Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Trigonométrie
Radian, cercle trigonométrique, cos et sin — Spécialité Mathématiques 1re (programme actuel)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Trigonométrie » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'angle orienté et le radian, Le cercle trigonométrique, Cosinus et sinus d'un nombre réel, Valeurs remarquables. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
1
L'angle orienté et le radian
En lycée général, on généralise la notion d'angle : un angle peut être orienté (sens positif = sens trigonométrique = sens inverse des aiguilles d'une montre) et mesurer plus de 360°.
Définition — Radian. On place un arc de cercle de longueur égale au rayon sur un cercle de rayon $r$. L'angle au centre sous-tendu vaut 1 radian (noté $1\,\text{rad}$).
Sur le cercle unité ($r=1$), l'arc de longueur $\ell$ correspond à l'angle $\theta = \ell$ radians.
Sur le cercle unité ($r=1$), l'arc de longueur $\ell$ correspond à l'angle $\theta = \ell$ radians.
La relation entre degrés et radians est :
$$\theta_{\text{rad}} = \theta_{\deg} \times \frac{\pi}{180} \qquad \theta_{\deg} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$$Exemple. Convertir $60°$ en radian : $60 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{3}\,\text{rad}$.
Convertir $\dfrac{3\pi}{4}$ en degrés : $\dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 135°$.
Convertir $\dfrac{3\pi}{4}$ en degrés : $\dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = 135°$.
| Degrés | Radians |
|---|---|
| $0°$ | $0$ |
| $30°$ | $\dfrac{\pi}{6}$ |
| $45°$ | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| $60°$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
| $90°$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| $180°$ | $\pi$ |
| $270°$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
| $360°$ | $2\pi$ |
Astuce. Pour mémoriser rapidement : $180° = \pi$, donc il suffit de multiplier/diviser par $\pi/180$ ou $180/\pi$.
2
Le cercle trigonométrique
Définition — Cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, muni d'un sens de parcours positif (sens trigonométrique, anti-horaire).
Le point de départ est $A(1,0)$.
Le point de départ est $A(1,0)$.
À tout réel $x$, on associe un unique point $M$ sur ce cercle, en parcourant un arc de longueur $|x|$ depuis $A$, dans le sens positif si $x \gt 0$, négatif si $x \lt 0$.
Périodicité. Les points associés à $x$ et à $x + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) sont identiques : on dit que l'association est $2\pi$-périodique.
Les quadrants du cercle trigonométrique :
- Quadrant I : $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ — $\cos x \gt 0$, $\sin x \gt 0$
- Quadrant II : $\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$ — $\cos x \lt 0$, $\sin x \gt 0$
- Quadrant III : $\pi \lt x \lt \dfrac{3\pi}{2}$ — $\cos x \lt 0$, $\sin x \lt 0$
- Quadrant IV : $\dfrac{3\pi}{2} \lt x \lt 2\pi$ — $\cos x \gt 0$, $\sin x \lt 0$
3
Cosinus et sinus d'un nombre réel
Définition. Soit $x \in \mathbb{R}$ et $M$ le point du cercle trigonométrique associé à $x$.
— L'abscisse de $M$ est appelée cosinus de $x$, notée $\cos x$.
— L'ordonnée de $M$ est appelée sinus de $x$, notée $\sin x$.
— L'abscisse de $M$ est appelée cosinus de $x$, notée $\cos x$.
— L'ordonnée de $M$ est appelée sinus de $x$, notée $\sin x$.
On a donc : $M = (\cos x,\, \sin x)$, avec $M$ sur le cercle unité.
Relation fondamentale (identité de Pythagore).$$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$
Exemple. Si $\cos x = \dfrac{1}{2}$ et $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$, alors $\sin x = \sqrt{1 - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Attention ! $\cos^2 x$ se note $\cos^2 x$ (et non $\cos(x^2)$). Ce sont deux choses très différentes.
Pour tout réel $x$ :
- $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $-1 \leq \sin x \leq 1$
- $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k\in\mathbb{Z}$
- $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi,\; k\in\mathbb{Z}$
4
Valeurs remarquables
Il est impératif de connaître par cœur les valeurs suivantes :
| $x$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ |
Moyen mnémotechnique. Pour $\sin$ sur $[0, \pi/2]$ : les valeurs $0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, 1$ correspondent à $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Pour $\cos$, c'est l'ordre inverse.
Exemple. Calculer $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ : on écrit $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
5
Relations et propriétés fondamentales
Les symétries du cercle trigonométrique fournissent des formules essentielles :
Parité.
$\cos(-x) = \cos x$ ($\cos$ est paire)
$\sin(-x) = -\sin x$ ($\sin$ est impaire)
$\cos(-x) = \cos x$ ($\cos$ est paire)
$\sin(-x) = -\sin x$ ($\sin$ est impaire)
Complémentarité ($\pi - x$).
