À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Géométrie dans le plan et le repère » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Repère orthonormé du plan, Vecteurs et coordonnées, Équation d'une droite, Positions relatives de droites. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Repère orthonormé du plan
2 · Vecteurs et coordonnées
3 · Équation d'une droite
4 · Positions relatives de droites
5 · Équation d'un cercle
6 · Transformations du plan : translation, rotation, symétrie
7 · Vecteur directeur et vecteur normal
8 · Méthodes et pièges à éviter
1Repère orthonormé du plan
Un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$ est formé d'un point origine $O$ et de deux vecteurs unitaires orthogonaux $\vec{i}$ et $\vec{j}$. Tout point $M$ du plan est repéré par ses coordonnées $(x, y)$ telles que $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j}$.
Distance entre deux points. Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, alors $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
Milieu d'un segment. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $$I = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
Exemple. Soient $A(1, 3)$ et $B(5, 7)$. Alors $AB = \sqrt{(5-1)^2+(7-3)^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}$ et le milieu est $I(3, 5)$.
2Vecteurs et coordonnées
Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B - x_A \;;\ y_B - y_A)$. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
Colinéarité. $\vec{u}(a, b)$ et $\vec{v}(c, d)$ sont colinéaires $\Leftrightarrow ad - bc = 0$.
Norme d'un vecteur. $\|\vec{u}(a,b)\| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Les opérations sur les vecteurs (addition, multiplication par un scalaire) se font coordonnée par coordonnée :
| Opération | Résultat |
|---|
| $\vec{u}(a,b) + \vec{v}(c,d)$ | $(a+c,\; b+d)$ |
| $k\,\vec{u}(a,b)$ | $(ka,\; kb)$ |
Exemple. $A(2,1)$, $B(5,4)$, $C(8,7)$. Alors $\overrightarrow{AB}(3,3)$ et $\overrightarrow{BC}(3,3)$. Comme $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}$, les points $A$, $B$, $C$ sont alignés (et même $B$ milieu de $[AC]$).
Astuce. Pour montrer que trois points sont alignés, il suffit de vérifier que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ($ad - bc = 0$).
3Équation d'une droite
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$ (avec $(a,b) \neq (0,0)$). Si la droite n'est pas verticale, on peut l'écrire sous la forme réduite $y = mx + p$.
Coefficient directeur. $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (pente de la droite, si $x_A \neq x_B$).
Ordonnée à l'origine. $p = y_A - m\,x_A$ (valeur de $y$ quand $x = 0$).
Cas particuliers :
- Droite horizontale : $y = k$ (coefficient directeur $= 0$)
- Droite verticale : $x = k$ (pas de coefficient directeur)
- Droite passant par l'origine : $y = mx$ (i.e. $p = 0$)
Exemple. Droite passant par $A(1, 2)$ et $B(3, 6)$ : $m = \dfrac{6-2}{3-1} = 2$ ; $p = 2 - 2 \times 1 = 0$. Équation : $y = 2x$.
Attention ! Si les deux points ont la même abscisse ($x_A = x_B$), la droite est verticale : $x = x_A$. Le coefficient directeur n'est pas défini.
4Positions relatives de droites
Deux droites du plan peuvent être :
| Situation | Condition |
|---|
| Parallèles distinctes | Même coefficient directeur $m$, ordonnées à l'origine différentes |
| Confondues | Même coefficient directeur $m$ ET même $p$ |
| Sécantes | Coefficients directeurs différents |
| Perpendiculaires | $m_1 \times m_2 = -1$ |
Droites perpendiculaires. Deux droites de coefficients directeurs $m_1$ et $m_2$ sont perpendiculaires si et seulement si $m_1 \times m_2 = -1$.
Exemple. $d_1 : y = 3x + 1$ et $d_2 : y = -\dfrac{1}{3}x + 2$. On a $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ donc $d_1 \perp d_2$.
Astuce (intersection). Pour trouver le point d'intersection de deux droites sécantes, résoudre le système : égaliser les expressions de $y$, puis substituer pour trouver $x$.
Exemple (intersection). $d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = -x + 7$. Intersection : $2x+1 = -x+7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, $y = 5$. Point : $(2, 5)$.
5Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, un cercle de centre $I(a, b)$ et de rayon $r > 0$ a pour équation :
Équation d'un cercle. $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Pour reconnaître l'équation d'un cercle écrite sous forme développée, on complète le carré :
Exemple. Reconnaître le cercle $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$.
On réécrit : $(x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 - 3 = 0$ donc $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$.
Centre : $I(2, -3)$, rayon : $r = 4$.
Point sur un cercle. Un point $M(x_0, y_0)$ appartient au cercle si et seulement si $(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2 = r^2$.
