Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie repérée » ?

90 minutes pour 6 exercices notés sur 20.

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Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 90 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Géométrie repérée » du programme officiel de spécialité mathématiques en première.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Géométrie repérée

Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite, droites parallèles ou perpendiculaires, projeté orthogonal et distance d’un point à une droite, équation de cercle et tangente, intersections d’un cercle avec une droite ou une parabole.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de 90 minutes sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé détaillé : automatismes, droites parallèles et perpendiculaires, projeté orthogonal et distance, étude d’un cercle et de sa tangente, famille de droites horizontales, points communs d’un cercle et d’une parabole.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 90 min · Noté sur 20

90:00

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Géométrie repérée

Durée : 90 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(2 pts)

Répondre en justifiant brièvement.

a)Donner un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite $d : 4 x + y - 3 = 0$ .
b)Donner le centre et le rayon du cercle $(x - 7)^{2} + (y + 2)^{2} = 50$ .
c)On donne $A (- 5; 3)$ et $B (1; - 5)$ . Calculer $A B$ et les coordonnées du milieu $I$ de $[A B]$ . Le point $C (4; 0)$ est-il aligné avec $A$ et $B$ ?
d)Le point $P (- 3; 2)$ appartient-il à la droite d’équation $3 x + 5 y - 1 = 0$ ?

Exercice 2 – Droites parallèles et perpendiculaires ★★

(4 pts)

On considère la droite $d_{1} : 7 x - 2 y + 9 = 0$ et le point $P (6; - 1)$ .

a)Déterminer une équation cartésienne de la parallèle $d_{2}$ à $d_{1}$ passant par $P$ .
b)Déterminer une équation cartésienne de la perpendiculaire $d_{3}$ à $d_{1}$ passant par $P$ .
c)Déterminer les coordonnées du point d’intersection $K$ de $d_{1}$ et $d_{3}$ . Que représente $K$ pour le point $P$ ?
d)Préciser la position relative de $d_{1}$ et de $d_{4} : 14 x - 4 y - 1 = 0$ .

Exercice 3 – Projeté orthogonal et distance ★★

(4 pts)

On considère la droite $d : 4 x - 3 y - 12 = 0$ et le point $M (9; 7)$ .

a)Déterminer une équation cartésienne de la perpendiculaire $Δ$ à $d$ passant par $M$ .
b)En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ .
c)Calculer la distance du point $M$ à la droite $d$ .
d)Le cercle de centre $M$ et de rayon $0, 5$ coupe-t-il $d$ ? Donner l’équation réduite du cercle de centre $M$ tangent à $d$ .

Exercice 4 – Étude d’un cercle ★★

(4 pts)

On considère l’ensemble $𝒞$ des points $M (x; y)$ tels que $x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 20 = 0$ .

a)Montrer que $𝒞$ est un cercle dont on précisera le centre $Ω$ et le rayon.
b)Le point $R (1; 5)$ appartient-il à $𝒞$ ? Justifier.
c)Déterminer une équation cartésienne de la tangente à $𝒞$ en $R$ .
d)Déterminer les points d’intersection de $𝒞$ avec l’axe des ordonnées.

Exercice 5 – Une famille de droites horizontales ★★★

(4 pts)

On considère $Γ : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 23 = 0$ et, pour tout réel $t$ , la droite $Δ_{t}$ d’équation $y = t$ .

a)Montrer que $Γ$ est le cercle de centre $Ω (1; 1)$ et de rayon $5$ .
b)Déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $Δ_{t}$ coupe $Γ$ en deux points distincts.
c)Un élève affirme que la droite $y = 6$ coupe $Γ$ en deux points. Expliquer son erreur et donner la conclusion correcte.
d)Déterminer les points communs à $Γ$ et à la droite $y = - 2$ .

Exercice 6 – Un cercle et une parabole (approfondissement) ★★★

(2 pts)

On considère la parabole $𝒫 : y = x^{2}$ et le cercle $𝒞 : x^{2} + (y - 4)^{2} = 10$ .

a)Montrer que les ordonnées des points communs à $𝒫$ et $𝒞$ vérifient $y^{2} - 7 y + 6 = 0$ .
b)En déduire les coordonnées de tous les points communs à $𝒫$ et $𝒞$ .

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Géométrie repérée

Durée : 90 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(2 pts)

a) $\vec{n} (4; 1)$ est normal à $d$ et $\vec{u} (- 1; 4)$ la dirige. Contrôle : $4 \times (- 1) + 1 \times 4 = 0$ . (0,5)
b)Centre $(7; - 2)$ (les signes s’inversent) ; rayon $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5 \sqrt{2}$ . (0,5)
c) $\vec{A B} (6; - 8)$ , donc $A B = \sqrt{36 + 64} = 10$ . $I (\frac{- 5 + 1}{2}; \frac{3 - 5}{2})$ , soit $I (- 2; - 1)$ . $\vec{A C} (9; - 3)$ ; déterminant de $\vec{A B}$ et $\vec{A C}$ : $6 \times (- 3) - (- 8) \times 9 = 54 \neq 0$ : non, $C$ n’est pas aligné avec $A$ et $B$ . (0,5)
d) $3 \times (- 3) + 5 \times 2 - 1 = - 9 + 10 - 1 = 0$ : oui, $P$ appartient à la droite. (0,5)

Repère — Sur ax + by + c = 0, (a ; b) est normal et (−b ; a) est directeur.

