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Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Radian et longueur d’arc, enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique, mesure principale, cosinus et sinus d’un réel, valeurs remarquables et angles associés.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur la trigonométrie suit cinq parties : radian et longueur d’arc, cercle trigonométrique et enroulement de la droite des réels avec la mesure principale, cosinus et sinus d’un réel, valeurs remarquables, angles associés. Les démonstrations de cos(π/4), sin(π/4), cos(π/3) et sin(π/3) y sont rédigées, avec une figure du cercle pour chaque notion.

Radian et longueur d’arc

Ce qu’il faut savoir

Le radian. Un angle au centre mesure $1$ radian (noté rad) lorsqu’il intercepte, sur un cercle, un arc de longueur égale au rayon. Un tour complet mesure $2 π$ rad, un demi-tour $π$ rad, un quart de tour $\frac{π}{2}$ rad.

Longueur d’arc. Sur un cercle de rayon $r$ , un angle au centre de $α$ radians intercepte un arc de longueur $ℓ = r α$ . Sur un cercle de rayon $1$ , la mesure en radians est la longueur de l’arc.

Conversion. Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles : $180^{\circ}$ correspond à $π$ rad. Donc

$α_{rad} = α_{deg} \times \frac{π}{180}$ et $α_{deg} = α_{rad} \times \frac{180}{π}$ .

degrés	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$	$360$
radians	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$2 π$

Exemples

Vers les radians. $150^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{150 π}{180} = \frac{5 π}{6}$ rad (on simplifie par $30$ ).

Vers les degrés. $\frac{3 π}{4}$ rad $= \frac{3 π}{4} \times \frac{180}{π}$ $= \frac{3 \times 180}{4} = 135^{\circ}$ .

Simplifier la fraction. $84^{\circ} = \frac{84 π}{180} = \frac{7 π}{15}$ rad, car $84 = 7 \times 12$ et $180 = 15 \times 12$ .

Longueur d’arc. Sur un cercle de rayon $12$ cm, un angle au centre de $\frac{π}{3}$ rad intercepte un arc de longueur $ℓ = 12 \times \frac{π}{3} = 4 π$ cm, soit environ $12, 6$ cm.

Retrouver l’angle. Un arc de $15$ cm sur un cercle de rayon $6$ cm correspond à un angle au centre $α = \frac{ℓ}{r} = \frac{15}{6} = 2, 5$ rad.

Un radian en degrés. $1$ rad $= \frac{180}{π}$ degrés, soit environ $57, 3^{\circ}$ : un peu moins d’un sixième de tour.

Réflexe — Je pars de l’égalité $180^{\circ} = π$ rad. Vers les radians, je multiplie par $\frac{π}{180}$ et je simplifie la fraction ; je laisse $π$ dans le résultat (valeur exacte) et je ne donne une valeur décimale que si l’énoncé la demande.

Attention — Une mesure en radians n’est pas toujours un multiple de $π$ : $1$ , $2$ ou $3, 5$ rad sont des mesures valables ( $3$ rad, c’est presque un demi-tour, car $π \approx 3, 14$ ). Et la formule $ℓ = r α$ n’est vraie qu’avec $α$ en radians, jamais en degrés.

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Cercle trigonométrique et enroulement de la droite

Ce qu’il faut savoir

Cercle trigonométrique. Dans un repère orthonormé d’origine $O$ , c’est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , parcouru dans le sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre. On note $I (1; 0)$ , $J (0; 1)$ , $I' (- 1; 0)$ et $J' (0; - 1)$ .

Enroulement. On place une droite graduée tangente au cercle en $I$ , son zéro en $I$ , orientée vers le haut, et on l’enroule autour du cercle sans la faire glisser. Chaque réel $x$ vient se poser sur un unique point $M$ du cercle : $M$ est l’image de $x$ (on dit aussi le point associé à $x$ ). Si $x > 0$ , on parcourt depuis $I$ un arc de longueur $x$ dans le sens direct ; si $x < 0$ , un arc de longueur $- x$ dans l’autre sens.

