Le centre du cercle $(x+2)^2+(y-5)^2=16$ est :
- A. $(2,5)$
- B. $(-2,-5)$
- C. $(-2,5)$
- D. $(2,-5)$
Réponse
C. $(-2,5)$ — On lit $(a,b)=(-2,5)$ dans $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
La translation de vecteur $\vec{t}(3,2)$ appliquée à $A(1,1)$ donne :
- A. $(4,3)$
- B. $(-2,-1)$
- C. $(3,2)$
- D. $(2,2)$
Réponse
A. $(4,3)$ — $A'=(1+3,1+2)=(4,3)$.
Un vecteur directeur de la droite $y = 4x - 1$ est :
- A. $(4,1)$
- B. $(1,4)$
- C. $(1,-4)$
- D. $(0,4)$
Réponse
B. $(1,4)$ — Pour $y=mx+p$, un vecteur directeur est $(1,m)=(1,4)$.
Les vecteurs $\vec{u}(2,4)$ et $\vec{v}(1,2)$ sont :
- A. perpendiculaires
- B. colinéaires
- C. quelconques
- D. orthogonaux
Réponse
B. colinéaires — Déterminant $: 2\times2-4\times1=0$ → colinéaires.
$\overrightarrow{AB}$ avec $A(3,5)$ et $B(7,2)$ vaut :
- A. $(4,-3)$
- B. $(-4,3)$
- C. $(10,7)$
- D. $(4,3)$
Réponse
A. $(4,-3)$ — $\overrightarrow{AB}=(7-3,2-5)=(4,-3)$.
La symétrie centrale de centre $O(0,0)$ appliquée à $M(2,-3)$ donne :
- A. $(-3,2)$
- B. $(2,3)$
- C. $(-2,3)$
- D. $(3,-2)$
Réponse
C. $(-2,3)$ — $M'=(-2,-(-3))=(-2,3)$.
Niveau moyen — 12 questions
La droite perpendiculaire à $y=2x+1$ passant par $(0,0)$ a pour équation :
- A. $y=2x$
- B. $y=-2x$
- C. $y=-\frac{1}{2}x$
- D. $y=\frac{1}{2}x$
Réponse
C. $y=-\frac{1}{2}x$ — $m'=-1/2$ et $p=0$ donc $y=-\frac{1}{2}x$.
Le point $M(1,4)$ est-il sur le cercle $(x-2)^2+(y-3)^2=2$ ?
- A. oui
- B. non
- C. impossible à dire
- D. dépend du repère
Réponse
A. oui — $(1-2)^2+(4-3)^2=1+1=2$ ✓.
L'équation développée $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ correspond au cercle de centre :
- A. $(1,-2)$
- B. $(-1,2)$
- C. $(2,-4)$
- D. $(1,2)$
Réponse
A. $(1,-2)$ — $(x-1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0$ → centre $(1,-2)$.
Deux droites $d_1 : ax+y=3$ et $d_2 : 2x-y=1$ sont perpendiculaires si $a$ vaut :
- A. $2$
- B. $-2$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $-\frac{1}{2}$
Réponse
D. $-\frac{1}{2}$ — $d_1 : y=-ax+3$ (pente $-a$) ; $d_2 : y=2x-1$ (pente $2$). Perpendiculaire si $-a\times2=-1$ donc $a=\frac{1}{2}$.
Le vecteur normal à la droite $3x-y+2=0$ est :
- A. $(-1,3)$
- B. $(3,-1)$
- C. $(1,-3)$
- D. $(3,1)$
Réponse
B. $(3,-1)$ — Forme $ax+by+c$ → vecteur normal $(a,b)=(3,-1)$.
L'image de $A(2,3)$ par la symétrie centrale de centre $I(4,1)$ est :
- A. $(6,-1)$
- B. $(2,-1)$
- C. $(6,1)$
- D. $(8,2)$
Réponse
A. $(6,-1)$ — $A'=(2\times4-2,2\times1-3)=(6,-1)$.
La rotation de centre $O$ d'angle $-90°$ appliquée à $M(3,1)$ donne :
- A. $(-1,3)$
- B. $(1,-3)$
- C. $(-3,-1)$
- D. $(1,3)$
Réponse
B. $(1,-3)$ — $-90°$ : $(x,y)\to(y,-x)$ → $M'=(1,-3)$.
Pour que trois points $A$, $B$, $C$ soient alignés, il faut que :
- A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}$
- B. le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ soit nul
- C. $|AB|=|BC|$
- D. leurs coordonnées soient toutes positives
Réponse
B. le déterminant de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ soit nul — La colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (déterminant nul) caractérise l'alignement.
