Calcul intégral

Calcule chaque intégrale à l’aide de l’aire d’une figure usuelle (rectangle, triangle ou trapèze).

1. ${\int }_0^{4}3dx=$
   La fonction constante $x\mapsto 3$ est positive : le domaine sous la courbe est un rectangle de largeur $4-0=4$ et de hauteur $3$. Donc ${\int }_0^{4}3dx=4\times 3=12$.
2. ${\int }_0^{8}0,25xdx=$
   Sur $[0;8]$, $0,25x⩾0$. Le domaine est un triangle rectangle de base $8$ et de hauteur $f(8)=0,25\times 8=2$ : son aire vaut ${\displaystyle \frac{8\times 2}{2}}=8$.
3. ${\int }_{-1}^2(x+3)dx=$
   Pour $x\in [-1;2]$, $x+3⩾2>0$. Le domaine est un trapèze de bases $f(-1)=2$ et $f(2)=5$ et de hauteur $2-(-1)=3$ : ${\displaystyle \frac{2+5}{2}}\times 3=10,5$.

Dans un repère, une unité vaut $2,5$ cm sur l’axe des abscisses et $2$ cm sur l’axe des ordonnées.

1. $1$ unité d’aire $=$ cm²
   L’unité d’aire est l’aire du rectangle construit sur une unité de chaque axe : $2,5\times 2=5$ cm².
2. Une intégrale vaut $4,2$ u.a. : l’aire correspondante mesure cm²
   $4,2\times 5=21$ cm².
3. Un domaine mesure $30$ cm² : son aire en unités d’aire vaut u.a.
   On divise par l’aire d’une unité : ${\displaystyle \frac{30}{5}}=6$ u.a.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=6-2x$.

1. Justifier que $f$ est positive sur $[0;3]$, puis calculer ${\int }_0^{3}f(x)dx=$
   Rédaction attendue. Pour $x\in [0;3]$, $2x⩽6$, donc $f(x)=6-2x⩾0$ : $f$ est continue et positive sur $[0;3]$, et l’intégrale est l’aire du domaine sous la courbe. Ce domaine est un triangle rectangle de base $3$ et de hauteur $f(0)=6$ (car $f(3)=0$). Donc ${\int }_0^{3}f(x)dx$ $={\displaystyle \frac{3\times 6}{2}}$ $=9$ u.a.
2. ${\int }_0^{1,5}f(x)dx=$
   Le domaine est un trapèze de bases $f(0)=6$ et $f(1,5)=3$ et de hauteur $1,5$ : ${\displaystyle \frac{6+3}{2}}\times 1,5=6,75$.
3. ${\int }_{1,5}^{3}f(x)dx=$
   Le domaine est un triangle de base $3-1,5=1,5$ et de hauteur $f(1,5)=3$ : ${\displaystyle \frac{1,5\times 3}{2}}=2,25$. On retrouve $6,75+2,25=9$ : les deux morceaux recouvrent le triangle entier.

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;4]$ par $g(x)=|x-2|+1$.

1. Calculer $g(0)$, $g(2)$ et $g(4)$, puis démontrer, à l’aide de deux trapèzes, que ${\int }_0^{4}g(x)dx=$
   Rédaction attendue. $g(0)=|-2|+1=3$, $g(2)=0+1=1$ et $g(4)=2+1=3$. Sur $[0;2]$, $x-2⩽0$ donc $g(x)=-(x-2)+1=3-x$ ; sur $[2;4]$, $g(x)=x-2+1=x-1$. La fonction $g$ est donc affine sur chacun des deux intervalles, continue et positive ($g(x)⩾1$). Le domaine sous la courbe est formé de deux trapèzes de hauteur $2$ : le premier de bases $3$ et $1$, le second de bases $1$ et $3$. Chacun a pour aire ${\displaystyle \frac{3+1}{2}}\times 2=4$. Donc ${\int }_0^{4}g(x)dx=4+4=8$ u.a.
2. Une unité vaut $1$ cm en abscisse et $0,5$ cm en ordonnée : l’aire de ce domaine mesure cm²
   $1$ u.a. $=1\times 0,5=0,5$ cm², donc l’aire vaut $8\times 0,5=4$ cm².

