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Géométrie repérée

Q: Comment savoir combien de points communs ont une droite et un cercle ?

On compare la distance du centre à la droite et le rayon : plus petite, deux points ; égale, un seul point (la droite est tangente) ; plus grande, aucun. Par le calcul, on remplace y dans l’équation du cercle et le signe du discriminant donne la même réponse.

Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite, droites parallèles ou perpendiculaires, projeté orthogonal et distance d’un point à une droite, équation de cercle et tangente, intersections d’un cercle avec une droite ou une parabole.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur la géométrie repérée suit cinq parties : vecteur normal et équation cartésienne d’une droite, droites parallèles ou perpendiculaires et point d’intersection, projeté orthogonal et distance d’un point à une droite, équation de cercle et tangente, intersections d’un cercle avec une droite ou la parabole y = x². Les démonstrations, non exigibles au BO mais utiles (équation d’une droite de vecteur normal donné, point le plus proche, équation du cercle) y sont rédigées.

Vecteur normal et équation cartésienne d’une droite

Ce qu’il faut savoir

Cadre. Tout le chapitre se place dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$ : axes perpendiculaires et $‖ \vec{i} ‖ = ‖ \vec{j} ‖ = 1$ . C’est ce qui autorise les calculs de longueur et le test d’orthogonalité : $\vec{u} (x; y)$ et $\vec{v} (x'; y')$ sont orthogonaux si et seulement si $x x' + y y' = 0$ (produit scalaire, voir le chapitre Produit scalaire).

Rappels de 2^de. Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ : $\vec{A B} (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ , le milieu de $[A B]$ est $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$ et $A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ . Les vecteurs $\vec{u} (x; y)$ et $\vec{v} (x'; y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant $x y' - y x'$ est nul.

Équation cartésienne. Toute droite admet une équation de la forme $a x + b y + c = 0$ avec $(a; b) \neq (0; 0)$ ; réciproquement, une telle équation est celle d’une droite, dirigée par $\vec{u} (- b; a)$ . Elle n’est pas unique : on peut la multiplier par n’importe quel réel non nul.

Vecteur normal. Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à la droite $d$ s’il est orthogonal à un vecteur directeur de $d$ . Pour $d : a x + b y + c = 0$ , le vecteur $\vec{n} (a; b)$ est normal à $d$ , car $a \times (- b) + b \times a = 0$ .

Droite définie par un point et un vecteur normal. La droite passant par $A (x_{A}; y_{A})$ et de vecteur normal $\vec{n} (a; b)$ est l’ensemble des points $M (x; y)$ tels que $\vec{A M} \cdot \vec{n} = 0$ , c’est-à-dire $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ .

Médiatrice. La médiatrice de $[A B]$ est la droite qui passe par le milieu de $[A B]$ et qui admet $\vec{A B}$ comme vecteur normal.

Exemples

Lire les vecteurs. $d : 3 x - 4 y + 12 = 0$ . Ici $a = 3$ et $b = - 4$ : $\vec{n} (3; - 4)$ est normal à $d$ et $\vec{u} (4; 3)$ la dirige. Contrôle : $\vec{u} \cdot \vec{n} = 12 - 12 = 0$ . Le point $(0; 3)$ est sur $d$ , car $0 - 12 + 12 = 0$ .

Démonstration : l’équation d’une droite de vecteur normal donné. Soit $A (x_{A}; y_{A})$ un point et $\vec{n} (a; b)$ un vecteur non nul. Pour $M (x; y)$ , on a $\vec{A M} (x - x_{A}; y - y_{A})$ , donc $\vec{A M} \cdot \vec{n} = a (x - x_{A}) + b (y - y_{A})$ $= a x + b y - (a x_{A} + b y_{A})$ . En posant $c = - (a x_{A} + b y_{A})$ : $M \in d ⟺ a x + b y + c = 0$ . C’est bien une équation cartésienne, puisque $(a; b) \neq (0; 0)$ .