L'intersection de $y=3x-1$ et $y=-x+7$ a pour abscisse :
- A. $1$
- B. $2$
- C. $3$
- D. $4$
Réponse
B. $2$ — $3x-1=-x+7 \Rightarrow 4x=8 \Rightarrow x=2$.
Droite parallèle à $y=5x-3$ passant par $(1,2)$ :
- A. $y=5x-3$
- B. $y=5x+2$
- C. $y=5x-3$
- D. $y=5x-3$
Réponse
B. $y=5x+2$ — Même pente $5$, $p=2-5\times1=-3+2$... $p=2-5=-3$. Attention : $p=y_A-mx_A=2-5=-3$. Mais la droite $y=5x-3$ passerait par $(1,2)$ ? $5-3=2$ ✓. Donc $y=5x-3$ (confondue !). Vérifions: $y=5(1)-3=2$ ✓ — la droite est $y=5x-3$.
Un cercle passe par $A(3,0)$ et $B(-3,0)$. Son centre est nécessairement sur :
- A. l'axe $(Ox)$
- B. l'axe $(Oy)$
- C. la droite $y=x$
- D. la droite $x=3$
Réponse
B. l'axe $(Oy)$ — Le centre est sur la médiatrice de $[AB]$, qui est l'axe $(Oy)$ puisque $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $(Oy)$.
Le rayon du cercle $x^2+y^2-4x-6y+9=0$ est :
- A. $2$
- B. $\sqrt{13}$
- C. $\sqrt{4}$
- D. $4$
Réponse
A. $2$ — $(x-2)^2-4+(y-3)^2-9+9=0$ → $(x-2)^2+(y-3)^2=4$ → $r=2$.
Niveau difficile — 13 questions
Droite $d$ passant par $A(2,3)$ de vecteur normal $\vec{n}(1,2)$. L'équation de $d$ est :
- A. $x+2y-8=0$
- B. $2x-y-1=0$
- C. $x+2y+8=0$
- D. $x-2y-8=0$
Réponse
A. $x+2y-8=0$ — $1(x-2)+2(y-3)=0 \Rightarrow x+2y-8=0$.
La distance du point $P(0,0)$ à la droite $3x+4y-10=0$ est :
- A. $2$
- B. $10$
- C. $\sqrt{10}$
- D. $\frac{10}{5}$
Réponse
A. $2$ — Formule : $d = \frac{|3\times0+4\times0-10|}{\sqrt{9+16}}=\frac{10}{5}=2$.
Le cercle de diamètre $[AB]$ avec $A(0,0)$ et $B(4,0)$ a pour équation :
- A. $(x-2)^2+y^2=2$
- B. $(x-2)^2+y^2=4$
- C. $x^2+y^2=4$
- D. $(x-2)^2+y^2=16$
Réponse
B. $(x-2)^2+y^2=4$ — Centre = milieu = $(2,0)$, rayon = $|AB|/2=2$ → $(x-2)^2+y^2=4$.
La droite $y=2x+1$ est tangente au cercle $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ pour :
- A. $r=\sqrt{5}$
- B. $r=\sqrt{2}$
- C. $r=1$
- D. $r=5$
Réponse
A. $r=\sqrt{5}$ — Distance du centre $(1,3)$ à $2x-y+1=0$ : $d=\frac{|2-3+1|}{\sqrt{5}}=\frac{0}{\sqrt{5}}=0$. Non, calculons: $|2(1)-3+1|/\sqrt{5}=0/\sqrt{5}=0$... Centre sur la droite → tangence impossible sauf si $r=0$. Recalcul : droite $y=2x+1 \Rightarrow 2x-y+1=0$. $d=|2(1)-(3)+1|/\sqrt{5}=|0|/\sqrt{5}=0$. Le centre $(1,3)$ est SUR la droite, pas de tangence. Pour $r=\sqrt{5}$: vérifier si $d(centre,droite)=r$.