Calcule chaque intégrale à l’aide d’une primitive. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. ${\int }_0^2(3x^2+4x)dx=$
   Une primitive de $x\mapsto 3x^2+4x$ est $x\mapsto x^3+2x^2$. Donc ${\int }_0^2(3x^2+4x)dx$ $=[x^3+2x^2{]}_0^2$ $=(8+8)-0$ $=16$.
2. ${\int }_{-1}^1(x^2-x+2)dx$ $=$
   Une primitive est $F(x)$ $={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x$. $F(1)$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2$ $={\displaystyle \frac{11}{6}}$ et $F(-1)$ $=-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-2$ $=-{\displaystyle \frac{17}{6}}$. Donc l’intégrale vaut ${\displaystyle \frac{11}{6}}+{\displaystyle \frac{17}{6}}$ $={\displaystyle \frac{28}{6}}$ $={\displaystyle \frac{14}{3}}$.
3. ${\int }_1^3(4x^3-1)dx=$
   Une primitive est $x\mapsto x^4-x$. Donc ${\int }_1^3(4x^3-1)dx$ $=[x^4-x{]}_1^3$ $=(81-3)-(1-1)$ $=78$.

Calcule chaque intégrale à l’aide d’une primitive, avec la valeur exacte ou l’arrondi demandé.

1. ${\int }_1^e{\displaystyle \frac{5}{x}}dx=$ (valeur exacte)
   Sur $[1;e]$, une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{5}{x}}$ est $x\mapsto 5\ln x$. Donc ${\int }_1^e{\displaystyle \frac{5}{x}}dx$ $=5\ln e-5\ln 1$ $=5-0$ $=5$.
2. ${\int }_0^{1}4e^{2x}dx\approx$ (au centième)
   Une primitive de $x\mapsto 4e^{2x}$ est $x\mapsto 4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}$ $=2e^{2x}$. Donc ${\int }_0^{1}4e^{2x}dx$ $=2e^2-2e^0$ $=2e^2-2$ $\approx 12,78$.
3. ${\int }_1^4{\displaystyle \frac{2}{x}}dx\approx$ (au centième)
   Une primitive est $x\mapsto 2\ln x$ sur $]0;+\infty [$. Donc ${\int }_1^4{\displaystyle \frac{2}{x}}dx$ $=2\ln 4-2\ln 1$ $=2\ln 4$ $=4\ln 2$ $\approx 2,77$.

$u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $[0;3]$ telles que ${\int }_0^{3}u(x)dx=6$ et ${\int }_0^{3}v(x)dx=-2,5$.

1. ${\int }_0^3(2u(x)+4v(x))dx$ $=$
   Par linéarité : $2{\int }_0^{3}u(x)dx+4{\int }_0^{3}v(x)dx$ $=2\times 6+4\times (-2,5)$ $=12-10$ $=2$.
2. ${\int }_0^3(5v(x)-u(x))dx=$
   Par linéarité : $5\times (-2,5)-6$ $=-12,5-6$ $=-18,5$.
3. Justifier le calcul : ${\int }_0^3(u(x)+7)dx=$
   Rédaction attendue. Par linéarité, ${\int }_0^3(u(x)+7)dx$ $={\int }_0^{3}u(x)dx+{\int }_0^{3}7dx$. Or ${\int }_0^{3}7dx=[7x{]}_0^3=21$ (rectangle de largeur $3$ et de hauteur $7$). Donc l’intégrale vaut $6+21=27$. Ajouter la constante $7$ à la fonction ajoute $7\times (3-0)=21$ à l’intégrale, et non $7$.

Formes $u\prime e^u$, ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ et $2u\prime u$ : calcule chaque intégrale.