Exercice 2 – Droites parallèles et perpendiculaires ★★

(4 pts)

a) $d_{2}$ a le même vecteur normal $(7; - 2)$ : son équation est $7 x - 2 y + c = 0$ . $P \in d_{2}$ : $42 + 2 + c = 0$ , donc $c = - 44$ . Ainsi $d_{2} : 7 x - 2 y - 44 = 0$ . (1)
b)Le vecteur $(7; - 2)$ , normal à $d_{1}$ , dirige $d_{3}$ ; donc $(2; 7)$ est normal à $d_{3}$ , car $7 \times 2 + (- 2) \times 7 = 0$ . $d_{3} : 2 x + 7 y + c = 0$ avec $12 - 7 + c = 0$ , soit $c = - 5$ : $d_{3} : 2 x + 7 y - 5 = 0$ . (1)
c)On résout $7 x - 2 y = - 9$ et $2 x + 7 y = 5$ . On multiplie la première par $7$ , la seconde par $2$ et on additionne : $49 x + 4 x = - 63 + 10$ , soit $53 x = - 53$ , donc $x = - 1$ . Puis $7 y = 5 + 2 = 7$ , donc $y = 1$ : $K (- 1; 1)$ . Contrôle dans $d_{1}$ : $7 \times (- 1) - 2 \times 1 + 9 = 0$ . Comme $K \in d_{1}$ et $(P K) = d_{3}$ est perpendiculaire à $d_{1}$ , $K$ est le projeté orthogonal de $P$ sur $d_{1}$ . (1)
d)Vecteurs normaux $(7; - 2)$ et $(14; - 4)$ : $7 \times (- 4) - (- 2) \times 14 = - 28 + 28 = 0$ , ils sont colinéaires et les droites sont parallèles. Or $2 \times (7 x - 2 y + 9) = 14 x - 4 y + 18$ , et $18 \neq - 1$ : les équations ne sont pas proportionnelles, les droites sont strictement parallèles. (1)

Repère — La parallèle garde le vecteur normal ; la perpendiculaire prend (b ; −a).

Exercice 3 – Projeté orthogonal et distance ★★

(4 pts)

a)Le vecteur $(4; - 3)$ , normal à $d$ , dirige $Δ$ ; $(3; 4)$ est donc normal à $Δ$ . $Δ : 3 (x - 9) + 4 (y - 7) = 0$ , soit $3 x + 4 y - 55 = 0$ . (1)
b) $H$ est l’intersection de $d$ et $Δ$ : $4 x - 3 y = 12$ et $3 x + 4 y = 55$ . On multiplie la première par $4$ , la seconde par $3$ et on additionne : $25 x = 48 + 165 = 213$ , donc $x = \frac{213}{25}$ . Puis $4 y = 55 - \frac{639}{25} = \frac{736}{25}$ , donc $y = \frac{184}{25}$ . Ainsi $H (\frac{213}{25}; \frac{184}{25})$ , soit $H (8, 52; 7, 36)$ . Contrôle : $4 \times 8, 52 - 3 \times 7, 36 - 12$ $= 34, 08 - 22, 08 - 12 = 0$ . (1)
c) $\vec{M H} (- \frac{12}{25}; \frac{9}{25})$ , donc $M H = \frac{\sqrt{144 + 81}}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ . La distance de $M$ à $d$ vaut $0, 6$ . Contrôle : $\frac{| 36 - 21 - 12 |}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{3}{5}$ . (1)
d)Non : $0, 5 < 0, 6$ , donc tous les points de $d$ sont à une distance de $M$ supérieure au rayon ; le cercle et la droite n’ont aucun point commun. Le cercle tangent à $d$ a pour rayon $dist (M; d) = 0, 6$ : $(x - 9)^{2} + (y - 7)^{2} = 0, 36$ . (1)

Repère — Le projeté orthogonal donne à la fois le point le plus proche et la distance à la droite.