Un point, une infinité de réels. Un tour mesure $2 π$ : pour tout entier relatif $k$ , les réels $x$ et $x + 2 k π$ ont la même image. Le réel $\frac{π}{2}$ a pour image $J$ , $π$ a pour image $I'$ , $- \frac{π}{2}$ a pour image $J'$ , et $2 π$ ramène en $I$ .

Mesure principale. Parmi tous les réels associés à un point $M$ , un seul appartient à l’intervalle $] - π; π]$ : c’est la mesure principale (des réels associés à $M$ ).

le réel est dans	$] 0; \frac{π}{2} [$	$] \frac{π}{2}; π [$	$] - π; - \frac{π}{2} [$	$] - \frac{π}{2}; 0 [$
son image est dans le	1er quadrant	2e quadrant	3e quadrant	4e quadrant

Exemples

Placer un réel. $\frac{3 π}{5}$ : comme $\frac{π}{2} < \frac{3 π}{5} < π$ , son image est dans le deuxième quadrant. $- \frac{4 π}{5}$ : comme $- π < - \frac{4 π}{5} < - \frac{π}{2}$ , son image est dans le troisième quadrant (on tourne dans le sens indirect).

Même image. $\frac{17 π}{4} = \frac{π}{4} + \frac{16 π}{4} = \frac{π}{4} + 2 \times 2 π$ : même image que $\frac{π}{4}$ . De même, $- \frac{5 π}{2} = - \frac{π}{2} - 2 π$ a pour image $J'$ .

Mesure principale, réponse rédigée. Pour $\frac{25 π}{7}$ : $2 π = \frac{14 π}{7}$ et $\frac{25 π}{7} - \frac{14 π}{7} = \frac{11 π}{7}$ , encore plus grand que $π = \frac{7 π}{7}$ . On retire un autre tour : $\frac{11 π}{7} - \frac{14 π}{7} = - \frac{3 π}{7}$ , qui appartient à $] - π; π]$ . La mesure principale est $- \frac{3 π}{7}$ .

Beaucoup de tours. Pour $\frac{101 π}{6}$ : $2 π = \frac{12 π}{6}$ et $101 = 8 \times 12 + 5$ , donc $\frac{101 π}{6} = \frac{5 π}{6} + 8 \times 2 π$ . Comme $\frac{5 π}{6} \in] - π; π]$ , c’est la mesure principale.

Réflexe — Pour la mesure principale, j’écris $2 π$ avec le dénominateur de la fraction, puis je retire (ou j’ajoute) des tours entiers jusqu’à tomber dans $] - π; π]$ . Je place toujours le point sur un petit dessin du cercle.

Attention — L’intervalle $] - π; π]$ est ouvert en $- π$ : la mesure principale de $- π$ est $π$ . Et deux réels différents, comme $\frac{9 π}{4}$ et $\frac{π}{4}$ , peuvent avoir la même image : un point du cercle ne correspond pas à un seul réel.

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Cosinus et sinus d’un réel

Ce qu’il faut savoir

Définition. Soit $x$ un réel et $M$ son image sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de $x$ est l’abscisse de $M$ et le sinus de $x$ est son ordonnée : $M (\cos x; \sin x)$ .

Propriétés. Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $k$ :

$- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ et $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ ;
$\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ (on note $\cos^{2} x$ pour $(\cos x)^{2}$ ) ;
$\cos (x + 2 k π) = \cos x$ et $\sin (x + 2 k π) = \sin x$ (même image).

Démonstration de $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ . Le point $M (\cos x; \sin x)$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ , donc $O M = 1$ . Dans un repère orthonormé, $O M^{2} = (\cos x - 0)^{2} + (\sin x - 0)^{2}$ , d’où $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ .

