Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Radian et longueur d’arc, enroulement de la droite sur le cercle trigonométrique, mesure principale, cosinus et sinus d’un réel, valeurs remarquables et angles associés.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés dans l’esprit de l’épreuve anticipée, sans calculatrice : l’aiguille des minutes d’une horloge, la hauteur d’une nacelle de grande roue, les polygones inscrits et la méthode d’Archimède pour approcher π, une fonction Python qui calcule la mesure principale, et la tension alternative d’une prise du secteur.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis la situation sur le cercle : quel point de départ, quel sens (direct ou indirect), combien de radians par unité de temps.
J’écris le réel associé au point étudié (départ ± angle parcouru) et je le ramène à sa mesure principale si besoin.
Je calcule les coordonnées (cosinus et sinus) avec les valeurs remarquables et les angles associés, en valeur exacte d’abord.
Je reviens à la situation : rayon, hauteur, longueur d’arc ℓ = rα, unités ; je n’arrondis qu’à la fin, avec les valeurs données.
Je contrôle : un cosinus ou un sinus reste entre −1 et 1, le signe correspond au quadrant, l’ordre de grandeur est plausible.

Problème 1 · L’aiguille des minutes★★★Facile

L’aiguille des minutes d’une horloge mesure

12

cm. Elle fait un tour complet en

60

minutes, dans le sens des aiguilles d’une montre, c’est-à-dire dans le sens indirect. On repère sa direction par le point

M

du cercle trigonométrique de centre

O

(le centre de l’horloge) situé sur l’aiguille, l’axe des ordonnées étant dirigé vers le chiffre 12. À midi,

M

est en

J

, image de

\frac{π}{2}

. Écris π au clavier (ou pi) et une fraction avec « / » (exemple : 2π/3).

1. En une minute, l’aiguille tourne d’un angle de rad.
Un tour, soit $2 π$ rad, en $60$ minutes : $\frac{2 π}{60} = \frac{π}{30}$ rad par minute.
2. Justifier la longueur de l’arc parcouru par la pointe de l’aiguille entre midi et midi vingt, en cm (en fonction de $π$ ) : cm
Rédaction attendue. En $20$ minutes, l’aiguille tourne de $20 \times \frac{π}{30} = \frac{2 π}{3}$ rad. La pointe décrit un cercle de rayon $r = 12$ cm, donc l’arc parcouru mesure $ℓ = r α = 12 \times \frac{2 π}{3} = 8 π$ cm, soit environ $25$ cm.
3. Justifier qu’à midi vingt, $M$ est l’image d’un réel dont la mesure principale est
Rédaction attendue. L’aiguille tourne dans le sens indirect : on part de $\frac{π}{2}$ (point $J$ ) et on retranche l’angle parcouru. À midi vingt, $M$ est l’image de $\frac{π}{2} - \frac{2 π}{3} = \frac{3 π}{6} - \frac{4 π}{6} = - \frac{π}{6}$ , qui appartient à $] - π; π]$ : c’est la mesure principale. (L’aiguille montre bien le chiffre 4, un peu sous l’horizontale, à droite.)
4. À midi vingt, dans le repère d’origine $O$ et d’unité le centimètre, la pointe de l’aiguille a pour ordonnée cm.
La pointe est à $12$ cm de $O$ dans la direction de $M$ : ses coordonnées sont $(12 \cos (- \frac{π}{6}); 12 \sin (- \frac{π}{6}))$ . Comme $\sin (- \frac{π}{6}) = - \sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ , l’ordonnée vaut $12 \times (- \frac{1}{2}) = - 6$ cm : la pointe est $6$ cm sous le centre.
5. À $12$ h $45$ , $M$ est l’image d’un réel dont la mesure principale est
En $45$ minutes, l’aiguille tourne de $45 \times \frac{π}{30} = \frac{3 π}{2}$ rad dans le sens indirect : $M$ est l’image de $\frac{π}{2} - \frac{3 π}{2} = - π$ . Or $- π$ n’est pas dans $] - π; π]$ : la mesure principale est $- π + 2 π = π$ ( $M = I'$ , l’aiguille montre le 9).