Exercice 4 – Étude d’un cercle ★★

(4 pts)

a) $x^{2} + 4 x = (x + 2)^{2} - 4$ et $y^{2} - 10 y = (y - 5)^{2} - 25$ . L’équation devient $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 4 + 25 - 20 = 9$ . Comme $9 > 0$ , $𝒞$ est le cercle de centre $Ω (- 2; 5)$ et de rayon $3$ . (1)
b) $(1 + 2)^{2} + (5 - 5)^{2} = 9 + 0 = 9$ : oui, $R$ appartient à $𝒞$ . (1)
c)La tangente en $R$ passe par $R$ et admet $\vec{Ω R} (3; 0)$ comme vecteur normal : $3 (x - 1) + 0 \times (y - 5) = 0$ , soit $x - 1 = 0$ . La tangente est la droite verticale $x = 1$ . (1)
d)Pour $x = 0$ : $4 + (y - 5)^{2} = 9$ , donc $(y - 5)^{2} = 5$ , soit $y = 5 + \sqrt{5}$ ou $y = 5 - \sqrt{5}$ . Les points sont $(0; 5 + \sqrt{5})$ et $(0; 5 - \sqrt{5})$ . (1)

Repère — Compléter les carrés, puis regarder le signe du second membre avant de parler de rayon.

Exercice 5 – Une famille de droites horizontales ★★★

(4 pts)

a) $x^{2} - 2 x = (x - 1)^{2} - 1$ et $y^{2} - 2 y = (y - 1)^{2} - 1$ , donc l’équation devient $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1 + 1 + 23 = 25$ . Comme $25 > 0$ : cercle de centre $Ω (1; 1)$ et de rayon $\sqrt{25} = 5$ . (1)
b)La droite $Δ_{t}$ est horizontale ; le projeté de $Ω$ sur $Δ_{t}$ est $(1; t)$ , donc $dist (Ω; Δ_{t}) = | t - 1 |$ . Il y a deux points communs si et seulement si $| t - 1 | < 5$ , c’est-à-dire $- 5 < t - 1 < 5$ , soit $- 4 < t < 6$ . (1)
c)Pour $t = 6$ , $| 6 - 1 | = 5$ est égal au rayon, pas strictement inférieur : la droite est tangente à $Γ$ . En remplaçant, $(x - 1)^{2} + 25 = 25$ donne $x = 1$ : un seul point commun, $(1; 6)$ . L’élève a pris l’inégalité large au lieu de l’inégalité stricte et oublié le cas de tangence. (1)
d)Pour $y = - 2$ : $(x - 1)^{2} + 9 = 25$ , donc $(x - 1)^{2} = 16$ , soit $x - 1 = 4$ ou $x - 1 = - 4$ . Les points sont $(5; - 2)$ et $(- 3; - 2)$ . (1)

Repère — Comparer la distance du centre au rayon : égalité = tangence, un seul point.

Exercice 6 – Un cercle et une parabole (approfondissement) ★★★

(2 pts)

a)Un point commun vérifie $y = x^{2}$ ; on remplace $x^{2}$ par $y$ dans l’équation de $𝒞$ : $y + (y - 4)^{2} = 10$ , soit $y + y^{2} - 8 y + 16 = 10$ , d’où $y^{2} - 7 y + 6 = 0$ . (1)
b) $Δ = 49 - 24 = 25$ , donc $y = \frac{7 - 5}{2} = 1$ ou $y = \frac{7 + 5}{2} = 6$ , deux valeurs positives. $x^{2} = 1$ donne $x = \pm 1$ ; $x^{2} = 6$ donne $x = \pm \sqrt{6}$ . Les quatre points communs sont $(- 1; 1)$ , $(1; 1)$ , $(- \sqrt{6}; 6)$ et $(\sqrt{6}; 6)$ . (1)

Repère — Avec y = x², chaque solution y > 0 donne deux points symétriques.

Pour aller plus loin : le devoir surveillé bilan « Produit scalaire, géométrie repérée et trigonométrie » mélange ce chapitre avec d'autres, en 3 niveaux : niveau ★ · niveau ★★ · niveau ★★★.

Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Géométrie repérée » : 6 exercices, 90 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 2 pts
Exercice 2 — Droites parallèles et perpendiculaires ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Projeté orthogonal et distance ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Étude d’un cercle ★★/ 4 pts
Exercice 5 — Une famille de droites horizontales ★★★/ 4 pts
Exercice 6 — Un cercle et une parabole (approfondissement) ★★★/ 2 pts

Notions évaluées

Vecteur normal, vecteur directeur, équation cartésienne d’une droite, droites parallèles et perpendiculaires, intersection de deux droites, projeté orthogonal, distance d’un point à une droite, équation de cercle, tangente à un cercle, intersection d’une droite avec un cercle, intersection d’une parabole avec un cercle (approfondissement).

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 90 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Géométrie repérée » ?: 90 minutes pour 6 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 90 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Géométrie repérée » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit : vecteur normal à une droite ; équation cartésienne d’une droite définie par un point et un vecteur normal ; projeté orthogonal d’un point sur une droite ; équation de cercle (centre et rayon, reconnaître une équation de cercle) ; utiliser un repère pour étudier une configuration (droites parallèles ou perpendiculaires, médiatrice, hauteurs, tangente à un cercle, intersections d’un cercle avec une droite). En approfondissement : intersections d’un cercle avec la parabole y = x², et formule de la distance d’un point à une droite.

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