$\cos(\pi - x) = -\cos x$
$\sin(\pi - x) = \sin x$
$\cos(\pi - x) = -\cos x$
$\sin(\pi - x) = \sin x$
Formules avec $\pi + x$.
$\cos(\pi + x) = -\cos x$
$\sin(\pi + x) = -\sin x$
$\cos(\pi + x) = -\cos x$
$\sin(\pi + x) = -\sin x$
Formules avec $\dfrac{\pi}{2} - x$.
$\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$
$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
$\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$
$\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
Périodicité ($2\pi$).
$\cos(x + 2k\pi) = \cos x$
$\sin(x + 2k\pi) = \sin x$, pour tout $k \in \mathbb{Z}$
$\cos(x + 2k\pi) = \cos x$
$\sin(x + 2k\pi) = \sin x$, pour tout $k \in \mathbb{Z}$
Attention ! $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) = -\sin x$ et non $\sin x$ : un $+$ donne le signe moins !
Exemple. Simplifier $\cos\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)$ : $\dfrac{7\pi}{3} = 2\pi + \dfrac{\pi}{3}$, donc $\cos\dfrac{7\pi}{3} = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$.
6
Les fonctions cosinus et sinus
Les fonctions $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ sont définies sur $\mathbb{R}$.
Propriétés des fonctions.
- Toutes deux sont continues et dérivables sur $\mathbb{R}$.
- $\cos'(x) = -\sin x$ — la dérivée de $\cos$ est $-\sin$.
- $\sin'(x) = \cos x$ — la dérivée de $\sin$ est $\cos$.
- Elles sont $2\pi$-périodiques : une seule période suffit à les représenter.
- $\cos$ est paire (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
- $\sin$ est impaire (courbe symétrique par rapport à l'origine).
Variations de $\cos$ sur $[0, 2\pi]$ :
| Intervalle | Variation de $\cos$ |
|---|---|
| $[0, \pi]$ | Décroissante, de $1$ à $-1$ |
| $[\pi, 2\pi]$ | Croissante, de $-1$ à $1$ |
Variations de $\sin$ sur $[0, 2\pi]$ :
| Intervalle | Variation de $\sin$ |
|---|---|
| $[0, \pi/2]$ | Croissante, de $0$ à $1$ |
| $[\pi/2, 3\pi/2]$ | Décroissante, de $1$ à $-1$ |
| $[3\pi/2, 2\pi]$ | Croissante, de $-1$ à $0$ |
7
Résolution d'équations trigonométriques
Résoudre une équation trigonométrique revient à trouver tous les réels $x$ vérifiant l'équation.
Équation $\cos x = a$.
Si $|a| \gt 1$ : pas de solution.
Si $|a| \leq 1$ : il existe $\alpha \in [0, \pi]$ tel que $\cos \alpha = a$, et les solutions sont $$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$
Si $|a| \gt 1$ : pas de solution.
Si $|a| \leq 1$ : il existe $\alpha \in [0, \pi]$ tel que $\cos \alpha = a$, et les solutions sont $$x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$
Équation $\sin x = b$.
Si $|b| \gt 1$ : pas de solution.
Si $|b| \leq 1$ : il existe $\beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin \beta = b$, et les solutions sont $$x = \beta + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \beta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$
Si $|b| \gt 1$ : pas de solution.
Si $|b| \leq 1$ : il existe $\beta \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin \beta = b$, et les solutions sont $$x = \beta + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \beta + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$
Exemple 1. Résoudre $\cos x = \dfrac{1}{2}$ :
On a $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, donc les solutions sont $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
On a $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, donc les solutions sont $x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Exemple 2. Résoudre $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :
On a $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\beta = -\dfrac{\pi}{3}$. Les solutions sont $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
On a $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\beta = -\dfrac{\pi}{3}$. Les solutions sont $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Méthode. Repérer le point sur le cercle trigonométrique, identifier l'angle de référence $\alpha$ (ou $\beta$), puis écrire les deux familles de solutions.
À retenir — Trigonométrie 1re
- $\pi\,\text{rad} = 180°$ ; formule de conversion : multiplier par $\pi/180$ ou $180/\pi$.
- Sur le cercle unité, $M(\cos x, \sin x)$ — identité : $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
- Valeurs clés : $\cos(\pi/3)=1/2$, $\cos(\pi/4)=\sqrt{2}/2$, $\cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2$, et symétrique pour $\sin$.
- Dérivées : $\cos'=-\sin$, $\sin'=\cos$. Parité : $\cos$ paire, $\sin$ impaire.
- Solutions de $\cos x=a$ : $x=\pm\alpha+2k\pi$ ; de $\sin x=b$ : $x=\beta+2k\pi$ ou $x=\pi-\beta+2k\pi$.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de spécialité mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs