Devoir surveillé : Primitives, équations différentielles et intégrales

1. a)Par linéarité, avec les primitives usuelles : $6x^2$ a pour primitive $6\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}=2x^3$, $-5$ a pour primitive $-5x$, et $4e^{2x}$ a pour primitive $4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}=2e^{2x}$ (forme $e^{ax+b}$ avec $a=2$). Une primitive est $F(x)=2x^3-5x+2e^{2x}$. Contrôle : $F\prime (x)=6x^2-5+4e^{2x}=f(x)$. (0,5 pt pour les termes polynomiaux, 0,5 pt pour $2e^{2x}$) (1)
2. b)Sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ a pour primitive $\ln x$ et ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ a pour primitive $-{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Par linéarité, $G(x)=3\ln x-{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Contrôle : $G\prime (x)={\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}=g(x)$. (0,5 pt par terme) (1)
3. c)Les solutions de $y\prime =ay$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{ax}$ : ici, les fonctions $x\mapsto C{e}^{-0,4x}$, où $C$ est un réel quelconque. $f(0)=C{e}^0=C=15$, donc $f(x)=15e^{-0,4x}$. (0,5 pt pour toutes les solutions, 0,5 pt pour $f$) (1)
4. d)Une primitive de $x\mapsto 4x-1$ est $x\mapsto 2x^2-x$. Donc ${\displaystyle {\int }_1^3(4x-1)dx=[2x^2-x{]}_1^3=(18-3)-(2-1)=15-1=14}$. Contrôle : la fonction est affine et positive sur $[1;3]$ ; le domaine est un trapèze de bases $3$ et $11$ et de hauteur $2$, d'aire ${\displaystyle \frac{3+11}{2}}\times 2=14$. (0,5 pt pour la primitive, 0,5 pt pour le résultat) (1)
5. e)Avec $u(x)=x^4$, $u\prime (x)=4x^3$ : la fonction est de la forme $u\prime e^u$, de primitive $e^u=e^{x^4}$. Donc ${\displaystyle {\int }_0^{1}4x^3{e}^{x^4}dx=[e^{x^4}{]}_0^1=e^1-e^0=e-1\approx 1,718}$. (0,5 pt pour la forme $u\prime e^u$, 0,5 pt pour la valeur exacte) (1)

Méthode — Je contrôle toujours une primitive en la dérivant : c'est rapide et cela évite les erreurs de coefficient, comme oublier le ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ de $e^{2x}$.

1. a)Pour $x\in [0;3]$, $6x⩾0$ et $x^2+3⩾3>0$ : par quotient, $f(x)⩾0$. La fonction $f$ est continue et positive sur $[0;3]$ : $I$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par ${𝒞}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=3$. (0,5 pt pour le signe, 0,5 pt pour l'interprétation) (1)
2. b)Avec $u(x)=x^2+3>0$ et $u\prime (x)=2x$ : $f(x)=3\times {\displaystyle \frac{2x}{x^2+3}}=3{\displaystyle \frac{u\prime (x)}{u(x)}}$, forme ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ avec $u>0$, de primitive $\ln u$. Donc $F=3\ln u$ est une primitive de $f$. Vérification : $F\prime (x)=3\times {\displaystyle \frac{2x}{x^2+3}}={\displaystyle \frac{6x}{x^2+3}}=f(x)$. (0,5 pt pour la forme reconnue, 0,5 pt pour la vérification) (1)
3. c)$I=F(3)-F(0)=3\ln 12-3\ln 3=3\ln {\displaystyle \frac{12}{3}}=3\ln 4$. Comme $4=2^2$, $\ln 4=2\ln 2$, donc $I=6\ln 2\approx 4,159$ u.a. (0,5 pt pour $F(3)-F(0)$, 0,5 pt pour $6\ln 2$) (1)
4. d)Une unité d'aire est l'aire d'un rectangle de $2$ cm sur $1$ cm : $1$ u.a. $=2$ cm². L'aire vaut donc $2\times 6\ln 2=12\ln 2\approx 8,32$ cm². (0,5 pt pour l'unité d'aire, 0,5 pt pour le résultat) (1)
5. e)$\mu ={\displaystyle \frac{1}{3-0}}{\displaystyle {\int }_0^{3}f(x)dx={\displaystyle \frac{6\ln 2}{3}}=2\ln 2\approx 1,39}$. Interprétation : le rectangle de base $[0;3]$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que le domaine sous la courbe de $f$. (0,5 pt pour $\mu$, 0,5 pt pour l'interprétation) (1)

Erreur fréquente — L'intégrale se calcule avec la primitive : $F(3)-F(0)$, et non $f(3)-f(0)$. Et une aire en cm² demande de convertir l'unité d'aire, qui n'est pas $1$ cm² quand les unités des axes diffèrent.