Un point et un vecteur normal. $A (2; - 1)$ et $\vec{n} (5; 3)$ : $5 (x - 2) + 3 (y + 1) = 0$ , soit $5 x + 3 y - 7 = 0$ . Contrôle avec $A$ : $10 - 3 - 7 = 0$ .

Deux points. Droite $(C D)$ avec $C (- 1; - 3)$ et $D (3; 5)$ . $\vec{C D} (4; 8)$ la dirige, ainsi que $(1; 2)$ ; donc $\vec{n} (2; - 1)$ lui est normal, car $2 - 2 = 0$ . L’équation est $2 x - y + c = 0$ ; avec $C$ : $- 2 + 3 + c = 0$ , donc $c = - 1$ . Ainsi $(C D) : 2 x - y - 1 = 0$ . Contrôle avec $D$ : $6 - 5 - 1 = 0$ .

Droites parallèles aux axes. $x = - 2$ s’écrit $x + 0 y + 2 = 0$ : vecteur normal $(1; 0)$ , la droite est verticale. $y = 4$ a pour vecteur normal $(0; 1)$ : elle est horizontale. L’écriture $y = m x + p$ ne décrit aucune droite verticale ; l’équation cartésienne décrit toutes les droites.

Réflexe — Sur $a x + b y + c = 0$ , je lis directement $\vec{n} (a; b)$ et j’en déduis $\vec{u} (- b; a)$ . Pour écrire une droite, je trouve un vecteur normal $(a; b)$ , j’écris $a x + b y + c = 0$ , je calcule $c$ avec un point connu, puis je contrôle avec un autre point.

Attention — $(a; b)$ est un vecteur normal, pas un vecteur directeur : c’est l’erreur la plus fréquente du chapitre. Et une équation cartésienne n’est pas unique : $3 x - 4 y + 12 = 0$ et $- 6 x + 8 y - 24 = 0$ décrivent la même droite.

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Droites parallèles, perpendiculaires et intersection

Ce qu’il faut savoir

On considère $d : a x + b y + c = 0$ et $d' : a' x + b' y + c' = 0$ , de vecteurs normaux $\vec{n} (a; b)$ et $\vec{n'} (a'; b')$ .

Parallèles. $d$ et $d'$ sont parallèles si et seulement si $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont colinéaires : $a b' - a' b = 0$ . Elles sont alors confondues si leurs équations sont proportionnelles, strictement parallèles sinon.

Perpendiculaires. $d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont orthogonaux : $a a' + b b' = 0$ .

Parallèle ou perpendiculaire passant par un point $P$ . La parallèle à $d$ garde le vecteur normal $(a; b)$ ; on calcule le nouveau terme constant avec $P$ . Pour la perpendiculaire, le vecteur normal $(a; b)$ de $d$ devient un vecteur directeur : elle admet donc $(b; - a)$ comme vecteur normal.

Intersection. Si $a b' - a' b \neq 0$ , les droites sont sécantes en un unique point : ses coordonnées sont la solution du système formé par les deux équations (par substitution ou par combinaison). Si $a b' - a' b = 0$ , le système n’a aucune solution (strictement parallèles) ou en a une infinité (confondues).

Hauteur d’un triangle $A B C$ . La hauteur issue de $A$ passe par $A$ et admet $\vec{B C}$ comme vecteur normal.

Exemples

Perpendiculaire passant par un point. Perpendiculaire à $d : 2 x + 7 y - 1 = 0$ passant par $A (3; - 2)$ . Le vecteur $(2; 7)$ est normal à $d$ , donc $(7; - 2)$ est normal à la perpendiculaire : $7 (x - 3) - 2 (y + 2) = 0$ , soit $7 x - 2 y - 25 = 0$ . Contrôle : $(2; 7) \cdot (7; - 2) = 14 - 14 = 0$ .

Point d’intersection. $d_{1} : 2 x + y - 4 = 0$ et $d_{2} : x - 3 y + 5 = 0$ . Le déterminant $2 \times (- 3) - 1 \times 1 = - 7$ n’est pas nul : les droites sont sécantes. De $d_{1}$ , on tire $y = 4 - 2 x$ ; dans $d_{2}$ : $x - 3 (4 - 2 x) + 5 = 0$ , soit $7 x - 7 = 0$ . Donc $x = 1$ , puis $y = 4 - 2 = 2$ : les droites se coupent en $(1; 2)$ . Contrôle dans $d_{2}$ : $1 - 6 + 5 = 0$ .