Problème 2 · La grande roue★★★Moyen

Une grande roue de rayon

20

m tourne à vitesse constante dans le sens direct et fait un tour complet en

8

minutes. Son axe

O

est à

22

m du sol. On repère une nacelle

M

dans le repère orthonormé d’origine

O

, d’unité le mètre, l’axe des abscisses horizontal. À l’instant

t = 0

(en minutes), la nacelle est au point le plus bas. On note

θ (t)

un réel dont l’image sur le cercle trigonométrique indique la direction de

\vec{O M}

à l’instant

t

h (t)

la hauteur de la nacelle au-dessus du sol. On donne

\sqrt{2} \approx 1, 414

\sqrt{3} \approx 1, 732

1. Justifier que l’on peut prendre $θ (t) = - \frac{π}{2} + \frac{π}{4} t$ . La roue tourne de degrés par minute.
Rédaction attendue. Un tour complet mesure $2 π$ rad et dure $8$ min : la roue tourne de $\frac{2 π}{8} = \frac{π}{4}$ rad par minute, dans le sens direct, donc l’angle augmente. À $t = 0$ , la nacelle est au point le plus bas, dans la direction de $J'$ , image de $- \frac{π}{2}$ . Donc $θ (t) = - \frac{π}{2} + \frac{π}{4} t$ convient. En degrés : $\frac{π}{4} \times \frac{180}{π} = 45$ , soit $45^{\circ}$ par minute.
2. Justifier que $h (t) = 22 + 20 \sin θ (t)$ , puis donner $h (5)$ arrondi au dixième : m
Rédaction attendue. La nacelle décrit le cercle de centre $O$ et de rayon $20$ : $M (20 \cos θ (t); 20 \sin θ (t))$ . Sa hauteur est celle de l’axe plus son ordonnée : $h (t) = 22 + 20 \sin θ (t)$ . Pour $t = 5$ : $θ (5) = - \frac{π}{2} + \frac{5 π}{4} = \frac{3 π}{4}$ , et $\sin \frac{3 π}{4} = \sin (π - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Donc $h (5) = 22 + 10 \sqrt{2} \approx 22 + 14, 14 = 36, 14$ , soit environ $36, 1$ m.
3. Montrer que, pour tout $t ⩾ 0$ , $h (t) = 22 - 20 \cos (\frac{π}{4} t)$ . En déduire $h (\frac{8}{3}) =$ m
Rédaction attendue. Posons $a = \frac{π}{4} t$ . Alors $\sin θ (t) = \sin (a - \frac{π}{2}) = \sin (- (\frac{π}{2} - a)) = - \sin (\frac{π}{2} - a) = - \cos a$ , par les angles associés $- x$ puis $\frac{π}{2} - x$ . Donc $h (t) = 22 - 20 \cos (\frac{π}{4} t)$ . Pour $t = \frac{8}{3}$ : $\frac{π}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{2 π}{3}$ et $\cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$ , donc $h (\frac{8}{3}) = 22 + 10 = 32$ m.
4. Calculer la valeur exacte de $h (\frac{10}{3})$ , puis l’arrondir au dixième : m
$\frac{π}{4} \times \frac{10}{3} = \frac{5 π}{6}$ et $\cos \frac{5 π}{6} = \cos (π - \frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Donc $h (\frac{10}{3}) = 22 + 10 \sqrt{3} \approx 22 + 17, 32 = 39, 32$ , soit environ $39, 3$ m (au bout de $3$ min $20$ s).
5. Combien de fois la nacelle passe-t-elle au sommet de la roue entre $t = 0$ et $t = 14$ ?
La nacelle est au sommet quand $θ (t)$ a pour image $J$ , c’est-à-dire $θ (t) = \frac{π}{2} + 2 k π$ avec $k$ entier. Alors $- \frac{π}{2} + \frac{π}{4} t = \frac{π}{2} + 2 k π$ , soit $\frac{π}{4} t = π + 2 k π$ , c’est-à-dire $t = 4 + 8 k$ . Entre $0$ et $14$ : $t = 4$ et $t = 12$ . La nacelle passe deux fois au sommet.

Problème 3 · Polygones inscrits : la méthode d’Archimède★★★Moyen

Soit

n

un entier,

n ⩾ 3

. Sur le cercle trigonométrique, on place les points

A_{0}, A_{1}, \dots, A_{n - 1}

, images des réels

0, \frac{2 π}{n}, \frac{4 π}{n}, \dots, \frac{2 (n - 1) π}{n}

: ce sont les sommets d’un polygone régulier à

n

côtés, de périmètre

p_{n} = n \times A_{0} A_{1}

. On donne

\sqrt{2 - \sqrt{3}} \approx 0, 5176

. On admet que si

c

est le côté du polygone régulier à

n

côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, le côté du polygone à

2 n

côtés vaut

\sqrt{2 - \sqrt{4 - c^{2}}}

(théorème de Pythagore). On programme :

from math import sqrt
def archimede(k):
    n = 6
    c = 1
    for i in range(k):
        c = sqrt(2 - sqrt(4 - c**2))
        n = 2*n
    return n*c/2

Pour une racine carrée, écris √ ou « racine » (exemple : √5/3 ou racine(5)/3).