1. ${\int }_0^1(x+1)e^{x^2+2x}dx$ $\approx$ (au centième)
   Avec $u(x)=x^2+2x$, $u\prime (x)=2x+2=2(x+1)$, donc $(x+1)e^{x^2+2x}$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime (x)e^{u(x)}$ : une primitive est $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{x^2+2x}$. L’intégrale vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^0$ $={\displaystyle \frac{e^3-1}{2}}$ $\approx 9,54$.
2. ${\int }_0^{1}4x(x^2+3)dx=$
   Avec $u(x)=x^2+3$, $u\prime (x)=2x$ : $4x(x^2+3)=2u\prime (x)u(x)$, dont une primitive est $u^2$. Donc l’intégrale vaut $[(x^2+3{)}^2{]}_0^1=16-9=7$.
3. Calculer ${\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}dx$ $=$ , puis expliquer ce résultat.
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $x^2+1>0$. Avec $u(x)=x^2+1$ et $u\prime (x)=2x$ : ${\displaystyle \frac{4x}{x^2+1}}$ $=2{\displaystyle \frac{u\prime (x)}{u(x)}}$, donc une primitive est $x\mapsto 2\ln (x^2+1)$. L’intégrale vaut $2\ln 2-2\ln 2=0$. Explication : la fonction est négative sur $[-1;0]$ et positive sur $[0;1]$, et les deux domaines sont symétriques par rapport à l’origine ; les deux aires sont égales et se compensent. La fonction, elle, n’est pas nulle : elle vaut $2$ en $1$.

Pour tout réel $x$, on pose $G(x)={\int }_1^x(2t-3)dt$.

1. $G(1)=$
   Les deux bornes sont égales : $G(1)={\int }_1^1(2t-3)dt=0$.
2. Démontrer que $G(x)=x^2-3x+2$, puis calculer $G(4)=$
   Rédaction attendue. Une primitive de $t\mapsto 2t-3$ est $t\mapsto t^2-3t$. Donc $G(x)$ $=[t^2-3t{]}_1^x$ $=(x^2-3x)-(1-3)$ $=x^2-3x+2$. On retrouve le théorème : $G$ est la primitive de $x\mapsto 2x-3$ qui s’annule en $1$. Enfin $G(4)=16-12+2=6$.
3. La valeur minimale de $G$ sur $ℝ$ est
   $G\prime (x)=2x-3$ (c’est la fonction intégrée) : négative pour $x<1,5$, positive pour $x>1,5$. $G$ est minimale en $1,5$ : $G(1,5)$ $=2,25-4,5+2$ $=-0,25$.

$f$ est une fonction continue sur $[1;9]$ telle que ${\int }_1^{5}f(x)dx=12$ et ${\int }_5^{9}f(x)dx=-4$.

1. ${\int }_1^{9}f(x)dx=$
   Relation de Chasles : ${\int }_1^{9}f$ $={\int }_1^{5}f+{\int }_5^{9}f$ $=12+(-4)$ $=8$.
2. ${\int }_9^{5}f(x)dx=$
   Inverser les bornes change le signe : ${\int }_9^{5}f=-{\int }_5^{9}f=-(-4)=4$.
3. ${\int }_5^{5}f(x)dx=$
   Les deux bornes sont égales : par convention, l’intégrale vaut $0$.
4. ${\int }_9^{1}f(x)dx=$
   ${\int }_9^{1}f=-{\int }_1^{9}f=-8$, avec le résultat de la première question.

Pour chaque fonction, calcule l’intégrale, puis l’aire du domaine compris entre la courbe et l’axe des abscisses.