1. a)La vitesse de refroidissement $\theta \prime (t)$ est proportionnelle à l'écart $\theta (t)-20$, avec le coefficient $-0,01$ (la température baisse tant que l'eau est plus chaude que la pièce) : $\theta \prime =-0,01(\theta -20)=-0,01\theta +0,2$. La solution constante $c$ vérifie $0=-0,01c+0,2$, soit $c=20$ : c'est la température de la salle de bains, température d'équilibre de l'eau. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la solution constante interprétée) (1)
2. b)Les solutions de $(E)$ sont les fonctions $t\mapsto C{e}^{-0,01t}+20$, où $C$ est un réel. $\theta (0)=C+20=38$, donc $C=18$ et $\theta (t)=18e^{-0,01t}+20$. (0,5 pt pour la forme générale, 0,5 pt pour $C=18$) (1)
3. c)$\theta (30)=18e^{-0,3}+20\approx 33,3$ °C. Quand $t\to +\infty$, $-0,01t\to -\infty$ et $e^{-0,01t}\to 0$, donc $\underset{t\to +\infty }{lim}\theta (t)=20$ : l'eau se rapproche de la température de la pièce, sans descendre en dessous. (0,5 pt pour $\theta (30)$, 0,5 pt pour la limite interprétée) (1)
4. d)$\theta (t)<32⟺18e^{-0,01t}<12⟺e^{-0,01t}<{\displaystyle \frac{2}{3}}⟺-0,01t<\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}$ ($\ln$ strictement croissante) $⟺t>-100\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}=100\ln 1,5$ (on divise par $-0,01<0$ : le sens change). On sort du bain au bout de $100\ln 1,5\approx 40,5$ minutes. (0,5 pt pour l'inéquation résolue, 0,5 pt pour la valeur exacte et approchée) (1)
5. e)Une primitive de $t\mapsto 18e^{-0,01t}+20$ est $t\mapsto 18\times {\displaystyle \frac{1}{-0,01}}{e}^{-0,01t}+20t=-1800e^{-0,01t}+20t$. ${\displaystyle {\int }_0^{60}\theta (t)dt=(-1800e^{-0,6}+1200)-(-1800)=3000-1800e^{-0,6}}$. La température moyenne vaut ${\displaystyle \frac{1}{60}}(3000-1800e^{-0,6})=50-30e^{-0,6}\approx 33,5$ °C. Contrôle : elle est bien comprise entre $\theta (60)\approx 29,9$ °C et $\theta (0)=38$ °C. (0,5 pt pour la primitive, 0,5 pt pour la valeur moyenne) (1)

Piège — Quand on divise une inéquation par le coefficient négatif $-0,01$, le sens change. Un contrôle de bon sens : $\theta (30)\approx 33,3$ °C est encore au-dessus de $32$ °C, donc la durée cherchée dépasse $30$ minutes.

