Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Trigonométrie
Radian, cercle trigonométrique, cos et sin — Spécialité Mathématiques 1re (programme actuel)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Conversions et valeurs remarquables
/ 4 pts- Convertis en radians : $120°$, $315°$, $-30°$.
- Donne les valeurs exactes : $\cos\dfrac{\pi}{6}$, $\sin\dfrac{\pi}{3}$, $\cos\dfrac{3\pi}{4}$, $\sin\dfrac{7\pi}{6}$.
Exercice 2 — Identité de Pythagore
/ 4 pts- Sachant que $\cos x = -\dfrac{2}{3}$ et $x \in [\dfrac{\pi}{2}, \pi]$, calcule $\sin x$.
- En déduire la valeur de $\cos^2 x + \sin^2 x$ (vérification).
- Calcule $\sin(\pi - x)$ et $\cos(\pi + x)$ en fonction des valeurs obtenues.
Exercice 3 — Graphe et variations
/ 4 pts- Rappelle le tableau de variations de la fonction $\sin$ sur $[0, 2\pi]$ avec les valeurs aux bornes.
- Sur quel(s) intervalle(s) de $[0, 2\pi]$ la fonction sinus est-elle négative ?
- Justifie que $\sin'(x) = \cos x$ implique que $\sin$ est croissante sur $[0, \pi/2]$.
Exercice 4 — Résolution d'équations
/ 5 pts- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\cos x = -\dfrac{1}{2}$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- Résoudre sur $[0, 2\pi]$ : $2\cos x + \sqrt{2} = 0$.
Exercice 5 — Étude d'une fonction composée
/ 3 ptsSoit $f(x) = \cos(2x)$ définie sur $\mathbb{R}$.
- Calculer $f'(x)$.
- Résoudre $f'(x) = 0$ sur $[0, \pi]$.
- Donner le tableau de variations de $f$ sur $[0, \pi]$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Conversions et valeurs remarquables
Conversions :
$120° = \dfrac{2\pi}{3}$ rad ; $315° = \dfrac{7\pi}{4}$ rad ; $-30° = -\dfrac{\pi}{6}$ rad.
Valeurs :
$\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (car $3\pi/4 = \pi - \pi/4$) ; $\sin\dfrac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \pi/6) = -\dfrac{1}{2}$.
Exercice 2 — Identité de Pythagore
1. $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}$. Comme $x \in [\pi/2, \pi]$, $\sin x \geq 0$, donc $\sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$.
2. $\cos^2 x + \sin^2 x = \dfrac{4}{9}+\dfrac{5}{9} = 1$ ✓
3. $\sin(\pi-x) = \sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ; $\cos(\pi+x) = -\cos x = \dfrac{2}{3}$.
Exercice 3 — Graphe et variations
Tableau de variations de $\sin$ sur $[0,2\pi]$ :
$0 \to \pi/2$ : croissante (de 0 à 1) ; $\pi/2 \to 3\pi/2$ : décroissante (de 1 à -1) ; $3\pi/2 \to 2\pi$ : croissante (de -1 à 0).
Signe négatif : $\sin x \lt 0$ pour $x \in ]\pi, 2\pi[$.
Croissance : Sur $[0, \pi/2]$, $\cos x \geq 0$, donc $\sin'(x) = \cos x \geq 0$ : la dérivée positive implique que $\sin$ est croissante.
Exercice 4 — Résolution d'équations
1. $\cos(\pi/3)=1/2$, donc $\cos(\pi-\pi/3)=\cos(2\pi/3)=-1/2$. Solutions : $x = \dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
2. $\sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2$. Solutions : $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
3. $2\cos x + \sqrt{2}=0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Sur $[0,2\pi]$ : $x = \dfrac{3\pi}{4}$ ou $x = \dfrac{5\pi}{4}$.
Exercice 5 — Étude d'une fonction composée
a) Par dérivée composée : $f'(x) = -2\sin(2x)$.
b) $f'(x)=0 \Rightarrow \sin(2x)=0 \Rightarrow 2x = k\pi \Rightarrow x = 0, \pi/2, \pi$ sur $[0,\pi]$.
c) Sur $[0, \pi/2]$ : $\sin(2x)\geq 0$ donc $f'(x)\leq 0$ : $f$ décroissante (de $f(0)=1$ à $f(\pi/2)=\cos\pi=-1$). Sur $[\pi/2, \pi]$ : $f$ croissante (de $-1$ à $\cos(2\pi)=1$).
Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Trigonométrie » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Conversions et valeurs remarquables/ 4 pts
- Exercice 2 — Identité de Pythagore/ 4 pts
- Exercice 3 — Graphe et variations/ 4 pts
- Exercice 4 — Résolution d'équations/ 5 pts
- Exercice 5 — Étude d'une fonction composée/ 3 pts
Notions évaluées
L'angle orienté et le radian, Le cercle trigonométrique, Cosinus et sinus d'un nombre réel, Valeurs remarquables, Relations et propriétés fondamentales, Les fonctions cosinus et sinus.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Trigonométrie » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Trigonométrie » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit L'angle orienté et le radian, Le cercle trigonométrique, Cosinus et sinus d'un nombre réel, Valeurs remarquables.
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