1. ${\int }_0^6(-2)dx=$
   Une primitive est $x\mapsto -2x$ : ${\int }_0^6(-2)dx=-12-0=-12$. La fonction est négative : l’intégrale est négative.
2. Aire du domaine entre la droite d’équation $y=-2$ et l’axe des abscisses, sur $[0;6]$ : u.a.
   L’aire est l’opposé de l’intégrale : $-(-12)=12$ u.a. (rectangle de largeur $6$ et de hauteur $2$).
3. ${\int }_1^4(x-4)dx=$
   Une primitive est $x\mapsto {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4x$ : $(8-16)-(0,5-4)$ $=-8+3,5$ $=-4,5$. Sur $[1;4]$, $x-4⩽0$ : l’aire vaut $4,5$ u.a.

On considère la fonction $h$ définie sur $[0;5]$ par $h(x)=x-3$.

1. ${\int }_0^{5}h(x)dx=$
   Une primitive de $h$ est $H(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-3x$. Donc ${\int }_0^{5}h(x)dx$ $=(12,5-15)-0$ $=-2,5$.
2. Démontrer que l’aire du domaine compris entre la courbe de $h$ et l’axe des abscisses vaut u.a.
   Rédaction attendue. $h$ s’annule en $3$ ; elle est négative sur $[0;3]$ et positive sur $[3;5]$. On découpe avec la relation de Chasles. Sur $[0;3]$ : ${\int }_0^{3}h(x)dx$ $=H(3)-H(0)$ $=(4,5-9)-0$ $=-4,5$, d’où une aire de $4,5$ u.a. Sur $[3;5]$ : ${\int }_3^{5}h(x)dx$ $=H(5)-H(3)$ $=-2,5-(-4,5)$ $=2$, d’où une aire de $2$ u.a. L’aire totale vaut $4,5+2=6,5$ u.a.
3. L’écart entre l’aire et l’intégrale vaut ; expliquer pourquoi elles diffèrent.
   $6,5-(-2,5)=9$, c’est-à-dire deux fois l’aire $4,5$ du morceau situé sous l’axe. L’intégrale est une aire algébrique : la partie sous l’axe y compte négativement ($-4,5$) et compense en partie la partie au-dessus ($+2$). L’aire géométrique additionne les valeurs absolues.

Pour $\lambda >0$, on pose $A(\lambda )$ $={\int }_0^{\lambda }(6-x)dx$.

1. Exprimer $A(\lambda )$ en fonction de $\lambda$, puis calculer $A(4)=$
   Une primitive de $x\mapsto 6-x$ est $x\mapsto 6x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$, donc $A(\lambda )$ $=6\lambda -{\displaystyle \frac{{\lambda }^2}{2}}$. Alors $A(4)=24-8=16$.
2. L’équation $A(\lambda )=10$ a deux solutions ; la plus grande vaut
   $6\lambda -{\displaystyle \frac{{\lambda }^2}{2}}$ $=10$ $⟺{\lambda }^2-12\lambda +20$ $=0$. $\Delta =144-80=64$, d’où $\lambda ={\displaystyle \frac{12-8}{2}}=2$ ou $\lambda ={\displaystyle \frac{12+8}{2}}=10$. La plus grande solution est $10$.
3. Un élève en déduit que le domaine entre la droite d’équation $y=6-x$ et l’axe des abscisses, pour $x\in [0;10]$, a une aire de $10$ u.a. Démontrer que cette aire vaut en fait u.a.
   Rédaction attendue. La fonction $x\mapsto 6-x$ change de signe en $6$ : positive sur $[0;6]$, négative sur $[6;10]$. Sur $[0;10]$, l’intégrale est une aire algébrique, pas une aire. Par la relation de Chasles : ${\int }_0^6(6-x)dx=36-18=18$ (aire $18$ u.a. au-dessus de l’axe) et ${\int }_6^{10}(6-x)dx$ $=(60-50)-(36-18)$ $=-8$ (aire $8$ u.a. au-dessous). L’aire vaut $18+8=26$ u.a. ; on vérifie que $18+(-8)=10=A(10)$, ce qui explique l’erreur de l’élève.

Calcule la valeur moyenne de chaque fonction sur l’intervalle donné. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3). Arrondis au centième si le résultat n’est pas exact.