Confondues ou strictement parallèles. $- 6 x + 8 y - 24 = 0$ est l’équation $3 x - 4 y + 12 = 0$ multipliée par $- 2$ : même droite. En revanche, pour $3 x - 4 y + 12 = 0$ et $6 x - 8 y + 5 = 0$ : $3 \times (- 8) - 6 \times (- 4) = 0$ , les droites sont parallèles, mais le terme constant $5$ n’est pas $2 \times 12 = 24$ : elles sont strictement parallèles, sans point commun.

Réflexe — Avant tout calcul, je compare les vecteurs normaux : déterminant nul, droites parallèles ; produit scalaire nul, droites perpendiculaires ; sinon, je résous le système et je vérifie le point trouvé dans les deux équations.

Attention — Garder le vecteur normal $(a; b)$ pour « la perpendiculaire » donne en fait une parallèle. Et deux droites parallèles ne sont pas forcément distinctes : je compare aussi les termes constants.

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Projeté orthogonal et distance d’un point à une droite

Ce qu’il faut savoir

Projeté orthogonal. Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur une droite $d$ est l’unique point $H$ de $d$ tel que $\vec{M H}$ soit orthogonal à $d$ (si $M \in d$ , alors $H = M$ ). C’est le point d’intersection de $d$ et de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$ .

Point le plus proche. Pour tout point $P$ de $d$ , $M P ⩾ M H$ : $H$ est le point de $d$ le plus proche de $M$ . La longueur $M H$ est appelée distance du point $M$ à la droite $d$ .

Deux méthodes de calcul. ① On écrit la perpendiculaire $d'$ à $d$ passant par $M$ , puis on résout le système formé par $d$ et $d'$ . ② Avec $\vec{n} (a; b)$ normal à $d$ , on cherche $H$ sous la forme $H (x_{M} + t a; y_{M} + t b)$ et on trouve le réel $t$ en écrivant que $H \in d$ .

Approfondissement (hors programme 2026). La méthode ② conduit, pour $d : a x + b y + c = 0$ , à $M H = \frac{| a x_{M} + b y_{M} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ . Cette formule sert à contrôler un résultat ; sur une copie, on calcule la distance avec le projeté orthogonal $H$ .

Exemples

Démonstration : $H$ est le point de $d$ le plus proche de $M$ . Soit $P$ un point de $d$ distinct de $H$ . Comme $(M H)$ est perpendiculaire à $d$ , le triangle $M H P$ est rectangle en $H$ . D’après le théorème de Pythagore, $M P^{2} = M H^{2} + H P^{2}$ , et $H P^{2} > 0$ , donc $M P^{2} > M H^{2}$ , puis $M P > M H$ .

Méthode ① : perpendiculaire, puis système. Projeté de $M (7; 0)$ sur $d : x - y - 1 = 0$ . Le vecteur $(1; - 1)$ , normal à $d$ , dirige la perpendiculaire $d'$ , qui a donc pour vecteur normal $(1; 1)$ : $1 (x - 7) + 1 (y - 0) = 0$ , soit $x + y - 7 = 0$ . Le système $x - y = 1$ et $x + y = 7$ donne, en additionnant, $2 x = 8$ , donc $x = 4$ et $y = 3$ : $H (4; 3)$ . Contrôle : $\vec{M H} (- 3; 3)$ et $\vec{u} (1; 1)$ , qui dirige $d$ : $- 3 + 3 = 0$ . Distance : $M H = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2}$ .