1. a)$v$ est la vitesse de vente, c'est-à-dire le taux de variation du nombre d'exemplaires vendus : $N\prime =v$, donc $N$ est une primitive de $v$, et $N(0)=0$ (rien n'est vendu avant la sortie). Les primitives de $v$ sont les $t\mapsto 24\times {\displaystyle \frac{1}{-0,3}}{e}^{-0,3t}+k=-80e^{-0,3t}+k$. $N(0)=-80+k=0$ donne $k=80$, d'où $N(t)=80-80e^{-0,3t}=80(1-e^{-0,3t})$. (0,5 pt pour la justification, 0,5 pt pour l'expression) (1)
2. b)$N(10)=80(1-e^{-3})\approx 76,0$ milliers d'exemplaires. Comme $N$ est une primitive de $v$, ${\displaystyle {\int }_0^{10}v(t)dt=N(10)-N(0)=N(10)}$. Le nombre moyen d'exemplaires vendus par semaine est la valeur moyenne de $v$ sur $[0;10]$ : ${\displaystyle \frac{1}{10}}{\displaystyle {\int }_0^{10}v(t)dt={\displaystyle \frac{N(10)}{10}}\approx 7,60}$ milliers, soit environ $7600$ exemplaires par semaine. (0,5 pt pour $N(10)$ et l'intégrale, 0,5 pt pour la moyenne) (1)
3. c)Le nombre vendu pendant la deuxième semaine est $N(2)-N(1)={\displaystyle {\int }_1^{2}v(t)dt=80(e^{-0,3}-e^{-0,6})\approx 15,36}$ milliers, soit environ $15400$ exemplaires. (0,5 pt pour l'intégrale, 0,5 pt pour la valeur) (1)
4. d)$N\prime (t)=v(t)=24e^{-0,3t}$ et $-0,3N(t)+24=-24+24e^{-0,3t}+24=24e^{-0,3t}$ : les deux expressions sont égales pour tout $t⩾0$, donc $N$ est solution. Quand $t\to +\infty$, $e^{-0,3t}\to 0$, donc $N(t)\to 80$ : selon ce modèle, le jeu se vendra au total à près de $80000$ exemplaires, sans jamais les atteindre. (0,5 pt pour la vérification, 0,5 pt pour la limite interprétée) (1)
5. e)$N(t)>60⟺1-e^{-0,3t}>{\displaystyle \frac{3}{4}}⟺e^{-0,3t}<{\displaystyle \frac{1}{4}}⟺-0,3t<-\ln 4⟺t>{\displaystyle \frac{\ln 4}{0,3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}\ln 4\approx 4,62$. Le cap des $60000$ exemplaires est franchi pendant la cinquième semaine (entre $t=4$ et $t=5$). Contrôle : $N(4)=80(1-e^{-1,2})\approx 55,9$ et $N(5)\approx 62,1$. (0,5 pt pour l'inéquation, 0,5 pt pour la semaine) (1)

Astuce — Une quantité totale est une primitive de son rythme de variation : le nombre d'exemplaires vendus entre deux instants se lit comme une intégrale de la vitesse de vente, et la constante est fixée par la valeur de départ.

1. a)Avec $u(x)=x^3+4x$, $u\prime (x)=3x^2+4$ : $f=u\prime u={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2u\prime u$. Une primitive de $2u\prime u$ est $u^2$, donc une primitive de $f$ est $F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x^3+4x)}^2$. Contrôle : $F\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2(3x^2+4)(x^3+4x)=f(x)$. (0,5 pt pour la forme $2u\prime u$, 0,5 pt pour le coefficient ${\displaystyle \frac{1}{2}}$) (1)
2. b)Avec $u(x)=x^2-2x$, $u\prime (x)=2x-2=2(x-1)$ : $g={\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime e^u$. Une primitive de $g$ est $G(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x^2-2x}$. Contrôle : $G\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(2x-2)e^{x^2-2x}=g(x)$. (0,5 pt pour la forme $u\prime e^u$, 0,5 pt pour le coefficient) (1)
3. c)Une primitive de $x\mapsto e^{3x}$ est $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3x}$. ${\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}{e}^{3x}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}(e^{3\ln 2}-e^0)={\displaystyle \frac{1}{3}}(2^3-1)={\displaystyle \frac{7}{3}}}$, car $e^{3\ln 2}={\left(e^{\ln 2}\right)}^3=8$. (0,5 pt pour la primitive, 0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{7}{3}}$) (1)
4. d)Solution constante : $0=3c-6$, soit $c=2$. Les solutions sont les $x\mapsto C{e}^{3x}+2$, $C$ réel. $h(1)=C{e}^3+2=4⟺C=2e^{-3}$, donc $h(x)=2e^{-3}{e}^{3x}+2=2e^{3x-3}+2$. Contrôle : $h(1)=2e^0+2=4$. (0,5 pt pour la forme générale, 0,5 pt pour $C$ et $h$) (1)

Astuce — Pour une forme composée, j'écris $u$ et $u\prime$ avant tout calcul : il ne reste qu'un coefficient constant à ajuster, comme le ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ de $u\prime u={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2u\prime u$.

