Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus

1. a)$108\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}={\displaystyle \frac{108\pi }{180}}={\displaystyle \frac{3\pi }{5}}$ rad (on simplifie par $36$). (1)
2. b)${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2\pi$ : l’image est $J(0;1)$, donc $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{2}}=1$. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, donc $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1)

Repère — Un réel de la forme π − a se lit avec la valeur remarquable de a : même sinus, cosinus opposé.

1. a)On multiplie par ${\displaystyle \frac{180}{\pi }}$ : ${\displaystyle \frac{5\pi }{8}}\times {\displaystyle \frac{180}{\pi }}={\displaystyle \frac{5\times 180}{8}}={\displaystyle \frac{900}{8}}=112,5$. Donc ${\displaystyle \frac{5\pi }{8}}$ rad $=112,5^{\circ }$. (1)
2. b)Un tour s’écrit $2\pi ={\displaystyle \frac{12\pi }{6}}$, et $31=2\times 12+7$, donc ${\displaystyle \frac{31\pi }{6}}={\displaystyle \frac{7\pi }{6}}+2\times 2\pi$. Or ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}>\pi$ : on retire encore un tour, ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}-{\displaystyle \frac{12\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$, qui appartient à $]-\pi ;\pi ]$. La mesure principale est $-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$. (1)
3. c)$M$ est l’image de $-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$. On écrit $-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=-(\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$. D’une part $\cos (-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})=\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ ; d’autre part $\sin (-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})=-\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Donc $M(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}})$ (troisième quadrant, ce qui est cohérent). (1)
4. d)Les réels qui ont $M$ pour image sont les $-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+2k\pi$, $k$ entier. Avec $4\pi ={\displaystyle \frac{24\pi }{6}}$ : $k=0$ donne un réel négatif ; $k=1$ donne ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$ ; $k=2$ donne ${\displaystyle \frac{19\pi }{6}}$ ; $k=3$ donne ${\displaystyle \frac{31\pi }{6}}>{\displaystyle \frac{24\pi }{6}}$. Les réels cherchés sont ${\displaystyle \frac{7\pi }{6}}$ et ${\displaystyle \frac{19\pi }{6}}$. (1)

Méthode — Mesure principale : écrire 2π avec le même dénominateur et retirer des tours jusqu’à ]−π ; π].

1. a)D’après la relation ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ : ${\sin }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{49}{625}}={\displaystyle \frac{576}{625}}$, donc $\sin x={\displaystyle \frac{24}{25}}$ ou $\sin x=-{\displaystyle \frac{24}{25}}$. Comme $x\in \left]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right[$, l’image de $x$ est dans le deuxième quadrant, où le sinus est positif : $\sin x={\displaystyle \frac{24}{25}}$. (1)
2. b)Angles associés : $\cos (\pi -x)=-\cos x={\displaystyle \frac{7}{25}}$ et $\sin (\pi +x)=-\sin x=-{\displaystyle \frac{24}{25}}$. (1)
3. c)$\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=\cos x=-{\displaystyle \frac{7}{25}}$ et $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x={\displaystyle \frac{24}{25}}$. (1)
4. d)Comme $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$ et $\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\cos x$, l’expression vaut $\sin x\times \sin x+\cos x\times \cos x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Vérification : ${\displaystyle \frac{576}{625}}+{\displaystyle \frac{49}{625}}={\displaystyle \frac{625}{625}}=1$. (1)

Piège — cos² x + sin² x = 1 donne deux valeurs opposées : c’est l’intervalle de x qui choisit le signe.

1. a)Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$. La somme de ses angles vaut ${180}^{\circ }$ et $HOM={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ rad $={45}^{\circ }$, donc $OMH={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{45}^{\circ }={45}^{\circ }$. Ses deux angles aigus sont égaux : il est isocèle en $H$, et $OH=HM$. (1)
2. b)$OH$ est l’abscisse de $M$ et $HM$ son ordonnée (positive) : $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$. Notons $c$ cette valeur. La relation fondamentale donne $c^2+c^2=1$, soit $c^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Comme $c>0$ (premier quadrant), $c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. Donc $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}=\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ : l’image de ${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$ est le symétrique de $M$ par rapport à $O$. Donc $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}=-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. (1)

Au programme — Le calcul de cos(π/4), sin(π/4), cos(π/3) et sin(π/3) est une démonstration exigible : il faut savoir la rédiger.

1. a)$160\times {\displaystyle \frac{\pi }{180}}={\displaystyle \frac{160\pi }{180}}={\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$ rad (on simplifie par $20$). (1)
2. b)L’extrémité décrit un arc de cercle de rayon $r=45$ cm et d’angle $\alpha ={\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$ rad : $\ell =r\alpha =45\times {\displaystyle \frac{8\pi }{9}}=40\pi$ cm. Avec $\pi \approx 3,14$ : $\ell \approx 40\times 3,14=125,6$ cm. (1)
3. c)On a $\ell =r\alpha$, donc $r={\displaystyle \frac{\ell }{\alpha }}=32\pi \times {\displaystyle \frac{9}{8\pi }}={\displaystyle \frac{32\times 9}{8}}=36$. Le second balai mesure $36$ cm. (1)

Repère — ℓ = rα ne marche qu’avec un angle en radians : on convertit d’abord les degrés.

1. a)Angles associés : $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\sin (-x)=-\sin x$ et $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$. L’expression vaut $\sin x-\sin x+\sin x=\sin x$. (1)
2. b)$\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=-\sin x$, $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos (\pi -x)=-\cos x$ et $\cos (-x)=\cos x$. L’expression vaut $-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x=-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=-1$, pour tout réel $x$. (1)
3. c)Contre-exemple : pour $x=0$, $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0$ alors que $\cos 0=1$ ; l’égalité est donc fausse. La symétrie par rapport à la droite d’équation $y=x$ échange abscisse et ordonnée : la formule correcte est $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$. (1)

Piège — Pour réfuter une formule « pour tout x », un seul contre-exemple suffit ; pour la prouver, il faut un argument général.