1. $f(x)=6x$ sur $[0;3]$ : $\mu =$
   ${\int }_0^{3}6xdx$ $=[3x^2{]}_0^3$ $=27$, puis $\mu ={\displaystyle \frac{27}{3-0}}=9$. Le nombre $27$ est l’intégrale, pas la valeur moyenne.
2. $g(x)=4-x^2$ sur $[-2;2]$ : $\mu =$
   ${\int }_{-2}^2(4-x^2)dx$ $=[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}{]}_{-2}^2$ $=(8-{\displaystyle \frac{8}{3}})-(-8+{\displaystyle \frac{8}{3}})$ $={\displaystyle \frac{32}{3}}$, puis $\mu$ $={\displaystyle \frac{32}{3}}\times {\displaystyle \frac{1}{4}}$ $={\displaystyle \frac{8}{3}}$.
3. $k(t)=e^t$ sur $[0;\ln 4]$ : $\mu \approx$
   ${\int }_0^{\ln 4}{e}^{t}dt$ $=e^{\ln 4}-e^0$ $=4-1$ $=3$, puis $\mu ={\displaystyle \frac{3}{\ln 4}}\approx 2,16$.

On pose $I={\int }_1^7{\displaystyle \frac{1}{x+1}}dx$.

1. Justifier que ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ $⩽{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ $⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$ sur $[1;7]$, puis donner le minorant de $I$ obtenu : $I⩾$
   Rédaction attendue. Pour $x\in [1;7]$, $2⩽x+1⩽8$. La fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$, donc ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ $⩽{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$ $⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Avec $b-a=7-1=6$, l’encadrement de l’intégrale donne ${\displaystyle \frac{1}{8}}\times 6$ $⩽I$ $⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6$, soit $0,75⩽I⩽3$. Le minorant est $0,75$.
2. Le majorant obtenu : $I⩽$
   ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times 6=3$.
3. La calculatrice donne $I=\ln 4\approx 1,386$. L’amplitude de l’encadrement vaut
   $3-0,75=2,25$. L’encadrement est juste ($0,75⩽1,386⩽3$) mais peu précis : sur un intervalle large, il vaut mieux découper, ce que fait la méthode des rectangles.

On considère la fonction $f$ définie sur $[1;4]$ par $f(x)=x^2-4x+7$.

1. Montrer que ${\int }_1^{4}f(x)dx=$
   Rédaction attendue. $f$ est un polynôme, donc continue sur $[1;4]$. Une primitive est $F(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-2x^2+7x$. $F(4)$ $={\displaystyle \frac{64}{3}}-32+28$ $={\displaystyle \frac{64}{3}}-4$ et $F(1)$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}-2+7$ $={\displaystyle \frac{1}{3}}+5$. Donc ${\int }_1^{4}f(x)dx$ $={\displaystyle \frac{64}{3}}-4-{\displaystyle \frac{1}{3}}-5$ $=21-9$ $=12$.
2. La valeur moyenne de $f$ sur $[1;4]$ vaut
   $\mu ={\displaystyle \frac{1}{4-1}}\times 12=4$.
3. $f$ prend cette valeur moyenne en $x=1$ et en $x=$
   $f(x)=4⟺x^2-4x+3=0$ ; $\Delta =16-12=4$, d’où $x={\displaystyle \frac{4-2}{2}}=1$ ou $x={\displaystyle \frac{4+2}{2}}=3$. Les deux valeurs sont dans $[1;4]$ : l’autre valeur est $3$.

Après l’arrêt du chauffage, la température d’un local est modélisée par $T(t)=15+9e^{-0,3t}$ (en °C), pour $t\in [0;5]$ en heures.