Attention ! Si l'équation développée donne $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$, le centre est $\left(-\dfrac{d}{2}, -\dfrac{e}{2}\right)$ et le rayon est $r = \sqrt{\dfrac{d^2}{4}+\dfrac{e^2}{4}-f}$ (à condition que cette expression soit positive).
Astuce. Pour savoir si une droite est tangente à un cercle, calculer la distance du centre à la droite et vérifier qu'elle est égale au rayon.
6Transformations du plan : translation, rotation, symétrie
Les transformations isométriques conservent les distances et les formes.
Translation de vecteur $\vec{t}(a,b)$. L'image de $M(x,y)$ est $M'(x+a,\; y+b)$.
Symétrie centrale de centre $\Omega(p,q)$. L'image de $M(x,y)$ est $M'(2p-x,\; 2q-y)$.
Symétrie axiale d'axe $(Ox)$. L'image de $M(x,y)$ est $M'(x,\; -y)$. D'axe $(Oy)$ : $M'(-x,\; y)$. D'axe $y=x$ : $M'(y,\; x)$.
Rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$. L'image de $M(x,y)$ est $M'$ de coordonnées :
$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$
$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$
Exemple. Translation de vecteur $\vec{t}(3,-1)$ : l'image de $A(2,4)$ est $A'(2+3, 4-1) = A'(5,3)$.
Exemple (rotation 90°). Rotation de centre $O$ d'angle $90°$ : $\cos 90° = 0$, $\sin 90° = 1$, donc $M'(-y,\; x)$. Image de $B(3,1)$ : $B'(-1,3)$.
7Vecteur directeur et vecteur normal
À chaque droite sont associés deux types de vecteurs fondamentaux :
Vecteur directeur. Un vecteur $\vec{u}(a,b)$ est directeur de la droite $d$ si $d$ est parallèle à $\vec{u}$. Si $d : y = mx + p$, un vecteur directeur est $\vec{u}(1, m)$.
Vecteur normal. Un vecteur $\vec{n}(a,b)$ est normal à la droite $d$ si $\vec{n}\perp \vec{u}$ (vecteur directeur). Si $d : ax + by + c = 0$, le vecteur normal est $\vec{n}(a, b)$.
La relation entre vecteur directeur $\vec{u}(a,b)$ et vecteur normal $\vec{n}$ : on peut prendre $\vec{n}(-b, a)$ ou $\vec{n}(b, -a)$.
Exemple. Droite $d : 3x - 2y + 5 = 0$.
Vecteur normal : $\vec{n}(3, -2)$.
Vecteur directeur : $\vec{u}(2, 3)$ (on permute et change un signe).
Astuce. Pour écrire l'équation d'une droite passant par $A(x_0, y_0)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a,b)$ :
$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$.
Attention ! Ne pas confondre vecteur directeur et vecteur normal : ils sont perpendiculaires entre eux. Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite, pas dans la direction de la droite.
8Méthodes et pièges à éviter
Voici un récapitulatif des méthodes essentielles :
| Objectif | Méthode |
|---|
| Équation de droite par 2 points | Calculer $m$ puis $p = y_A - mx_A$ |
| Droite perpendiculaire à $y=mx+p$ passant par $A$ | Pente $m' = -1/m$, puis $p' = y_A - m'x_A$ |
| Reconnaître un cercle | Compléter le carré sur $x$ et $y$ |
| Point d'intersection droite/cercle | Substituer l'équation de la droite dans celle du cercle |
| Montrer 3 points alignés | Vérifier colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ |
Piège fréquent. La formule de perpendiculaire $m' = -1/m$ ne s'applique pas aux droites verticales ($m$ indéfini) ou horizontales ($m=0$ → $m'$ serait $-1/0$). Traiter ces cas séparément.
Mémo rapide.- Droite $ax+by+c=0$ → vecteur normal $\vec{n}(a,b)$, vecteur directeur $\vec{u}(-b,a)$
- Cercle centre $I(a,b)$ rayon $r$ → $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
- Distance $AB$ → $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
★À retenir
En bref :
• Distance $AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ ; milieu $I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$
• Droite : équation réduite $y=mx+p$ ou cartésienne $ax+by+c=0$
• Deux droites perpendiculaires : $m_1 \times m_2 = -1$
• Cercle de centre $I(a,b)$ et rayon $r$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
• Translation $(a,b)$ : $M'(x+a, y+b)$ ; Symétrie centrale $\Omega(p,q)$ : $M'(2p-x,2q-y)$
• Vecteur normal à $ax+by+c=0$ : $\vec{n}(a,b)$ ; vecteur directeur : $\vec{u}(-b,a)$