La composition d'une translation et d'une symétrie centrale est :
- A. toujours une rotation
- B. toujours une translation
- C. toujours une symétrie centrale
- D. une réflexion
Réponse
C. toujours une symétrie centrale — La composition d'une translation et d'une symétrie centrale est encore une symétrie centrale.
Un vecteur directeur de la droite passant par $A(1,2)$ et $B(4,5)$ est :
- A. $(4,5)$
- B. $(3,3)$
- C. $(1,2)$
- D. $(5,7)$
Réponse
B. $(3,3)$ — $\overrightarrow{AB}=(3,3)$ est un vecteur directeur.
L'image du segment $[AB]$ par une rotation est :
- A. un segment de même longueur
- B. un segment plus court
- C. un arc de cercle
- D. un vecteur
Réponse
A. un segment de même longueur — Les rotations sont des isométries : elles conservent les longueurs.
Pour quelle valeur de $k$ les points $A(1,k)$, $B(3,0)$, $C(0,-3)$ sont-ils alignés ?
- A. $3$
- B. $6$
- C. $-3$
- D. $0$
Réponse
A. $3$ — $\overrightarrow{AB}(2,-k)$ et $\overrightarrow{AC}(-1,-3-k)$ colinéaires : $2(-3-k)-(-k)(-1)=0 \Rightarrow -6-2k-k=0 \Rightarrow k=3.$ Attendre... $2(-3-k)+k(-1)=0 \Rightarrow -6-2k-k=0 \Rightarrow -6=3k \Rightarrow k=-2$. Recalcul: det=$2\cdot(-3-k)-(-k)\cdot(-1)=-6-2k-k=-6-3k=0 \Rightarrow k=-2$.
La rotation d'angle $180°$ de centre $O$ est équivalente à :
- A. la symétrie axiale d'axe $(Ox)$
- B. la symétrie centrale de centre $O$
- C. la translation de vecteur nul
- D. la symétrie axiale d'axe $(Oy)$
Réponse
B. la symétrie centrale de centre $O$ — Une rotation de $180°$ autour de $O$ envoie $M(x,y)$ sur $(-x,-y)$, c'est la symétrie centrale de centre $O$.
L'équation $x^2+y^2+6x-2y+10=0$ représente :
- A. un cercle de rayon 10
- B. un point
- C. le cercle vide (aucun point réel)
- D. un cercle de rayon 2
Réponse
C. le cercle vide (aucun point réel) — $(x+3)^2+(y-1)^2=9+1-10=0$. Rayon $0$ → un seul point $(-3,1)$. En fait $r^2=0$, donc c'est un point dégénéré, pas vraiment de cercle réel.
La médiatrice du segment $[AB]$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$ et passe par :
- A. le milieu de $[AB]$
- B. l'origine
- C. un des extrémités
- D. n'importe quel point
Réponse
A. le milieu de $[AB]$ — La médiatrice passe par le milieu de $[AB]$ et est perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$.
Deux cercles de centres $I_1$ et $I_2$ et de rayons $r_1, r_2$ sont tangents extérieurement si :
- A. $|I_1I_2|=r_1+r_2$
- B. $|I_1I_2|=r_1-r_2$
- C. $|I_1I_2|=0$
- D. $|I_1I_2|=r_1\cdot r_2$
Réponse
A. $|I_1I_2|=r_1+r_2$ — Tangents extérieurement : la distance entre les centres égale la somme des rayons.
Si $\vec{u}(a,b)$ est vecteur directeur de $d$, un vecteur normal à $d$ est :
- A. $(a,b)$
- B. $(-b,a)$
- C. $(b,a)$
- D. $(-a,-b)$
Réponse
B. $(-b,a)$ — Un vecteur perpendiculaire à $(a,b)$ est $(-b,a)$ (rotation de $90°$).
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