Lien avec le triangle rectangle. Si $0 < x < \frac{π}{2}$ , soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des abscisses. Le triangle $O H M$ est rectangle en $H$ , d’hypoténuse $O M = 1$ , et l’angle $H O M$ mesure $x$ rad. Alors $\cos x = \frac{O H}{O M} = O H$ et $\sin x = \frac{H M}{O M} = H M$ : ce sont le cosinus et le sinus du collège.

quadrant de l’image	1er	2e	3e	4e
signe de $\cos x$	$+$	$-$	$-$	$+$
signe de $\sin x$	$+$	$+$	$-$	$-$

Exemples

Lire sur le cercle. L’image de $π$ est $I' (- 1; 0)$ , donc $\cos π = - 1$ et $\sin π = 0$ . L’image de $- \frac{π}{2}$ est $J' (0; - 1)$ : $\cos (- \frac{π}{2}) = 0$ et $\sin (- \frac{π}{2}) = - 1$ .

Du cosinus au sinus. On sait que $\cos x = 0, 6$ et $0 < x < \frac{π}{2}$ . Alors $\sin^{2} x = 1 - 0, 36 = 0, 64$ , donc $\sin x = 0, 8$ ou $\sin x = - 0, 8$ . Comme l’image de $x$ est dans le premier quadrant, $\sin x > 0$ : $\sin x = 0, 8$ .

Réponse rédigée. « On sait que $\sin x = \frac{1}{3}$ et $x \in] \frac{π}{2}; π [$ . Calculer $\cos x$ . » D’après la relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ , $\cos^{2} x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ . Donc $\cos x = \frac{\sqrt{8}}{3}$ ou $\cos x = - \frac{\sqrt{8}}{3}$ , avec $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ . Or l’image de $x$ est dans le deuxième quadrant, où le cosinus est négatif : $\cos x = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

Couple impossible. Aucun réel n’a pour cosinus $0, 5$ et pour sinus $0, 9$ , car $0, 25 + 0, 81 = 1, 06$ et $1, 06 \neq 1$ .

Réflexe — Pour passer du cosinus au sinus (ou l’inverse) : la relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ donne le carré, puis le quadrant de l’image de $x$ donne le signe. Sans intervalle, deux valeurs opposées restent possibles.

Attention — La relation porte sur les carrés : $\cos x + \sin x$ ne vaut pas $1$ en général (pour $x = π$ , il vaut $- 1$ ). Et sur une calculatrice, le mode doit être réglé en radians : en mode degrés, la touche cos appliquée à $2$ donne le cosinus de $2^{\circ}$ .

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Valeurs remarquables

Ce qu’il faut savoir

$x$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$
$\cos x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- 1$
$\sin x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$

Pour s’en souvenir. De $0$ à $\frac{π}{2}$ , les cosinus valent $\frac{\sqrt{4}}{2}$ , $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\frac{\sqrt{1}}{2}$ , $\frac{\sqrt{0}}{2}$ ; les sinus sont les mêmes, lus dans l’autre sens.

Démonstration (au programme) : $\cos \frac{π}{4}$ et $\sin \frac{π}{4}$ . Soit $M$ l’image de $\frac{π}{4}$ et $H$ son projeté orthogonal sur l’axe des abscisses. Le triangle $O H M$ est rectangle en $H$ et son angle en $O$ mesure $45^{\circ}$ , donc son angle en $M$ aussi : il est isocèle en $H$ , et $O H = H M$ , c’est-à-dire $\cos \frac{π}{4} = \sin \frac{π}{4}$ . La relation $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ donne alors $2 \cos^{2} \frac{π}{4} = 1$ , soit $\cos^{2} \frac{π}{4} = \frac{1}{2}$ . Comme $\cos \frac{π}{4} > 0$ (premier quadrant), $\cos \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , et $\sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Démonstration (au programme) : $\cos \frac{π}{3}$ et $\sin \frac{π}{3}$ . Soit $M$ l’image de $\frac{π}{3}$ . Le triangle $O I M$ est isocèle en $O$ , car $O I = O M = 1$ , et son angle en $O$ mesure $60^{\circ}$ : ses deux autres angles mesurent $\frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = 60^{\circ}$ , il est équilatéral. Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $(O I)$ est le pied de la hauteur issue de $M$ , qui est aussi une médiane : $H$ est le milieu de $[O I]$ . Donc $\cos \frac{π}{3} = O H = \frac{1}{2}$ . Puis $\sin^{2} \frac{π}{3} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ et $\sin \frac{π}{3} > 0$ , d’où $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Et $\frac{π}{6}$ ? L’image de $\frac{π}{6}$ est la symétrique de celle de $\frac{π}{3}$ par rapport à la droite d’équation $y = x$ : l’abscisse et l’ordonnée s’échangent, donc $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ (c’est un angle associé, partie suivante).