1. Pour $n = 6$ , le point $A_{1}$ a pour abscisse $\frac{1}{2}$ et pour ordonnée
$A_{1}$ est l’image de $\frac{2 π}{6} = \frac{π}{3}$ : $A_{1} (\cos \frac{π}{3}; \sin \frac{π}{3}) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ .
2. Démontrer que $A_{0} A_{1}^{2} = 2 - 2 \cos \frac{2 π}{n}$ . Pour $n = 4$ , on obtient $A_{0} A_{1}^{2} =$
Rédaction attendue. $A_{0}$ est l’image de $0$ , donc $A_{0} (1; 0)$ ; $A_{1}$ est l’image de $\frac{2 π}{n}$ , donc $A_{1} (\cos \frac{2 π}{n}; \sin \frac{2 π}{n})$ . Dans un repère orthonormé : $A_{0} A_{1}^{2} = {(\cos \frac{2 π}{n} - 1)}^{2} + \sin^{2} \frac{2 π}{n}$ $= \cos^{2} \frac{2 π}{n} - 2 \cos \frac{2 π}{n} + 1 + \sin^{2} \frac{2 π}{n}$ . Comme $\cos^{2} \frac{2 π}{n} + \sin^{2} \frac{2 π}{n} = 1$ , on obtient $A_{0} A_{1}^{2} = 2 - 2 \cos \frac{2 π}{n}$ . Pour $n = 4$ : $\cos \frac{π}{2} = 0$ , donc $A_{0} A_{1}^{2} = 2$ (le carré inscrit a des côtés de longueur $\sqrt{2}$ ).
3. En déduire la valeur exacte de $p_{6}$ :
Pour $n = 6$ : $A_{0} A_{1}^{2} = 2 - 2 \cos \frac{π}{3} = 2 - 1 = 1$ , donc $A_{0} A_{1} = 1$ et $p_{6} = 6 \times 1 = 6$ . C’est moins que la longueur du cercle, $2 π \approx 6, 28$ : chaque côté est plus court que l’arc qu’il remplace.
4. Pour $n = 12$ , montrer que $A_{0} A_{1}^{2} = 2 - \sqrt{3}$ , puis donner $\frac{p_{12}}{2}$ arrondi au centième :
Rédaction attendue. Pour $n = 12$ : $\frac{2 π}{12} = \frac{π}{6}$ et $\cos \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , donc $A_{0} A_{1}^{2} = 2 - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$ . Ainsi $A_{0} A_{1} = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \approx 0, 5176$ et $\frac{p_{12}}{2} = 6 \times A_{0} A_{1} \approx 6 \times 0, 5176 = 3, 1056$ , soit environ $3, 11$ . Quand $n$ augmente, les côtés collent de plus en plus au cercle : $\frac{p_{n}}{2}$ s’approche de $π \approx 3, 14$ par valeurs inférieures. C’est la méthode d’Archimède.
5. Que renvoie l’appel archimede(0) ?
Pour $k = 0$ , la boucle ne s’exécute pas : $n = 6$ et $c = 1$ , côté de l’hexagone (question 3). La fonction renvoie $\frac{6 \times 1}{2} = 3 = \frac{p_{6}}{2}$ . Avec $k = 1$ , $c = \sqrt{2 - \sqrt{4 - 1}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ : c’est le côté du polygone à $12$ côtés trouvé à la question 4, et archimede(1) renvoie environ $3, 106$ . Chaque passage dans la boucle double le nombre de côtés et rapproche le résultat de $π$ , sans jamais utiliser $π$ : c’est la méthode d’Archimède (archimede(5), polygone à $192$ côtés, donne environ $3, 1415$ ).

Problème 4 · La mesure principale en Python★★★Difficile

On considère la fonction Python suivante. On donne

π \approx 3, 1416

, donc

2 π \approx 6, 2832

from math import pi
def mesure_principale(x):
    while x > pi:
        x = x - 2*pi
    while x <= -pi:
        x = x + 2*pi
    return x

Écris π au clavier (ou pi).