1. Démontrer que ${\int }_0^{5}T(t)dt$ $=75+30(1-e^{-1,5})$ ; valeur arrondie au centième :
   Rédaction attendue. $T$ est continue sur $[0;5]$. Une primitive de $t\mapsto e^{-0,3t}$ est $t\mapsto -{\displaystyle \frac{1}{0,3}}{e}^{-0,3t}$, et $9\times {\displaystyle \frac{1}{0,3}}=30$ : une primitive de $T$ est $t\mapsto 15t-30e^{-0,3t}$. Donc ${\int }_0^{5}T(t)dt$ $=(75-30e^{-1,5})-(0-30)$ $=75+30(1-e^{-1,5})$ $\approx 98,31$.
2. La température moyenne sur ces cinq heures, arrondie au dixième, vaut °C
   $\mu$ $={\displaystyle \frac{1}{5-0}}{\int }_0^{5}T(t)dt$ $\approx {\displaystyle \frac{98,31}{5}}$ $\approx 19,7$ °C.
3. Un technicien propose ${\displaystyle \frac{T(0)+T(5)}{2}}$ ; ce nombre, arrondi au dixième, vaut °C. Expliquer l’écart.
   $T(0)=24$ et $T(5)=15+9e^{-1,5}\approx 17,0$, donc ${\displaystyle \frac{T(0)+T(5)}{2}}\approx 20,5$ °C, soit environ $0,8$ °C de trop. $T$ n’est pas affine : elle chute vite au début puis se rapproche lentement de $15$ °C, si bien que la température reste longtemps proche des valeurs basses. Seule l’intégrale tient compte de la durée passée à chaque température.

Calcule l’aire, en u.a., du domaine compris entre les deux courbes et les droites verticales indiquées. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. $f(x)=2x+3$ et $g(x)=x-1$, entre $x=1$ et $x=3$ : u.a.
   $f(x)-g(x)=x+4>0$ sur $[1;3]$ : ${𝒞}_f$ est au-dessus. Aire $={\int }_1^3(x+4)dx$ $=[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4x{]}_1^3$ $=16,5-4,5$ $=12$ u.a.
2. $f(x)=x^2+3$ et $g(x)=x$, entre $x=0$ et $x=2$ : u.a.
   $f(x)-g(x)=x^2-x+3$ ; son discriminant $1-12=-11$ est négatif, donc ce trinôme garde le signe de son coefficient dominant : il est positif. Aire $={\int }_0^2(x^2-x+3)dx$ $=[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3x{]}_0^2$ $={\displaystyle \frac{8}{3}}-2+6$ $={\displaystyle \frac{20}{3}}$ u.a.

Dans un repère où une unité vaut $2$ cm en abscisse et $1,5$ cm en ordonnée, on considère $f(x)=-x^2+6x$ et $g(x)=2x$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 7/3).

1. Les courbes se coupent en $x=0$ et en $x=$
   $f(x)$ $=g(x)$ $⟺-x^2+4x$ $=0$ $⟺x(4-x)$ $=0$ $⟺x$ $=0$ ou $x=4$.
2. Justifier la position des courbes sur $[0;4]$, puis calculer l’aire du domaine qu’elles délimitent : u.a.
   Rédaction attendue. $f(x)-g(x)=x(4-x)$ est un trinôme de racines $0$ et $4$ et de coefficient dominant négatif : il est positif entre ses racines. Donc ${𝒞}_f$ est au-dessus de ${𝒞}_g$ sur $[0;4]$, et l’aire vaut ${\int }_0^4(-x^2+4x)dx$ $=[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2{]}_0^4$ $=-{\displaystyle \frac{64}{3}}+32$ $={\displaystyle \frac{32}{3}}$ u.a., soit environ $10,67$ u.a.
3. Cette aire mesure cm²
   $1$ u.a. $=2\times 1,5=3$ cm², donc l’aire vaut ${\displaystyle \frac{32}{3}}\times 3=32$ cm².

On considère les fonctions $f(x)=e^x$ et $g(x)=e^{-x}$ sur $[0;1]$.