Exemples

Calculer avec les valeurs. $\cos^{2} \frac{π}{6} - \sin^{2} \frac{π}{6} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ .

Du point au réel. Le point $Q (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ est l’image d’un réel de $[0; \frac{π}{2}]$ : d’après le tableau, ce réel est $\frac{π}{3}$ . Les réels qui ont $Q$ pour image sont les $\frac{π}{3} + 2 k π$ , $k$ entier relatif.

Placer les points. $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0, 71$ et $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0, 87$ : l’image de $\frac{π}{6}$ est basse et proche de $I$ , celle de $\frac{π}{3}$ est haute et proche de $J$ .

Réflexe — Je connais le tableau par cœur et je le contrôle sur le dessin : quand le réel augmente de $0$ à $\frac{π}{2}$ , le point monte vers $J$ , donc le sinus augmente et le cosinus diminue.

Attention — Ne pas échanger $\frac{1}{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ : l’image de $\frac{π}{3}$ est proche de l’axe des ordonnées, donc son abscisse est petite : $\cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ et $\sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Angles associés

Ce qu’il faut savoir

Les symétries du cercle relient l’image $M$ de $x$ aux images de $- x$ , $π - x$ , $π + x$ , $\frac{π}{2} - x$ et $\frac{π}{2} + x$ . Pour tout réel $x$ :

réel	son image s’obtient à partir de $M$ par	cosinus	sinus
$- x$	symétrie d’axe (abscisses)	$\cos (- x) = \cos x$	$\sin (- x) = - \sin x$
$π - x$	symétrie d’axe (ordonnées)	$\cos (π - x) = - \cos x$	$\sin (π - x) = \sin x$
$π + x$	symétrie de centre $O$	$\cos (π + x) = - \cos x$	$\sin (π + x) = - \sin x$
$\frac{π}{2} - x$	symétrie d’axe la droite $y = x$	$\cos (\frac{π}{2} - x) = \sin x$	$\sin (\frac{π}{2} - x) = \cos x$
$\frac{π}{2} + x$	quart de tour direct de centre $O$	$\cos (\frac{π}{2} + x) = - \sin x$	$\sin (\frac{π}{2} + x) = \cos x$

Démonstration (cas de $π - x$ ). Soit $M (\cos x; \sin x)$ l’image de $x$ et $M'$ celle de $π - x$ . L’arc de $I$ à $M'$ mesure $π - x$ , donc l’arc de $M'$ à $I'$ mesure $x$ , comme l’arc de $I$ à $M$ : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées. Cette symétrie change $(a; b)$ en $(- a; b)$ , d’où $M' (- \cos x; \sin x)$ , c’est-à-dire $\cos (π - x) = - \cos x$ et $\sin (π - x) = \sin x$ . Les autres lignes se démontrent de la même façon avec la transformation indiquée.

Exemples

Avec $π - x$ . $\cos \frac{2 π}{3} = \cos (π - \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}$ .