1. a)Faux. Contre-exemple : $f(x)=x-1$, continue, et ${\displaystyle {\int }_0^2(x-1)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x]}_0^2=0}$, alors que $f(0)=-1\ne 0$. Les aires situées au-dessous de l'axe (sur $[0;1]$) et au-dessus (sur $[1;2]$) se compensent. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple calculé) (1)
2. b)Vrai. Pour $x>0$, $\ln (3x)=\ln 3+\ln x$ : les deux fonctions diffèrent de la constante $\ln 3$. Toutes deux sont dérivables, de dérivée $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ : ce sont deux primitives de $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]0;+\infty [$. (0,5 pt pour $\ln (3x)=\ln 3+\ln x$, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)Faux. La solution constante vérifie $0=0,5c-2$, soit $c=4$ ; les solutions sont les $x\mapsto C{e}^{0,5x}+4$. Avec $C=-1$ : $f(x)=4-e^{0,5x}$, $f\prime (x)=-0,5e^{0,5x}<0$, et $0,5f(x)-2=2-0,5e^{0,5x}-2=f\prime (x)$ : $f$ est une solution strictement décroissante. Les solutions sont croissantes seulement si $C⩾0$. (0,5 pt pour la forme des solutions, 0,5 pt pour le contre-exemple vérifié) (1)
4. d)Vrai. Pour $x\in [0;1]$, $x^2⩽x$ (car $x(1-x)⩾0$) ; la fonction exponentielle étant croissante, $e^{x^2}⩽e^x$. Les deux fonctions sont continues et $0⩽1$ : par intégration de l'inégalité, ${\displaystyle {\int }_0^1{e}^{x^2}dx⩽{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1}$. On ne connaît pas de primitive de $x\mapsto e^{x^2}$, mais on peut comparer son intégrale. (0,5 pt pour $e^{x^2}⩽e^x$, 0,5 pt pour l'intégration de l'inégalité) (1)

Piège — Une intégrale nulle ne veut pas dire une fonction nulle : les aires sous l'axe comptent négativement. Pour comparer deux intégrales, je compare d'abord les fonctions sur tout l'intervalle, bornes dans le bon ordre.

1. a)$f(x)-(x-1)={\displaystyle \frac{4}{x+1}}$, et $x+1\to +\infty$, donc $\underset{x\to +\infty }{lim}(f(x)-(x-1))=0$ : l'écart vertical entre ${𝒞}_f$ et $𝒟$ tend vers $0$, la droite $𝒟$ est asymptote à ${𝒞}_f$ en $+\infty$. Pour $x⩾0$, ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}>0$ : ${𝒞}_f$ est strictement au-dessus de $𝒟$. (0,5 pt pour la limite, 0,5 pt pour la position) (1)
2. b)$f\prime (x)=1-{\displaystyle \frac{4}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{(x+1{)}^2-4}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{(x+1-2)(x+1+2)}{(x+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}}$. Pour $x⩾0$, $x+3>0$ et $(x+1{)}^2>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $x-1$. $f$ est strictement décroissante sur $[0;1]$, strictement croissante sur $[1;+\infty [$, de minimum $f(1)=0+{\displaystyle \frac{4}{2}}=2$ (avec $f(0)=3$). (0,5 pt pour la dérivée, 0,5 pt pour les variations et le minimum) (1)
3. c)Sur $[0;a]$, ${𝒞}_f$ est au-dessus de $𝒟$ (question a) : $𝒜(a)={\displaystyle {\int }_0^a(f(x)-(x-1))dx={\int }_0^a{\displaystyle \frac{4}{x+1}}dx}$. Avec $u(x)=x+1>0$, $u\prime (x)=1$ : une primitive de ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}$ est $4\ln (x+1)$. Donc $𝒜(a)=4\ln (a+1)-4\ln 1=4\ln (a+1)$. (0,5 pt pour l'intégrale « haut moins bas », 0,5 pt pour le calcul) (1)
4. d)$4\ln (a+1)=8⟺\ln (a+1)=2⟺a+1=e^2⟺a=e^2-1\approx 6,39$. Quand $a\to +\infty$, $a+1\to +\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{lim}\ln X=+\infty$, donc $𝒜(a)\to +\infty$. Bien que la courbe se rapproche de son asymptote, l'aire comprise entre elles dépasse n'importe quelle valeur : l'écart ${\displaystyle \frac{4}{x+1}}$ ne tend pas assez vite vers $0$. (0,5 pt pour $a$, 0,5 pt pour la limite commentée) (1)

Méthode — Pour une aire entre deux courbes : bornes, position relative, puis intégrale « haut moins bas ». Ici, la différence $f(x)-(x-1)$ est déjà calculée en a) : elle sert deux fois.