Méthode ② : $H = M + t \vec{n}$ . Projeté de $M (4; 1)$ sur $d : 3 x - 4 y + 12 = 0$ , avec $\vec{n} (3; - 4)$ . Le point $H (4 + 3 t; 1 - 4 t)$ est sur $d$ : $3 (4 + 3 t) - 4 (1 - 4 t) + 12 = 0$ , soit $25 t + 20 = 0$ . Donc $t = - \frac{4}{5}$ et $H (\frac{8}{5}; \frac{21}{5})$ . Distance : $M H = | t | \times ‖ \vec{n} ‖$ $= \frac{4}{5} \times 5 = 4$ .

Démonstration de la formule. Dans la méthode ②, la condition $a (x_{M} + t a) + b (y_{M} + t b) + c = 0$ donne $t = - \frac{a x_{M} + b y_{M} + c}{a^{2} + b^{2}}$ . Donc $M H = | t | \times \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ $= \frac{| a x_{M} + b y_{M} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ . Sur l’exemple : $\frac{| 12 - 4 + 12 |}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4$ .

Réflexe — Je calcule $H$ par l’une des deux méthodes, puis je vérifie que $H \in d$ et que $\vec{M H}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$ . La distance de $M$ à $d$ est ensuite la longueur $M H$ .

Attention — Le projeté n’est pas n’importe quel point de $d$ : un point de $d$ choisi « à vue » doit vérifier l’orthogonalité. Dans la formule, la valeur absolue est indispensable : une distance n’est jamais négative.

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Équation de cercle et tangente

Ce qu’il faut savoir

Équation réduite. Le cercle $𝒞$ de centre $Ω (α; β)$ et de rayon $r > 0$ est l’ensemble des points $M$ tels que $Ω M = r$ . Une équation de $𝒞$ est $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = r^{2}$ .

Forme développée. En développant, on obtient une équation $x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0$ . Réciproquement, devant une telle équation, on complète les carrés, avec $x^{2} + a x = {(x + \frac{a}{2})}^{2} - \frac{a^{2}}{4}$ , pour arriver à $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = k$ . Si $k > 0$ : cercle de centre $Ω (α; β)$ et de rayon $\sqrt{k}$ . Si $k = 0$ : le seul point $Ω$ . Si $k < 0$ : aucun point.

Intérieur, extérieur. Le point $M$ est à l’intérieur du disque si $Ω M^{2} < r^{2}$ , sur le cercle si $Ω M^{2} = r^{2}$ , à l’extérieur si $Ω M^{2} > r^{2}$ .

Cercle de diamètre $[A B]$ . $M$ appartient au cercle de diamètre $[A B]$ si et seulement si $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ (propriété démontrée dans le chapitre Produit scalaire). En coordonnées : $(x - x_{A}) (x - x_{B}) + (y - y_{A}) (y - y_{B}) = 0$ .

Tangente. La tangente au cercle de centre $Ω$ en un point $T$ du cercle est la droite passant par $T$ et de vecteur normal $\vec{Ω T}$ .

Exemples

Démonstration de l’équation réduite. Pour $M (x; y)$ , $Ω M = \sqrt{(x - α)^{2} + (y - β)^{2}}$ . Les nombres $Ω M$ et $r$ sont positifs, donc $Ω M = r ⟺ Ω M^{2} = r^{2}$ $⟺ (x - α)^{2} + (y - β)^{2} = r^{2}$ .

Reconnaître un cercle. $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 y - 11 = 0$ . On complète les carrés : $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ et $y^{2} + 8 y = (y + 4)^{2} - 16$ . L’équation devient $(x - 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 9 + 16 + 11 = 36$ . Comme $36 > 0$ , c’est le cercle de centre $Ω (3; - 4)$ et de rayon $\sqrt{36} = 6$ .

Ensemble vide. $x^{2} + y^{2} + 10 x - 2 y + 30 = 0$ donne $(x + 5)^{2} - 25 + (y - 1)^{2} - 1 + 30 = 0$ , soit $(x + 5)^{2} + (y - 1)^{2} = - 4$ . Une somme de carrés n’est jamais négative : aucun point ne vérifie l’équation.