Avec $- x$ . $\sin (- \frac{π}{3}) = - \sin \frac{π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Avec $\frac{π}{2} - x$ . $\cos \frac{π}{6} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Du point au réel. Le point $P (- \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{2}}{2})$ est dans le troisième quadrant. C’est le symétrique par rapport à $O$ de l’image de $\frac{π}{4}$ , donc l’image de $π + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$ , de mesure principale $\frac{5 π}{4} - 2 π = - \frac{3 π}{4}$ .

Simplifier. Pour tout réel $x$ : $\cos (π + x) + \cos (- x) = - \cos x + \cos x = 0$ .

Réflexe — Je ne récite pas le tableau : je place $x$ dans le premier quadrant, je dessine l’image demandée (symétrique ou quart de tour) et je lis les signes de ses coordonnées. Pour un réel comme $\frac{5 π}{6}$ , je l’écris d’abord $π - \frac{π}{6}$ .

Attention — $\sin (π - x) = \sin x$ , et non $- \sin x$ : la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées garde l’ordonnée. Seules ces formules sont au programme : $\cos (a + b) \neq \cos a + \cos b$ en général (pour $a = b = \frac{π}{2}$ : $\cos π = - 1$ , alors que $0 + 0 = 0$ ).

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Pour aller plus loin

Fonctions cosinus et sinus, équations. Les fonctions $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ (parité, périodicité, courbes, dérivées) et la résolution des équations $\cos x = a$ et $\sin x = a$ sont traitées dans le chapitre Fonctions sinus et cosinus.

Le cosinus en géométrie. La formule $\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖ \times \cos θ$ et le théorème d’Al-Kashi utilisent le cosinus d’un angle : chapitre Produit scalaire.

À retenir

$180^{\circ} = π$ rad ; sur un cercle de rayon $r$ , un angle de $α$ rad intercepte un arc de longueur $ℓ = r α$ .
Tout réel $x$ a une image $M$ sur le cercle trigonométrique ; $x$ et $x + 2 k π$ ont la même image ; la mesure principale est dans $] - π; π]$ .
$M (\cos x; \sin x)$ : $- 1 ⩽ \cos x ⩽ 1$ , $- 1 ⩽ \sin x ⩽ 1$ et $\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1$ ; le quadrant donne les signes.
Valeurs remarquables : $\cos \frac{π}{6} = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\cos \frac{π}{4} = \sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\cos \frac{π}{3} = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ .
Angles associés : $- x$ (axe des abscisses), $π - x$ (axe des ordonnées), $π + x$ (centre $O$ ), $\frac{π}{2} \pm x$ (cosinus et sinus s’échangent).

Questions fréquentes

Comment convertir des degrés en radians ?

On utilise la proportionnalité 180° = π rad : on multiplie la mesure en degrés par π/180 et on simplifie la fraction. Par exemple 45° = 45π/180 = π/4 rad. Dans l’autre sens, on multiplie par 180/π.

Comment trouver la mesure principale d’un angle ?

On écrit 2π avec le même dénominateur que le réel, puis on ajoute ou on retire des tours entiers jusqu’à obtenir un réel de l’intervalle ]−π ; π]. Par exemple 13π/6 − 2π = π/6.

Comment calculer sin x quand on connaît cos x ?

La relation cos² x + sin² x = 1 donne sin² x = 1 − cos² x, donc deux valeurs opposées possibles. Le quadrant de l’image de x choisit le signe : le sinus est positif dans les quadrants 1 et 2, négatif dans les quadrants 3 et 4.

Comment retenir les valeurs remarquables du cosinus et du sinus ?

Les cosinus de 0, π/6, π/4, π/3 et π/2 valent √4/2, √3/2, √2/2, √1/2 et √0/2, c’est-à-dire 1, √3/2, √2/2, 1/2 et 0. Les sinus sont les mêmes, lus dans l’autre sens. Le dessin du cercle permet de vérifier.

À quoi servent les angles associés ?

Ils ramènent le cosinus et le sinus d’un réel comme 5π/6 ou 4π/3 à ceux d’une valeur remarquable, grâce aux symétries du cercle : par exemple cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x, donc cos(5π/6) = −√3/2.

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