1. Justifier que ${𝒞}_f$ est au-dessus de ${𝒞}_g$ sur $[0;1]$, puis donner l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x=0$ et $x=1$, arrondie au centième : u.a.
   Rédaction attendue. Pour $x\in [0;1]$, $x⩾-x$ et la fonction exponentielle est croissante, donc $e^x⩾e^{-x}$ : ${𝒞}_f$ est au-dessus de ${𝒞}_g$. Une primitive de $x\mapsto e^x-e^{-x}$ est $x\mapsto e^x+e^{-x}$. L’aire vaut ${\int }_0^1(e^x-e^{-x})dx$ $=(e+e^{-1})-(1+1)$ $=e+{\displaystyle \frac{1}{e}}-2$ $\approx 1,09$ u.a.

On considère $f(x)=x^3$ et $g(x)=4x$ sur $[-2;2]$.

1. $f(x)-g(x)=x(x-2)(x+2)$ : les courbes se coupent en $x=-2$, en $x=0$ et en $x=$
   $x^3-4x$ $=x(x^2-4)$ $=x(x-2)(x+2)$ s’annule en $-2$, $0$ et $2$.
2. Démontrer que l’aire du domaine compris entre les courbes sur $[0;2]$ vaut u.a.
   Rédaction attendue. Pour $x\in [0;2]$ : $x⩾0$, $x-2⩽0$ et $x+2>0$, donc $f(x)-g(x)⩽0$ : ${𝒞}_g$ est au-dessus. L’aire vaut ${\int }_0^2(4x-x^3)dx$ $=[2x^2-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}{]}_0^2$ $=8-4$ $=4$ u.a.
3. L’aire totale du domaine compris entre les deux courbes sur $[-2;2]$ vaut u.a.
   Sur $[-2;0]$, $f(x)-g(x)⩾0$ et ${\int }_{-2}^0(x^3-4x)dx$ $=[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-2x^2{]}_{-2}^0$ $=0-(4-8)$ $=4$. Aire totale $=4+4=8$ u.a. Sans découper, on trouverait ${\int }_{-2}^2(x^3-4x)dx$ $=4-4$ $=0$ : les deux morceaux se compensent.

On approche ${\int }_0^2{x}^{2}dx$ avec $n=4$ rectangles.

1. Largeur des rectangles : $h=$
   $h={\displaystyle \frac{2-0}{4}}=0,5$.
2. Somme des rectangles à gauche : $R_g=$
   $R_g$ $=0,5\times (f(0)+f(0,5)+f(1)+f(1,5))$ $=0,5\times (0+0,25+1+2,25)$ $=0,5\times 3,5$ $=1,75$.
3. Somme des rectangles à droite : $R_d=$
   $R_d$ $=0,5\times (0,25+1+2,25+4)$ $=0,5\times 7,5$ $=3,75$. La fonction carré est croissante sur $[0;2]$ : $1,75$ $⩽{\int }_0^2{x}^{2}dx$ $⩽3,75$ (la valeur exacte est ${\displaystyle \frac{8}{3}}\approx 2,67$).

On approche ${\int }_1^3{\displaystyle \frac{3}{x}}dx$ avec $n=2$ rectangles, puis davantage.

1. $R_g=$
   $h={\displaystyle \frac{3-1}{2}}=1$. $R_g$ $=1\times (f(1)+f(2))$ $=3+1,5$ $=4,5$.
2. $R_d=$
   $R_d$ $=1\times (f(2)+f(3))$ $=1,5+1$ $=2,5$. $f$ est décroissante sur $[1;3]$, donc $2,5$ $⩽{\int }_1^3{\displaystyle \frac{3}{x}}dx$ $⩽4,5$.
3. Plus petit nombre $n$ de rectangles pour que l’amplitude de l’encadrement soit au plus $0,1$ : $n=$
   L’amplitude vaut ${\displaystyle \frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}}$ $={\displaystyle \frac{2\times |1-3|}{n}}$ $={\displaystyle \frac{4}{n}}$. ${\displaystyle \frac{4}{n}}$ $⩽0,1$ $⟺n$ $⩾40$ : il faut $n=40$ rectangles.