Cercle de diamètre $[A B]$ . $A (- 1; 2)$ et $B (5; 6)$ : $(x + 1) (x - 5) + (y - 2) (y - 6) = 0$ , soit $x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 7 = 0$ , puis $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 4 + 16 - 7 = 13$ . Centre $I (2; 4)$ , le milieu de $[A B]$ , et rayon $\sqrt{13}$ .

Tangente. Le point $T (4; 7)$ est sur ce cercle : $(4 - 2)^{2} + (7 - 4)^{2} = 4 + 9 = 13$ . Le vecteur $\vec{I T} (2; 3)$ est normal à la tangente en $T$ : $2 (x - 4) + 3 (y - 7) = 0$ , soit $2 x + 3 y - 29 = 0$ .

Réflexe — Devant une équation développée, je regroupe les termes en $x$ , puis en $y$ , je complète les carrés, et je regarde le signe du second membre avant de parler de rayon : le rayon est la racine carrée de ce second membre.

Attention — Les signes du centre s’inversent : $(x + 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 9$ a pour centre $(- 5; 1)$ . Le second membre est $r^{2}$ : $13$ donne un rayon $\sqrt{13}$ , pas $13$ . Et si $x^{2}$ et $y^{2}$ ont pour coefficient $2$ , je divise d’abord toute l’équation par $2$ .

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Intersections avec un cercle : droite, et parabole (approfondissement)

Ce qu’il faut savoir

Principe. Un point commun à deux courbes a des coordonnées qui vérifient les deux équations : on résout le système.

Droite et cercle. On isole $y$ (ou $x$ ) dans l’équation de la droite et on le remplace dans celle du cercle : on obtient une équation du second degré. $Δ > 0$ : deux points communs (droite sécante) ; $Δ = 0$ : un seul point (droite tangente) ; $Δ < 0$ : aucun point.

Lecture par la distance. Si $Ω$ est le centre et $r$ le rayon : $dist (Ω; d) < r$ donne deux points, $dist (Ω; d) = r$ un seul (la droite est tangente), $dist (Ω; d) > r$ aucun. Le point de contact d’une tangente est le projeté orthogonal de $Ω$ sur la droite.

Cercle et parabole $y = x^{2}$ (approfondissement). On remplace $x^{2}$ par $y$ dans l’équation du cercle : on obtient une équation du second degré en $y$ . On ne garde que les solutions $y ⩾ 0$ , puis $x = \sqrt{y}$ ou $x = - \sqrt{y}$ .

Exemples

Droite et cercle. $𝒞 : (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ et $d : y = 2 x - 7$ . On remplace $y$ : $(x - 1)^{2} + (2 x - 7 + 2)^{2} = 25$ , soit $(x - 1)^{2} + (2 x - 5)^{2} = 25$ , puis $5 x^{2} - 22 x + 1 = 0$ . $Δ = 484 - 20 = 464 > 0$ : deux points $E$ et $F$ , d’abscisses $\frac{22 \pm \sqrt{464}}{10}$ $= \frac{11 \pm 2 \sqrt{29}}{5}$ (environ $0, 05$ et $4, 35$ ) ; leurs ordonnées se calculent avec $y = 2 x - 7$ .

Contrôle par la distance. $d$ s’écrit $2 x - y - 7 = 0$ et $dist (Ω; d) = \frac{| 2 + 2 - 7 |}{\sqrt{4 + 1}}$ $= \frac{3}{\sqrt{5}}$ , qui est inférieur à $5$ : on attendait bien deux points.

Cercle et parabole (approfondissement). $𝒫 : y = x^{2}$ et $𝒞 : x^{2} + (y - 3)^{2} = 5$ . On remplace $x^{2}$ par $y$ : $y + (y - 3)^{2} = 5$ , soit $y^{2} - 5 y + 4 = 0$ . $Δ = 25 - 16 = 9$ , donc $y = 1$ ou $y = 4$ , deux valeurs positives. $x^{2} = 1$ donne $x = \pm 1$ et $x^{2} = 4$ donne $x = \pm 2$ : quatre points communs, $(- 2; 4)$ , $(- 1; 1)$ , $(1; 1)$ et $(2; 4)$ .