1. a)Solution constante : $0=-0,4c+2,8$, soit $c=7$. Les solutions sont les $t\mapsto C{e}^{-0,4t}+7$ ; $v(0)=C+7=0$ donne $C=-7$, d'où $v(t)=7-7e^{-0,4t}=7(1-e^{-0,4t})$. Quand $t\to +\infty$, $e^{-0,4t}\to 0$, donc $v(t)\to 7$ : la vitesse se stabilise vers $7$ m/s, soit $7\times 3,6=25,2$ km/h, sans l'atteindre. (0,5 pt pour $v(t)$, 0,5 pt pour la limite interprétée et convertie) (1)
2. b)$v(t)=6⟺7e^{-0,4t}=1⟺e^{-0,4t}={\displaystyle \frac{1}{7}}⟺-0,4t=-\ln 7⟺t={\displaystyle \frac{\ln 7}{0,4}}=2,5\ln 7\approx 4,9$ s. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)Une primitive de $v$ est $t\mapsto 7t+17,5e^{-0,4t}$ (car ${\displaystyle \frac{-7}{-0,4}}=17,5$). $d=(105+17,5e^{-6})-17,5=87,5+17,5e^{-6}\approx 87,5$ m. À la vitesse limite, on aurait parcouru $7\times 15=105$ m : le retard vaut $105-d=17,5(1-e^{-6})\approx 17,5$ m, presque entièrement pris dans les premières secondes. (0,5 pt pour $d$, 0,5 pt pour le retard) (1)
4. d)Euler : $v_{n+1}=v_n+h(-0,4v_n+2,8)=v_n-0,2v_n+1,4=0,8v_n+1,4$ (avec $h=0,5$). $v_1=1,4$, $v_2=2,52$, $v_3=3,416$, $v_4\approx 4,133$, valeur approchée de $v(4h)=v(2)=7(1-e^{-0,8})\approx 3,855$ : Euler surestime la vitesse d'environ $0,28$ m/s. Les solutions $t\mapsto C{e}^{-0,4t}+7$ avec $C<0$ ont pour dérivée seconde $0,16C{e}^{-0,4t}<0$ : elles sont concaves, leurs courbes sont au-dessous de leurs tangentes. Chaque pas d'Euler suit la tangente de la courbe solution qui passe par le point atteint, donc arrive au-dessus d'elle ; comme deux courbes solutions ne se coupent pas, les valeurs d'Euler restent au-dessus de la vraie vitesse. (0,5 pt pour la relation et les valeurs, 0,5 pt pour la comparaison expliquée) (1)

Erreur fréquente — Une distance est l'intégrale de la vitesse, pas le produit de la vitesse limite par la durée : la vitesse restant inférieure à $7$ m/s, ce produit surestime la distance. Ici, l'écart est d'environ $17,5$ m.

1. a)$D\prime (q)=-{\displaystyle \frac{200}{(q+2{)}^2}}<0$ : $D$ est strictement décroissante ; plus la quantité mise sur le marché est grande, plus le prix que les consommateurs acceptent de payer est bas. $O\prime (q)=2>0$ : $O$ est strictement croissante ; les producteurs proposent davantage quand le prix est plus élevé. (0,5 pt par fonction) (1)
2. b)$D(q)=O(q)⟺{\displaystyle \frac{200}{q+2}}=2q+4⟺200=2(q+2{)}^2$ (car $q+2>0$) $⟺(q+2{)}^2=100⟺q+2=10$ (car $q+2>0$) $⟺q=8$. Donc $q_0=8$ milliers d'articles et $p_0=O(8)=20$ €, avec $D(8)={\displaystyle \frac{200}{10}}=20$. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour $q_0$ et $p_0$) (1)
3. c)$D$ est décroissante et $D(8)=20$, donc $D(q)⩾20$ sur $[0;8]$ : $S_C$ est l'aire du domaine compris entre la courbe de $D$, la droite d'équation $p=20$ et les droites $q=0$ et $q=8$. Une primitive de $q\mapsto {\displaystyle \frac{200}{q+2}}-20$ est $q\mapsto 200\ln (q+2)-20q$. $S_C=(200\ln 10-160)-200\ln 2=200\ln 5-160\approx 162$ milliers d'euros. (0,5 pt pour l'aire justifiée, 0,5 pt pour le calcul) (1)
4. d)$S_P={\displaystyle {\int }_0^8(20-2q-4)dq={\int }_0^8(16-2q)dq=[16q-q^2{]}_0^8=128-64=64}$ milliers d'euros (aire d'un triangle de base $8$ et de hauteur $16$). Surplus total : $200\ln 5-160+64=200\ln 5-96\approx 225,888$ milliers d'euros, soit environ $225900$ €. (0,5 pt pour $S_P$, 0,5 pt pour le total) (1)

Méthode — Une intégrale d'une différence positive est une aire entre deux courbes : je vérifie d'abord le signe de $D(q)-p_0$ et de $p_0-O(q)$ avant de parler d'aire.