On pose $J={\int }_1^3\ln xdx$ et on utilise $n=4$ rectangles. Arrondis à ${10}^{-4}$.

1. Justifier le sens de variation de $\ln$, puis donner le minorant de $J$ fourni par les rectangles : $J⩾$
   Rédaction attendue. La fonction $\ln$ est croissante sur $[1;3]$ (sa dérivée $x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{x}}$ est positive) : les rectangles à gauche minorent $J$. $h={\displaystyle \frac{3-1}{4}}=0,5$ ; $\ln 1=0$, $\ln 1,5\approx 0,4055$, $\ln 2\approx 0,6931$, $\ln 2,5\approx 0,9163$. $R_g$ $\approx 0,5\times (0+0,4055+0,6931+0,9163)$ $=0,5\times 2,0149$ $\approx 1,0075$.
2. Le majorant : $J⩽$
   $R_d$ $\approx 0,5\times (0,4055+0,6931+0,9163+1,0986)$ $=0,5\times 3,1135$ $\approx 1,5568$. Donc $1,0075$ $⩽J$ $⩽1,5568$ (la calculatrice donne $J\approx 1,296$).
3. Plus petit $n$ garantissant une amplitude d’au plus $0,05$ : $n=$
   Amplitude : ${\displaystyle \frac{(3-1)\times (\ln 3-\ln 1)}{n}}$ $={\displaystyle \frac{2\ln 3}{n}}$. ${\displaystyle \frac{2\ln 3}{n}}$ $⩽0,05$ $⟺n$ $⩾40\ln 3$ $\approx 43,9$ : on prend $n=44$.

On pose $I={\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ : aucune primitive usuelle ne permet de la calculer. On note $f(x)=e^{-x^2}$. Arrondis à ${10}^{-4}$.

1. Démontrer que $f$ est décroissante sur $[0;1]$, puis donner, avec $n=5$, le majorant de $I$ fourni par les rectangles : $I⩽$
   Rédaction attendue. $f$ est dérivable et $f\prime (x)=-2x{e}^{-x^2}$. Comme $e^{-x^2}>0$, $f\prime (x)$ a le signe de $-2x$ : $f\prime (x)⩽0$ sur $[0;1]$, donc $f$ est décroissante et les rectangles à gauche majorent $I$. Avec $h=0,2$ : $f(0)=1$, $f(0,2)\approx 0,9608$, $f(0,4)\approx 0,8521$, $f(0,6)\approx 0,6977$, $f(0,8)\approx 0,5273$. $R_g$ $\approx 0,2\times 4,0379$ $\approx 0,8076$.
2. Le minorant de $I$ avec $n=5$ : $I⩾$
   $R_d$ $\approx 0,2\times (0,9608+0,8521+0,6977+0,5273+0,3679)$ $=0,2\times 3,4058$ $\approx 0,6812$. Donc $0,6812$ $⩽I$ $⩽0,8076$.
3. Plus petit $n$ garantissant une amplitude d’au plus ${10}^{-2}$ : $n=$ ; écrire ensuite une fonction Python encadrement(n) qui renvoie les deux sommes de rectangles.
   Amplitude : ${\displaystyle \frac{1\times (1-e^{-1})}{n}}$ $\approx {\displaystyle \frac{0,6321}{n}}$. ${\displaystyle \frac{0,6321}{n}}$ $⩽0,01$ $⟺n$ $⩾63,21$ : $n=64$. Une fonction possible ($a=0$, donc $x_k=kh$) ; encadrement(64) donne $0,7418$ $⩽I$ $⩽0,7518$ (bornes arrondies vers l’extérieur).

   from math import exp
   def f(x):
       return exp(-x**2)
   def encadrement(n):
       h = 1 / n
       sg = 0
       sd = 0
       for k in range(n):
           sg = sg + f(k*h)
           sd = sd + f((k+1)*h)
       return h*sd, h*sg

   La fonction renvoie (minorant, majorant), puisque $f$ est décroissante.