Réflexe — Avant de développer, je compare la distance du centre à la droite et le rayon : j’annonce le nombre de points, ce qui contrôle le signe de $Δ$ . Ensuite je substitue, j’ordonne le trinôme, et je calcule l’autre coordonnée avec l’équation de la droite (ou avec $y = x^{2}$ ).

Attention — Avec la parabole $y = x^{2}$ , une solution $y < 0$ est à rejeter : un carré n’est jamais négatif. Et chaque solution $y > 0$ donne deux points, d’abscisses $\sqrt{y}$ et $- \sqrt{y}$ .

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Pour aller plus loin

Produit scalaire. Les définitions du produit scalaire, son calcul en coordonnées, la démonstration de « $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ si et seulement si $M$ est sur le cercle de diamètre $[A B]$ » et l’égalité $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{A B} \cdot \vec{A H}$ (où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$ ) sont traités dans le chapitre Produit scalaire.

Parabole d’une fonction du second degré. Le sommet et les points communs d’une parabole $y = a x^{2} + b x + c$ avec une droite sont étudiés dans les chapitres Forme canonique, équations et factorisation et Signe du trinôme et inéquations.

En Terminale. Le vecteur normal devient celui d’un plan de l’espace, avec une équation $a x + b y + c z + d = 0$ et des projetés orthogonaux sur un plan : chapitre Produit scalaire dans l’espace.

À retenir

Sur $a x + b y + c = 0$ : $\vec{n} (a; b)$ est normal, $\vec{u} (- b; a)$ est directeur. Droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n} (a; b)$ : $a (x - x_{A}) + b (y - y_{A}) = 0$ .
Vecteurs normaux colinéaires ( $a b' - a' b = 0$ ) : droites parallèles ; orthogonaux ( $a a' + b b' = 0$ ) : droites perpendiculaires ; sinon, un point d’intersection, solution du système.
Le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $d$ est l’intersection de $d$ et de la perpendiculaire à $d$ passant par $M$ ; $M H$ est la distance de $M$ à $d$ .
Cercle de centre $Ω (α; β)$ et de rayon $r$ : $(x - α)^{2} + (y - β)^{2} = r^{2}$ . Forme développée : compléter les carrés, puis regarder le signe du second membre.
Tangente en $T$ : droite passant par $T$ , de vecteur normal $\vec{Ω T}$ . Droite et cercle : signe de $Δ$ , ou distance du centre comparée au rayon.

Questions fréquentes

Comment trouver un vecteur normal à une droite ?

Sur une équation cartésienne ax + by + c = 0, le vecteur de coordonnées (a ; b) est normal à la droite : on le lit directement sur les coefficients de x et de y. Le vecteur (−b ; a) est, lui, un vecteur directeur.

Comment savoir si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires ?

On compare leurs vecteurs normaux (a ; b) et (a′ ; b′). Si ab′ − a′b = 0, ils sont colinéaires et les droites sont parallèles. Si aa′ + bb′ = 0, ils sont orthogonaux et les droites sont perpendiculaires. Sinon, les droites sont sécantes et on résout le système.

Comment calculer le projeté orthogonal d’un point sur une droite ?

On écrit la perpendiculaire à la droite passant par le point (son vecteur normal devient un vecteur directeur), puis on résout le système des deux équations. On peut aussi chercher H = M + t·n avec n normal à la droite. La longueur MH est la distance du point à la droite.

Comment trouver le centre et le rayon d’un cercle à partir de x² + y² + ax + by + c = 0 ?

On complète les carrés : x² + ax = (x + a/2)² − a²/4, de même pour y. On obtient (x − α)² + (y − β)² = k. Si k > 0, c’est le cercle de centre (α ; β) et de rayon √k ; si k = 0, un seul point ; si k < 0, aucun point.

Comment savoir combien de points communs ont une droite et un cercle ?

On compare la distance du centre à la droite et le rayon : plus petite, deux points ; égale, un seul point (la droite est tangente) ; plus grande, aucun. Par le calcul, on remplace y dans l’équation du cercle et le signe du discriminant donne la même réponse.

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