1. a)$T:y=f\prime (m)(x-m)+f(m)$. Une primitive de $x\mapsto f(m)+f\prime (m)(x-m)$ est $x\mapsto f(m)x+f\prime (m){\displaystyle \frac{(x-m{)}^2}{2}}$ ($f(m)$ et $f\prime (m)$ sont des constantes). Comme $b-m=m-a={\displaystyle \frac{b-a}{2}}$, les termes $f\prime (m){\displaystyle \frac{(b-m{)}^2}{2}}$ et $f\prime (m){\displaystyle \frac{(a-m{)}^2}{2}}$ sont égaux et s'annulent dans la différence : l'intégrale vaut $f(m)b-f(m)a=(b-a)f(m)$. (0,5 pt pour la tangente, 0,5 pt pour le calcul) (1,25)
2. b)$f$ est convexe sur $[a;b]$ : sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, donc $f(x)⩾f(m)+f\prime (m)(x-m)$ pour tout $x\in [a;b]$. Les fonctions sont continues et $a<b$ : par intégration de l'inégalité, ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)dx⩾(b-a)f(m)}$ ; en divisant par $b-a>0$, $\mu ⩾f(m)$. (0,5 pt pour l'inégalité de convexité, 0,5 pt pour l'intégration et la division) (1,25)
3. c)$L$ est affine, avec $L(a)=f(a)$ et $L(b)=f(b)$ : $y=L(x)$ est la sécante qui passe par les points de ${𝒞}_f$ d'abscisses $a$ et $b$, et sa partie entre $a$ et $b$ est la corde. Une primitive de $L$ est $x\mapsto f(a)x+{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\times {\displaystyle \frac{(x-a{)}^2}{2}}$, d'où ${\displaystyle {\int }_a^{b}L(x)dx=f(a)(b-a)+{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\times {\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{2}}=(b-a)(f(a)+{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{2}})=(b-a){\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}}$. $f$ convexe : sa courbe est au-dessous de ses cordes, donc $f(x)⩽L(x)$ sur $[a;b]$ ; en intégrant puis en divisant par $b-a>0$ : $\mu ⩽{\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}$. (0,5 pt pour la corde, 0,5 pt pour l'intégrale de $L$, 0,5 pt pour l'inégalité) (1,25)
4. d)$g(t)={\displaystyle \frac{1}{t}}$ est deux fois dérivable sur $[1;1+x]$, avec $g″(t)={\displaystyle \frac{2}{t^3}}>0$ : $g$ est convexe. Sa valeur moyenne vaut $\mu ={\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle {\int }_1^{1+x}{\displaystyle \frac{dt}{t}}={\displaystyle \frac{\ln (1+x)-\ln 1}{x}}={\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}}$. Avec $m=1+{\displaystyle \frac{x}{2}}$ : $g(m)={\displaystyle \frac{2}{x+2}}$ et ${\displaystyle \frac{g(1)+g(1+x)}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{1+x}})={\displaystyle \frac{x+2}{2(x+1)}}$. Donc ${\displaystyle \frac{2}{x+2}}⩽{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}⩽{\displaystyle \frac{x+2}{2(x+1)}}$, et en multipliant par $x>0$ on obtient l'encadrement demandé. Avec $x=0,1$ : ${\displaystyle \frac{0,2}{2,1}}={\displaystyle \frac{2}{21}}⩽\ln 1,1⩽{\displaystyle \frac{0,1\times 2,1}{2,2}}={\displaystyle \frac{21}{220}}$, soit $0,09523⩽\ln 1,1⩽0,09546$ ; amplitude ${\displaystyle \frac{21}{220}}-{\displaystyle \frac{2}{21}}={\displaystyle \frac{1}{4620}}\approx 2,2\times {10}^{-4}$ (la calculatrice donne $\ln 1,1\approx 0,09531$). (0,5 pt pour la convexité et $\mu$, 0,5 pt pour l'encadrement général, 0,5 pt pour l'application à $\ln 1,1$) (1,25)