1. Détailler les valeurs successives de x lors de l’appel mesure_principale(10). La valeur renvoyée, arrondie au centième, est
Au départ, x vaut $10 > π$ : x devient $10 - 6, 2832 = 3, 7168$ , encore supérieur à $π$ ; x devient $3, 7168 - 6, 2832 = - 2, 5664$ , et la première boucle s’arrête. Comme $- 2, 5664 > - π$ , la seconde boucle ne s’exécute pas. La fonction renvoie environ $- 2, 57$ , c’est-à-dire $10 - 4 π$ .
2. Même question pour mesure_principale(-4) :
La première boucle ne s’exécute pas ( $- 4 ⩽ π$ ). Seconde boucle : $- 4 ⩽ - π$ , donc x devient $- 4 + 6, 2832 = 2, 2832$ ; $2, 2832 > - π$ , arrêt. La fonction renvoie environ $2, 28$ , c’est-à-dire $- 4 + 2 π$ .
3. Justifier que la valeur renvoyée appartient toujours à $] - π; π]$ . Que renvoie l’appel mesure_principale(-pi) ?
Rédaction attendue. À la sortie de la première boucle, $x ⩽ π$ . La seconde boucle n’ajoute $2 π$ qu’à un nombre $x ⩽ - π$ , ce qui donne un nombre $⩽ π$ : la condition $x ⩽ π$ reste vraie. À la sortie de la seconde boucle, $x > - π$ . Donc la valeur renvoyée est dans $] - π; π]$ , et elle diffère de l’argument d’un nombre entier de tours : c’est la mesure principale. Pour $x = - π$ , la condition « x <= -pi » est vraie : x devient $- π + 2 π = π$ . La fonction renvoie $π$ , ce qui est juste car $- π$ n’est pas une mesure principale.
4. Un élève remplace les deux while par des if. L’appel mesure_principale(10) renvoie alors, arrondi au centième,
Avec des if, chaque test n’est fait qu’une fois : on retranche $2 π$ une seule fois et la fonction renvoie $10 - 2 π \approx 3, 7168$ , soit $3, 72$ . Ce n’est pas une mesure principale, car $3, 72 > π$ : il fallait retrancher un second tour, ce que seule une boucle permet.
5. Écrire une fonction sommets(n) qui renvoie la liste des coordonnées [cos(x), sin(x)] des images des réels $\frac{2 k π}{n}$ , pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$ . Pour $n = 6$ , le couple obtenu pour $k = 2$ a pour abscisse exacte
```
from math import pi, cos, sin
def sommets(n):
    L = []
    for k in range(n):
        x = 2*k*pi/n
        L.append([cos(x), sin(x)])
    return L
```
Pour n=6 et k=2 : x=4π6=2π3, et cos2π3=−cosπ3=−12 (Python affiche une valeur très proche de −0,5).

Problème 5 · La tension du secteur★★★Difficile

La tension délivrée par une prise du secteur, en volts, à l’instant

t

exprimé en secondes, est modélisée par

u (t) = 230 \sqrt{2} \sin (100 π t)

. On donne

\sqrt{2} \approx 1, 414

1. Montrer que, pour tout réel $t$ , $u (t + 0, 02) = u (t)$ . Le motif de la tension se répète donc fois par seconde.
Rédaction attendue. Pour tout réel $t$ , $100 π (t + 0, 02) = 100 π t + 2 π$ . Les réels $100 π t$ et $100 π t + 2 π$ diffèrent d’un tour : ils ont la même image sur le cercle, donc le même sinus. Ainsi $u (t + 0, 02) = 230 \sqrt{2} \sin (100 π t) = u (t)$ : la tension se répète toutes les $0, 02$ s, soit $\frac{1}{0, 02} = 50$ fois par seconde (fréquence de $50$ Hz).
2. Valeur de $u (\frac{1}{600})$ , arrondie au dixième de volt : V
$100 π \times \frac{1}{600} = \frac{π}{6}$ et $\sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}$ , donc $u (\frac{1}{600}) = 115 \sqrt{2} \approx 115 \times 1, 414 = 162, 61$ , soit environ $162, 6$ V.
3. Valeur exacte de $u (\frac{3}{400})$ : V
$100 π \times \frac{3}{400} = \frac{3 π}{4}$ et $\sin \frac{3 π}{4} = \sin (π - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Donc $u (\frac{3}{400}) = 230 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 230 \times \frac{2}{2} = 230$ V.
4. Justifier que $- 230 \sqrt{2} ⩽ u (t) ⩽ 230 \sqrt{2}$ . Le premier instant $t > 0$ où $u (t) = - 230 \sqrt{2}$ est $t =$ s
Rédaction attendue. Pour tout réel, $- 1 ⩽ \sin (100 π t) ⩽ 1$ ; en multipliant par $230 \sqrt{2} > 0$ , on obtient $- 230 \sqrt{2} ⩽ u (t) ⩽ 230 \sqrt{2}$ . La valeur $- 230 \sqrt{2}$ est atteinte quand $\sin (100 π t) = - 1$ , c’est-à-dire quand l’image de $100 π t$ est $J'$ : $100 π t = - \frac{π}{2} + 2 k π$ , $k$ entier, soit $t = - \frac{1}{200} + \frac{k}{50}$ . Pour $k = 0$ , $t < 0$ ; pour $k = 1$ , $t = - 0, 005 + 0, 02 = 0, 015$ . Le premier instant est $t = 0, 015$ s.
5. Calculer $u (\frac{7}{600})$ . On obtient $- k \sqrt{2}$ avec $k =$
$100 π \times \frac{7}{600} = \frac{7 π}{6} = π + \frac{π}{6}$ , donc $\sin \frac{7 π}{6} = - \sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}$ et $u (\frac{7}{600}) = - 115 \sqrt{2}$ : $k = 115$ , environ $- 162, 6$ V.

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