Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Géométrie dans le plan et le repère
Vecteurs, droites, cercles et transformations dans le plan cartésien — programme de Spécialité Maths 1re
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Distance, milieu et alignement
/ 4 pts- Soient $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$ et $C(7, 8)$. Calcule $AB$ et $BC$ (forme exacte simplifiée).
- Détermine le milieu $I$ de $[AC]$.
- Montre que $A$, $B$, $C$ sont alignés.
Exercice 2 — Droites dans le repère
/ 5 pts- Détermine l'équation réduite de la droite $(d_1)$ passant par $P(2, 1)$ et $Q(-1, 7)$.
- Détermine l'équation de la droite $(d_2)$ perpendiculaire à $(d_1)$ et passant par $P(2, 1)$.
- Calcule les coordonnées du point d'intersection de $(d_1)$ et $(d_2)$, et vérifie.
Exercice 3 — Cercle et appartenance
/ 5 pts- On donne le cercle $\mathcal{C}$ d'équation $x^2+y^2-6x+4y-3=0$. Détermine son centre $I$ et son rayon $r$ en complétant les carrés.
- Vérifie si le point $A(7, -2)$ appartient à $\mathcal{C}$.
- Écris l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ (si $A \in \mathcal{C}$). Indice : la tangente est perpendiculaire au rayon $[IA]$.
Exercice 4 — Transformations du plan
/ 4 pts- Soit $T$ la translation de vecteur $\vec{t}(2,-3)$ et $S$ la symétrie centrale de centre $\Omega(1,1)$. Calcule l'image de $M(0,4)$ par $T$, notée $M'$.
- Calcule l'image de $M'$ par $S$, notée $M''$.
- Quel est le vecteur $\overrightarrow{MM''}$ ? Quelle transformation directe cela correspond-il ?
Exercice 5 — Vecteur directeur et équation de droite
/ 2 pts- Donne un vecteur directeur et un vecteur normal de la droite $d : 5x - 2y + 4 = 0$.
- Écris l'équation de la droite passant par $A(0,3)$ et de vecteur normal $\vec{n}(4,-1)$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Distance, milieu et alignement
Corrigé :
1. $AB = \sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5$. $BC = \sqrt{(7-3)^2+(8-5)^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
2. $I = \left(\frac{-1+7}{2}, \frac{2+8}{2}\right) = (3, 5)$. On remarque que $I = B$, donc $B$ est le milieu de $[AC]$.
3. $\overrightarrow{AB}(4,3)$ et $\overrightarrow{AC}(8,6) = 2\overrightarrow{AB}$. Comme $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires, $A$, $B$, $C$ sont alignés.
Exercice 2 — Droites dans le repère
Corrigé :
1. $m_1 = \frac{7-1}{-1-2} = \frac{6}{-3} = -2$. $p_1 = 1-(-2)(2) = 1+4 = 5$. Équation : $y = -2x+5$.
2. $m_2 = -\frac{1}{m_1} = \frac{1}{2}$. $p_2 = 1 - \frac{1}{2}(2) = 0$. Équation : $y = \frac{1}{2}x$.
3. Intersection : $(d_1)$ et $(d_2)$ se croisent en $P(2,1)$ (point commun par construction). Vérification : $y=-2(2)+5=1$ ✓ et $y=\frac{1}{2}(2)=1$ ✓.
Exercice 3 — Cercle et appartenance
Corrigé :
1. $(x-3)^2-9+(y+2)^2-4-3=0 \Rightarrow (x-3)^2+(y+2)^2=16$. Centre $I(3,-2)$, rayon $r=4$.
2. $(7-3)^2+(-2+2)^2=16+0=16$ ✓ donc $A(7,-2) \in \mathcal{C}$.
3. $\overrightarrow{IA}(4,0)$ est le vecteur normal à la tangente en $A$. La tangente passe par $A(7,-2)$ avec vecteur normal $(4,0)$ (i.e. horizontale) : $0(x-7)+4... $ Non : vecteur normal $(4,0)$ signifie que la tangente est verticale ! Équation : $x = 7$.
Exercice 4 — Transformations du plan
Corrigé :
1. $M'=(0+2, 4-3)=(2,1)$.
2. $M''=(2\times1-2, 2\times1-1)=(0, 1)$.
3. $\overrightarrow{MM''}=(0-0, 1-4)=(0,-3)$. C'est une translation de vecteur $(0,-3)$. (La composition d'une translation et d'une symétrie centrale est une symétrie centrale, mais ici on observe que $M \to M''$ correspond à la translation $(0,-3)$ — cela illustre la composition de transformations.)
Exercice 5 — Vecteur directeur et équation de droite
Corrigé :
1. Vecteur normal : $\vec{n}(5,-2)$. Vecteur directeur : $\vec{u}(2,5)$ (on permute et change un signe).
2. $4(x-0)+(-1)(y-3)=0 \Rightarrow 4x-y+3=0$ (ou $y=4x+3$ en forme réduite).
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Géométrie dans le plan et le repère » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Distance, milieu et alignement/ 4 pts
- Exercice 2 — Droites dans le repère/ 5 pts
- Exercice 3 — Cercle et appartenance/ 5 pts
- Exercice 4 — Transformations du plan/ 4 pts
- Exercice 5 — Vecteur directeur et équation de droite/ 2 pts
Notions évaluées
Repère orthonormé du plan, Vecteurs et coordonnées, Équation d'une droite, Positions relatives de droites, Équation d'un cercle, Transformations du plan : translation, rotation, symétrie.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie dans le plan et le repère » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Géométrie dans le plan et le repère » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit Repère orthonormé du plan, Vecteurs et coordonnées, Équation d'une droite, Positions relatives de droites.
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